专题03 概率的进一步认识（2知识&5题型）（期中知识清单）九年级数学上学期北师大版

专题03 概率的进一步认识（2知识&5题型） 【清单01】利用树状图或表格求概率 1.树状图法：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.树状图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 注意：树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； 2.表格法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用表格法.表格法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 注意： （1）表格法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）表格法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. （3）在用表格法或树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 【清单02】用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 注意：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【题型一】用列表法或画树状图法求概率 【例1-1】（24-25九年级上·北京海淀·期中）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到红色小球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：依题意，画树状图如下： 由图知，共有4种等可能的结果，其中两次都取到红色小球的结果有1种， 两次都取到红色小球的概率为． 故选：D． 【例1-2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）在数字1、、、中，任选两个数字，其中至少有一个是无理数的概率是 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：列表如下： 1 1 ，1 ，1 ，1 1， ， ， 1， ， ， 1， ， ， 一共有12种可能出现的结果，其中有一个数是无理数的有10种，所以至少有一个是无理数的概率是. 故选：B. 【例1-3】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． (1)小红在支付中，选用微信支付的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【详解】（1）由题意知，共有3种等可能的结果，其中选用微信支付的结果有1种， ∴小红在支付中，选用微信支付的概率是． 故答案为：． （2）将微信、支付宝、现金三种支付方式分别记为A，B，C， 列表如下： A B C A B C 共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的结果有，，共3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为． 【例1-4】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率； (2)若取出的两张卡片上的数字和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【详解】（1）解：画树状图得：    由上图可知，所有等可能结果共有9种，其中两张卡片数字都为奇数的结果有4种， 则取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率是； （2）不公平；理由： 取出的两张卡片上的数字和为奇数的有4种，数字和为偶数的有5种， 则取出的两张卡片上的数字数字和为奇数的概率是，和为偶数的概率是， ∵， 因此，这个游戏不公平． 【变式1-1】（24-25九年级上·福建·期中）如图，三角形①，②，③，④是四个完全相同的三角形，从这四个三角形中任选两个三角形，则这两个三角形只有一个公共顶点的概率是 ． 【答案】 【详解】解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两个三角形只有一个公共顶点的结果为：①③，②④，③①，④②，共有4种， 这两个三角形只有一个公共顶点的概率是． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25九年级上·河南焦作·期中）小颖有红、黄、蓝三支彩笔，这三支彩笔的笔杆与笔帽的颜色一致，完成绘画后她随机将三个笔帽盖在笔杆上，每个笔帽与笔杆的颜色都不匹配的概率为 ． 【答案】 【详解】解：由题意可得，共有种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝； 其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有种结果， ∴每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． (1)若从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是______； (2)请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中这名疏散引导员是女老师的结果有2种， ∴从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是． 故答案为：； （2）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁） 乙 （乙，甲） （乙，丙） （乙，丁） 丙 （丙，甲） （丙，乙） （丙，丁） 丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） 共有12种等可能的结果，其中被选到的2位老师是一男一女的结果有8种， ∴被选到的2位老师是一男一女的概率为． 【变式1-4】（24-25九年级上·云南昆明·期中）某学校举办了“创建全国文明城市，争做文明学生”的演讲比赛，每个班只有一个参赛名额．某班为了从两位优秀演讲者小云、小南中选出一位参加比赛，他们决定采用摸球的办法确定谁去，规则如下：在一个不透明的盒子中装有三个分别标有1、2、3的小球（小球除了数字不同，其余都相同），充分摇匀后从盒子里摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．