第三章 概率的进一步认识（单元测试·提升卷）数学北师大版九年级上册

2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第三章 概率的进一步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 【答案】A 【分析】此题考查游戏公平性，三个人摸到每种球的概率均相等，所以游戏公平． 本题考查游戏公平性的判断，关键在于每次摸球后放回，使得每次摸到红球的概率相同． 【详解】解：∵小明、小芳、小雪三人每次摸到红球的概率均为， ∴游戏对所有人都公平， 故选：A． 2．质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品5件，由此估计这一批次产品中的次品件数是（    ） A．5 B．100 C．500 D．1000 【答案】C 【分析】本题主要考查了数据样本与频率问题，亦可根据比例求解． 根据抽取的样本数求得该批产品的次品率之后再乘以产品总数即可求解． 【详解】解：∵随机抽取100件进行检测，检测出次品5件， ∴次品所占的百分比是：， ∴这一批次产品中的次品件数是：（件）， 故选C． 3．如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C、D表示蔗糖溶于水，葡萄酿酒，木条燃烧，海水晒盐，画树状图如下： 由图可得所有等可能的结果共有12种，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于物理变化的结果有2种，即， ∴从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率为， 故选：D． 4．某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，则其中奖的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率． 【详解】解：由图知，字母“B”所在的区域的圆心角度数为， ∴当转盘停止转动后，指针落在字母“B”所在区域内的概率是，即中奖的概率是． 故选：B． 5．如图，在中，，是边上的中线，点E、F、M、N是上的四点，现向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查几何概率，涉及等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形中线性质，能得到各三角形面积之间的关系是解答的关键．由题意易得是等腰三角形，根据等腰三角形三线合一可得，进而得到，进而得到，利用几何概率公式求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴是等腰三角形， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∴向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为． 故选：A． 6．在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．从袋中随机摸出一个球，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近，则口袋中红球可能有（   ） A．15个 B．14个 C．13个 D．12个 【答案】D 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，分式方程的应用，先利用频率估计概率，再根据概率公式计算．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：设口袋中红球有个， 通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近， 可以估计摸到红球的概率是， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：口袋中红球可能有12个， 故选：D． 7．圆形转盘均分成三块，上面分别写有数字“1”“2”“3”，转动转盘两次（指向边界重转），指针指向的数字填入右边的数字框中，则所得两位数能被3整除的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查列表法求概率．通过列表得到所有可能的两位数，筛选出满足条件的组合，再根据概率公式计算即可． 【详解】列表如下： 　　　　个位　十位 1 2 3 1 11 12 12 2 21 22 22 3 31 32 32 ∴所有可能的两位数共有种，符合条件的两位数：12、21、33，共3种． ∴所得两位数能被3整除的概率是． 故选：C． 8．袋中有红、黄、白球各一个，每次随机取出一个，有放回地取3次，记“三次颜色全相同”的概率为，“三次颜色不全相同”的概率为，“三次颜色全不相同”的概率为，那么下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题是一个关于古典概型概率计算的问题．通过有放回地从装有红、黄、白球各一个的袋中取球 3 次这一试验情境，计算不同事件的概率．本题主要考查古典概型的概率计算、对立事件的概率性质以及分步乘法计数原理．解题的关键在于准确确定基本事件总数，以及各事件所包含的基本事件个数，合理运用概率公式和相关原理进行计算，同时要注意对立事件关系的运用． 【详解】解：画出如图所示的树状图． 共有27种等可能的结果，则 ∴，，， 故选 A． 9．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是3的倍数 C．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取1球，取出的球是黄球 【答案】B 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式．根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案． 【详解】解：折线图显示概率约． A. 掷一枚一元硬币，落地后正面朝上的概率为，故本选项不符合题意； B. 掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是3的倍数，其概率为，故本选项符合题意； C. 在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯的概率为，故本选项不符合题意； D. 一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取1球，取出的球是黄球的概率为，故本选项不符合题意； 故选：B． 10．不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（如下表），则下列说法错误的是（    ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 301 480 601 摸到红球的频率 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是理解频率与概率的关系，以及掌握频率的计算方法． 根据频率的计算公式“频率=频数÷总数”，分别计算各选项中的值，再结合大量重复试验中频率稳定值可估计概率，对各选项进行判断． 