1.2.4 绝对值 （讲义）2025-2026学年人教版数学七年级上册

本讲义聚焦“绝对值”核心知识点，从生活中距离的非负性引入，衔接数轴知识建立几何意义，即数轴上点到原点的距离，再通过分类推导正数、负数、0的代数意义求法，进而梳理非负性、相反数绝对值相等的性质，最终落脚于利用绝对值比较负数大小，构建从具体到抽象的学习支架。 资料亮点在于以生活实例培养数学眼光，通过几何与代数意义的转化发展推理意识，用符号语言表达绝对值求法提升符号意识。巩固练习分层设计，课中辅助教师高效教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

2025-2026学年人教版数学七年级上册 第一章 有理数 1.2.4 绝对值 （讲义） 学习目标 1. 了解绝对值的几何意义和代数意义。 2. 理解绝对值的概念，会用符号表示一个数的绝对值。 3. 掌握求一个数的绝对值的方法。 4. 能利用绝对值比较两个负数的大小。 知识点梳理 1. 绝对值的引入 在日常生活中，我们常常会遇到一些不需要考虑方向的量，比如距离。例如，小明向东走了3米，小红向西走了3米，他们行走的方向相反，但行走的距离都是3米。这里的“3米”就是一个不考虑方向的量。在数学中，我们用“绝对值”来表示这种非负的数量。 2. 绝对值的定义（几何意义） · 定义： 一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值，记作 。 (1) “| |” 是绝对值符号。 (2) 这里的 可以是正数、负数，也可以是0。 (3) “距离”是一个非负的量，所以绝对值一定是非负的。 · 例如： (1) 在数轴上，数5对应的点到原点的距离是5，所以 。 (2) 在数轴上，数-5对应的点到原点的距离是5，所以 。 (3) 在数轴上，数0对应的点就是原点，到原点的距离是0，所以 。 3. 绝对值的代数意义（求一个数的绝对值的方法） 根据绝对值的几何意义，我们可以得到求一个数的绝对值的方法： · (1) 一个正数的绝对值是它本身； 例如：，，。 · (2) 一个负数的绝对值是它的相反数； 例如：（因为-3的相反数是3），，。 · (3) 0的绝对值是0。 即 。 用数学式子表示为： 注意： 这里的“-a”表示 的相反数。当 是负数时， 就是正数。例如，若 ，则 。 4. 绝对值的性质 · 性质1（非负性）： 任何数的绝对值都是非负数，即 。 这意味着绝对值最小的数是0。 · 性质2： 互为相反数的两个数的绝对值相等。即 。 例如：。 · 性质3： 若 ，则 或 。 例如：若 ，则 或 。 5. 利用绝对值比较两个负数的大小 我们已经知道，在数轴上，右边的数总比左边的数大。对于两个负数来说，绝对值大的那个数反而小。 · 方法： 比较两个负数的大小，可以先比较它们的绝对值的大小，绝对值大的反而小。 · 例如： 比较 -3 和 -5 的大小。 解：因为 ，。 又因为 ， 所以 （注意不等号方向）。 知识点总结 1. 绝对值的几何意义： 数轴上表示数 的点到原点的距离，记作 。 2. 绝对值的代数意义（求法）： (1) 正数的绝对值是它本身：若 ，则 。 (2) 0的绝对值是0：若 ，则 。 (3) 负数的绝对值是它的相反数：若 ，则 。 3. 绝对值的重要性质： (1) 非负性：。 (2) 互为相反数的两数绝对值相等：。 4. 利用绝对值比较两个负数大小： 两个负数，绝对值大的反而小。 巩固练习 一、选择题 1．的绝对值是（ ） A． B． C． D． 2．在这几个有理数中，负数的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列说法正确的是（　　） ①最大的负整数是；②正数和零的绝对值都等于它本身；③互为相反数的两个数的绝对值一定相等；④整数分为正整数和负整数；⑤在数轴上7和9之间的有理数是8． A．①②③ B．②③④ C．③④⑤ D．①②③④⑤ 4．已知|m|=3，|n|=5，且m>n，则2m+n的值为（ ） A．1 B．-11 C．11 D．1或-11 5．下列说法中正确的是（　　） A．0既不是整数也不是分数 B．绝对值等于本身的数是0和1 C．一个数的绝对值一定是正数 D．整数和分数统称有理数 6．已知，则方程的解为（　　） A． B． C． D． 7．若a与5互为相反数，则等于（　　） A．0 B． C．5 D．10 8．﹣6的绝对值是（　　） A．6 B． C．-6 D． 9．化简 =（　　） A． —3.14 B．3.14+ C．3.14— D．0 10．一个数x 在数轴上的位置如图所示，则（　　） A．｜x ｜＜－1 B．｜x｜＜0 C．｜x ｜＞1 D．｜x｜＝0 二、填空题 11．绝对值小于3的整数是　 　． 12．若|x|＝x，则x的取值范围是　 　． 13． =（　 　） 14．若、互为相反数，则　 　 ． 15．如果，那么　 　．（用“”“”或“”连接） 16．如图，已知四个有理数m、n、p、q在一条缺失了原点和刻度的数轴上对应的点分别为M、N、P、Q，且，则在m，n，p，q四个有理数中，绝对值最小的一个是　 　． 三、解答题 17．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： （1）当时，求的值． （2）当时，求的值． （3）若有理数均不等于零，试求的值． 18．同学们都知道，表示5与之差的绝对值，实际上也可理解为5与两数在数轴上所对的两点之间的距离．试探索 （1）求____________； （2）同样道理表示数轴上有理数x所对点到和1005所对的两点距离相等，则______________ （3）类似的表示数轴上有理数x所对点到和2所对的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是_________________． （4）由以上探索猜想对于任何有理数x，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 19．有理数a，b在数轴上对应点的位置如下图所示，化简下列算式：|a|+|b|+|a+b|+|b-a|. 参考答案 1．A 2．B 3．A 4．D 5．D 6．C 7．A 8．A 9．A 10．C 11．0，±1，±2 12．x≥0 13．8 14．5 15． 16．q 17．（1）1 （2） （3）2或0或 18．（1）7 （2） （3） （4）3 19．解：根据数轴上点的位置得：b＜0，a＞0且|a|＜|b|， 可得a+b＜0，b﹣a＜0， ∴|a|+|b|+|a+b|+|b-a|=a-b-(a+b)-(b﹣a)= a-b-a-b-b+a =a-3b. 学科网（北京）股份有限公司 $