如果两个数字之积为偶数则小云去，反之则小南去． (1)请你用列表法或树状图法表示出两次摸球数字积的所有可能出现的结果； (2)你认为这个规则公平吗? 请说明理由． 【详解】（1）解：两次摸球数字积的所有可能出现的结果列表如下： （2）这个规则不公平， 由表知，共有9种等可能结果，其中两个数字之积为偶数的有5种结果，两个数字之积为奇数的有4种结果， 所以小云去的概率为，小南去的概率为 ∵ ∴这个规则不公平． 【变式1-5】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题： (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有 人中奖，奖金共 元，设摊者获利 元． 【详解】（1）解：画树状图如下： 共有：正正正、正正反、正反正、正正反、反正正、反正反、反反正、反反反，8种情况，其中正正正、反反反，共2种情况， ∴； （2），故约有25人中奖． 奖金共：（元）； 设摊者获利：（元）； 故答案为：25，125，75． 【题型二】用频率估计概率 【例2-1】（24-25九年级上·福建·期中）农科院某研究所在相同条件下做某种农作物的发芽率试验，结果如下表所示： 种子个数 200 500 700 800 900 1000 发芽种子个数 187 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个判断，其中合理的是（    ） A．试验种子的个数最少的那次试验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 B．试验种子的个数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 C．种子发芽的概率为 D．随着参加试验的种子数量增加，种子发芽的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9 【答案】D 【详解】解：根据大量试验得到的发芽率即为概率，故说法正确的是D选项， 故选：D． 【例2-2】（24-25九年级上·陕西商洛·期中）一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共个，它们除颜色外都相同．小明将盒子中的小球搅拌均匀，从中随机摸出一个小球记下它的颜色后放回盒中，重复这一过程，试验发现摸到红色小球的频率稳定在左右，由此估计盒子中红色小球有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【详解】解：由题意知，估计盒子中红色小球有：（个）． 故选：A． 【例2-3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的= ； (2)“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：由表格的数据可得， “摸到白球的”的概率的估计值是． 故答案为：． （3）解： (个)． 答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球． 【变式2-1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点落在白色区域的频率稳定在0.4左右， ∴点落在白色区域的概率在0.4左右， ∴白色区域的面积为， ∴黑色区域的面积为． 故选：C． 【变式2-2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3，估计袋中黑球有 个． 【答案】 【详解】解：∵通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3， ∴摸到白球的概率约为0.3， ∴袋子中一共有个球， ∴估计袋子中黑球有个， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b (1)①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） (2)试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 【详解】（1）解：①由题意得， 故答案为：0.71，0.701； ②由表格中的数据可知，摸到黄色乒乓球的频率在0.7附近， 当很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7， 故答案为：0.7； （2）解：由（1）可知，摸到黄色乒乓球的概率约是0.7， 盒子中黄色乒乓球的个数（个）． 答：盒子中黄色乒乓球的个数大约是28个． 【变式2-4】（24-25九年级上·北京·期中）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．表格是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 （结果保留小数点后两位） 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70    (1)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为_________；（结果保留小数点后一位） (2)铅笔每只0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用． 【详解】（1）转动该转盘一次,获得铅笔的概率约为， 故答案为：； （2）元， 所以该商场每天大致需要支出的奖品费用为5000元． 【题型三】概率与统计图综合 【例3-1】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）体育老师对九年级一个班级的学生进行了立定跳远项目的测试，得到一组测试分数的数据，并将测试所得分数绘制成如图所示的统计图，图中从左到右的学生人数之比为，且成绩为8分的学生有12人．请根据信息解答下列问题： (1)这个班级有　　　　名学生． (2)这组数据的众数是　　　　，中位数是　　　　． (3)班级准备从获得满分10分的同学中选拔一男一女两名同学参加学校举行的田径运动会，体育老师发现获得满分的男女生人数相同，且甲男生和丙女生都在其中，求甲和丙同时被选中的概率． 【详解】（1）解：立定跳远测试成绩得7分、8分、9分和10分的人数之比为，且成绩为8分的学生有12人， 得8分的学生占比为， 这个班级总人数为：（人）； 故答案为：40； （2）解：这个班级总人数为40人，立定跳远测试成绩得7分、8分、9分和10分的人数之比为， 得分为7分的人数； 得分为9分的人数， 得分为10分的人数， 得分为8分的有12人， 该班立定跳远成绩的众数是9分， 将成绩按从小到大排列后，第20个和21个成绩分别为8分和9分， 该班立定跳远成绩的中位数是分． 