重庆市南开中学2025-2026学年高二上学期数学周考三试题(9.21)

重庆南开中学高2027级高二（上)数学周考三9.21 本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.若直线x-2y+1=0与直线(a-1)x+ay-1=0平行，则a=(） A.0 B.}或0 c D.1 2.设R,E为椭圆C:号+少=1的两个焦点，点P在C上，若P所P所=0，则P听HP阳F() A.0 B.1 C.2 D.4 3.已知圆C与直线1：x-y+1=0和12：x-y+5=0都相切，且圆心在y轴上，则圆C的方程为() A.x2+0y+3)2=8B.x2+0y+3)2=2C.x2+0y-3)2=8D.x2+(y-3)2=2 4.已知直线：(m-2)x+y-4m+5=0,圆C:x2+y2-6x-4y+4=0,直线1与圆C交于M,N两点， 则弦长|MNI的最小值为() A.2W79 B.万 C.79 D.27 5.设O为坐标原点，F,B为椭圆C:亡+上=1的两个焦点，点P在C上，cos∠EP5=, 96 则 |OP=() A.30 B.35 C.3 D.14 2 2 5 5 6.在△AC中，4C-B,D为边BC上-点，满足BD=2DC,以4，D为 焦点作一个椭圆G,若G经过B,C两点，则G的离心率为() A B 3 D.2 2 7.已知5，B是椭圆C:+二=1的左、右焦点，P是C上第一象限内一点，∠FP5的平分线1经 43 过点MCG,O),则△PFB的面积为( ) :2 3 B.2 C. 2 D.3 第1页（共4页） 8。如图。4，B分别是椭圆C若+茶=a>6>0的左、右顶点，点P在以加 为直径的圆O上（点P异于A,B两点），线段AP与椭圆C交于另一点O,若 B 直线BP的斜率是直线BQ的斜率的4倍，则椭圆C的离心率为() A.5 C. 3 D. 3 3 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知椭圆C:+二=1的左、右焦点分别为F,F,直线1与椭圆C交于M,N两点，且点PL,D 62 为线段MN的中点，则下列说法正确的是( A.椭圆C的离心率为y6 B.△PFE的面积为1 C.直线1的方程为x+3y-4=0 D.1Mw=2 3 已知c号 =1a>b>0)的左，右焦点分别为R,R,高心率e=,过点片的直线1与C 交于A,B两点，且△ABE的周长为8，则下列说法正确的是() A.C的方程为父+上= B.若|AEI-|AE=1,则△AFF,是直角三角形 42 C.使得△ACR为直角三角形的1共有4条D.若5=25B,则1的斜率为±5 2 11.双纽线，也称伯努利双纽线，伯努利双纽线的描述首见于1694年，雅各布·伯 努利将其作为椭圆的一种类比来处理，椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点 的轨迹，而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹，当此定 F O 值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线.已知曲线C(如图所 示)过坐标原点O,且C上的点Px,y)满足到两个定点F(-a,0),F(a,0(a>0)的距离之积为4， 则下列结论正确的是() A.a=2 B.点M(x,1)x>0)在C上，则1ME上2√瓦 C点N在椭圆+之=1上，若NLN,则NEd D.过F,作x轴的垂线交C于A,B两点，则|ABK2 第2页（共4页） 第Ⅱ卷 (非选择题) 三、填空题：本大题3个小题，每小题5分，共15分.各题答案必须填写在答题卡上相 应位置（只填结果，不写过程)· 12.焦点在y轴上的椭圆r+上=1的离心率为5 ,则m的值为 B设椭图E:若+茶=1>b>0的一个些点为FB0,42同)为E内点，若E上有在一点M, 使得MA+MF=10,则椭圆E离心率的取值范围是· 14.已知椭圆C:上+ 子+3=1(a>b>0)的左、右焦点分别为E,E,圆0：x2+y2=a2-b2与C在第 象限内交于点A,直线与C的另一个交点为B,若=4，则直线A的斜率为一· BF2 四、解答题：本大题5个小题，共77分.各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的 文字说明、演算步骤或推理过程)· 5,3分)已知椭圆M号+a>b>0)的长箱长是短轴长的2倍，且M经过点O (1)求M的方程： ②)若直线y=x+)与M交于A,B两点，求AB 16.15分)如图，在四边形A8CD中，月=行4B=5,△18C的面积为35 (1)求∠ACB的大小： (2)若BC1CD,∠ADC=妥，求AD的长. 第3页（共4页） 17.(15分)在如图所示的几何体中，直线PD⊥底面ABCD,MA//PD,底面ABCD是正方形，E, F,G分别为MB,PC,PB的中点，AD=PD=2 (1)求证：平面EFG//平面ADPM: (2)求直线PB与平面EFG所成角的正弦值. G M D 18.(17分)已知直线1：y=x+b与圆O:x2+y2=1相切. (1)求k2-b2的值： 2已知椭圆E:女+上=1. 43 ()设点P(飞，)在椭圆E上一点，求证：过点P的椭圆E的切线方程为+=1： 43 ()若直线I与椭圆E相交于A,B两点，分别过A,B作椭圆E的切线，两条切线相交于点Q,求点 Q的轨迹方程 19.（17分)在平面直角坐标系0中，已知R,6是椭圆C手+茶=0>b>0的左右焦点，以F5 为直径的圆和椭圆C在第一象限的交点为G,若三角形GFE,的面积为1，其内切圆的半径为2-√5. (1)求椭圆C的标准方程： (2)若点B是椭圆C的上顶点，过点P(2,1)的直线I与椭圆C交于M,N两点，其中点M在第一 象限，点N在x轴下方且不在y轴上，设直线BM,BN的斜率分别为k,k· ()若kk2=(k+k),求出的值： (i)设直线BM与x轴交于点T,求△BNT的面积S的最大值. 第4页（共4页）重庆南开中学高2027级高二（上)数学周考三9.21 参考答案 一、选择题， 1-4:CCDD 5-8:ACAC 9.AC 10.BD 11.ACD 二、填空题 12.4 13.2se Γ4 4时 8.解：设直线BQ的斜率为k,则直线BP的斜率为4k,又易知AP⊥BP,:.直线4P的斜率为- 4k 即直线4Q的斜率为-，设0mm,则m+片 4k 2+2=1n2=b(a-m)又A(-a,0),B(a,0), a2 三二=4椭圆C的离心率为■ .c. 11.解：因为C上的点P(x,y)满足到两个定点F(-a,0),F(a,0(a>0)的距离之积为4， 所以PEPF4,即Vx+a)2+y2.Vx-a2+y2=4, 对于选项A:因为曲线C过原点O,将O0,0)代入，解得a=2,故选项A正确： 对于选项B:因为点M(x,1)x>0)在C上，所以MF ME,上V(x+22+1][(x-22+1]=4, 整理得x-6x2+9=0,解得x=V5,M=√5+2)+1≠2√2，故选项B错误： 于选项C:易知椭圆女+1的焦点坐标怡好为2,0与520)，所卫 1ENI+1EN=26,因为FN⊥FN,所以1ENP+1FNP=16,则 IEN-ENEOENI+END-0FN+EN=4,NEC,故选项C正确： 2 府于选项D:设42，，此时BE2V,因为AEC,所以四A叶，由勾股定理得 45=16+y2,此时16=16+y,整理得y+16y2-16=0,解得y=45-8,-1=4W5-9<0, 则|yk1,|ABK2,故选项D正确.故选：ACD. 14.解：若=4，设1B5,上d,则1A5=4d,由椭圆的定义可得185卡2a-d,A5上2a-4d, IBF 故|ABAF|+|BF=2a-3d,由圆的直径所对的圆周角为直角，可得AB⊥AE,故 4B+4B5,即2a-3d+16d2=2a-d},化为a=3d,则am∠aB5=5-6d-4d_1 AF 4d2 故直线的斜率为}，故答案为：2 1 15.解：(1)因为椭圆M经过点(0,1)，所以b=1,因为椭圆M的长轴长是短轴长的2倍， 第1页（共4页） 所以2a=2x2b=4,解得a=2,则M的方程为+P=1: (2)不妨设A(x,片)，B(x2,),联立 消去y并整理得5x2+4r-3=0, 4+2=1 由韦达定理得+=行=子则8+F1-%+及G+P-43 4 .3 -+V-4x-2国 5 16.解：1根据题盒，在Bc中，Sc4 B-Csin∠4C-5-6Cn子-3，解得BC=5, 34 所以B=BC,∠AC8=∠C4B,结合∠B-,可得乙4CB=若： (2)由BC1CD，得∠ACD号，在AMBC中，由余弦定理，得 AC2=4B+BC-24B-BCos2=W+(W-25.5.(=9,解得4C=3,在A4CD中，由 3 sm∠ADCsin乙CD'所以AD=4Csm∠4cD_3s 正弦定理，可得，4C。AD 3-36. sin∠ADC sinπ21 17.解：(1)证明：：G,F分别为PB,PC的中点.∴.GF/1BC, :BC//AD,∴.GF/IAD,GFt平面ADPM,ADC平面ADPM, :GF//平面ADPM, 同理可证GEII平面ADPM,GF∩GE=G,GF、GEc平面EFG .平面EFG//平面ADPM. (2)PD⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,∴.PD⊥AB, 又AD⊥AB,PD∩AD=D,AB⊥平面ADPM, 连接PA,则∠APB为直线PB与平面ADPM所成的角， :AD=PD=2,.BD=√AD2+AB2=V22+22=2W2,PB=√PD2+DB2=V2+(22)=2√3， 血B船是-5由知平面G学面A0PM,:直线B与面EC所 成的角与PB与平面ADPM所成的角相等，∴直线PB与平面EFG所成角的正弦值为5 18.【详解】(1)由直线1与圆0相切，可得圆心0到直线1的距离d= +农=L,即2-=-1： [y=kx+t （2)(①当切线斜率存在时，其方程可设为y=+,由三+兰-1整理得 043 (3+4k2)x2+8+4-3)=0,则△=(8k)-16(3+4k2)(-3)=0,则2=3+4k2此时方程的根为 第2页（共4页） -8H 4k 23+4四 7，则切点横坐标5=-“ 切点数坐标点12则=之，人=4= 1 3x0 tt % 4y% 则切线方程为y=-3弧x+ 4y +元，整理得华+=1， 43 当切线斜率不存在时，其切点为2,0)或(-2,0)，切线方程为x=士2，满足+。=1. 43 综上，点P(,%)是椭圆C上一点时，过点P的椭圆C的切线方程为女+=1 43 (i)解法1：设A(x,y),B(x,2),Q(x,),，由(i)可知椭圆E在点A(x,乃)处的切线AQ方程为 等+号=-1又因为点0化)在切线40上，可得宁+学=10.同理可得宁+学=1@， 3 4 3 4 3 由①②，可知4A(,y),B(,)都在直线￥+Y=1上，即直线AB方程为￥+=1③， 43 43 =1 因为圆O与直线AB相切，所以点O到直线AB的距离 所以空+公=1，由于点Q(x,)具有任意性，故点Q的轨迹方程为二+上=10≠0) 16 9 169 解法2：设A(X,y),B(飞，)，Qx,),由（①）可知直线Q4方程为+=1①，直线QB方程为 43 号+号-1@.由0x-②x,得华-k=5-x=4 43 44 XV2-x2y 又5=低+)-x(%+6)=b(6-),x=》_4k b(:-x2)b1 由0-@，得5二3x+4,上y=0,:+g=0,则y= 3 3 4 3 4 3 4= b 所以目-片-1，故点Q的轨造方程为名+苦=00 19.解：（①）由题意知∠RG=90,则S5=G5G5F1,所以1G5G5F2, GF+GF P=FF P=4c2,(GF+GE D2-2GFIIGF =4c2, 所以-4=，即6-c心-1，又-82=2-5，a+e=2+5,a-c=2-5. 解得a=2c=5.6=1,所以椭圆C的方程为号+广=1 (2)设直线1的方程为y-1=kx-2),其中>，且k1,即y=-2k+1,联立方程组 4 第3页（共4页） y=kx-2k+1 任*r ,整理得(42+1)2-6k2-8k)x+16k2-16k=0,设直线1与椭圆C交于点MG,y), N,,所以x+5=16k-8歇 16k2-16k 42+15= 4k2+1 回因为6=低+)，所以+长_1+1， 元kkkk 花点点产两点司 又+1+ 。x 16k2-16k16k2-8k -8k =2.5-出+)。2x-(x+x) 2 4状+-4+1=2.4+1=4，即 kG-2G-2k6-20G+)+4k16k-16k-2x16k-8然+4k,4 4k2+1 4k2+1 4k2+1 4= 网直线v的方程为y=6+1,令y0,得=名故八天0， k 线BN与r轴交于点Q,直线BN的方程为ykx+1,y=0,得x三6，故Q(万 y=k2x+1 联立方程组{x2 a+少2=1’3理得(4k2+1)x+8k2x=0, 解得x= 4K+1 或0（舍），=k5+=41日坡+产 -+ 1,8k 由()可知， 4,故+代入上式，所以S4城2按时 4+1 因为点N在x轴下方且不在y轴上，故：<-或k≥{，得2+上>0， 1 s-e定4÷：0论 4+1 显然，当k<时，5=40+ k2-1 4k+1 <4,当k>2时，S=4+ 2k2-1 >4, 43+1 故只需考虑人>2令1=2k3-1,则1>0， 所以S=41+ 1 =40+2)≤40+ +102+ 2 一)=22+2，当且仅当1=21=5，即 2,t.二+2 V t 飞=万，+1时，等号成立，所以△BN7的面积的最大值为25+2. 2 第4页（共4页）