【详解】A、计算100次摸球时的频率，，正确； B、300次摸球时，红球次数，正确； C、随着试验次数增加，频率稳定在0.60附近，可估计概率约为0.60，正确； D、设总球数为，由概率，解得．选项中总球数为14，错误． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．某型号电视机的质量检测结果如下表．任意抽取一台该型号电视机是优等品的概率的估计值是 ．（精确到） 抽取的台数n 10 20 50 100 200 300 500 1000 优等品的频数m 9 19 47 94 192 285 476 951 优等品的频率 【答案】 【分析】先精确到，后观察成活率的数值稳定在哪一个数值上，即可估算这种树苗移植成活率的概率，可得出答案． 此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即为概率． 【详解】解：根据题意，保留一位小数，表格数据可得， 成优等品的频率 随着样本数量不断增加，优等品的频率稳定在， ∴优等品的概率为， 故答案为：． 12．为迎接2025年世界环境日（6月5日），某校开展“环保知识竞答”活动，准备了一个不透明的箱子，里面装有红、蓝两种颜色的答题卡片（除颜色外都相同）．通过大量重复摸卡试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.4附近．若箱子中共有80张卡片，则估计蓝色卡片约有 张． 【答案】32 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，根据蓝色卡片的频率可得摸到蓝色卡片的概率，根据概率公式即可求出蓝色卡片的数量． 【详解】解：设木箱中蓝色卡片有x张，根据题意得： ， 解得：， 则估计箱子中蓝色卡片有32张． 故答案为：32． 13．如图是一个圆形靶子，三个同心圆的半径分别为1，2，3．嘉淇向靶子随机投掷一次飞镖（若飞镖落在分隔线上，则重新投掷），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率， 根据题意，求得阴影部分面积，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解∶由题意得，最大圆的面积为，阴影部分的面积为， 飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为∶． 14．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 ． 【答案】45 【分析】本题考查了用频率来估计概率，解题关键是理解频率与概率的关系与概率计算公式，明确题中黑色部分的面积与正方形的面积比等于概率是解题的关键．先计算正方形的面积，再建立方程求解即可． 【详解】解：边长为正方形面积为， 设黑色部分的总面积为， ∴， ∴， ∴黑色部分的总面积为 故答案为：45． 15．如图，为三角形纸板的角平分线，，E为上一点，于点F，连接若，将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，直角三角形的性质，几何概率，先证明，得到，根据，，易求，设，则，进而求出，令，则，求出，进而求出，即可解答． 【详解】解：∵为三角形纸板的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴ ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴， ∴将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是． 故答案为：． 16．如果三位数（表示百位数字为，十位数字为，个位数字为的三位数），且满足或，则称这个三位数为“凹数”．那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了概率公式的应用、列举法求概率等知识点，确定数的总个数和凹数的总个数成为解题的关键． 在100～999这900个三位数中，由共有900个三位数，凹数的总个数570个，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：∵若，a可从这9个数字中任取1个，有9种选择，c可从这10个数字中任取1个，有10种选择：此时，凹数个数小计90个：； 若，a可从这9个数字中任取1个，有9种选择，c从这10个数字中任取1个，但要排除110、111这2个，此时，凹数个数小计88个：； 若，a可从这9个数字中任取1个，有9种选择，c从这10个数字中任取1个，但要排除120、121、122、220、221、222这6个，此时，凹数个数小计84个：； 若b=3，a可从这9个数字中任取1个，有9种选择，c从这10个数字中任取1个，但要排除130、131、132、133、230、231、232、233、330、331、332、333这12个，此时，凹数个数小计78个：； … 若b=9，凹数个数小计0个：； ∴在100～999这900个三位数中，凹数总个数为； 所以从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率是：． 故答案为：． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．在一个不透明的袋子中装有20个球，这些球除颜色外都相同，其中红球8个，白球12个． (1)将20个球充分混匀，从袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的可能性是________； (2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的白球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动，求m的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查了可能性的大小，利用实验的方法进行概率估算，当实验次数非常大时，实验频率可作为事件发生的概率的估计值，即大量实验频率稳定于理论概率． （1）利用摸到红球的概率表示摸到红球的可能性； （2）利用频率估计概率得到随机摸出一个白球的概率，则根据概率公式得到，然后解关于m的方程即可． 【详解】（1）解：从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率， 即摸到红球的可能性为； 故答案为：； （2）解：∵经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动， ∴随机摸出一个白球的概率， ∴， 解得， 即m的值为3． 18．2023年5月2日，央视《非遗里的中国（江苏篇）》走进盐城九龙口淮剧小镇，全中国的人民都有机会感受到非遗淮剧的独特魅力．淮剧小镇也成了盐城的文旅新地标．在小镇的休息区摆有圆形桌子，每个桌子共有6个座位．小明和小军在小镇游玩，想在如图所示的桌子上坐下休息，涂色座位代表已有人． (1)现小明随机选择一个空座位坐下，直接写出选择1号空座位的概率 ； (2)用画树状图或列表的方法，求小明和小军坐在不相邻位置的概率． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步完成的事件；解题时要注意题目中是放回试验还是不放回实验试验．用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，然后利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：小明随机从4个空位选择一个空座位坐下，选择1号空座位的概率为， 故答案为：； （2）解：列表如下： 小明 小军 1 2 3 4 1 2 3 4 由表知，共有12种等可能结果，其中小明和小军坐在不相邻位置的结果有种， ∴两人坐在不相邻位置的概率为． 19．现有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中装有2个小球，它们分别写有英文字母A、C，乙袋中装有3个小球，它们分别写有英文字母E、G、H，这些球除所写字母不同外其余完全相同． (1)将乙袋摇匀，然后从乙袋中随机取出一个小球，则所写字母恰好是元音字母的概率是____； (2)小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的甲、乙两袋中各随机取出一个小球，取出的这两个小球，若所写字母一个是元音字母，另一个是辅音字母，则小华获胜；若所写字母都是辅音字母，则小林获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 【答案】(1) (2)图见解析，这个游戏规则对双方不公平 【分析】本题考查了概率的简单计算，解题的关键是明确元音字母的判断以及概率公式是总情况数，是事件发生的情况数）的运用． （1）先确定乙袋中元音字母的个数，再根据概率公式计算从乙袋取到元音字母的概率． （2）先通过列表法列出所有可能的结果，再分别找出小华获胜、小林获胜对应的结果数，根据概率公式计算出各自获胜的概率，比较概率大小判断公平性． 【详解】（1）解：从乙袋中随机地摸出1个小球，恰好写有元音字母的概率是， 故答案为： （2）解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，取出的2个小球上全是辅音字母的有2种情况， ∴取出的2个小球上全是辅音字母的概率是：， 取出的2个小球上一个是元音字母，另一个是辅音字母的概率是：， ， ∴这个游戏规则对双方不公平． 20．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 【答案】(1) (2)口袋中黑色的球只，白色的球有只 (3)两次都摸到白球的概率为 【分析】本题考查了频率估计概率，画树状图或列表法求概率，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据表中的数据，估计出摸到白球的频率； （）通过摸到白球的频率即可求出摸到白球和黑球的概率，然后通过口袋中黑、白两种颜色的球的概率即可求出口袋中黑、白两种颜色的球； （）画出树状图，一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果，然后利用概率公式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：； （2）解：∵当很大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， ∴口袋中有白球（只），黑球（只）， 答：口袋中黑色的球只，白色的球有只； （3）解：画树状图如图， 一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果， ∴两次都摸到白球的概率为． 21．已知一个布袋里装有3个红球、2个蓝球，这些球除颜色外都相同，把它们充分搅匀． (1)“从中任意摸出1个球，不是红球就是蓝球”是________事件；“从中任意摸出1个球是黑球”是________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率是________． (3)甲、乙两名同学设计了一个游戏，规则如下：从布袋中任意摸出2个球，已知一红一蓝可配成紫色，若“配紫色”成功，则乙获胜；否则，甲获胜．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明． 【答案】(1)必然；不可能 (2) (3)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了事件类型的判断、概率的计算、游戏的公平性的判断，熟知列举法求概率是解题的关键． （1）根据事件类型的概念即可判别：在一定条件下，必然会发生的事件是必然事件；在一定条件下，必然不会发生的事件是不可能事件． （2）利用概率的公式：符合条件的结果数除以总结果数即可求． （3）列表，分别求出“两球能配成紫色”和“两球不能配成紫色”的概率，然后进行比较即可判断游戏是否公平． 【详解】解：（1）∵袋子中放有个红球，个蓝球， ∴当从袋子中随机摸出个球时，抽取的结果不是红球，就是蓝球． ∴事件“从中任意摸出个球，不是红球就是蓝球”是必然事件； ∵袋子中没有黑球， ∴事件“从中任意摸出个球是黑球”是不可能事件． 故答案为：必然；不可能     （2）从中任意摸出个球，共有种等可能的结果，其中是红球的有种结果， ∴（红球）=． 故答案为： （3）设个红球分别记为红、红、红；个蓝球分别即为蓝、蓝． 根据题意，列表如下： 红 红 红 蓝 蓝 红 （红，红） （红，红） （红，蓝） （红，蓝） 红 （红，红） （红，红） （红，蓝） （红，蓝） 红 （红，红） （红，红） （红，蓝） （红，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） 由表可知，共有种等可能的结果，其中“配紫色”不成功的结果有种，“配紫色”成功的结果有种， ， ， 这个游戏不公平． 22．一个不透明的袋子中装有三个小球，上面分别标有数字，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同． (1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是_____； (2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标，然后放回搅匀．接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标，如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，用树状图或列表法求点M落在四边形内部（含边界）的概率． 【答案】(1)摸出的球上面标的数字为正数的概率是 (2)点M落在四边形内部（含边界）的概率为 【分析】此题考查了用列表法或树状图法求概率，掌握用列表法或树状图法是解题的关键． （）直接利用概率公式计算可得； （）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得； 【详解】（1），0，1中，正数有1个， ∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是 （2）如图， 列表如下： 0 1 0 1 由表知，共有9种等可能结果，其中点M落在四边形所围成的部分内（含边界）的有：，，，，，这6个， ∴点M落在四边形内部（含边界）的概率为 23．某校化学教学组采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．一氧化碳还原氧化铜；．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)___________，所对应的扇形圆心角是___________； (2)根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有___________人最喜欢的实验是“．一氧化碳还原氧化铜”； (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，、、三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 【答案】(1)50，72 (2)120 (3) 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分数，求得样本容量，求得对应的频数，补图即可；利用圆心角计算公式计算即可． （2）利用样本估计总体的思想计算即可． （3）根据列表或画树状图法，解答即可． 【详解】（1）解：（人）， （人）， ， 故答案为：50；72． （2）解：（人）， 故答案为：120． （3）解：列表如下： 由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种， （两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图，样本容量，圆心角的计算，样本估计总体，列表或画树状图法求概率，熟练掌握统计图的意义，样本估计总体，概率计算，正确计算样本容量，计算概率是解题的关键． 24．人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组．组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为： 49，52，59，65，66，73，75，79，84，84，84，84，84，87，87，88，92，93，96，99． 九年级被抽取的学生测试得分中D组包含的所有数据为： 88，88，85，88，88，84，85，87． 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 79 a 84 九年级 79 88 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由；（一条理由即可） (3)在八年级抽取的学生测试成绩得分90及以上的甲、乙、丙、丁4人中，将他们分为两组请用列表或树状图的方法，求甲乙恰好分为一组的概率． 【答案】(1)84；；40 (2)九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高；理由见解答 (3) 【分析】本题考查列表法与树状图法、扇形统计图、用样本估计总体、中位数、众数，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、中位数、众数的定义是解答本题的关键． （1）根据众数的定义确定八年级的众数a；根据中位数的定义确定九年级的中位数b；再求出九年级D组所占的百分比即可； （2）根据平均数或中位数或众数的意义回答即可； （3）依题意，先列表，再求概率，即可作答． 【详解】（1）解：八年级被抽取的学生测试得分的所有数据中，84出现5次是出现次数最多的数据， ∴； 九年级被抽取的学生测试得分A组有：个， B组有：个， C组有：个， 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是D组的第1、2个的平均数， D组数据从小到大排序后为：84，85，85，87，88，88，88， ∴， 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是D组共有8个数据， ∴，即， 故答案为：84；；40； （2）解：九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高；理由如下： 八，九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级成绩的众数大于八年级成绩的众数， 九年级的学生对事件的关注与了解程度更高； （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 ∵共有12种等可能的结果，其中甲乙恰好分为一组的4种结果， ∴甲乙恰好分为一组的概率为． 25．某快递公司收取快递费用的标准如下：重量不超过的包裹收费10元，重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）收取5元．该快递公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表： 包裹的重量（单位：） 1 2 3 4 5 包裹的件数 40 35 14 7 4 该快递公司对近60天，每天揽件数量统计如表： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 以上数据已做近似处理． (1)现从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率． (2)该快递公司将快递费的作为前台工作人员的工资和经理的工资，剩余的用作其他费用． ①估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值． ②目前快递公司经理有1人，前台工作人员有3人，每位前台工作人员每天揽件不超过150件，前台工作人员每日工资200元．经理正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，如果仅从近60天经理平均每日工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮经理选择，并说明理由． 【答案】(1) (2)①15元；②公司应将前台工作人员裁员1人，理由见解析 【分析】本题考查了频率估计概率，概率公式，求一组数据的平均数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先求出样本中包裹件数在之间的天数，再运用概率公式列式计算，即可作答． （2）①运用求平均数的公式进行列式计算，即可作答． ②先求出每个范围的频率，再结合该快递公司将快递费的作为前台工作人员的工资和经理的工资，剩余的用作其他费用，进行列式，求出裁员和不裁员的收入，即可作答． 【详解】（1）解：样本中包裹件数在之间的天数为， ∴概率， ∴从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率； （2）解：①结合题干的样本中快递费用及包裹件数表中的数据， 得， ∴（元）， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元． ②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元）， 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件， 则，，， 公司每日揽件数情况如下： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 频率 ∴ 故经理平均每日工资收入的期望值为（元） 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数 50 150 250 300 300 频率 则 故经理平均每日工资收入的期望值为（元） ∵ ∴公司应将前台工作人员裁员1人． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第三章 概率的进一步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 2．质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品5件，由此估计这一批次产品中的次品件数是（    ） A．5 B．100 C．500 D．1000 3．如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是（   ） A． B． C． D． 4．某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，则其中奖的概率是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，是边上的中线，点E、F、M、N是上的四点，现向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 6．在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．从袋中随机摸出一个球，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近，则口袋中红球可能有（   ） A．15个 B．14个 C．13个 D．12个 7．圆形转盘均分成三块，上面分别写有数字“1”“2”“3”，转动转盘两次（指向边界重转），指针指向的数字填入右边的数字框中，则所得两位数能被3整除的概率是（   ） A． B． C． D． 8．袋中有红、黄、白球各一个，每次随机取出一个，有放回地取3次，记“三次颜色全相同”的概率为，“三次颜色不全相同”的概率为，“三次颜色全不相同”的概率为，那么下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 9．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是3的倍数 C．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取1球，取出的球是黄球 10．不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（如下表），则下列说法错误的是（    ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 301 480 601 摸到红球的频率 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．某型号电视机的质量检测结果如下表．任意抽取一台该型号电视机是优等品的概率的估计值是 ．（精确到） 抽取的台数n 10 20 50 100 200 300 500 1000 优等品的频数m 9 19 47 94 192 285 476 951 优等品的频率 12．为迎接2025年世界环境日（6月5日），某校开展“环保知识竞答”活动，准备了一个不透明的箱子，里面装有红、蓝两种颜色的答题卡片（除颜色外都相同）．通过大量重复摸卡试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.4附近．若箱子中共有80张卡片，则估计蓝色卡片约有 张． 13．如图是一个圆形靶子，三个同心圆的半径分别为1，2，3．嘉淇向靶子随机投掷一次飞镖（若飞镖落在分隔线上，则重新投掷），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 14．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 ． 15．如图，为三角形纸板的角平分线，，E为上一点，于点F，连接若，将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 16．如果三位数（表示百位数字为，十位数字为，个位数字为的三位数），且满足或，则称这个三位数为“凹数”．那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率是 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．在一个不透明的袋子中装有20个球，这些球除颜色外都相同，其中红球8个，白球12个． (1)将20个球充分混匀，从袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的可能性是________； (2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的白球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动，求m的值． 18．2023年5月2日，央视《非遗里的中国（江苏篇）》走进盐城九龙口淮剧小镇，全中国的人民都有机会感受到非遗淮剧的独特魅力．淮剧小镇也成了盐城的文旅新地标．在小镇的休息区摆有圆形桌子，每个桌子共有6个座位．小明和小军在小镇游玩，想在如图所示的桌子上坐下休息，涂色座位代表已有人． (1)现小明随机选择一个空座位坐下，直接写出选择1号空座位的概率 ； (2)用画树状图或列表的方法，求小明和小军坐在不相邻位置的概率． 19．现有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中装有2个小球，它们分别写有英文字母A、C，乙袋中装有3个小球，它们分别写有英文字母E、G、H，这些球除所写字母不同外其余完全相同． (1)将乙袋摇匀，然后从乙袋中随机取出一个小球，则所写字母恰好是元音字母的概率是____； (2)小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的甲、乙两袋中各随机取出一个小球，取出的这两个小球，若所写字母一个是元音字母，另一个是辅音字母，则小华获胜；若所写字母都是辅音字母，则小林获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 20．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 21．已知一个布袋里装有3个红球、2个蓝球，这些球除颜色外都相同，把它们充分搅匀． (1)“从中任意摸出1个球，不是红球就是蓝球”是________事件；“从中任意摸出1个球是黑球”是________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率是________． (3)甲、乙两名同学设计了一个游戏，规则如下：从布袋中任意摸出2个球，已知一红一蓝可配成紫色，若“配紫色”成功，则乙获胜；否则，甲获胜．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明． 22．一个不透明的袋子中装有三个小球，上面分别标有数字，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同． (1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是_____； (2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标，然后放回搅匀．接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标，如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，用树状图或列表法求点M落在四边形内部（含边界）的概率． 23．某校化学教学组采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．一氧化碳还原氧化铜；．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)___________，所对应的扇形圆心角是___________； (2)根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有___________人最喜欢的实验是“．一氧化碳还原氧化铜”； (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，、、三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 24．人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组．组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为： 49，52，59，65，66，73，75，79，84，84，84，84，84，87，87，88，92，93，96，99． 九年级被抽取的学生测试得分中D组包含的所有数据为： 88，88，85，88，88，84，85，87． 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 79 a 84 九年级 79 88 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由；（一条理由即可） (3)在八年级抽取的学生测试成绩得分90及以上的甲、乙、丙、丁4人中，将他们分为两组请用列表或树状图的方法，求甲乙恰好分为一组的概率． 25．某快递公司收取快递费用的标准如下：重量不超过的包裹收费10元，重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）收取5元．该快递公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表： 包裹的重量（单位：） 1 2 3 4 5 包裹的件数 40 35 14 7 4 该快递公司对近60天，每天揽件数量统计如表： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 以上数据已做近似处理． (1)现从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率． (2)该快递公司将快递费的作为前台工作人员的工资和经理的工资，剩余的用作其他费用． ①估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值． ②目前快递公司经理有1人，前台工作人员有3人，每位前台工作人员每天揽件不超过150件，前台工作人员每日工资200元．经理正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，如果仅从近60天经理平均每日工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮经理选择，并说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第三章 概率的进一步认识·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C D B A D C A B D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11． 12．32 13． 14．45 15． 16． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17． 【详解】（1）解：从袋子中任意摸出一个球，摸到红球的概率， 即摸到红球的可能性为； 故答案为：；.........3分 （2）解：∵经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动， ∴随机摸出一个白球的概率， ∴， 解得， 即m的值为3．.........6分 18． 【详解】（1）解：小明随机从4个空位选择一个空座位坐下，选择1号空座位的概率为， 故答案为：；.........2分 （2）解：列表如下： 小明 小军 1 2 3 4 1 2 3 4 由表知，共有12种等可能结果，其中小明和小军坐在不相邻位置的结果有种， ∴两人坐在不相邻位置的概率为．.........6分 19． 【详解】（1）解：从乙袋中随机地摸出1个小球，恰好写有元音字母的概率是， 故答案为：.........2分 （2）解：画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，取出的2个小球上全是辅音字母的有2种情况， ∴取出的2个小球上全是辅音字母的概率是：， 取出的2个小球上一个是元音字母，另一个是辅音字母的概率是：， ， ∴这个游戏规则对双方不公平．.........6分 20． 【详解】（1）解：根据题意可得当很大时，摸到白球的频率将会接近， 故答案为：；.........2分 （2）解：∵当很大时，摸到白球的频率将会接近， ∴摸到白球的概率是，摸到黑球的概率是， ∴口袋中有白球（只），黑球（只）， 答：口袋中黑色的球只，白色的球有只；.........2分 （3）解：画树状图如图， 一共有种等可能结果，两次都摸到白球的情况有种结果， ∴两次都摸到白球的概率为．.........6分 21． 【详解】解：（1）∵袋子中放有个红球，个蓝球， ∴当从袋子中随机摸出个球时，抽取的结果不是红球，就是蓝球． ∴事件“从中任意摸出个球，不是红球就是蓝球”是必然事件； ∵袋子中没有黑球， ∴事件“从中任意摸出个球是黑球”是不可能事件． 故答案为：必然；不可能    .........2分 （2）从中任意摸出个球，共有种等可能的结果，其中是红球的有种结果， ∴（红球）=． 故答案为：.........4分 （3）设个红球分别记为红、红、红；个蓝球分别即为蓝、蓝． 根据题意，列表如下： 红 红 红 蓝 蓝 红 （红，红） （红，红） （红，蓝） （红，蓝） 红 （红，红） （红，红） （红，蓝） （红，蓝） 红 （红，红） （红，红） （红，蓝） （红，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） 由表可知，共有种等可能的结果，其中“配紫色”不成功的结果有种，“配紫色”成功的结果有种， ， ， 这个游戏不公平．.........8分 22． 【详解】（1），0，1中，正数有1个， ∴摸出的球上面标的数字为正数的概率是.........3分 （2）如图， 列表如下： 0 1 0 1 由表知，共有9种等可能结果，其中点M落在四边形所围成的部分内（含边界）的有：，，，，，这6个， ∴点M落在四边形内部（含边界）的概率为.........8分 23． 【详解】（1）解：（人）， （人）， ， 故答案为：50；72．.........2分 （2）解：（人）， 故答案为：120．.........4分 （3）解：列表如下： 由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的结果有6种， （两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊）．.........8分 24． 【详解】（1）解：八年级被抽取的学生测试得分的所有数据中，84出现5次是出现次数最多的数据， ∴； 九年级被抽取的学生测试得分A组有：个， B组有：个， C组有：个， 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是D组的第1、2个的平均数， D组数据从小到大排序后为：84，85，85，87，88，88，88， ∴， 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是D组共有8个数据， ∴，即， 故答案为：84；；40；.........3分 （2）解：九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高；理由如下： 八，九年级成绩的平均数相同，但九年级成绩的中位数大于八年级成绩的中位数，且九年级成绩的众数大于八年级成绩的众数， 九年级的学生对事件的关注与了解程度更高；.........6分 （3）解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 ∵共有12种等可能的结果，其中甲乙恰好分为一组的4种结果， ∴甲乙恰好分为一组的概率为．.........12分 25． 【详解】（1）解：样本中包裹件数在之间的天数为， ∴概率， ∴从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率；.........3分 （2）解：①结合题干的样本中快递费用及包裹件数表中的数据， 得， ∴（元）， 故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元．.........6分 ②根据题意及①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元）， 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件， 则，，， 公司每日揽件数情况如下： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 频率 ∴ 故经理平均每日工资收入的期望值为（元） 若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下： 包裹件数范围 包裹件数（近似处理） 50 150 250 350 450 实际揽件数 50 150 250 300 300 频率 则 故经理平均每日工资收入的期望值为（元） ∵ ∴公司应将前台工作人员裁员1人．.........12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级上册数学单元检测卷 第三章 概率的进一步认识·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．一个不透明的箱子中放有1个红球、2个黄球和3个黑球，这些小球除颜色外都相同，小明、小芳、小雪三人先后去摸球，每人每次只能摸出一个球，每次摸出球后放回，摸出红球的人获得礼品（可以所有人都获得礼品）．你觉得这个游戏（    ） A．对所有人都公平 B．无法判断是否公平 C．先摸者获得礼品的可能性大 D．后摸者获得礼品的可能性大 2．质检部门为了检测某品牌电器的质量，从同一批次共10000件产品中随机抽取100件进行检测，检测出次品5件，由此估计这一批次产品中的次品件数是（    ） A．5 B．100 C．500 D．1000 3．如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是（   ） A． B． C． D． 4．某商场今年国庆节期间举行有奖促销活动，凡购买一定金额的商品可参与转盘抽奖．如图，转盘分为“A”“B”“C”“D”四个区域，自由转动转盘，若指针落在字母“B”所在的区域内，则顾客中奖（转到公共线位置时重转）．若某顾客转动1次转盘，则其中奖的概率是（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，是边上的中线，点E、F、M、N是上的四点，现向内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为（   ） A． B． C． D． 6．在一个不透明的口袋中装有8个白球和若干个红球，它们除颜色外其他完全相同．从袋中随机摸出一个球，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4附近，则口袋中红球可能有（   ） A．15个 B．14个 C．13个 D．12个 7．圆形转盘均分成三块，上面分别写有数字“1”“2”“3”，转动转盘两次（指向边界重转），指针指向的数字填入右边的数字框中，则所得两位数能被3整除的概率是（   ） A． B． C． D． 8．袋中有红、黄、白球各一个，每次随机取出一个，有放回地取3次，记“三次颜色全相同”的概率为，“三次颜色不全相同”的概率为，“三次颜色全不相同”的概率为，那么下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 9．某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是（   ） A．掷一枚一元硬币，落地后正面朝上 B．掷一个正六面体的骰子，朝上的面的点数是3的倍数 C．在红灯30秒、绿灯60秒、黄灯10秒的十字路口，人或车随意经过路口时，遇到的恰好是红灯 D．一个不透明的袋子中装有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取1球，取出的球是黄球 10．不透明的口袋里装有若干个除颜色外都相同的小球，将球摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述过程，得到一组统计数据（如下表），则下列说法错误的是（    ） 摸球的次数 100 150 300 500 800 1000 摸到红球的次数 61 93 301 480 601 摸到红球的频率 0.62 0.59 0.602 0.60 0.601 A． B． C．摸到红球的概率约为0.60 D．若袋中有9个红球，则总球数有14个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．某型号电视机的质量检测结果如下表．任意抽取一台该型号电视机是优等品的概率的估计值是 ．（精确到） 抽取的台数n 10 20 50 100 200 300 500 1000 优等品的频数m 9 19 47 94 192 285 476 951 优等品的频率 12．为迎接2025年世界环境日（6月5日），某校开展“环保知识竞答”活动，准备了一个不透明的箱子，里面装有红、蓝两种颜色的答题卡片（除颜色外都相同）．通过大量重复摸卡试验，发现摸到蓝色卡片的频率稳定在0.4附近．若箱子中共有80张卡片，则估计蓝色卡片约有 张． 13．如图是一个圆形靶子，三个同心圆的半径分别为1，2，3．嘉淇向靶子随机投掷一次飞镖（若飞镖落在分隔线上，则重新投掷），则飞镖落在阴影部分的概率是 ． 14．如图，在边长为的正方形区域内，为了估计图中黑白部分的面积，在正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.45左右，据此可以估计黑色部分的总面积为 ． 15．如图，为三角形纸板的角平分线，，E为上一点，于点F，连接若，将一个飞镖随机投掷到该纸板上（假设飞镖一定落在纸板上），则飞镖落在阴影部分的概率是 16．如果三位数（表示百位数字为，十位数字为，个位数字为的三位数），且满足或，则称这个三位数为“凹数”．那么，从所有三位数中任意取出一个恰好是“凹数”的概率是 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．在一个不透明的袋子中装有20个球，这些球除颜色外都相同，其中红球8个，白球12个． (1)将20个球充分混匀，从袋子中任意摸出一个球，则摸到红球的可能性是________； (2)先从袋子中取出m个红球，再放入m个一样的白球并摇匀，经过多次试验，随机摸出一个白球的频率在附近摆动，求m的值． 18．2023年5月2日，央视《非遗里的中国（江苏篇）》走进盐城九龙口淮剧小镇，全中国的人民都有机会感受到非遗淮剧的独特魅力．淮剧小镇也成了盐城的文旅新地标．在小镇的休息区摆有圆形桌子，每个桌子共有6个座位．小明和小军在小镇游玩，想在如图所示的桌子上坐下休息，涂色座位代表已有人． (1)现小明随机选择一个空座位坐下，直接写出选择1号空座位的概率 ； (2)用画树状图或列表的方法，求小明和小军坐在不相邻位置的概率． 19．现有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中装有2个小球，它们分别写有英文字母A、C，乙袋中装有3个小球，它们分别写有英文字母E、G、H，这些球除所写字母不同外其余完全相同． (1)将乙袋摇匀，然后从乙袋中随机取出一个小球，则所写字母恰好是元音字母的概率是____； (2)小华和小林商定了一个游戏规则：从摇匀后的甲、乙两袋中各随机取出一个小球，取出的这两个小球，若所写字母一个是元音字母，另一个是辅音字母，则小华获胜；若所写字母都是辅音字母，则小林获胜，请用列表或画树状图的方法说明这个游戏规则对双方是否公平． 20．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到白球的次数 摸到白球的频率 (1)请估计：当 很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到 ）； (2)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ (3)在（）的条件下，若从中先摸出一只球，不放回，再摸出一只球，请用列表或树状图的方法求两次都摸到白球的概率． 21．已知一个布袋里装有3个红球、2个蓝球，这些球除颜色外都相同，把它们充分搅匀． (1)“从中任意摸出1个球，不是红球就是蓝球”是________事件；“从中任意摸出1个球是黑球”是________事件．（填“必然”“随机”或“不可能”） (2)从中任意摸出1个球，恰好是红球的概率是________． (3)甲、乙两名同学设计了一个游戏，规则如下：从布袋中任意摸出2个球，已知一红一蓝可配成紫色，若“配紫色”成功，则乙获胜；否则，甲获胜．你认为这个游戏公平吗？请用列表法或画树状图法加以说明． 22．一个不透明的袋子中装有三个小球，上面分别标有数字，0，1，它们除了数字不同外，其它完全相同． (1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的球上面标的数字为正数的概率是_____； (2)小聪先从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为平面直角坐标系内点M的横坐标，然后放回搅匀．接着小明从袋子中随机摸出一个小球，记下数字作为点M的纵坐标，如图，已知四边形的四个顶点的坐标分别为，，，，用树状图或列表法求点M落在四边形内部（含边界）的概率． 23．某校化学教学组采取了理论和实验相结合的教学方式，一段时间后，教学组的老师们在九年级随机抽取了部分学生，就“你最喜欢的化学实验是什么”进行了问卷调查，选项为常考的五个实验：．高锰酸钾制取氧气；．电解水；．木炭还原氧化铜；．一氧化碳还原氧化铜；．铁的冶炼，要求每个学生只能选择一项，并将调查结果绘制成如下不完整的条形统计图和扇形统计图（调查中无人弃权）． 请结合统计图，回答下列问题： (1)___________，所对应的扇形圆心角是___________； (2)根据调查结果，估计该校九年级800名学生中有___________人最喜欢的实验是“．一氧化碳还原氧化铜”； (3)某堂化学课上，小明学到了这样一个知识：将二氧化碳通入澄清石灰水，澄清石灰水会变浑浊．已知本次调查的五个实验中，、、三个实验均能产生二氧化碳，若小明从五个实验中任意选取两个，请用列表或画树状图的方法求两个实验所产生的气体均能使澄清石灰水变浑浊的概率． 24．人工智能是当前科技领域的热门话题，具有广泛的应用和巨大的发展潜力．某学校为了解该校学生对人工智能的关注与了解程度，对全校学生进行问卷测试，得分采用百分制，得分越高，则对人工智能的关注与了解程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用x表示，且得分为整数，共分为5组．组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据为： 49，52，59，65，66，73，75，79，84，84，84，84，84，87，87，88，92，93，96，99． 九年级被抽取的学生测试得分中D组包含的所有数据为： 88，88，85，88，88，84，85，87． 八年级、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 八年级 79 a 84 九年级 79 88 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中：______，______，______； (2)根据以上数据，你认为该校八年级、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高？请说明理由；（一条理由即可） (3)在八年级抽取的学生测试成绩得分90及以上的甲、乙、丙、丁4人中，将他们分为两组请用列表或树状图的方法，求甲乙恰好分为一组的概率． 25．某快递公司收取快递费用的标准如下：重量不超过的包裹收费10元，重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）收取5元．该快递公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如表： 包裹的重量（单位：） 1 2 3 4 5 包裹的件数 40 35 14 7 4 该快递公司对近60天，每天揽件数量统计如表： 包裹的件数范围 包裹的件数（近似处理） 50 150 250 350 450 天数 8 8 28 10 6 以上数据已做近似处理． (1)现从近60天中随机抽取1天，求这一天揽件数在之间的概率． (2)该快递公司将快递费的作为前台工作人员的工资和经理的工资，剩余的用作其他费用． ①估计该快递公司对每件包裹收取的快递费的平均值． ②目前快递公司经理有1人，前台工作人员有3人，每位前台工作人员每天揽件不超过150件，前台工作人员每日工资200元．经理正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，如果仅从近60天经理平均每日工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮经理选择，并说明理由． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$