故答案为：9，； （3）解：由（2）知获得满分10分的同学有4名，其中两男两女， 画树状图如图所示，    共有12种等可能结果，其中甲和丙同时被选中的有2种， ∴甲和丙同时被选中的概率是． 【例3-2】（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）2024年8月8日是中国第16个“全民健身日”为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表． 一分钟跳绳成绩统计表 成绩等级 一分钟跳绳次数 频数 A n B 75 C 69 D 36 请根据以上信息，完成下列问题， (1)随机抽取的学生人数为_________人，统计表中的_________，统计图中B等级对应扇形的圆心角为_________度； (2)该校共有800人参加比赛，请你估计该校成绩达到B等级及以上的有多少人 (3)该比赛服务组有一名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中都是女生的概率． 【详解】（1）解：(人)， (人)， ； （2）解：(人)， 答：该校成绩达到等级及以上的有人； （3）解：列表如下， 男 女1 女2 男 女1，男 女2，男 女1 男，女1 女2，女1 女2 男，女2 女1，女2 由表可知，共有种情况，每种情况出现的机会均等，其中是都是女生的情况共有2种， 恰好选中“都是女生”的概率， 答：恰好选中“都是女生”的概率为． 【例3-3】（24-25九年级上·重庆黔江·期中）为了提高中学生身体素质，学校开设了A：篮球、B：足球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）． (1)这次调查中，一共调查了 名学生；图1中B类所占百分比为 ； (2)请补全条形统计图； (3)若有3名喜欢跳绳的学生，1名喜欢足球的学生组队外出参加一次联谊活动，欲从这四名学生中选出2人担任组长（不分正副），请用列表或是画树状图的方法求出一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率． 【详解】（1）解：根据题意得：这次调查中，一共调查的学生数为：（名）； B组百分比： 故答案为：200；； （2）解：C组人数：（名）， 补全条形统计图如图 （3）解：分别用A，B，C表示3名喜欢跳绳的学生，D表示1名喜欢足球的学生； 画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的有6种情况， ∴一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率为：． 【例3-4】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________，________，_________； (2)该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； (3)现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【详解】（1）解：从折线统计图中可以看出，甲组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 甲组的平均数为， 从条形统计图中可以看出，乙组中得分的有人，得分的有人，得分的有人，得分的有人， 乙组的中位数为， 乙组中出现次数最多的数据是， 乙组的众数为， 故答案为，，； （2）（名） 答：估计测试成绩达到9分及以上的人数有144名； （3）将甲组满分为10分的一名学生记为A，乙组满分为10分的两名学生分别记为B，C，列表如下： A B C A B C 共有6种等可能的结果，其中所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的结果有共4种， ∴所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率为 【变式3-1】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）为了进一步加深学生对环保知识的了解，某中学组织七､八年级学生参与了环保知识竞赛活动，校团委从两个年级中分别随机抽取20名学生，并对他们的得分情况进行整理､描述和分析．分数用m表示，共分为三个等级：优秀，良好，不合格．下面给出了部分信息：①七年级学生成绩的众数出现在优秀等级中，分数不低于85分的数据为85，88，88，89，89，96，96，96，100；②八年级学生成绩中良好等级包含的所有数据为72，77，81，83，84，85，87．根据信息，解答下列问题． 年级 平均数 中位数 众数 优秀等级所占百分比 七年级 84.6 84 a 八年级 84.6 b 98 (1)____________，____________． (2)根据以上样本数据，估计该学校哪个年级学生的环保知识竞赛成绩更好．请说明理由．（写出一条理由即可） (3)学校计划从七年级成绩优秀的4名学生（分别记为甲，乙，丙，丁）中随机选取甲，乙两人进社区宣传环保知识，请用列表法或画树状图法求恰好选中甲､乙的概率． 【详解】（1）∵七年级学生成绩的众数出现在优秀等级中，优秀范围内的数据为，，，，， ∴出现次数最多的数据为， ∴众数为，即； ∵八年级学生成绩良好等级中所有数据为，，，，，，， ∴八年级学生成绩良好等级占比为， ∴八年级学生成绩不及格等级占比为， ∴， ∴八年级学生成绩不及格等级的人数有（人）， ∴个八年级学生成绩从小到大排列，第个和第个数据是和， ∴八年级成绩的中位数； （2）八年级． 理由：两个年级学生的环保知识竞赛成绩的平均数相同， 而八年级学生环保知识竞赛成绩的众数及优秀率均高于七年级 ∴八年级学生的环保知识竞赛成绩更好； （3）树状图如下：    由图可得，共有12种等可能得情况，恰好选中甲､乙的情况有种， 故恰好选中甲､乙的概率为． 【变式3-2】（24-25九年级上·重庆·期中）为了提高新时代青少年良好的禁毒意识和健康向上的精神风貌，某校开展了以“青春无毒，阳光一生”为主题的禁毒知识讲座．讲座后，该校还开展了“禁毒”知识答题竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生的成绩是：82，92，99，84，89，92，94，92，86，100． 九年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，95，91． 八、九年级抽取的学生成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 91 91 中位数 92 b 众数 c 95 方差 31.6 17.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： 　 　， 　 　， 　 　； (2)根据以上数据填空：从稳定性的角度分析，你认为该校 　 　年级学生掌握知识较好．上述调查过程中，从八、九年级分别抽取的10名学生中，达到95及95分以上的同学共有5人，现从这5人中任选两名学生作为代表参加重庆市的“禁毒知识”比赛，请问选中的两名学生都是九年级学生的概率为 　 　； (3)该校八年级800人、九年级600人参加了此次答题竞赛活动，请估计两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有多少人？ 【详解】（1）解：∵九年级A组人数为（名）， B组人数为（名），C组人数为4（名）， ∴九年级D组人数为（名）， ∴， 即； 九年级成绩的中位数为， 即； 八年级成绩的众数为92， 即； （2）解：∵八年级成绩的方差为31.6，九年级成绩的方差为17.8， ∴八年级成绩的方差大于九年级成绩的方差， ∴九年级的成绩比较稳定，掌握知识较好； 九年级的三名同学用A、B、C表示，八年级2名同学同a、b表示， 画树状图为： 共有20种等可能的结果，其中选中的两名学生都是九年级学生的结果数为6， 所以选中的两名学生都是九年级学生的概率． （3）解：（人）， 所以估计两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有900人． 【变式3-3】（24-25九年级上·四川成都·期中）某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题． (1)在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为 人，在扇形统计图中，m的值为 ；并补全条形统计图； (2)根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有 人？ (3)现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率． 【详解】（1）解：在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为（人）， 则C方案人数为（人）， ，即． 补全图形如下： 故答案为：40、30． （2）解：估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约（人）． 故答案为：800． （3）解：根据题意列表如下： a b c d a (b，a) (c，a) (d，a) b (a，b) (c，b) (d，b) c (a，c) (b，c) (d，c) d (a，d) (b，d) (c，d) 由表可知，共有12种等可能结果，其中a同学参加的有6种结果， 所以a同学参加的概率为． 【题型四】概率中的“放回”和“不放回”问题 【例4-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明的口袋中有4个大小，质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数，2，，4．摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率． 【答案】 【详解】解：如图所示， 共有12种等可能结果，其中乒乓球球面上的数之和是正数的结果有8种， ∴两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率为． 【例4-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸、莲莲图案的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．现将这三张卡片放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．用列表或画树状图的方法，求两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的概率． 【详解】解：将这三张卡片分别记为A，B，C， 列表如下： 第一次第二次 由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的结果共5种， ∴两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的概率为． 【例4-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，，，，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是______． (2)体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的概率． 【详解】（1）解：恰好抽到是（滑板）的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的结果有种， ∴抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的概率为． 【例4-4】（24-25九年级上·福建·期中）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【详解】（1）解：红球的个数为个，黄球的个数为个， 蓝球个数为个， 答：盒中红球、黄球、蓝球的个数为个，个和个； （2）解：游戏不公平，理由为： 列表为： 红1 红2 黄 蓝 红1 红1，红1 红2，红1 黄，红1 蓝，红1 红2 红1，红2 红2，红2 黄，红2 蓝，红2 黄 红1，黄 红2，黄 黄，黄 蓝，黄 蓝 红1，蓝 红2，蓝 黄，蓝 蓝，蓝 由表格可知共有16种等可能结果，甲胜出的结果数有6种，乙胜出的结果数有10种， 故甲胜的概率为，乙胜的概率为， ∵， ∴游戏不公平． 【变式4-1】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“灵”、“武”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率； (2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率． 【详解】（1）解：根据题意得：摸出球上的汉字刚好是“美”的概率为； （2）解：根据题意，列出表格如下： 美 丽 灵 武 美 丽美 灵美 武美 丽 美丽 灵丽 武丽 灵 美灵 丽灵 武灵 武 美武 丽武 灵武 一共有12种等可能结果，其中甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的有2种， 所以甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率为． 【变式4-2】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近． (1)估计摸到红球的概率是___________； (2)若袋中有10个红球，求袋中一共有多少个球？ 【详解】（1）解：经过很多次实验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近， 估计摸到红球的频率为， 估计摸到红球的概率是， 故答案为：； （2）设袋中一共有个球， 根据题意，得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 答：袋中一共有25个球． 【变式4-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200 摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 a (1)表中a的值等于________； (2)估算口袋中白球的个数； 【详解】（1）根据题意得，； （2）根据题意得，黑球的频率将稳定在0.25， ∴估计摸到黑球的概率为0.25， ∴求的总个数为（个） ∴白球的个数为（个）． 【变式4-4】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的= ； (2)“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：由表格的数据可得， “摸到白球的”的概率的估计值是． 故答案为：． （3）解： (个)． 答：除白球外，还有大约10个其它颜色的小球． 【题型五】概率与其他知识综合应用 【例5】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，其“落在海洋里”发生的可能性（    ）“落在陆地上”的可能性． A．大于 B．等于 C．小于 D．三种情况都有可能 【答案】A 【详解】解：已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，即相当于将地球总面积分为10份，海洋占7份，所以落在海洋里的概率是，落在陆地上的概率是，所以 “落在海洋里”的可能性更大． 故答案为：A． 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）图，电路图上有个开关，，和个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设开关，，分别用①，②，③表示，画树状图如下： 由树状图可知，共有种等结果，其中小灯泡发光的结果有①②、①③、②①、③①，共种， ∴小灯泡发光的概率为， 故选：． 【变式5-2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）“七巧板”是我国古代的一种拼图玩具，由5块等腰直角三角形，1块正方形和1块平行四边形薄板组成．如图①是小明用正方形纸板制作的七巧板，图②是用该七巧板拼出的狐狸图案的飞镖盘，若小明每次扔飞镖时，飞镖都能掷在狐狸上，则随机投掷一次，掷在狐狸头部的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵七巧板的面积是8个空白正方形的面积，而狐狸头部是2个空白正方形的面积， ∴随机投掷一次，掷在狐狸头部的概率是． 故选：A． 【变式5-3】（24-25九年级上·广东湛江·期中）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）． (1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是______； (2)从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率． 【详解】（1）解：乙口袋中有张卡片，其中是物理变化，、是化学变化， 共有种等可能的结果，其中抽到化学变化的结果有种， 从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是， 故答案为：； （2）解：甲口袋中是物理变化，是化学变化， 只有同时抽到和才符合要求， 根据题意，列表如下： 由表可知，所有等可能出现的结果共有种，其中两次抽出的卡片均为物理变化的情况有种， 抽出的两张卡片均是物理变化的概率为． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 概率的进一步认识（2知识&5题型） 【清单01】利用树状图或表格求概率 1.树状图法：当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图.树状图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 注意：树状图法同样适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； 2.表格法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用表格法.表格法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 注意： （1）表格法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）表格法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. （3）在用表格法或树状图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 【清单02】用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 注意：用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【题型一】用列表法或画树状图法求概率 【例1-1】（24-25九年级上·北京海淀·期中）不透明的袋子中装有一个红色小球和一个白色小球，除颜色外两个小球无其他差别．从中随机取出一个小球后，放回并摇匀，再从中随机取出一个小球，则两次都取到红色小球的概率为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）在数字1、、、中，任选两个数字，其中至少有一个是无理数的概率是 （   ） A． B． C． D． 【例1-3】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）互联网的进步，改变着人们的生活方式，购物支付也有着巨大变化．在一次购物中，小红和小星都想从微信、支付宝、现金三种支付方式中随机任选一种进行支付． (1)小红在支付中，选用微信支付的概率是______； (2)利用画树状图或列表的方法求出两人恰好选择同一种支付方式的概率． 【例1-4】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）把大小和形状完全相同的6张卡片分成两组，每组3张，分别都标上数字1，2，3，将这两组卡片分别放入两个不透明的盒子中搅匀，再从中各随机抽取一张． (1)请用画树状图或列表的方法求取出的两张卡片上的数字都为奇数的概率； (2)若取出的两张卡片上的数字和为奇数，则甲胜；取出的两张卡片上的数字和为偶数，则乙胜；试分析这个游戏是否公平？请说明理由． 【变式1-1】（24-25九年级上·福建·期中）如图，三角形①，②，③，④是四个完全相同的三角形，从这四个三角形中任选两个三角形，则这两个三角形只有一个公共顶点的概率是 ． 【变式1-2】（24-25九年级上·河南焦作·期中）小颖有红、黄、蓝三支彩笔，这三支彩笔的笔杆与笔帽的颜色一致，完成绘画后她随机将三个笔帽盖在笔杆上，每个笔帽与笔杆的颜色都不匹配的概率为 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西榆林·期中）消防教育进校园，消防安全记心间．为切实提升广大师生的自护自救能力，阳光中学组织全体师生开展了消防演练．在实际演练之前，学校提前制定好了活动方案，为了保证广大师生的安全，防止踩踏事件的发生，在各楼层的通道处安排了疏散引导员．该校决定在九年级的甲，乙，丙，丁4位老师中随机选取2位作为疏散引导员，其中甲、乙是男老师，丙，丁是女老师． (1)若从中先选取1名疏散引导员，这名疏散引导员是女老师的概率是______； (2)请用画树状图法或列表法，求被选到的2位老师是一男一女的概率． 【变式1-4】（24-25九年级上·云南昆明·期中）某学校举办了“创建全国文明城市，争做文明学生”的演讲比赛，每个班只有一个参赛名额．某班为了从两位优秀演讲者小云、小南中选出一位参加比赛，他们决定采用摸球的办法确定谁去，规则如下：在一个不透明的盒子中装有三个分别标有1、2、3的小球（小球除了数字不同，其余都相同），充分摇匀后从盒子里摸出一个小球记下标号后放回摇匀，再从中随机摸出一个小球记下标号．如果两个数字之积为偶数则小云去，反之则小南去． (1)请你用列表法或树状图法表示出两次摸球数字积的所有可能出现的结果； (2)你认为这个规则公平吗? 请说明理由． 【变式1-5】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）小明看到路边有人设摊玩“有奖掷币”游戏，规则是：交二元钱就可以玩一次游戏．每次同时掷三枚硬币，如果出现三枚硬币均正面或均反面朝上奖金5元；如果是其他情况，没有奖金(硬币落地只有正面朝上和反面朝上两种情况)．小明拿不定主意去玩还是不玩，请你帮助他解决下列问题： (1)请用“画树状图”或“列表”的方法求出中奖的概率； (2)如果有100个人，每人玩一次这种游戏，则约有 人中奖，奖金共 元，设摊者获利 元． 【题型二】用频率估计概率 【例2-1】（24-25九年级上·福建·期中）农科院某研究所在相同条件下做某种农作物的发芽率试验，结果如下表所示： 种子个数 200 500 700 800 900 1000 发芽种子个数 187 435 624 718 814 901 种子发芽率 0.935 0.870 0.891 0.898 0.904 0.901 下面有四个判断，其中合理的是（    ） A．试验种子的个数最少的那次试验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 B．试验种子的个数最多的那次试验得到的种子发芽的频率一定是种子发芽的概率 C．种子发芽的概率为 D．随着参加试验的种子数量增加，种子发芽的频率在0.9附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计种子发芽的概率约为0.9 【例2-2】（24-25九年级上·陕西商洛·期中）一个不透明的盒子中装有红、黄两种颜色的小球共个，它们除颜色外都相同．小明将盒子中的小球搅拌均匀，从中随机摸出一个小球记下它的颜色后放回盒中，重复这一过程，试验发现摸到红色小球的频率稳定在左右，由此估计盒子中红色小球有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例2-3】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的= ； (2)“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【变式2-1】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）王东帮妈妈打印了一个收款二维码如图所示，该二维码的面积为，他在该二维码纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在白色区域的频率稳定在0.4左右，则据此估计此二维码中黑色区域的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）在一个不透明的袋子中有除颜色外均相同的9个白球和若干黑球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为0.3，估计袋中黑球有 个． 【变式2-3】（24-25九年级上·陕西西安·期中）在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黄、白两种颜色的乒乓球共40个，某数学兴趣小组做摸球试验，将乒乓球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 300 500 800 1000 摸到黄色乒乓球的次数 69 102 143 213 353 560 701 摸到黄色乒乓球的频率 0.69 0.68 0.715 a 0.706 0.70 b (1)①上表中的_____，_____； ②根据上表估计，当n很大时，摸到黄色乒乓球的概率约是_____；（精确到0.1） (2)试估计盒子中黄色乒乓球的个数． 【变式2-4】（24-25九年级上·北京·期中）某商场有一个可以自由转动的圆形转盘（如图）．规定：顾客购物100元以上可以获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一个区域就获得相应的奖品（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．表格是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数 68 111 136 345 546 701 落在“铅笔”的频率 （结果保留小数点后两位） 0.68 0.74 0.68 0.69 0.68 0.70    (1)转动该转盘一次，获得铅笔的概率约为_________；（结果保留小数点后一位） (2)铅笔每只0.5元，饮料每瓶3元，经统计该商场每天约有4000名顾客参加抽奖活动，请计算该商场每天需要支出的奖品费用． 【题型三】概率与统计图综合 【例3-1】（24-25九年级上·湖南长沙·期中）体育老师对九年级一个班级的学生进行了立定跳远项目的测试，得到一组测试分数的数据，并将测试所得分数绘制成如图所示的统计图，图中从左到右的学生人数之比为，且成绩为8分的学生有12人．请根据信息解答下列问题： (1)这个班级有　　　　名学生． (2)这组数据的众数是　　　　，中位数是　　　　． (3)班级准备从获得满分10分的同学中选拔一男一女两名同学参加学校举行的田径运动会，体育老师发现获得满分的男女生人数相同，且甲男生和丙女生都在其中，求甲和丙同时被选中的概率． 【例3-2】（24-25九年级上·辽宁阜新·期中）2024年8月8日是中国第16个“全民健身日”为提高学生身体素质，积极倡导全民健身，某校开展了一分钟跳绳比赛．数学兴趣小组随机抽取了部分学生成绩，并对数据进行统计整理，以下是不完整的统计图表． 一分钟跳绳成绩统计表 成绩等级 一分钟跳绳次数 频数 A n B 75 C 69 D 36 请根据以上信息，完成下列问题， (1)随机抽取的学生人数为_________人，统计表中的_________，统计图中B等级对应扇形的圆心角为_________度； (2)该校共有800人参加比赛，请你估计该校成绩达到B等级及以上的有多少人 (3)该比赛服务组有一名男生和两名女生，现从中随机挑选两名同学负责跳绳发放工作，请用树状图法或列表法求出恰好选中都是女生的概率． 【例3-3】（24-25九年级上·重庆黔江·期中）为了提高中学生身体素质，学校开设了A：篮球、B：足球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动，为了解学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）． (1)这次调查中，一共调查了 名学生；图1中B类所占百分比为 ； (2)请补全条形统计图； (3)若有3名喜欢跳绳的学生，1名喜欢足球的学生组队外出参加一次联谊活动，欲从这四名学生中选出2人担任组长（不分正副），请用列表或是画树状图的方法求出一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率． 【例3-4】（24-25九年级上·辽宁沈阳·期中）某校为了解九年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校20名九年级学生进行测试（测试满分为10分），并将这20名学生分成甲、乙两组，每组各10人．对测试成绩进行收集、整理、描述和分析，并制成了如下统计图表： 平均数/分 中位数/分 众数/分 甲组 8 8 乙组 8.3 根据以上信息，回答下列问题． (1)填空：________，________，_________； (2)该校九年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计测试成绩达到9分及以上的人数； (3)现在准备从甲、乙两组满分为10分的学生中随机抽取两名学生参加市级竞赛，请用列表法或画树状图法求所抽取的两名学生恰好一人来自甲组，另一人来自乙组的概率． 【变式3-1】（24-25九年级上·贵州贵阳·期中）为了进一步加深学生对环保知识的了解，某中学组织七､八年级学生参与了环保知识竞赛活动，校团委从两个年级中分别随机抽取20名学生，并对他们的得分情况进行整理､描述和分析．分数用m表示，共分为三个等级：优秀，良好，不合格．下面给出了部分信息：①七年级学生成绩的众数出现在优秀等级中，分数不低于85分的数据为85，88，88，89，89，96，96，96，100；②八年级学生成绩中良好等级包含的所有数据为72，77，81，83，84，85，87．根据信息，解答下列问题． 年级 平均数 中位数 众数 优秀等级所占百分比 七年级 84.6 84 a 八年级 84.6 b 98 (1)____________，____________． (2)根据以上样本数据，估计该学校哪个年级学生的环保知识竞赛成绩更好．请说明理由．（写出一条理由即可） (3)学校计划从七年级成绩优秀的4名学生（分别记为甲，乙，丙，丁）中随机选取甲，乙两人进社区宣传环保知识，请用列表法或画树状图法求恰好选中甲､乙的概率． 【变式3-2】（24-25九年级上·重庆·期中）为了提高新时代青少年良好的禁毒意识和健康向上的精神风貌，某校开展了以“青春无毒，阳光一生”为主题的禁毒知识讲座．讲座后，该校还开展了“禁毒”知识答题竞赛活动．现从该校八、九年级中各随机抽取10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）．下面给出了部分信息： 八年级10名学生的成绩是：82，92，99，84，89，92，94，92，86，100． 九年级10名学生的成绩在C组中的数据是：90，92，95，91． 八、九年级抽取的学生成绩统计表 年级 八年级 九年级 平均数 91 91 中位数 92 b 众数 c 95 方差 31.6 17.8 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空： 　 　， 　 　， 　 　； (2)根据以上数据填空：从稳定性的角度分析，你认为该校 　 　年级学生掌握知识较好．上述调查过程中，从八、九年级分别抽取的10名学生中，达到95及95分以上的同学共有5人，现从这5人中任选两名学生作为代表参加重庆市的“禁毒知识”比赛，请问选中的两名学生都是九年级学生的概率为 　 　； (3)该校八年级800人、九年级600人参加了此次答题竞赛活动，请估计两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的共有多少人？ 【变式3-3】（24-25九年级上·四川成都·期中）某学校拟举办演讲比赛、文艺汇演、书画展览、知识竞赛四种活动，为了解学生对活动的喜爱情况，学校随机抽取了200名学生进行调查（每人只能选择一种方案），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据以下两幅图所给的信息解答下列问题． (1)在抽取的200名学生中，选择“演讲比赛”的人数为 人，在扇形统计图中，m的值为 ；并补全条形统计图； (2)根据本次调查结果，估计全校2000名学生中选择“文艺汇演”的学生大约有 人？ (3)现从喜爱“知识竞赛”的四名同学a、b、c、d中，任选两名同学参加学校知识竞赛，请用树状图或列表法求出a同学参加的概率． 【题型四】概率中的“放回”和“不放回”问题 【例4-1】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）一个不透明的口袋中有4个大小，质地完全相同的乒乓球，球面上分别标有数，2，，4．摇匀后先从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球，用列表或画树状图的方法求两次摸出的乒乓球球面上的数之和是正数的概率． 【例4-2】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸、莲莲图案的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同．现将这三张卡片放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出1张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出1张卡片．用列表或画树状图的方法，求两次取出的两张卡片中至少有1张图案为“琮琮”的概率． 【例4-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）年巴黎奥运会新增了四个项目：霹雳舞，滑板，冲浪，运动攀岩，依次记为，，，，滨河体育队的小明同学把这四个项目写在了背面完全相同的卡片上．将这四张卡片背面朝上，洗匀放好． (1)小明想从中随机抽取一张，去了解该项目在奥运会中的得分标准，恰好抽到是（滑板）的概率是______． (2)体育老师想从中选出来两个项目，让小明做成手抄报给大家普及一下，他先从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求体育老师抽到的两张卡片恰好是（滑板）和（运动攀岩）的概率． 【例4-4】（24-25九年级上·福建·期中）已知盒中有大小、质地相同的红球、黄球、蓝球共4个，从中任取一球，得到红球的概率是，得到红球或黄球的概率是． (1)求盒中红球、黄球、蓝球的个数； (2)设置游戏规则如下：从盒中有放回的取球两次，每次任取一球记下颜色，若取到两个球颜色相同则甲胜，否则乙胜．从概率的角度判断这个游戏是否公平，请说明理由． 【变式4-1】（24-25九年级上·宁夏银川·期中）一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”、“丽”、“灵”、“武”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球． (1)若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率； (2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“灵武”的概率． 【变式4-2】（23-24九年级上·安徽宿州·期中）一个不透明的口袋中放着若干个红球和黑球，这两种球除颜色外没有其他任何区别，袋中的球已经搅匀，闭眼从口袋中摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，经过大量重复试验发现摸到黑球的频率逐渐稳定在附近． (1)估计摸到红球的概率是___________； (2)若袋中有10个红球，求袋中一共有多少个球？ 【变式4-3】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）在课堂上，老师将除颜色外都相同的1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋中并搅匀，让全班同学依次进行摸球试验，每次随机摸出一个球，记下颜色再放回搅匀，下表是试验得到的一组数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 摸到黑球的次数m 26 37 49 124 200 摸到黑球的频率 0.26 0.247 0.245 0.248 a (1)表中a的值等于________； (2)估算口袋中白球的个数； 【变式4-4】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.59 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的= ； (2)“摸到白球”的概率的估计值是 （精确到0.1）； (3)如果袋中有15个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球． 【题型五】概率与其他知识综合应用 【例5】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）已知地球表面陆地面积与海洋面积的比约为，如果宇宙中飞来一块陨石落在地球上，其“落在海洋里”发生的可能性（    ）“落在陆地上”的可能性． A．大于 B．等于 C．小于 D．三种情况都有可能 【变式5-1】（24-25九年级上·陕西西安·期中）图，电路图上有个开关，，和个小灯泡，现随机闭合两个开关，小灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25九年级上·甘肃兰州·期中）“七巧板”是我国古代的一种拼图玩具，由5块等腰直角三角形，1块正方形和1块平行四边形薄板组成．如图①是小明用正方形纸板制作的七巧板，图②是用该七巧板拼出的狐狸图案的飞镖盘，若小明每次扔飞镖时，飞镖都能掷在狐狸上，则随机投掷一次，掷在狐狸头部的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25九年级上·广东湛江·期中）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将种生活现象分别制成表面看上去无差别的卡片，并分别放入甲、乙两个口袋中（如图）．甲口袋中装有，两张卡片，乙口袋中装有，，三张卡片．注：没有生成其他物质的变化叫做物理变化（、）；生成其他物质的变化叫做化学变化（、、）． (1)若从乙口袋中随机抽取张卡片，抽到化学变化的概率是______； (2)从两个口袋中分别随机取出张卡片，用画树状图或列表的方法，求抽出的两张卡片均是物理变化的概率． 学科网（北京）股份有限公5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $