专题02 绝对值的性质与几何意义9大题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材冀教版

专题02 绝对值的性质与几何意义（含最值问题） 题型1 绝对值非负性的应用 题型6 已知范围的绝对值化简 题型2 两个绝对值的和的最值 题型7 未知范围的绝对值化简 题型3 两个绝对值的差的最值 题型8 绝对值化简的新定义问题 题型4 多个绝对值的和的最值 题型9 绝对值化简问题综合 题型5 绝对值中最值问题的应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 绝对值非负性的应用（共6小题） 绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 1．（24-25七年级上·河北沧州·期中）若，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 2．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）已知c是最小的正整数，若，则的值是（    ） A． B．3 C． D．5 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）若，则（    ） A． B．36 C．1 D． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则 ． 5．（24-25七年级上·河北承德·期中）若，则 ． 6．已知与互为相反数，与互为倒数． (1)求，的值； (2)当时，求的值． 题型二 两个绝对值的和的最值（共6小题） 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 7．（24-25七年级上·河北沧州·期中）综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （）数轴上表示和两点之间的距离是_______；数轴上表示和的两点之间的距离是_______； 【独立思考】： （）数轴上表示和的两点之间的距离表示为_______； （）试用数轴探究：当时的值为_______． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （）利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）阅读下面材料： 在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与3所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离． 回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是___________；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为___________；数轴上表示数___________和___________的两点之间的距离表示为； (2)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你借助数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，求的值； ②要使，请你求出数轴上表示点的数x的值． 9．（24-25七年级上·河北唐山·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值；的最小值是多少，这时候的取值范围． 10．（24-25七年级上·河北保定·期中）阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．可以表示5与之差的绝对值．也可以理解为5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)表示数轴上4与___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离，表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数，使得请直接写出这样的整数的值：_________________________________． (4)利用绝对值的几何意义，求出的最小值． 11．（24-25七年级上·河北承德·期中）综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________；数轴上表示3和的两点之间的距离是________； 【独立思考】： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为________； （3）试用数轴探究：当时m的值为________． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 12．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，在的右边，且与的距离是，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数______，与点的距离为的点表示的数是______． (2)点表示的数______（用含的代数式表示）；点表示的数______，（用含的代数式表示）． (3)假如先出发秒，请问点总运动时间为何值时，相距个单位长度？ (4)若点是数轴上一点，是否存在整数，使得的值最小？如果存在，请写出最小整数；如果不存在，请说明理由． 题型三 两个绝对值的差的最值（共5小题） 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 13．当 时，的值最大，最大值为 ． 14、我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离． 提出问题： 有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？ 探究问题： 探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0． 当b＝2时，，如图1所示； 当b＝－3时，，如图2所示； 由此可以推断当b＝n时，______． 探究二： 如果A，B两点都不在原点，即，． （1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示： ； （2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：； （3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______． 解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示） 实际应用： （1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______； （2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______． 拓展延伸： 结合数轴回答下列问题： （1）的最小值是______； （2）的最大值是______． 15、学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 16、阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： a.；b.；c.． 从而化同代数式可分以下3种情况： ①当对，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式， 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)化简代数式． (2)求的最大值． 17、已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）； (3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值； (4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？ 题型四 多个绝对值的和的最值（共6小题） 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 18．（24-25七年级上·河北承德·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 19．（24-25七年级上·河北保定·期中）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 20．（24-25七年级上·河北唐山·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_______；数轴上表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于． (2)若数轴上的点表示的数，求的最小值； (3)若数轴上的点表示的数，当的最小值为10（为常数），求的值． 21．（24-25七年级上·河北承德·期中）舟岱跨海大桥建成于年，全长千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最．舟岱跨海大桥上三座索塔与桥面的交点为，，，与，与之间的距离均为米，如图所示．若以点为原点，向右为正方向，取千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题：    (1)、两点在数轴上所表示的数分别是 、 ．它们是一对（   ） A． 互为倒数   B．互为相反数 (2)道路养护车甲从点出发，沿着数轴向左行驶，速度为千米/小时．同时，道路养护车乙从点出发，向右行驶，速度为千米/小时． ①当行驶小时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示． ②当分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离． (3)在（2）的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用、表示．养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶．若养护车丙在数轴上所表示的数为，问：与、两点距离之和最小时，对应的应满足的条件为_____． (4)拓展应用： 试求出 取得最小值时，应满足的条件是什么？其最小值为多少？． 22．（24-25七年级上·河北沧州·期中）[教材复习题1变式]教材上有这么一段话“若，分别是有理数，在数轴上对应的两点，我们就把，叫作，的一维坐标．一般地，称为点与点之间的距离．” (1)对照数轴，填写下表： 6 2 4 0 A，B两点的距离 (2)请说出和的意义； (3)求的最小值； (4)当的值最小时，求x的值． 23．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 题型五 绝对值中最值问题的应用（共3小题） 24．定义： 若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． 理解： （1）数轴上表示数和5的两点之间的距离是_____（用含的代数式表示）； （2）若，则的值为_____； （3）若，则的值为_____； （4）当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆，8辆，4辆，12辆．为了使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动若干辆车．请你设计3种不同的调动车辆方案，使得调动车辆的总数最少，并直接写出调动的最少车辆数． 25．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】 如图，数轴上，点A，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】 如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 26．（24-25七年级上·河北唐山·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)探究： ①数轴上表示5和2的两点之间的距离______． ②数轴上表示和的两点之间的距离是______． ③数轴上表示和4的两点之间的距离是______． (2)归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于______． (3)应用： ①若数轴上表示数的点位于与3之间，则的值______． ②若表示数轴上的一个有理数，且，则______． ③若表示数轴上的一个有理数，的最小值是______． ④若表示数轴上的一个有理数，且，则有理数的取值范围是______． (4)拓展： 已知，如图2，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．若当电子蚂蚁从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点所表示的数． 题型六 已知范围的绝对值化简（共7小题） 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 27．（24-25七年级上·河北沧州·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A． B． C． D． 28．有理数表示的点在数轴上的位置如下图所示，则化简的结果为 ． 29．已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ． 30．（24-25七年级上·河北承德·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1)判断，______，______，______． (2)化简． 31．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图． (1)____0，____0， ____0；（请用“”或“”填空） (2)化简： 32．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知有理数 a、b、c 在数轴上的对应点如图所示，且． (1)用 “<” 连接 a、b、c； (2)化简：． 33．（24-25七年级上·河南信阳·期中）有理数、、在数轴上的位置如图， (1)判断正负，用“”或“”填空： ， ， ． (2)化简： 题型七 未知范围的绝对值化简（共6小题） 34．若则的值为（        ） A． B．4或0 C． D．或0 35．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知，，为非零的实数，则的可能值的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 36．（24-25六年级上·上海·期中）如果有理数、、满足，那么 ． 37．已知、、均为不等于0的有理数，则的值为 ． 38．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 39．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）的值是 ． 题型八 绝对值化简的新定义问题（共6小题） 40．（24-25七年级上·江西赣州·期中）已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，将A、B之间的距离记作，定义，若，设点P在数轴上对应的数是x，当相差2时，则x的值为 ． 41．对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如：两点表示的数如图1所示，则 (1)两点表示的数如图2所示． ①两点的绝对距离等于 ___________； ②若为数轴上一点（不与点重合），且则点C表示的数是 ___________； (2)为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ___________． 42．（2024七年级上·北京·期中）定义：已知点A、B在数轴上分别表示有理数x、y，A、B两点到原点的距离之和叫做两点之间的原点距，记作d，容易知道原点距．例如：有理数2，，它们在数轴上所代表的点之间的原点距． (1)若A，B两点的原点距为3，且点A代表的数为1，则点B代表的数字为___________； (2)若A点代表的数字为，B点代表的数字为，则之间的原点距为___________． 43．（24-25七年级上·福建厦门·期中）对于有理数、，定义一种新运算“”，规定 (1)计算的值． (2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 44．（24-25六年级上·山东东营·期中）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上数x所在的点与原点的距离，那么当数轴上P，Q两点表示的数分别为时，点P，Q之间的距离（P，Q两点之间的距离用表示）． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上点A，B表示的数分别是，10，点M是数轴上一个动点，表示数m． (1) 个单位长度； (2)式子表示的意义为 ． 45．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期中）如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 题型九 绝对值化简问题综合（共8小题） 46．（24-25七年级上·陕西安康·期中）如图，点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，．例如：数轴上表示与的两点之间的距离；而，所以是表示与的两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是_____________； (2)数轴上点表示的数满足，那么____________； (3)若数轴上点表示的数满足，求的值； (4)七年级学习小组在陈老师的指导下，对式子进行探究，他们先在纸上画出数轴，当数所对应的点在与之间移动时，得出结论：的值总是一个固定的值．这个结论正确吗？请说明理由． 47．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 48．（24-25七年级上·四川成都·期中）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： (1)应用一：已知点在数轴上表示数为，数轴上的任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______；应用这个知识，请直接写出当______时，的最小值为______． AI   (2)应用二：从数轴上取下一个单位长度的线段，第一次剪掉原长的，第二次剪掉剩下的，依次类推，每次都剪掉剩下的，则剪掉5次后剩下线段的长度为______；应用这个原理，请计算：．    (3)应用三：如图，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为，，的三角形的顶点与原点重合，边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上，负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上． ①如果正半轴的线缠绕了5圈，负半轴的线缠绕了3圈，求绕在点C上的所有数字和； ②如果正半轴的线不变，将负半轴的线拉长一倍，即原线上的点的位置对应着拉长后的数，并将三角形向正半轴方向平移一个单位后再开始绕，求绕在点B且绝对值不超过100的所有数之和． AI   49．（24-25七年级上·河南商丘·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (1)当时，的最小整数值是__________； (2)若，那么的最小值是__________； (3)若，那么的最小值是__________，此时为_________； (4)的最小值是__________． 50．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． (1)直接写出，的值：______；______； (2)若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； (3)我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 51．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在数轴上，把原点记作点，表示数的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点、点重合），将线段与线段的长度之比定义为点关于点的幸福值，记作，即，例如：点表示的数为1，点表示的数为3，因为，，所以． (1)当点是线段的中点时，点关于点的幸福值_______； (2)若点表示的数为，点表示的数为3，点关于点的幸福值_______； (3)若点表示的数为2，点表示的数为，点关于点的幸福值，求点表示的数； (4)若点表示的数为，点表示的数为，，则点关于点的幸福值_______； (5)如图，点表示，点表示5，为原点，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（表示数的点在，之间，在，之间），运动时间为，表示数的点为，之间一点，且点是的中点，若，运动过程中总为一个固定的值，则_______． 52．（24-25七年级上·江苏南京·期中）“距离”再探究． 【概念理解】 （1）数轴上，点A、B表示的数分别是、2，则A、B两点之间的距离可以表示为 ． A．  B．  C．  D． 【数学思考】 （2）数轴上，点C、D、E表示的数分别是2、4、10．P是数轴上的动点，设点P表示的数是x． （Ⅰ）点P到C、D两点的距离之和的最小值为 ； （Ⅱ）填写表格，并回答问题： x … 3 4 5 6 … 点P到C、D、E三点的距离之和 … ① ② 9 10 … 当 时，取最小值． 【实际应用】 （3）如图，在一条笔直的道路l上分别有A、B、C、D四个停车场．为满足充电需要，在道路l上修建一个充电站P．已知A、B、C、D四个停车场分别有辆，辆，辆，6辆电动车需要充电，其中m为正整数．请问充电站P建在道路l上何处时，四个停车场中的所有电动车到充电站P的距离之和最小？并简要说明理由．（在停车场内移动的距离忽略不计）． 53．（24-25七年级上·江西九江·期中）我们知道：表示数轴上，数a的点到原点的距离．爱动脑筋的小明联系绝对值的概念和“”，进而提出这样的问题：数轴上，数a的点到数1点的距离，是不是可以表示为？小明的想法是否正确呢？让我们一起来探索吧！ 实验与操作： （1）已知点A、B在数轴上分别表示a、b．填写表格． a 2 －3 4 －1 … b 6 0 －1 5 … A，B两点之间的距离 4 3 … 观察与猜想： （2）观察上表：猜想A、B两点之间的距离可以表示为 （用a、b的代数式表示）． 理解与应用： （3）动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动．运动到3秒时，两点相距15个单位．已知动点A、B的速度之比是（速度单位：1个单位长度/秒）． ①求两个动点运动的速度； ②A、B两动点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置； ③若A、B两动点分别从②中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动速度不变，运动方向不限．问：经过几秒后，A、B两动点之间相距5个单位长度． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 绝对值的性质与几何意义（含最值问题） 题型1 绝对值非负性的应用（常考点） 题型6 已知范围的绝对值化简（重点） 题型2 两个绝对值的和的最值（重点） 题型7 未知范围的绝对值化简（重点） 题型3 两个绝对值的差的最值 题型8 绝对值化简的新定义问题（难点） 题型4 多个绝对值的和的最值（重点） 题型9 绝对值化简问题综合（难点） 题型5 绝对值中最值问题的应用 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 绝对值非负性的应用（共6小题） 绝对值的非负性 对于任何一个有理数a，我们都有. （1）若几个非负数的和为0，则每个加数分别为0； （2）绝对值是某个正数的数有两个，且它们互为相反数. 1．（24-25七年级上·河北沧州·期中）若，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的非负性，平方的非负性及乘方的运算，根据非负式子和为0，它们分别等于0,求出，代入求解即可得到答案； 【详解】解：∵，，， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：A． 2．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）已知c是最小的正整数，若，则的值是（    ） A． B．3 C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性、代数式求值，求出a、b的值是解决问题的关键． 【详解】解：∵c是最小的正整数， ∴， ∵， ∴，， 即，， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级上·河北邯郸·期中）若，则（    ） A． B．36 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查非负性，根据绝对值和偶次方的非负性求出的值，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 4．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了绝对值的性质，偶次方的非负性，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0．直接利用绝对值的性质得出的值，进而得出答案． 【详解】解：∵， 故答案为：． 5．（24-25七年级上·河北承德·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】根据绝对值和平方的非负性，求得，即可求解． 【详解】解：由，可得，， 解得，， ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了绝对值和平方的非负性，解题的关键是正确求得． 6．已知与互为相反数，与互为倒数． (1)求，的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了相反数、倒数的定义，非负性．熟练掌握非负数的和为，则每个非负数均为是解题的关键． （1）根据相反数、倒数的定义求解即可，“只有符号不同的两个数互为相反数，相乘等于的两个数互为倒数”； （2）根据绝对值以及平方的非负性，求得、的值，即可求解． 【详解】（1）解：与互为相反数，与互为倒数， ，； （2），，， ， ，， 解得：，， ． 题型二 两个绝对值的和的最值（共6小题） 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离和的最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 无法确定 当时 的值为定值，即为 当 无法确定 结论：式子在时，取得最小值为. 7．（24-25七年级上·河北沧州·期中）综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，在数轴上两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （）数轴上表示和两点之间的距离是_______；数轴上表示和的两点之间的距离是_______； 【独立思考】： （）数轴上表示和的两点之间的距离表示为_______； （）试用数轴探究：当时的值为_______． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （）利用数轴求出的最小值，并写出此时可取哪些整数值？ 【答案】（）；；（）；（）或；（）最小值为，可取的整数为． 【分析】（）用大数减小数便可求得两点的距离； （）根据定义用代数式表示即可； （）根据绝对值的意义解答便可； （）由式子表示到与到的距离之和，可知当时，两距离之和最小，据此即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的意义，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． 【详解】解：（）数轴上表示和两点之间的距离是；数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：；； （）数轴上表示和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （）∵， ∴或， ∴或， 故答案为：或； （）式子表示到与到的距离之和， 当时，两距离之和最小，最小值为， ∴可取的整数有． 8．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）阅读下面材料： 在数轴上5与所对的两点之间的距离：； 在数轴上与3所对的两点之间的距离：； 在数轴上与所对的两点之间的距离：； 在数轴上点A、B分别表示数a、b，则A、B两点之间的距离． 回答下列问题：    (1)数轴上表示和的两点之间的距离是___________；数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为___________；数轴上表示数___________和___________的两点之间的距离表示为； (2)七年级研究性学习小组在数学老师指导下，对式子进行探究： ①请你借助数轴，当表示数x的点在与3之间移动时，求的值； ②要使，请你求出数轴上表示点的数x的值． 【答案】(1)3，，x， (2)①5  ②或 【分析】（1）利用距离公式，计算即可； （2）①根据绝对值的意义化简计算即可； ②分，，，求解即可． 【详解】（1）数轴上表示和的两点之间的距离是； 数轴上表示数x和3的两点之间的距离表示为； 数轴上表示数x和的两点之间的距离表示为, 故答案为：3，，x，． （2）①∵， ∴． ②当时，， ∵， ∴， 解得，符合题意； 当时，， ∵， ∴， 解得，符合题意； 当时，， ∵， ∴矛盾，不成立， 故或． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，绝对值的化简，熟练掌握掌握距离公式，正确理解绝对值的特点和意义是解题的关键． 9．（24-25七年级上·河北唐山·期中）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合，研究数轴我们发现了很多重要的规律，如果数轴上点、在数轴上分别表示有理数、，那么、两点之间的距离表示为．例如数轴上表示和的两点之间的距离可表示为． (1)已知数轴上点表示的数为，点表示数为，则线段的长度是______． (2)表示任意一个有理数，利用数轴回答下列问题： 若，求的值；的最小值是多少，这时候的取值范围． 【答案】(1) (2)或；， 【分析】此题考查了绝对值的几何意义，画出数轴数形结合是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离进行计算即可； （2）①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离，表示数轴上和2两点间的距离，然后结合数轴即可得出答案；②同①结合数轴即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，； 故答案为：5； （2）解：①由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为， 数轴上到点E的距离和到点F的距离之和为7的点表示的数是或3， ∴当时，或3； ②由题意知，，表示数轴上和两点间的距离；表示数轴上和2两点间的距离，如图所示： 不妨设点E表示为，点F表示为2，点表示的数为，那么， 当在左边时，； 当在右边时，； 当时，，此时取最小值5． 的最小值是5，这时候的取值范围是． 10．（24-25七年级上·河北保定·期中）阅读下列材料： 经过有理数运算的学习，我们知道可以表示5与3之差的绝对值，同时根据绝对值的几何意义，也可以理解为5与3两个数在数轴上所对应的两点之间的距离．可以表示5与之差的绝对值．也可以理解为5与两个数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)表示数轴上4与___________所对应的两点之间的距离． (2)表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离，表示数轴上有理数所对应的点到___________所对应的点之间的距离． (3)利用绝对值的几何意义，请找出有符合条件的整数，使得请直接写出这样的整数的值：_________________________________． (4)利用绝对值的几何意义，求出的最小值． 【答案】(1)1 (2)5， (3)，，0，1 (4)5 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的性质，掌握以上知识是解题的关键； （1）根据数轴上的两点距离可直接判断； （2）根据数轴上的两点距离可直接进行求解； （3）根据绝对值的几何意义，得出该式表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到1的距离的和为3，进而求解； （4）利用绝对值的几何意义，写出的最小值； 【详解】（1）解：由题意得：表示数轴上4与1所对应的两点之间的距离； 故答案为：1； （2）解：表示数轴上有理数所对应的点到5所对应点之间的距离；表示数轴上有理数到所对应点之间的距离． 故答案为：5，； （3）解：由题意得：表示数轴上有理数所对应的点到的距离和到1的距离的和为3， 又∵， ∴， 又∵为整数， ∴表示的数为：，，0，1． 故答案为：，，0，1． （4）解：由题意得：当时，有最小值，最小值为：． 11．（24-25七年级上·河北承德·期中）综合与实践：【问题情境】数学活动课上，王老师出示了一个问题：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为，在数轴上A、B两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： （1）数轴上表示2和6两点之间的距离是________；数轴上表示3和的两点之间的距离是________； 【独立思考】： （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为________； （3）试用数轴探究：当时m的值为________． 【实践探究】：利用绝对值的几何意义，结合数轴，探究： （4）利用数轴求出的最小值，并写出此时x可取哪些整数值？ 【答案】（1）；   （2）  （3）或  （4），，， 【分析】本题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键． （1）用大数减小数便可求得两点的距离； （2）根据定义用代数式表示； （3）分两种情况：点在的左边；点在的右边；分别列式计算便可； （4）确定与的距离加上与的距离之和最小时，的取舍范围，再在该范围内求整数． 【详解】（1）数轴上表示2和6两点之间的距离是： ； 数轴上表示3和的两点之间的距离是； 故答案为: ； ； （2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为， 故答案为：； （3）表示数的点与表示数的点距离为， 当表示数的点在的左边时，， 当表示数的点在的右边时，， 所以或, 故答案为：或； （4）表示数轴上和两点之间的距离，表示数轴上和两点之间的距离， 当且仅当时，两距离之和最小， ∴可取的整数有:，，，． 12．（24-25七年级上·河北廊坊·期中）如图，已知数轴上原点为，点表示的数为，在的右边，且与的距离是，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)写出数轴上点表示的数______，与点的距离为的点表示的数是______． (2)点表示的数______（用含的代数式表示）；点表示的数______，（用含的代数式表示）． (3)假如先出发秒，请问点总运动时间为何值时，相距个单位长度？ (4)若点是数轴上一点，是否存在整数，使得的值最小？如果存在，请写出最小整数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，或； (2)，； (3)或； (4)． 【分析】（）利用两点间距离公式计算即可求解； （）根据题意，列出代数式即可求解； （）用表示出表示的数，利用两点间距离公式可得关于的一元一次方程，解方程即可求解； （）由，可得当的值最小时，即整数到和的距离之和最小，此时在和之间， 即可求出最小整数； 本题考查了数轴、列代数式、一元一次方程的应用，掌握数轴上两点间距离的计算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：点表示的数为，在的右边，且与的距离是， ∴点表示的数是， ∵，， ∴与点的距离为的点表示的数是或， 故答案为：，或； （2）解：由题意得，点表示的数是，点表示的数是， 故答案为：，； （3）解：由题意得，点表示的数为，点表示的数是， 则， 整理得，， ∴或， 解得或， ∴点总运动时间为或时，相距个单位长度； （4）解：存在，最小整数为． 理由如下：∵， ∴当的值最小时，即整数到和的距离之和最小，此时在和之间， 即时， ∴最小整数为． 题型三 两个绝对值的差的最值（共5小题） 目的是在数轴上找一点x，使x到a和b的距离差的最大值和最小值： 分类情况（的取值范围） 图示 取值情况 当时 的值为定值，即为— 当时 当 的值为定值，即为 结论：式子在时，取得最小值为；在时，取得最大值. 13．当 时，的值最大，最大值为 ． 【答案】 1 5 【分析】分、和三种情况讨论求出，问题随之得解． 【详解】当时，， 即， ∵， ∴； 当时，， 即； 当时，， 即， ∵， ∴， ∴； 综上：，当且仅当时，有最大值，最大值为5， 故答案为：1，5． 【点睛】本题主要考查了绝对值的化简求值，注重分类讨论的思想，是解答本题的关键． 14、我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点到原点的距离，也就是说表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离． 提出问题： 有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么与有理数a，b有怎样的关系？ 探究问题： 探究一：如果A，B两点中有一点在原点，不妨假设A点在原点，即a＝0． 当b＝2时，，如图1所示； 当b＝－3时，，如图2所示； 由此可以推断当b＝n时，______． 探究二： 如果A，B两点都不在原点，即，． （1）当A，B两点都在原点的右侧时，如图3所示： ； （2）当A，B两点都在原点的左侧时，如图4所示：； （3）当A，B两点在原点的两侧时，如图5所示，请你仿照上述探究过程，写出A，B两点之间的距离______． 解决问题：有理数a，b在数轴上对应的点分别记为点A和点B，AB两点之间的距离记为，那么______．（用含有a，b的式子表示） 实际应用： （1）数轴上，表示有理数－6和－1的两点之间的距离是______； （2）数轴上，表示x和2的两点P和Q之间的距离是5，则x＝______． 拓展延伸： 结合数轴回答下列问题： （1）的最小值是______； （2）的最大值是______． 【答案】探究一：n；探究二（2）；（3）；解决问题：；实际应用（1）5；（2）7或；拓展延伸（1）4；（2）9 【分析】探究一：根据绝对值的概念可得； 探究二（2）根据绝对值的概念计算即可； （3）根据绝对值的概念计算即可； 解决问题：根据绝对值的概念计算即可； 实际应用（1）根据绝对值的概念计算即可； （2）根据绝对值的概念列方程解答即可； 拓展延伸（1）根据绝对值的概念计算即可； （2）根据绝对值的概念计算即可． 【详解】探究一：当b＝n时，， 故答案为：n； 探究二：（2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； 解决问题：， 故答案为：； 实际应用（1）有理数－6和－1的两点之间的距离是， 故答案为：5； （2）∵表示x和2的两点P和Q之间的距离是5， ∴， ∴或， 得或， 故答案为：7或； 拓展延伸（1）从数轴上可以看出，当x位于到1之间时它们的距离和最小，最小值为4， ∴的最小值是4， 故答案为：4； （2）从数轴上可以看出，当x位于到5之间时它们的距离差最大，最大值为9， ∴的最大值是9， 故答案为：9． 【点睛】此题考查了绝对值概念的理解，解题的关键是要注意负数绝对值的计算方法． 15、学习了绝对值我们知道，，用这一结论可化简含有绝对值的代数式．如化简代数式时，可令和，分别求得和，我们就称和分别为|和|的零点值在有理数范围内，零点值，可将全体有理数分成不重复、不遗漏的五个部分，可在演草本上画出数轴，找到对应的部分然后进行分类讨论如下： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； ④当时，原式； ⑤当时，原式． 综上所述，原式，以上这种分类讨论化简方法就叫零点分段法，其步骤是：求零点、分段、区段内化简、综合，根据以上材料解决下列问题： (1)化简代数式； (2)的最大值是 ．（请直接写出结果） 【答案】(1)原式 (2) 【分析】（1）根据零点分段法和绝对值的性质，分，，计算即可； （2）分别求出当，时式子的最值，即可得出结果； 【详解】（1）当时，原式； 当时，原式； 当时，原式； 综上所述：原式； （2）当时，原式的最大值； 当时，原式的最大值； ∴的最大值为． 故答案是． 【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的性质，分类讨论是解题的关键． 16、阅读下面材料并解决有关问题： 我们知道，现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式， 如化简代数式时，可令和，分别求得（称-1，2分别为与的零点值）．在次数范围内，零点值和可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况： a.；b.；c.． 从而化同代数式可分以下3种情况： ①当对，原式； ②当时，原式； ③当时，原式． 综上讨论，原式， 通过以上阅读，请你解决以下问题： (1)化简代数式． (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)2． 【分析】（1）零点值x=-2和x=4可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：、和．分该三种情况找出|x+2|+|x-4||的值即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值． 【详解】（1）分以下3种情况： ①当时，原式； ②当时，原式； ③当时，原式； 综上讨论，原式 ； （2）当时，原式， 当时，原式，， 当时，原式， 则的最大值为2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了含绝对值的代数式化简问题，注意读懂题目的解答，以及分类思想的运用． 17、已知在数轴上点，分别表示有理数，． (1)仔细阅读表格并对照数轴填空： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 (2)写出数轴到表示6和的点的距离之和为12的所有点所表示的整数（除6和外）； (3)若点表示的数为（除6和外），则在什么范围内时，的值总是一个固定值，并求出这个固定值； (4)若点表示的数为，直接写出的最大值；当点在什么位置时，的值最小？最小值多少？ 【答案】(1)填表见解析； (2)； (3)当，的值总是一个固定值，为； (4)的最大值为，当时，的值最小，最小值为3． 【分析】（1）用较大的数减较小的数或作差加绝对值即可； （2）根据数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值即可得到答案； （3）读懂表示到和的距离之和，该问需要进行分类讨论； （4）根据可表示为到表示和1的点的距离之差最大，根据表示到和的距离之和最小，即可求解． 【详解】（1）解：填表如下： 8 5 4 0 ，两点间的距离 4 8 4 15 3.5 （2）解：到表示6和的点的距离之和为12的点所表示的整数在和之间的整数有；； （3）解：根据的几何意义是，到的距离之和， 如果值总是一个固定值，则， 这个固定值为：； （4）解：当时，， 当时，， 当时，， 故的最大值为； 根据可表示为到表示1和的点的距离之和，根据两点之间，线段最短， 即当时 得到的值最小为3． 【点睛】本题考查了数轴：数轴和绝对值的综合应用，数轴上两点之间的距离为两点所表示的数的差的绝对值． 题型四 多个绝对值的和的最值（共6小题） 最小值规律： ①当有两个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点在数，的点的中间； ②当有三个绝对值相加： 若已知，的最小值为，且数的点与数的点重合； ③当有（奇数）个绝对值相加： ，且，则取中间数，即当时，取得最小值为； ④当有（偶数）个绝对值相加： ，且，则取中间段， 即当时，取得最小值为. 18．（24-25七年级上·河北承德·期中）观察下列几组数在数轴上体现的距离，并回答问题： （1）探究： 你能发现：3与5在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；4与在数轴上的对应点间的距离可以表示为：；根据以上规律填空． ①数轴上表示6和3的两点之间的距离是 ． ②数轴上表示和的两点之间的距离是 ． ③数轴上表示和2的两点之间的距离是 ． （2）归纳： 一般的，数轴上表示数a和数b的两点之间的距离等于． （3）应用： ①如果数m和4两点之间的距离是6，则可记为：，求m的值． ②若数轴上表示数m的点位于与4之间，求的值． ③当m取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由． 【答案】（1）①；②；③；（3）①；②；③当时，的值最小，最小值为． 【分析】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离，掌握相关知识是解题的关键． （1）①根据两点间的距离公式即可求解； ②根据两点间的距离公式即可求解； ③根据两点间的距离公式即可求解； （3）①根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ②根据两点间的距离公式和绝对值的意义即可求解； ③根据线段上的点到线段两端点的距离和最小即可求解． 【详解】解：（1）①数轴上表示6和3的两点之间的距离是， 故答案为：； ②数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； ③数轴上表示和2的两点之间的距离是， 故答案为：； （3）①， 解得：； ②∵数轴上表示数m的点位于与4之间， ∴， ∴ ； ③，表示点到三点的距离和， ∴当时，点到三点的距离和最小，即的值最小， ∴， ∴当时，的值最小，最小值为． 19．（24-25七年级上·河北保定·期中）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； (4)求代数式的最小值为 ． 【答案】(1)5 (2) (3)43或7 (4)504 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点间距离公式： （1）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （2）根据数轴上两点间距离公式即可求解； （3）表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18，由此可解； （4）先计算的最小值，结合数轴，可得的最小值为． 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：， 故答案为：5； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：， 故答案为：； （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或， 故答案为：43或7； （4）解：当时，有最小值， 且， 最小值为， 所以， 当时，等号成立， 所以的最小值为：504． 故答案为：504． 20．（24-25七年级上·河北唐山·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： (1)数轴上表示1和4的两点之间的距离是_______；数轴上表示和2两点之间的距离是_______；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如数轴上表示数与数5两点之间的距离等于． (2)若数轴上的点表示的数，求的最小值； (3)若数轴上的点表示的数，当的最小值为10（为常数），求的值． 【答案】(1)， (2)6 (3)或 【分析】本题考查了绝对值在数轴上的应用，关键判断正负去掉绝对值符号． （1）直接用两数相减的绝对值求出两点的距离； （2）根据a的大小判断出绝对值符号里面结果的正负，再去掉绝对值符号求值； （3）根据a的取值范围结合数轴解答即可． 【详解】（1）解：数轴上表示4和1的两点之间的距离是， 数轴上表示和2两点之间的距离是； （2）解：当数轴上表示数的点位于表示数与2两点之间时（包括这两点），的值为6； 当数轴上表示数的点在表示数2的点的右边时，的值大于6； 当数轴上表示数的点在表示数的点的左边时，的值大于6； 所以的最小值为6； （3）解：当时，的最小值为6，不合题意，舍去； 当时，要使的最小值为10，结合数轴可得； 当时，要使的最小值为10，结合数轴可得； 综上所述或． 21．（24-25七年级上·河北承德·期中）舟岱跨海大桥建成于年，全长千米，桥梁主跨径创外海桥梁世界之最．舟岱跨海大桥上三座索塔与桥面的交点为，，，与，与之间的距离均为米，如图所示．若以点为原点，向右为正方向，取千米为单位长度画数轴，那么请解决以下问题：    (1)、两点在数轴上所表示的数分别是 、 ．它们是一对（   ） A． 互为倒数   B．互为相反数 (2)道路养护车甲从点出发，沿着数轴向左行驶，速度为千米/小时．同时，道路养护车乙从点出发，向右行驶，速度为千米/小时． ①当行驶小时，甲车和乙车在数轴上表示的数分别是多少？试用代数式表示． ②当分钟时，甲、乙两车同时停止，试求出两车的距离． (3)在（2）的条件下，将甲、乙两车停止时的位置标上记号，分别用、表示．养护车丙进行协助工作，沿着数轴方向，自左向右行驶．若养护车丙在数轴上所表示的数为，问：与、两点距离之和最小时，对应的应满足的条件为_____． (4)拓展应用： 试求出 取得最小值时，应满足的条件是什么？其最小值为多少？． 【答案】(1)、，B (2)①甲：；乙：；②千米 (3) (4)， 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴上两点间的距离公式，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据与，与之间的距离均为米，米千米，即可求解； （2）①根 据 数 轴 上 两点间的距离公式，即可求解；②将分钟代入①中 的 式 子，分 别 求 出甲车、乙车在数轴上表示的数，最后根 据 数 轴 上 两点间的距离公式，即可求解； （3）根据绝对值的意义即可求解； （4）根据绝对值的意义即可求解． 【详解】（1）解：与，与之间的距离均为米，米千米， 、两点在数轴上所表示的数分别是、，它们是一对相反数， 故答案为：、，B； （2）①甲车在数轴上表示的数为： ， 乙车在数轴上表示的数为：； ②当分钟时， 甲车在数轴上表示的数为：， 乙车在数轴上表示的数为：， 两车的距离：（千米）； （3）甲车在数轴上表示的数为：，乙车在数轴上表示的数为：， 与、两点距离之和最小时，对应的应满足的条件为， 故答案为：； （4）表示数轴上点分别到，，，，，的距离之和， 该式子取得最小值时，应满足的条件是， 当时，取得最小值， 最小值为： ． 22．（24-25七年级上·河北沧州·期中）[教材复习题1变式]教材上有这么一段话“若，分别是有理数，在数轴上对应的两点，我们就把，叫作，的一维坐标．一般地，称为点与点之间的距离．” (1)对照数轴，填写下表： 6 2 4 0 A，B两点的距离 (2)请说出和的意义； (3)求的最小值； (4)当的值最小时，求x的值． 【答案】(1)2，6，12，0 (2)的意义为表示数x的点与表示数2的点的距离；的意义为表示数x的点与表示数的点的距离 (3)3 (4)4 【分析】此题主要考查了绝对值的几何意义和应用，解答此题的关键是要明确既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据两点距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （3）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （4）根据绝对值的几何意义进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：2，6，12，0； （2）解：的意义为表示数x的点与表示数2的点的距离；的意义为表示数x的点与表示数－1的点的距离； （3）解：为表示数x的点到表示数2与数的点的距离之和，当表示数x的点在表示数2的点与表示数的点之间（包括2与两点）时，式子有最小值，即； （4）解：根据题意可知，为表示数x的点到表示数，4，9的点的距离之和，所以当时，式子有最小值，即． 23．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记作，如数轴上表示数5的点与表示数7的点的距离为，表示数轴上表示数5的点与表示数的点的距离，表示数轴上表示数的点与表示数5的点的距离．根据以上材料回答下列问题： (1)①若，则_____， ②，则的取值为_____； (2)最小值为_____； (3)求的最小值，并求出此时的取值范围． 【答案】(1)①5或；② (2)4 (3)15，当时其和取得最小值 【分析】本题考查绝对值的几何意义，数轴上两点之间的距离，正确掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． （1）①根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； ②根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离求解，即可解题； （2）在数轴上表示x的点到三个点表示的数之间的距离之和最小，即x取三个数中间的数时，距离之和取最小值，据此求解即可； （3）根据绝对值的几何意义，以及数轴上两点之间的距离，结合数轴直观可得当时其和取得最小值，即可解题． 【详解】（1）解：①表示数轴上表示x的点到的距离为3， 或， 解得或， 故答案为：5或． ②，表示的意义是数轴上表示x的点到表示3和两点的距离之和为5，可得， 故答案为：． （2）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示，和三点的距离之和， ，当时取得最小值4， ，当时为0， 当时，取得最小值， 其最小值为：， 故答案为：； （3）解：表示的意义是数轴上表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离，个表示x的点到表示的点的距离之和， 相当于有个分段点， 第8个分段点是2023， 当时其和取得最小值， 即． 题型五 绝对值中最值问题的应用（共3小题） 24．定义： 若数轴上的点、分别表示数、，简记为、，则、两点之间的距离可表示为． 理解： （1）数轴上表示数和5的两点之间的距离是_____（用含的代数式表示）； （2）若，则的值为_____； （3）若，则的值为_____； （4）当代数式取到最小值时，相应的的取值范围是_____． 应用： 某环形道路上顺次排列有四家快递公司：A、B、C、D，它们分别有快递车16辆，8辆，4辆，12辆．为了使各快递公司的车辆数相同，允许一些快递公司向相邻公司调动若干辆车．请你设计3种不同的调动车辆方案，使得调动车辆的总数最少，并直接写出调动的最少车辆数． 【答案】（1）；（2）或1；（3）或3；（4）；应用：方案见解析，12辆 【分析】理解：（1）根据题意即可求解； （2）根据绝对值的意义即可求解； （3）分在的左侧、数在的右侧两种情况作图，根据作图解答即可求解； （4）由可得代数式表示x到1和的距离之和，据此即可求解； 应用：根据题意画出图形，再根据图形即可求解； 本题考查了数轴与绝对值，掌握绝对值的意义和性质是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得，数轴上表示数x和5的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解： 或 或． （3）在数轴上表示数到1和的距离之和等于8， 如图所示：①当数在的左侧时， ． ②当数在的右侧时， ． 故答案为：或3； （4）代数式表示数到1和的距离之和， 当在和1之间，即时，最小，最小值为， 故答案为：． 应用：根据题意，提供5种不同的调动车辆的方案，图表语言表述如下： 由图可知，调动的最少车辆数为：辆． 25．数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上所对应的点与所对应的点之间的距离． (1)【探究问题】 如图，数轴上，点A，，分别表示数，，． 填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，当点在线段上时，，而当点在点的左侧或点的右侧时，．所以当点在线段上时，有最小值，最小值是________； (2)【解决问题】 ①直接写出式子的最小值为________； ②若代数式的最小值是，求的值； (3)【实际应用】 如图，在一条笔直的街道上有，，，四个小区，且相邻两个小区之间的距离均为．已知，，，四个小区各有个，个，个，个学生在同一所中学的同一班级上学，安全起见，这个同学约定先在街道上某处汇合，再一起去学校．聪明的他们通过分析，发现在街道上的处汇合会使所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，请问汇合地点设置在什么位置的时候，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，并求出此最小值． 【答案】(1) (2)①；②或 (3) 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离，绝对值的几何意义，化简绝对值，解题的关键在于能够熟练掌握化简绝对值的方法． （1）根据绝对值的性质进行去绝对值即可； （2）①根据当在和之间时，有最小值，化简绝对值即可求解；②根据题意得，即可求解； （3）、、、分别在数轴上表示，，，，设表示的数为，距离之和为S，根据题意可知， ，再分情况讨论求最小组即可． 【详解】（1）解：当点在线段上时，有最小值，最小值是， 故答案为：； （2）①表示到和的距离之和，当在和之间时，有最小值， 的最小值为， 故答案为：； ②代数式的最小值是， ， 解得：或； （3）如图所示，、、、分别在数轴上表示，，，， 设表示的数为，距离之和为， 则， 由题意得：当在线段上，即时， ， 所以，即在点时，取得最小值1200； 当在线段上，即时， ， 所以，即在点时，取得最小值1200； 当在线段上时，即时， ， 所以，即在点时，取得最小值1400； 综上，在点时，所有学生从小区门口到汇合地点的路程之和最小，最小值为． 26．（24-25七年级上·河北唐山·期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：    (1)探究： ①数轴上表示5和2的两点之间的距离______． ②数轴上表示和的两点之间的距离是______． ③数轴上表示和4的两点之间的距离是______． (2)归纳： 一般的，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于______． (3)应用： ①若数轴上表示数的点位于与3之间，则的值______． ②若表示数轴上的一个有理数，且，则______． ③若表示数轴上的一个有理数，的最小值是______． ④若表示数轴上的一个有理数，且，则有理数的取值范围是______． (4)拓展： 已知，如图2，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100．若当电子蚂蚁从点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以3单位/秒的速度向左运动，求经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，并写出此时点所表示的数． 【答案】(1)①3，②4，③7 (2) (3)①7，②，③3，④或 (4)点所表示的数为或60 【分析】（1）根据数轴上两点之间距离的计算方法得出答案， （2）由特殊到一般，得出结论， （3）①利用数轴上两点距离的计算方法得出答案； ②根据绝对值的意义取绝对值，解方程即可； ③由所表示的意义，转化为求数轴上表示的点到表示1的点之间的距离； ④由所表示的意义，转化为数轴上表示和5两侧的点到和5的距离之和； （4）设t秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度，然后含t的式子表示出点P，Q所表示的数，在根据题意列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：探究：①数轴上表示5和2的两点之间的距离是3， ②数轴上表示和的两点之间的距离是4 ③数轴上表示和4的两点之间的距离是7； 故答案为：①3，②4，③7； （2）解：归纳：数轴上表示数和数的两点之间的距离等于， 故答案为：； （3）解：应用：①若数轴上表示数的点位于与3之间， ②∵， ∴（无解）或， 解得； ③当表示的数在和1之间时， 的最小值是3； ④当时，应该在数5的右侧或在的左侧， ∴或， 故答案为：①7，②，③3，④或； （4）解：设秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度， 此时表示的数为，表示的数为， 根据题意得或， 解得或， 此时或60， ∴点所表示的数为或60． 【点睛】本题考查了绝对值，数轴上两点间的距离是两个数的绝对值和一元一次方程的应用，注意线段上的点与线段两端点的距离的和最小． 题型六 已知范围的绝对值化简（共7小题） 已知范围的绝对值化简步骤： ①判断绝对值符号里式子的正负； 两数相减：大的数-小的数＞0，转化到数轴上：右-左＞0；小的数-大的数＜0，转化到数轴上：左-右＜0. 两数相加：正数＋正数＞0，转化到数轴上：原点右侧两数相加＞0； 负数＋负数＜，转化到数轴上：原点左侧两数相加＜0； 正数＋负数：取绝对值较大数的符号，转化到数轴上：原点两侧两数相加，取离原点远的符号. ②将绝对值符号改为小括号： 若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）. ③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变；括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号. ④化简. 27．（24-25七年级上·河北沧州·期中）有理数在数轴上的位置如图所示，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴，化简绝对值，合并同类项，准确熟练地化简各式是解题的关键． 先化简每一个绝对值，然后再进行计算即可． 【详解】解：根据数轴得，，， ， 故选：A． 28．有理数表示的点在数轴上的位置如下图所示，则化简的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值化简，数轴，熟练掌握利用数形结合的方法是解答本题的关键． 根据数轴可得：，，然后将所求式子化简，再计算加法即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ， 原式 ． 故答案为：． 29．已知有理数、、在数轴上的对应点如图所示，且，则 ， ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值化简，由数轴得，结合，根据绝对值的性质进行化简即可． 【详解】解：由数轴得 ， ， ，，， ， ， ， 故答案为：，，． 30．（24-25七年级上·河北承德·期中）有理数在数轴上的位置如图所示． (1)判断，______，______，______． (2)化简． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴、绝对值，根据在数轴上的位置，确定绝对值内的式子正负是解答本题的关键． （）根据数轴得出，且，再求出答案即可； （）根据数轴得出，，再化简求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵，，且， ∴； ∵，， ∴， 又∵，两个负数相加还是负数， ∴； 故答案为：； （2）由()可知，， ∴， ∵， 则； ∴ 31．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）已知a，b，c在数轴上的位置如图． (1)____0，____0， ____0；（请用“”或“”填空） (2)化简： 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查数轴，化简绝对值，整式的加减运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）观察数轴可知，根据有理数的加减法运算法则即可解答； （2）根据绝对值的非负性，结合数轴即可化简绝对值，再根据整式的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可知，， ∴，，， 故答案为：； （2） 解：∵， ∴， ∴ ． 32．（24-25七年级上·河北唐山·期中）已知有理数 a、b、c 在数轴上的对应点如图所示，且． (1)用 “<” 连接 a、b、c； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了数轴上点的特点，绝对值的性质，掌握数轴上点的位置确定式子的符号，绝对值的化简是解题的关键． （1）根据数轴上点的位置可得，即可求解． （2）根据，且 a 在原点左侧，b 在原点右侧，所以，再由，所以 ，，结合绝对值的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴． （2）解：因为，且 a 在原点左侧，b 在原点右侧，所以， 因为，所以 ，， 所以 ． 33．（24-25七年级上·河南信阳·期中）有理数、、在数轴上的位置如图， (1)判断正负，用“”或“”填空： ， ， ． (2)化简： 【答案】(1)；； (2) 【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，化简绝对值等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）根据数轴得出， ，，，进而可判断以及的正负； （2）由（1）得：，，，然后化简绝对值即可解答． 【详解】（1）解：根据数轴可得，，，， ，， 故答案为：；；； （2）解：由（1）知，，，， ， ， ， ． 题型七 未知范围的绝对值化简（共6小题） 34．若则的值为（        ） A． B．4或0 C． D．或0 【答案】B 【分析】根据绝对值分类讨论解答． 【详解】因为， 所以当有理数中有一个大于0，另外两个小于0， 则； 当有理数中三个数都大于0时，； 故选：B． 【点睛】本题考查绝对值，关键是根据绝对值分类讨论解答． 35．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）已知，，为非零的实数，则的可能值的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】分a、b、c三个数都是正数，两个正数，一个正数，都是负数四种情况，根据求绝对值的法则以及有理数的加法运算法则，进行计算即可得解． 【详解】①a、b、c三个数都是正数时，则a>0，ab>0，ac>0，bc>0， 原式=1+1+1+1=4； ②a、b、c中有两个正数时， 设a>0，b>0，c<0，则ab>0，ac<0，bc<0， 原式=1+1−1−1=0； 设a>0，b<0，c>0，则ab<0，ac>0，bc<0， 原式=1−1+1−1=0； 设a<0，b>0，c>0，则ab<0，ac<0，bc>0， 原式=−1−1−1+1=−2； ③a、b、c有一个正数时， 设a>0，b<0，c<0，则ab<0，ac<0，bc>0， 原式=1−1−1+1=0； 设a<0，b>0，c<0，则ab<0，ac>0，bc<0， 原式=−1−1+1−1=−2； 设a<0，b<0，c>0，则ab>0，ac<0，bc<0， 原式=−1+1−1−1=−2； ④a、b、c三个数都是负数时，即a<0，b<0，c<0，则ab>0，ac>0，bc>0， 原式=−1+1+1+1=2． 综上所述，的可能值的个数为4． 故选：A． 【点睛】本题主要考查求绝对值的法则以及有理数的加法法则，掌握求绝对值的法则以及分类讨论思想是解题的关键． 36．（24-25六年级上·上海·期中）如果有理数、、满足，那么 ． 【答案】 【分析】此题考查绝对值，解题关键在于得出，，中必有两正一负．根据可以看出，，中必有两正一负，从而确定，进而可出求的值． 【详解】解：根据绝对值的意义：一个非零数的绝对值除以这个数，等于或． ， 其中必有两个和一个，即，，中必有两正一负． ， 则， 故答案为：． 37．已知、、均为不等于0的有理数，则的值为 ． 【答案】3，-3，1，−1． 【分析】根据绝对值的性质，将绝对值符号去掉，然后计算．由于不知道a、b、c的符号，故需分类讨论． 【详解】解：(1)当a>0，b>0，c>0时，=1+1+1=3； (2)当a<0，b<0，c<0时，==−1−1−1=−3； (3)当a>0，b>0，c<0时，==1+1−1=1； 同理，a>0，b<0，c>0；a<0，b>0，c>0时原式的值均为1． (4)当a<0，b<0，c>0时，==−1−1+1=−1； 同理，当a<0，b>0，c<0；a>0，b<0，c<0时原式的值均为−1． 故答案为：3，-3，1，−1． 【点睛】本题考查了绝对值规律的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，解答时要注意分类讨论． 38．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）我们知道数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，利用数轴及绝对值知识结合数形结合．分类讨论思想可以解决一些问题.求解下列问题： (1)若时，的值为___________； (2)若成立，则___________； (3)若，则___________； (4)当式子取最小值时，相应的x的取值范围___________，最小值是___________． 【答案】(1) (2)2 (3)0或 (4)；7 【分析】（1）根据绝对值的性质代入化简即可； （2）根据题意得出表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等，然后求出中点到的距离为7，即可求解； （3）根据题意，分情况讨论分析，然后代入求解即可； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和，得出当时，距离和即为到4的距离即可求解． 【详解】（1）解：时，， 故答案为：； （2）表示数轴上数a的点到的距离与到9的距离相等， ∵与9的距离为， ∴中点到的距离为7， ∴， ∴， 故答案为：2； （3）∵， ∴分情况讨论：当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，，； 综上可得：值为0或， 故答案为：0或； （4）表示数轴上数x的点到的距离与到4的距离和， 当时，距离和即为到4的距离， 故答案为：；7． 【点睛】题目主要考查绝对值的意义及化简，理解绝对值在数轴上的意义上解题关键． 39．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）的值是 ． 【答案】3或-1/-1或3 【分析】分别讨论a，b的取值，然后去掉绝对值符号即可求值． 【详解】解：①当a＞0，b＞0时，原式=1+1+1=3； ②当a＞0，b＜0时，原式=1-1-1=-1； ③当a＜0，b＞0时，原式=-1+1-1=-1； ④当a＜0，b＜0时，原式=-1-1+1=-1； 故答案为：3或-1． 【点睛】本题考查了绝对值，关键掌握分类讨论的思想解题． 题型八 绝对值化简的新定义问题（共6小题） 40．（24-25七年级上·江西赣州·期中）已知点A在数轴上对应的数是a，点B在数轴上对应的数是b，将A、B之间的距离记作，定义，若，设点P在数轴上对应的数是x，当相差2时，则x的值为 ． 【答案】或 【分析】先利用绝对值的非负性，求出点A、点B所对应的数分别为，，再根据数轴上的两点之间的距离的定义得到或 ，然后针对x的取值范围进行分类讨论即可． 【详解】解：， ， 即 ， 相差2， 或， 当时， 时，，无解； 时，，解得， 时，，无解； 当时， 时，，无解， 时，，解得， 时，，无解； 综上所述，x的值为：或 ， 故答案为：或 ． 【点睛】本题考查了绝对值的性质和绝对值的几何意义，解决本题的关键是会进行分类讨论． 41．对于数轴上的两点P，Q给出如下定义：P，Q两点到原点O的距离之差的绝对值称为P，Q两点的绝对距离，记为．例如：两点表示的数如图1所示，则 (1)两点表示的数如图2所示． ①两点的绝对距离等于 ___________； ②若为数轴上一点（不与点重合），且则点C表示的数是 ___________； (2)为数轴上的两点（点在点左边），且，若，则点M表示的数是 ___________． 【答案】(1)① ，②或 (2)或 【分析】本题考查了数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解两点的绝对距离的定义． （1 ）①根据两点的绝对距离的定义即可求解； ②先根据得到，再根据两点的绝对距离的定义即可求解； （2 ）根据两点间的距离公式，以及，即可写出点M表示的数． 【详解】（1）解：（1）①，两点的绝对距离为； ②∵，， ∴，即， ∴， ∴点表示的数为或； 故答案为：①，②或； （2）解：∵，，点在点左边， ∴点在点，N之间，，， ∴，； ∴点M表示的数为或 故答案为：或 42．（2024七年级上·北京·期中）定义：已知点A、B在数轴上分别表示有理数x、y，A、B两点到原点的距离之和叫做两点之间的原点距，记作d，容易知道原点距．例如：有理数2，，它们在数轴上所代表的点之间的原点距． (1)若A，B两点的原点距为3，且点A代表的数为1，则点B代表的数字为___________； (2)若A点代表的数字为，B点代表的数字为，则之间的原点距为___________． 【答案】(1) (2)2或 【分析】本题考查了绝对值以及数轴，解题的关键是：读懂题中给出的原点距的定义，并能利用原点距结合绝对值来解决问题． （1）根据原点距的定义，可得出点B代表的数字的绝对值，从而得出结论； （2）结合原点距的定义，分与两种情况考虑，即可得出结论． 【详解】（1）解：设B点代表的数字为b， ∵A，B两点的原点距为3，且点A代表的数为1， ∴有，即， ∴ （2）当，即时，有： 之间的原点距； 当，即时，有： 之间的原点距． 故之间的原点距为2或． 43．（24-25七年级上·福建厦门·期中）对于有理数、，定义一种新运算“”，规定 (1)计算的值． (2)当、在数轴上的位置如图所示时，化简． (3)当时，是否一定有或者？若是，则说明理由；若不是，则举例说明． 【答案】(1) (2) (3)不一定，举例见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题中的新定义计算即可得到答案； （2）根据、在数轴上的位置判断正负进行化简即可； （3）根据题意进行举例即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：根据题意可得， 故； （3）解：不一定， 时，即， 当时， 此时，等式成立，但， 故不一定有或者． 44．（24-25六年级上·山东东营·期中）阅读下列材料：根据绝对值的定义，表示数轴上数x所在的点与原点的距离，那么当数轴上P，Q两点表示的数分别为时，点P，Q之间的距离（P，Q两点之间的距离用表示）． 根据上述材料，解决下列问题： 如图，在数轴上点A，B表示的数分别是，10，点M是数轴上一个动点，表示数m． (1) 个单位长度； (2)式子表示的意义为 ． 【答案】(1)15 (2)点M到A，B两点的距离之和 【分析】此题考查了数轴的有关知识、绝对值的化简和数轴上两点间距离． （1）代入两点间的距离公式即可求得的长； （2）根据表示的意义进行解答即可． 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，10， ∴； 故答案为：15； （2）解：式子表示的意义为：点到A，B两点的距离之和； 故答案为：点到A，B两点的距离之和． 45．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期中）如图，数轴上点A，B，C分别表示的有理数为是这个数轴上的动点，点P，Q分别表示的有理数为x，y，定义表示点与点之间的距离，即，当P，Q重合时，． (1)在，，4这三个数中，绝对值最小的数是 ； (2)当时，求的值； (3)探究的最小值，并写出取得最小值时的值； (4)当时，直接写出的最小值，并写出此时的取值范围是． 【答案】(1) (2)10或8 (3)的最小值是7，此时 (4) 【分析】本题主要考查数轴上两点距离及绝对值的几何意义，熟练掌握数轴上两点距离及绝对是解题是关键． （1）求出，，4的绝对值，比较即可解答； （2）分和，两种情况，利用两点间距离公式计算即可； （3）根据绝对值的几何意义求解即可； （4）根据绝对值的几何意义求解即可． 【详解】（1）解：，， 在，，4这三个数中，绝对值最小的数是； 故答案为：； （2）解：当时， ； 当时， ； 当时，求的值为8或10； （3）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，，4的三点的距离之和， 只有当表示的数与点B重合时，距离之和才最小为点A和点C之间的距离为：， 此时：； （4）解：的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，4的两点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小，最小距离为； 同理，的几何意义是：数轴上表示数的点到表示，5的两点的距离之和， 只有当表示的数在点A点P之间时（包含点A，点P），距离之和才最小，最小距离为； 的几何意义是：数轴上表示数的点到表示,，4，5的四点的距离之和， 只有当表示的数在点B点C之间时（包含点B，点C），距离之和才最小， 最小距离为：； 此时：． 题型九 绝对值化简问题综合（共8小题） 46．（24-25七年级上·陕西安康·期中）如图，点在数轴上分别表示有理数，两点之间的距离表示为，．例如：数轴上表示与的两点之间的距离；而，所以是表示与的两点之间的距离．利用数形结合思想回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是_____________； (2)数轴上点表示的数满足，那么____________； (3)若数轴上点表示的数满足，求的值； (4)七年级学习小组在陈老师的指导下，对式子进行探究，他们先在纸上画出数轴，当数所对应的点在与之间移动时，得出结论：的值总是一个固定的值．这个结论正确吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3) (4)正确，理由见解析 【分析】（）利用两点间距离公式计算即可； （）根据绝对值的意义解答即可； （）由可知式子表示有理数对应的点到对应的点和到对应的点的距离之和，进而根据得到的值为与之间的距离，据此即可求解； （）同理（）即可说明； 本题考查了数轴上两点间距离，绝对值的意义，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点之间的距离是， 故答案为：； （2）解：∵， ∴或， ∴，， 故答案为：或； （3）解：∵， ∴式子表示有理数对应的点到对应的点和到对应的点的距离之和， ∵，即在和之间， ∴的值为与之间的距离， ∴； （4）解：正确，理由如下： ∵， ∴式子表示有理数对应的点到对应的点和到对应的点的距离之和， ∵数所对应的点在与之间移动， ∴的值为与之间的距离， 即， ∴数所对应的点在与之间移动时，的值总是一个固定的值． 47．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）华罗庚先生说；“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”． 【知识储备】 点M、N在数轴上分别表示有理数m、n，则M、N两点之间的距离可表示为． 【初步运用】 （1）数轴上表示3与的两点之间的距离为______； （2）已知数轴上某个点表示的数为． ①若，则______； ②若，则______； 【深入探究】 （3）如图，数轴上每相邻两点之间的距离为1个单位长度，点A、B、C表示的数分别为a、b、c． ①______； ②若，则点表示的数为______； ③若该数轴上另有两个点、，它们分别表示有理数p、q，其中点在线段上，当且最小时，、两点之间的距离为______． 【答案】（1）7；（2）①或；②1；（3）①6；②4或12；③3或5 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值．解题的关键在于对知识的熟练掌握与正确运算． （1）根据两点之间的距离公式列式计算即可求解； （2）①②根据两点之间的距离公式列出方程即可求解； （3）①由数轴知，，去绝对值符号即可求解； ②由数轴知，，结合，求得或，据此求解即可； ③分情况讨论，求得，或，据此求解即可． 【详解】解：（1）数轴上表示3与的两点之间的距离为， 故答案为：7； （2）①若，则或， 解得或， 故答案为：或； ②若，则（舍去）或， 解得， 故答案为：1； （3）①由数轴知，，∴，，∴； 故答案为：6； ②由数轴知，，即，结合，即，∴，∴或，解得或；根据数轴知，，∴点表示的数为4或12；故答案为：4或12； ③由题意可知，点在线段上，可得，则，，∴，，当时，，∴， 故， 当时，，则，故， ∵最小，故时，取值最小； 当时，，，∴，即； 当时，，，∴（不成立，舍去）； 当时，，，∴，即， 综上，，或， 当时，、两点之间的距离为； 当时，、两点之间的距离为； ∴、两点之间的距离为3或5． 故答案为：3或5． 48．（24-25七年级上·四川成都·期中）在学习了数轴后，小亮决定对数轴进行变化应用： (1)应用一：已知点在数轴上表示数为，数轴上的任意一点表示的数为，则两点的距离可以表示为______；应用这个知识，请直接写出当______时，的最小值为______． AI   (2)应用二：从数轴上取下一个单位长度的线段，第一次剪掉原长的，第二次剪掉剩下的，依次类推，每次都剪掉剩下的，则剪掉5次后剩下线段的长度为______；应用这个原理，请计算：．    (3)应用三：如图，将一根拉直的细线看作数轴，一个三边长分别为，，的三角形的顶点与原点重合，边在数轴正半轴上，将数轴正半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上，负半轴的线沿的顺序依次缠绕在三角形的边上． ①如果正半轴的线缠绕了5圈，负半轴的线缠绕了3圈，求绕在点C上的所有数字和； ②如果正半轴的线不变，将负半轴的线拉长一倍，即原线上的点的位置对应着拉长后的数，并将三角形向正半轴方向平移一个单位后再开始绕，求绕在点B且绝对值不超过100的所有数之和． AI   【答案】(1)；0；3 (2)； (3)①120；② 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离的表示方法列出式子即可； （2）第1次剪掉的长度是；第1次剪掉后剩下的长度是； 第2次剪掉的长度是； 第2次剪掉后剩下的长度是； 第3次剪掉的长度是；第3次剪掉后剩下的长度是…由此规律得出第5次剪掉剩下的长度是，…第7次剪掉后剩下的长度是；；即可求出. （3）①分别找出正半轴以及负半轴在点C上的数字之间的规律，即可求出所有数字之和. ②绕在点B且绝对值不超过100的所有数，求和即可. 【详解】（1）已知点A在数轴上表示为，数轴上任意一点B表示的数为x，则两点的距离可以表示为；应用这个知识，当时，有最小值为3. 故答案为：；0；3； （2）第1次剪掉的长度是；第1次剪掉后剩下的长度是； 第2次剪掉的长度是； 第2次剪掉后剩下的长度是； 第3次剪掉的长度是；第3次剪掉后剩下的长度是…由此规律得出第5次剪掉剩下的长度是，…第7次剪掉后剩下的长度是； 所以第5次剪掉剩下的长度是，； （3）①正半轴绕在点上的数有：9，21，33，45，57； 负半轴绕在点上的数有：，，， 它们的和为： ②正半轴绕在点上的数有：5，17，29，41，53，65，77，89共八个数； 负半轴绕在点上的数有：，，…，共十七个数， 所有绕在点上的正数和为： 所有绕在点上的负数和为： 所有绕在点上的数之和为： 【点睛】本题考查了绝对值的应用，数轴上两点之间的距离公式，综合性比较强，难度较大. 49．（24-25七年级上·河南商丘·期中）姗姗在学习绝对值的时候发现：可表示数轴上表示2和表示1的两点间的距离；而即则表示数轴上表示2和表示的两点间的距离．根据上面的发现，姗姗将看成数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，那么可看成表示与表示的两点在数轴上的距离．姗姗继续研究发现：取不同的值时，有最小值，请你借助数轴解决下列问题： (1)当时，的最小整数值是__________； (2)若，那么的最小值是__________； (3)若，那么的最小值是__________，此时为_________； (4)的最小值是__________． 【答案】(1) (2)6 (3)8， (4)90 【分析】（1）根据题意，得，得到，解答即可； （2）根据题意，得，得到时， 取得最小值，解答即可． （3）根据题意，，根据距离和的意义解答即可． （4）根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和，即解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示2的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离的和， ∵， ∴， ∴的最小整数值是， 故答案为：． （2）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离的和， ∴时，取得最小值， 此时， 故答案为：6． （3）解：根据题意，得表示数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示的两点在数轴上的距离，数轴上表示与表示0的两点在数轴上的距离的和， ∴， ∴时，取得最小值， 此时， 故答案为：8，． （4）解：根据题意，得表示的是x与这19个数的距离之和， 即． 故答案为：90． 【点睛】本题考查数轴上两点间的距离公式，绝对值的意义，距离之和最小的意义，有理数的加法．熟练掌握数轴上两点间的距离公式，以及当点在两点之间时，点到两点间的距离之和最小，是解题的关键． 50．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． (1)直接写出，的值：______；______； (2)若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； (3)我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 【答案】(1)； (2)当或时， (3)的最大值为秒 【分析】（1）根据平方的非负性，和绝对值的非负性，得到，，即可求解， （2）用含的代数式表示出，，代入，分，两种情况，即可求解， （3）先求出点对应的有理数，化简，求出等式成立时，对应的点的位置，找到点的运动规律，求出点最后一次经过该位置的时间，即可求解， 本题考查了数轴上的动点，解题的关键是：通过讨论化简等量关系式求解，找到运动规律． 【详解】（1）解：∵， ∴，，解得：，， 故答案为：；， （2）解：设有理数，分别对应数轴上的点，， 则：，， ∴，， ∵两球相遇时停止运动， ∴，解得：， ∴， 当时，由，可得：，解得：， 当时，由，可得：，解得：， 故答案为：当或时，， （3）解：∵点是线段上的2分点， ∴， ∵， ∴点对应的有理数， ∵，即：， ∵点一直在的左侧， ，， ∴，即：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 根据题意得： 、、、、…所对应的数为：、、、…， 、、、、…所对应的数为：、、、、…， 第三回合，点从回到点的过程中，最后一次经过点， 第一回合用时：（秒）， 第二回合用时：（秒）， 第三回合，点从点到用时：（秒）， 点从点到用时：（秒）， 点从点到点用时：（秒）， 故总用时（秒）， 故答案为：的最大值为秒． 51．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在数轴上，把原点记作点，表示数的点记作点．对于数轴上任意一点（不与点、点重合），将线段与线段的长度之比定义为点关于点的幸福值，记作，即，例如：点表示的数为1，点表示的数为3，因为，，所以． (1)当点是线段的中点时，点关于点的幸福值_______； (2)若点表示的数为，点表示的数为3，点关于点的幸福值_______； (3)若点表示的数为2，点表示的数为，点关于点的幸福值，求点表示的数； (4)若点表示的数为，点表示的数为，，则点关于点的幸福值_______； (5)如图，点表示，点表示5，为原点，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿数轴负方向运动（表示数的点在，之间，在，之间），运动时间为，表示数的点为，之间一点，且点是的中点，若，运动过程中总为一个固定的值，则_______． 【答案】(1)1 (2) (3)或3 (4)或 (5) 【分析】本题主要考查数轴、新定义、绝对值、数轴上两点间的距离公式，理解新定义并灵活应用相关知识解决问题是解题关键． （1）直接利用“幸福值”的定义即可求解． （2）易得，，再利用“幸福值”的定义计算即可． （3）由题意可得关于的分式方程，求解即可； （4）分别两种情况：点、在点的同侧和点、在点的异侧．分别表示出和，再根据“幸福值”的定义计算即可； （5）首先推导出，，然后依据点关于点的幸福值的定义推导出，再结合总为一个固定的值，进一步得出答案． 【详解】（1）点是线段的中点， ， ． 故答案为：1； （2）点表示的数为，点表示的数为3， ，， ． 故答案为：； （3）点表示的数为2，点表示的数为， ，， 点关于点的幸福值， ， 经检验，或3原方程的解， 解得：或3； （4）①当点、在点的同侧时（此处以点、在原点右侧来分析），如图， 由题意得，，则， ； ②当点、在点的异侧时（此处以点在原点左侧，点在原点右侧来分析），如图， 由题意得，，则， ． 故答案为：或； （5）根据题意得，， ，， 即． ， ， 总为一个固定的值， 的值与的值无关， ， ， 故答案为：． 52．（24-25七年级上·江苏南京·期中）“距离”再探究． 【概念理解】 （1）数轴上，点A、B表示的数分别是、2，则A、B两点之间的距离可以表示为 ． A．  B．  C．  D． 【数学思考】 （2）数轴上，点C、D、E表示的数分别是2、4、10．P是数轴上的动点，设点P表示的数是x． （Ⅰ）点P到C、D两点的距离之和的最小值为 ； （Ⅱ）填写表格，并回答问题： x … 3 4 5 6 … 点P到C、D、E三点的距离之和 … ① ② 9 10 … 当 时，取最小值． 【实际应用】 （3）如图，在一条笔直的道路l上分别有A、B、C、D四个停车场．为满足充电需要，在道路l上修建一个充电站P．已知A、B、C、D四个停车场分别有辆，辆，辆，6辆电动车需要充电，其中m为正整数．请问充电站P建在道路l上何处时，四个停车场中的所有电动车到充电站P的距离之和最小？并简要说明理由．（在停车场内移动的距离忽略不计）． 【答案】（1）D；（2）2；9；8；4；（3）充电站建在停车场，理由见解析 【分析】（1）两数相减，再取绝对值即可作答； （2）（Ⅰ）先得出点P到C、D两点的距离之和为：，在分类讨论即可作答；（Ⅱ）点P到C、D、E三点的距离之和为：，同理分类讨论即可作答； （3）除距离外，还涉及到车的数量，总距离等于车的数量乘以单辆车所走的距离．为了运用第（2）的结论，则必须要构造出车辆数相等的点（停车场），据此逐步缩小范围即可作答． 【详解】（1）A、B两点之间的距离可以表示为， 故选：D； （2）（Ⅰ）点P到C、D两点的距离之和为：， 当时，， 当时，， 当时，， 点P到C、D两点的距离之和的最小值为2， （Ⅱ）点P到C、D、E三点的距离之和为：， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 即有， 当时，， 即有，且当时，， 当时，， 即当时，取最小值，最小值为8． 故答案为：（Ⅰ）2；（Ⅱ）9，8，4； （3）充电站建在停车场．理由如下： A、B、C、D四个停车场分别有辆，辆，辆，6辆电动车需要充电， ∵m为正整数， ∴，， 如图， 先只考虑停车场A与停车场D，将停车场A的车辆数分为6辆和辆两个部分， 车辆数为6辆的停车场A与停车场D之间建充电站， 根据（2）（I）的结论可知：当充电站建在之间（含两端端点）时，此时停车场A与停车场D的共计12辆电动车到充电站P的距离之和最小； 现在讨论余下车辆数为辆的停车场A、停车场B、停车场C之间建充电站的问题， 如图， 同理：再将余下停车场A的车辆数分为辆和辆两个部分， 车辆数为辆的停车场A与停车场C之间建充电站， 根据（2）（I）的结论可知：当充电站建在之间（含两端端点）时，此时停车场A与停车场C的共计辆电动车到充电站P的距离之和最小； 现在讨论余下车辆数为辆的停车场A、停车场B之间建充电站的问题， 如图， ∵， ∴再将停车场B的车辆数分为辆和1辆两个部分， 车辆数为辆的停车场A与车辆数为辆的停车场B之间建充电站， 根据（2）（I）的结论可知：当充电站建在之间（含两端端点）时，此时停车场A与停车场B的共计辆电动车到充电站P的距离之和最小； 此时还剩下B停车场的1辆车， 当充电站建在停车场B时，B停车场剩下的1辆车到充电站的距离为0，即距离最小， 充电站的建设范围由缩小至，再缩小至，最后确定在点B， 综上：充电站建在停车场． 【点睛】本题考查了数轴，代数式与数轴的应用，问题的难点在第（3）问，构造出车辆数相等的点（停车场），是解答本题的关键． 53．（24-25七年级上·江西九江·期中）我们知道：表示数轴上，数a的点到原点的距离．爱动脑筋的小明联系绝对值的概念和“”，进而提出这样的问题：数轴上，数a的点到数1点的距离，是不是可以表示为？小明的想法是否正确呢？让我们一起来探索吧！ 实验与操作： （1）已知点A、B在数轴上分别表示a、b．填写表格． a 2 －3 4 －1 … b 6 0 －1 5 … A，B两点之间的距离 4 3 … 观察与猜想： （2）观察上表：猜想A、B两点之间的距离可以表示为 （用a、b的代数式表示）． 理解与应用： （3）动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时，动点B也从原点出发向数轴正方向运动．运动到3秒时，两点相距15个单位．已知动点A、B的速度之比是（速度单位：1个单位长度/秒）． ①求两个动点运动的速度； ②A、B两动点运动到3秒时停止运动，请在数轴上标出此时A、B两点的位置； ③若A、B两动点分别从②中标出的位置再次同时开始在数轴上运动，运动速度不变，运动方向不限．问：经过几秒后，A、B两动点之间相距5个单位长度． 【答案】（1）5，6；（2）或； （3）①动点A的运动速度是3个单位长度/秒，动点B的运动速度是2个单位长度/秒； ②数轴见解析； ③2秒或4秒或10秒或20秒． 【分析】（1）根据两点之间的距离公式解答即可； （2）根据表格得出两点之间的距离表示形式即可； （3）①设动点A、B的速度是、，列出方程解答即可； ②根据题意画出数轴即可； ③设动点A、B的速度是、，分类情况讨论，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：，， 故答案依次为：5，6． （2）解：A、B两点之间的距离可以表示为或， 故答案为：或， （3）①解：设动点A、B的速度是、， 可得：， 解得：， 所以，，， 答：动点A的运动速度3个单位长度/秒，动点B的运动速度2个单位长度/秒. ②解：因为动点A的运动速度3个单位长度/秒，动点B的运动速度2个单位长度/秒，所以点A为，点B为6，如图， ③解：设经过t秒后，A、B两动点之间相距5个单位长度． 显然，动点A、B同时按原运动方向运动或同时向左运动不符合题意． 所以，i)当动点 A、B同时向右运动时，动点A、B对应的数分别是、， 根据题意得：， 解得：或， ii)当动点 A向右运动、动点B向左运动时，动点A、B对应的数分别是、， 根据题意得：， 解得：或， 答：经过2秒或4秒或10秒或20秒后，A、B两动点之间相距5个单位长度． 【点睛】本题主要考查的是数的绝对值，数轴，数轴上两点之间的距离公式、数轴上的动点问题，属于压轴题，熟练掌握相关知识点和分类讨论思想的运用是解题的关键． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $