专题04 有理数章末易错压轴题25大题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材冀教版

专题04 有理数章末易错压轴题 题型1 正数和负数 题型14 有理数混合运算的实际应用 题型2 有理数的概念与分类 题型15 有理数的乘方运算 题型3 数轴三要素及其画法 题型16 程序流程图 题型4 利用数轴上的点表示有理数 题型17 算24点 题型5 数轴上两点之间的距离 题型18 数轴上点的运动问题 题型6 数轴上整点覆盖问题 题型19 绝对值的几何意义 题型7 相反数 题型20 带绝对值的式子化简问题 题型8 绝对值的非负性 题型21 数轴上的翻折问题 题型9 绝对值的化简问题 题型22 数轴与绝对值的综合题型 题型10 绝对值的几何意义（基础） 题型23 有理数的混合运算 题型11 有理数的大小比较 题型24 有理数的实际应用 题型12 有理数的混合运算 题型25 有理数的新定义问题 题型13 有理数的简便运算 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正数和负数（共3小题） 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）8月18日，“蛟龙号”载人潜水器在西太平洋海域顺利完成了航次首潜，这是我国自主设计、自主集成的首台7000米级大深度载人潜水器“蚊龙号”的第300次下潜，若下潜100米记作米，则上浮60米记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．某种零件，标明要求是（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是，该零件 （填“合格”或“不合格”）． 3．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）七（1）班4名学生的身高以班级平均身高为基准，超过者记为正，不足者记为负，甲、乙、丙、丁四名同学的身高记录情况如下表，甲实际身高为157厘米，求其他三名同学的实际身高． 甲 乙 丙 丁 身高记录（单位：厘米） 题型二 有理数的概念与分类（共3小题） 4．（24-25七年级上·重庆永川·期中）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．整数和分数统称为有理数 C．有理数分为正数，负数和零 D．正整数和负整数统称为整数 5．（24-25七年级下·河南商丘·期中）在数，，3.14，0，2.36，，0.020020002…中，无理数共有 个． 6．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， 整数集合：                   ； 负有理数集合：                ； 正分数集合：                  ； 非负整数集合：                ． 题型三 数轴三要素及其画法（共3小题） 7．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 8．下面四条数轴，正确的是(      ) A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．    其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 题型四 利用数轴上的点表示有理数（共3小题） 10．（24-25七年级上·山东聊城·期中）下列说法正确的是（         ） A．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． B．在数轴上，原点及原点右边的点表示的数都是正数． C．在数轴上，与原点的距离是 2的点所表示的数是2． D．在数轴上离原点的距离越远的点表示的数越大． 11．（24-25七年级上·北京延庆·期中）若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25七年级上·福建宁德·期中）数轴上点表示的数为4，点与点的距离为3，则点表示的数为 ． 题型五 数轴上两点之间的距离（共3小题） 13．（24-25七年级上·全国·期中）点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，，．若点C表示的数为a，则的长度是（   ）    A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段覆盖住的整数点的个数是 ． 15．（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，在数轴上点表示的数是 ．点表示的数是 ． （1）如果该数轴上点与点之间的距离是3，那么点表示的数是 ； （2）如果该数轴上另有一点，点到点、的距离相等，那么点表示的数是 ． 题型六 数轴上整点覆盖问题（共3小题） 16．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长2023厘米的线段，则线段盖住的整数点有（    ）个 A．2021或2022 B．2022或2023 C．2023或2024 D．2024或2025 17．若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 18．（24-25七年级上·江苏南通·期中）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴上的单位长度是1cm，点A表示的数是-0.5，在这个数轴上画线段AB，使得AB的长为2021cm，则该线段盖住的整点个数是 ． 题型七 相反数（共3小题） 19．（24-25六年级下·上海松江·期末）以下叙述中，正确的是（    ） A．正数与负数互为相反数 B．表示相反意义的量的两个数互为相反数 C．任何有理数都有相反数 D．一个数的相反数是负数 20．（24-25七年级上·广东湛江·期中）若a与互为相反数，则a 的值 ． 21．（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知与互为相反数，求的值. 题型八 绝对值的非负性（共3小题） 22．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）已知：，比较x，y的大小关系，正确的一组是（    ） A． B． C． D．与x，y的取值有关，无法比较 23．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若，则 ， ． 24．（24-25七年级上·吉林白城·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a，b满足．求A，B两点之间的距离． 题型九 绝对值的化简问题（共3小题） 25．（24-25七年级下·广西柳州·期中）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C．1 D． 26．（24-25七年级上·全国·期中）如图，在数轴上的a，b，c三个实数，且，化简 ． 27．（24-25七年级上·北京西城·期中）有理数在数轴上的对应点位置如图所示， (1)在图中标出，所对应的点，并用“”连接，，，，； (2)化简：． 题型十 绝对值的几何意义（基础）（共3小题） 28．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）绝对值不大于3的整数有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 29．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知表示与的差的绝对值，实际上可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，的最小值为 ． 30．（24-25七年级上·河南周口·期中）阅读下面的材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a 、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ； (3)满足的有理数x有 个． 题型十一 有理数的大小比较（共4小题） 31．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26七年级上·全国·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 33．（24-25七年级上·全国·期中）在如图所示的数轴上表示下列各数：， ，，3，并用“”号将这些数连接起来． 题型十二 有理数的混合运算（共2小题） 34．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 35．（24-25七年级上·北京·期中）计算 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 36．（24-25七年级上·四川巴中·期中）计算： (1)； (2)； (3)； 题型十三 有理数的简便运算（共3小题） 37．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）用简便方法计算 (1) (2) 38．（24-25七年级上·四川泸州·期中）简便计算： (1) (2) 39．（24-25七年级上·吉林长春·期中）简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十四 有理数混合运算的实际应用（共3小题） 40．（24-25七年级上·全国·期中）出租车司机小李某天下午从A地出发，营运全是在东西的人民大道进行的．如果规定向东为正，向西为负，他这天营运的车次和里程如表（单位：千米）： 车次 里程 (1)在哪次记录中距A地最远？ (2)将最后一名乘客送到目的地时，小李距出发地的距离是多少？ (3)若每千米耗油，问小李这天下午共耗油多少升． 41．（24-25七年级下·广西柳州·期中）某自行车厂一周计划生产1050辆自行车，平均每天生产150辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产_______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (3)该厂实行计件工资制，每辆车50元，超额完成任务每辆奖10元，少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 42．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）最近李老师家刚买了一辆小轿车，他连续记录了7天中小轿车每天行驶的路程（如下表），以50千米为标准，多于50千米的记为“”，不足50千米的记为“”，刚好50千米记为“0”．     第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（千米） (1)求出这七天中平均每天行驶多少千米？ (2)若每行驶100千米需用汽油6升，汽油价7元每升，请计算李老师家这七天的油费是多少元？ 题型十五 有理数的乘方运算（共3小题） 43．（24-25七年级上·广东湛江·期中）计算： 44．（24-25七年级上·广东中山·期中）计算： 45．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）计算题： (1) (2) 题型十六 程序流程图（共3小题） 46．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）[新视角 程序计算题]如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为时，输出的数值为（    ） A．1 B． C．2 D． 47．（24-25七年级上·贵州黔南·期中）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，当输入的的值为时，输出的的值为 ． 48．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小亮输入1，3这两个数时，则两次输出的结果依次为__________，__________． (2)当小亮输入数15时，求出输出的结果． (3)当小亮输入数18时，则输出结果为______________． (4)有一次，小亮操作的时候，输出结界结果是2，聪明的你判断一下，小亮输入的正整数可能是（   ） A．2022        B．2023        C．2024 题型十七 算24点（共3小题） 49．（24-25七年级上·浙江温州·期中）将2，，4，8这四个数（每个数用且只能用一次）进行加，减，乘，除，乘方，开方混合运算，使其结果为24，则可列式为 ． 50．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行加减乘除混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数，3，4，10，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式： ，使其结果等于24． 51．（24-25七年级上·重庆南岸·期中）学习了有理数后，为练习加、减、乘、除以及乘方混合运算，“智慧学习小组”自制了一副卡片，每天课余，小组成员会做五分钟的混合运算游戏．每次随机抽取4张卡片，根据卡片上的数字进行混合运算（每张卡片必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或者． 例如果随机抽取的四张卡片上的数为，可以列式为：． 说明：与，是交换了因数的位置，看作是相同的算式；与是交换了加数的位置，看作是相同的算式． (1)若随机抽取的卡片上的数为，请列出计算结果为24或的两个不同算式； (2)若随机抽取的卡片上的数为，请列出计算结果为24或的三个不同算式． 题型十八 数轴上点的运动问题（压轴）（共3小题） 52．（24-25七年级上·吉林·期中）阅读材料：点，在数轴上对应的数分别为，，当点在点的左侧时，我们把数轴上，两点之间的距离表示为．如可以表示为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 探索： 若点，在数轴上对应的数分别为，6． (1)，两点之间的距离是________； (2)点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点对应的数为________（用含的代数式表示）；2秒后，两点间距离为______； (3)点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒3个单位长度同时沿数轴向右运动，求秒后，两点间距离．（用含的代数式表示） 53．（24-25七年级上·福建厦门·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 54．若A、、为数轴上三点，若点到A的距离是点到的距离2倍，我们就称点是【A，】的好点．例如，如图1，点A表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点A的距离是2，到点的距离是1，那么点是【A，】的好点；又如，表示0的点到点A的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【A，】的好点，但点是【，A】的好点． 知识运用：如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4． (1)数 所表示的点是【，】的好点； (2)如图3，A、为数轴上两点，点A所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当为何值时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点？ 题型十九 绝对值的几何意义（压轴）（共3小题） 55．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，；当A、B两点都不在原点时， ①如图乙，点都在原点的右边，； ②如图丙，点都在原点的左边， ③如图丁，点在原点的两边， 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和 的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点分别是点和，则之间的距离是 ，如果，那么 ； (3)当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (4)当代数式的最小值． 56．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是 ，当，则x的值为 ； （2）当 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】 （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，右侧1千米，右侧3千米，A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人，现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装总成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装总成本最低，最低成本是多少？ 57．（24-25七年级上·四川成都·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为． (1)如果表示数和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么___________． (2)若数轴上表示数的点位于与3之间，求的值． (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由 题型二十 带绝对值的式子化简问题（压轴）（共3小题） 58．（24-25七年级上·天津和平·期中）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 59．如果，且，那么 ． 60．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则 ． 题型二十一 数轴上的翻折问题（压轴）（共3小题） 61．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换    (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、    B、 C、    D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示______的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． (3)一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，并且，求点表示的数． 62．平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： (1)平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． ①把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是______； ②一个机器人从数轴上表示﹣1的点出发，并在数轴上移动2次，每次移动3个单位后到达B点，则B点表示的数是______； ③数轴上点A表示的数为m．则点A向左移动n个单位长度所表示的数为______； (2)翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． ①若折叠纸条，表示﹣2的点与表示1的点重合，则表示﹣4的点与表示______的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为8，点A在点B的左侧，A、B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示﹣2的点，则A点表示的数为______； ③在数轴上，点P表示的数为4，点Q表示的数为x，将点P、Q两点重合后折叠，折痕与数轴交于M点；将点P与点M重合后折叠，新的折痕与数轴交于N点，若此时点P与点N的距离为3，数x的值为______． 63．综合与实践 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以完美地将数与形结合，而平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． 【问题情境】 (1)平移运动 一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点．请画出一条数轴，并表示出三点的位置． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示7的点与表示______的点重合． ②若数轴上两点之间的距离为（点在点的左侧，且折痕与①折痕相同），当两点经折叠后重合，则点表示的数为______，点表示的数为______． ③如图，一条数轴上有三点，其中点表示的数分别是，现以为折点，将数轴向右对折．若对折后点对应的点为，且点与点之间的距离为3，求点表示的数． 题型二十二 数轴与绝对值的综合题型（压轴）（共3小题） 70．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 71．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 72．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 题型二十三 有理数的混合运算（压轴）（共3小题） 73．（24-25七年级上·山东聊城·期中） 计算： (1) (2) (3) (4) 74．（24-25七年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，完成作答． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 (1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）； (2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）； (3)请你简便计算： 75．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算： (1) (2) 题型二十四 有理数的实际应用（压轴）（共3小题） 76．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．刚大学毕业的张明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣．但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +14 +21 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天是星期 ，销售量最少的一天是星期 ； (2)本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理由； (3)若冬枣每斤按9元出售，张明需要支付费用包括运费和采摘费，平均每斤冬枣运费和采摘费分别是3元和0.5元，那么张明本周销售冬枣实际共得多少元？ 77．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某超市购进10箱樱桃，若以每箱净重5千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：、、、、、、、0、、 (1)求这10箱樱桃的总净重量是多少千克． (2)若每箱樱桃的进价为450元，超市原计划把这些樱桃全部以零售的形式出售，为保证超市仍然能获利，那么樱桃的售价应定为每千克多少元． (3)若第一天超市以（2）中的售价售出了的樱桃后，经超市进行商讨研究后，将剩余的樱桃每2千克一盒经过包装后再投入到超市销售，每盒售价为360元，包装成本费为每盒10元，人工费不计，最终全部售出，请计算该超市实际销售樱桃的总利润比原计划销售樱桃的总利润多多少元． 78．（24-25七年级下·北京·期中）如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 题型二十五 有理数的新定义问题（压轴）（共3小题） 79．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于正整数a、b，定义一种新运算，． (1)计算的值为______； (2)求的所有可能的值； (3)下列说法中正确的是______． ①                ② ③                ④ 80．（24-25七年级上·福建·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； 81．（24-25七年级上·福建三明·期中）小明在学习了“有理数的乘方”后，类比“乘方”定义“除方”的概念：若干个相同有理数（不能为0）的除法运算叫做除方，用符号表示非零有理数a的n次除方，即，其中． (1)计算的值； (2)关于“有理数的除方”，给出以下判断： ①； ②若，则； ③对于任意正整数n，都有． 正确的是______．（写出所有正确判断的序号） (3)若，n为正整数，且，将“除方”的运算结果表示为幂的形式，并计算的值． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 有理数章末易错压轴题 题型1 正数和负数 题型14 有理数混合运算的实际应用 题型2 有理数的概念与分类 题型15 有理数的乘方运算 题型3 数轴三要素及其画法 题型16 程序流程图 题型4 利用数轴上的点表示有理数 题型17 算24点 题型5 数轴上两点之间的距离 题型18 数轴上点的运动问题（压轴） 题型6 数轴上整点覆盖问题 题型19 绝对值的几何意义（压轴） 题型7 相反数 题型20 带绝对值的式子化简问题（压轴） 题型8 绝对值的非负性 题型21 数轴上的翻折问题（压轴） 题型9 绝对值的化简问题 题型22 数轴与绝对值的综合题型（压轴） 题型10 绝对值的几何意义（基础） 题型23 有理数的混合运算（压轴） 题型11 有理数的大小比较 题型24 有理数的实际应用（压轴） 题型12 有理数的混合运算 题型25 有理数的新定义问题（压轴） 题型13 有理数的简便运算 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 正数和负数（共3小题） 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）8月18日，“蛟龙号”载人潜水器在西太平洋海域顺利完成了航次首潜，这是我国自主设计、自主集成的首台7000米级大深度载人潜水器“蚊龙号”的第300次下潜，若下潜100米记作米，则上浮60米记作（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的意义，根据下潜100米记作米，则上浮60米记作米，即可作答． 【详解】解：∵下潜100米记作米， ∴上浮60米记作米， 故选：C． 2．某种零件，标明要求是（φ表示直径，单位：毫米），经检查，一个零件的直径是，该零件 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】不合格 【分析】本题考查正负数在实际生活中的应用，由知合格范围在和之间． 【详解】解：∵， ∴零件直径最大是，最小是， ∴零件合格范围在和之间， ∵， ∴不合格． 故答案为：不合格． 3．（24-25七年级上·陕西渭南·期中）七（1）班4名学生的身高以班级平均身高为基准，超过者记为正，不足者记为负，甲、乙、丙、丁四名同学的身高记录情况如下表，甲实际身高为157厘米，求其他三名同学的实际身高． 甲 乙 丙 丁 身高记录（单位：厘米） 【答案】乙的实际身高为：（厘米）；丙的实际身高为：（厘米）；丁的实际身高为：（厘米）． 【分析】根据正数和负数的意义分别求出乙、丙、丁三位同学的实际身高即可． 【详解】解：因为甲的实际身高为157厘米，甲的身高记录为厘米， 所以班级平均身高是（厘米）． 所以乙的实际身高为：（厘米）， 丙的实际身高为：（厘米）， 丁的实际身高为：（厘米）． 【点睛】本题考查了正数和负数，主要利用了正数和负数的意义，求出班级的平均分是解题的关键． 题型二 有理数的概念与分类（共3小题） 4．（24-25七年级上·重庆永川·期中）下列说法正确的是（    ） A．一定是负数 B．整数和分数统称为有理数 C．有理数分为正数，负数和零 D．正整数和负整数统称为整数 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的基本概念． 根据有理数的基本概念逐一分析即可． 【详解】解：A：当为负数时，为正数，故原说法错误； B：根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，故原说法正确； C：有理数分为正有理数、负有理数和零，而非笼统的“正数、负数和零”，故原说法错误； D：整数包括正整数、负整数和零，选项中遗漏了零，故原说法错误； 故选：B． 5．（24-25七年级下·河南商丘·期中）在数，，3.14，0，2.36，，0.020020002…中，无理数共有 个． 【答案】2 【分析】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如，，（每两个8之间依次多1个等形式． 根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：无理数有：，，共2个， 故答案为：2． 6．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）将下列各数填在相应的集合里． ，，，，，，，，， 整数集合：                   ； 负有理数集合：                ； 正分数集合：                  ； 非负整数集合：                ． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查有理数的分类，掌握有理数的分类方法是关键． 整数包括正整数、0、负整数；负有理数包括：负分数，负整数；正分数就是大于0的分数；非负整数包括正整数和0，由此即可求解． 【详解】解：，，，，，，，，，， 整数集合：，，，； 负有理数集合：，， ； 正分数集合： ， ； 非负整数集合：，， ． 题型三 数轴三要素及其画法（共3小题） 7．（24-25七年级上·广西南宁·期中）下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴的概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，注意数轴的三要素缺一不可． 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，据此判断． 【详解】解：A、单位长度不相等，故表示错误； B、不符合数轴右边的数总比左边的数大的特点，故表示错误； C、没有原点，故表示错误； D、符合数轴的定定义，故表示正确； 故选D． 8．下面四条数轴，正确的是(      ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，根据数轴的三要素原点，正方向，单位长度即可判断，正确理解数轴的三要素原点，正方向，单位长度是解题的关键． 【详解】解：根据数轴的三要素原点，正方向，单位长度可知， 、无原点，不符合题意； 、正方向有误，不符合题意； 、无方向，不符合题意； 、符合要求，符合题意； 故选：． 9．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）下列说法： ①规定了原点、正方向的直线是数轴； ②数轴上两个不同的点不可以表示同一个有理数； ③有理数在数轴上无法表示出来； ④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点．    其中正确的是(    ) A．①②③④ B．②④ C．③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了数轴的定义，数轴上的点和有理数的对应关系，①考查数轴三要素：原点，正方向，单位长度．②④数轴上的点和有理数的对应关系．③π不是有理数． 【详解】解：数轴三要素：原点，正方向，单位长度，①错误． 每个有理数都能用数轴上一个点表示，也可以说每个有理数都对应数轴上的一个点，②④正确． 不是有理数，且可以在数轴上表示出来，③错误． 故选：B． 题型四 利用数轴上的点表示有理数（共3小题） 10．（24-25七年级上·山东聊城·期中）下列说法正确的是（         ） A．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示． B．在数轴上，原点及原点右边的点表示的数都是正数． C．在数轴上，与原点的距离是 2的点所表示的数是2． D．在数轴上离原点的距离越远的点表示的数越大． 【答案】A 【分析】本题主要考查了数轴的几何意义，解题的关键是掌握数形结合的数学思想． 利用数轴的几何意义，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项正确，符合题意； B.在数轴上，原点表示的数为0，0不是正数，该选项错误，不符合题意； C.在数轴上，与原点的距离是2的点所表示的数是2或者，该选项错误，不符合题意； D.在数轴上离原点的距离越远的右侧的点表示的数越大，左侧的点表示的数越小，该选项错误，不符合题意； 故选：A． 11．（24-25七年级上·北京延庆·期中）若，则有理数在数轴上对应的点的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查用数轴上的点表示有理数，根据，得到对应的点在和之间，且靠近，进行判断即可． 【详解】解：由题意，有理数在数轴上对应的点的位置是 故选：C． 12．（24-25七年级上·福建宁德·期中）数轴上点表示的数为4，点与点的距离为3，则点表示的数为 ． 【答案】1或7 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数及数轴上两点之间的距离，分类讨论：当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，根据点到点的距离为3个单位，即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：当点在点的右侧时， 点表示的数为：， 当点在点的左侧时， 点表示的数为：， 综上所述，点表示的数为：或， 故答案为：或． 题型五 数轴上两点之间的距离（共3小题） 13．（24-25七年级上·全国·期中）点O，A，B，C在数轴上的位置如图所示，O为原点，，．若点C表示的数为a，则的长度是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了数轴，线段的和差关系及各数的取值是本题解题关键．利用点和长求出点，再利用即可求出点，再求出的长． 【详解】解：所表示的数为， ， ， ， 点所表示的数为， ， 点所表示的数为 ． 故选：B． 14．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）数轴上表示整数的点称为整数点，某数轴的单位长度为，若在这条数轴上任意画一条长的线段，则线段覆盖住的整数点的个数是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了数轴，分两种情况：①线段起点在整点，②线段起点不在整点，进行解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：①当线段起点在整点时，覆盖个数； ②当线段起点不在整点，即在两个整点之间时，覆盖个数； ∴线段覆盖住的整数点的个数是或， 故答案为：或． 15．（24-25六年级上·上海闵行·期中）如图，在数轴上点表示的数是 ．点表示的数是 ． （1）如果该数轴上点与点之间的距离是3，那么点表示的数是 ； （2）如果该数轴上另有一点，点到点、的距离相等，那么点表示的数是 ． 【答案】，4 （1）或2 （2）1.5 【分析】此题考查了数轴，数轴上两点的距离，弄清数轴上的点与有理数之间的对应关系是解本题的关键． 找出数轴上与表示的数即可； （1）找出数轴上与点之间的距离是3的点C表示的数即可，注意点C可在点A的左右两边； （2）根据数轴，找出点表示的数即可． 【详解】 解：由图可得，在数轴上点表示的数是，点表示的数是4； 故答案为：，4． （1）在数轴上表示出点，如图所示； ∴点表示的数是或2； 故答案为：或2． （2）如图， ∵点到点、的距离相等， ∴点是线段的中点， ∴点表示的数是1.5． 故答案为：1.5． 题型六 数轴上整点覆盖问题（共3小题） 16．（24-25七年级上·内蒙古通辽·期中）数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画一条长2023厘米的线段，则线段盖住的整数点有（    ）个 A．2021或2022 B．2022或2023 C．2023或2024 D．2024或2025 【答案】C 【分析】本题考查数轴表示数的意义和方法，理解线段及端点与数轴上点的对应关系，分线段的端点与整数点重合、不重合两种情况进行计算即可． 【详解】解：当长2023厘米的线段的端点与整数点重合时，两端与中间的整数点共有2024个， 当长2023厘米的线段的端点不与整数点重合时，中间的整数点只有2023个， 故选：C． 17．若数轴上表示整数的点称为整点，画一数轴，并规定单位长度为l厘米，若在这条数轴上随意画出一条长10厘米的线段，则线段盖住的整点有（    ） A．8个或9个 B．9个或10个 C．10个或11个 D．11个或12个 【答案】C 【分析】分线段的端点在整点上和不在整点上两种情况讨论，据此得出规律即可解答本题． 【详解】解：依题意得：①当线段的端点在整点上时，覆盖11个数； ②当线段的端点不在整点，即在两个整点之间时覆盖10个数． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了分类讨论思想和数形结合思想的应用，取一个较小的整数，然后画出图形得出规律是解决此题的关键． 18．（24-25七年级上·江苏南通·期中）数轴上表示整数的点称为整点．某数轴上的单位长度是1cm，点A表示的数是-0.5，在这个数轴上画线段AB，使得AB的长为2021cm，则该线段盖住的整点个数是 ． 【答案】2021 【分析】由点A表示的数是-0.5，可知A点不是整点，则B点也不是整点，即可分析出当AB的长为2021cm时线段AB之间有2021个整点． 【详解】解：由点A表示的数是-0.5，可知A点不是整点，则B点也不是整点，两点之间有2021个整点， 所以该线段盖住的整点个数是2021． 故答案为：2021． 【点睛】本题考查数轴的应用，掌握数轴是解题关键． 题型七 相反数（共3小题） 19．（24-25六年级下·上海松江·期末）以下叙述中，正确的是（    ） A．正数与负数互为相反数 B．表示相反意义的量的两个数互为相反数 C．任何有理数都有相反数 D．一个数的相反数是负数 【答案】C 【分析】根据正负数、相反数的定义与应用对各选项进行判断即可． 【详解】A选项：1和不互为相反数，原说法错误，故不符合题意． B选项：支出1元与收入2元是两个相反意义的量，但不互为相反数，原说法错误，故不符合题意． C选项：任何有理数都有相反数，正确，故符合题意． D选项：的相反数是1，是正数，原说法错误，故不符合题意． 故选C． 【点睛】本题考查了正负数、相反数．解题的关键在于熟练掌握相反数的定义与应用． 20．（24-25七年级上·广东湛江·期中）若a与互为相反数，则a 的值 ． 【答案】1 【分析】此题考查了相反数的性质， 根据互为相反数的两个数的性质，可列方程求出a的值， 【详解】根据题意得：， 解得：． 故答案为：1． 21．（24-25七年级上·福建厦门·期中）已知与互为相反数，求的值. 【答案】5 【分析】根据互为相反数的两个数之和为0，得出方程，解出即可. 【详解】解：由题意得 化简得 解得 所以的值为5. 【点睛】本题考查相反数的性质，根据性质列出方程是关键. 题型八 绝对值的非负性（共3小题） 22．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）已知：，比较x，y的大小关系，正确的一组是（    ） A． B． C． D．与x，y的取值有关，无法比较 【答案】B 【分析】先根据非负数的性质求出x、y的值，再根据有理数比较大小的方法求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了比较有理数的大小，非负数的性质，解题的关键在于熟知几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0． 23．（24-25七年级上·湖南岳阳·期中）若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，解得关键是掌握非负数的性质．根据题意得到：，，即可求解． 【详解】解：， ，， 解得：，， 故答案为：，． 24．（24-25七年级上·吉林白城·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，AB表示A点和B点之间的距离，且a，b满足．求A，B两点之间的距离． 【答案】8 【分析】根据绝对值和平方的非负性即可求出，进而即可求出A，B两点之间的距离． 【详解】∵， ∴， 解得：． ∴A点表示数为，B点表示数为， ∴． 【点睛】本题考查非负数的性质，数轴上两点之间的距离．掌握绝对值和平方的非负性是解题关键． 题型九 绝对值的化简问题（共3小题） 25．（24-25七年级下·广西柳州·期中）已知实数a在数轴上的对应点位置如图所示，则化简的结果是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了绝对值和数轴，解题的关键是掌握正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．根据数轴可知，根据绝对值的性质化简即可． 【详解】解：根据数轴可知：， ∴， ∴， 故选：C． 26．（24-25七年级上·全国·期中）如图，在数轴上的a，b，c三个实数，且，化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了绝对值的化简、实数与数轴，根据数轴正确判断相关式子的符号是解题的关键．根据数轴可得，，，再利用绝对值的性质即可化简． 【详解】解：根据数轴上点的位置得：，且， ，，， ． 故答案为：． 27．（24-25七年级上·北京西城·期中）有理数在数轴上的对应点位置如图所示， (1)在图中标出，所对应的点，并用“”连接，，，，； (2)化简：． 【答案】(1)作图见详解， (2) 【分析】本题主要考查数轴与有理数的对应关系，掌握数轴的特点，相反数，绝对值的定义及性质是解题的关键． （1）根据数轴的特点，相反数的定义和性质进行作图，再根据数轴的特点比较大小即可； （2）根据数轴的特点确定代数式的符号，再根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0”化简即可求解． 【详解】（1）解：标出，所对应的点，如图所示， ∴； （2）解：根据数轴上数的位置可得，， ∴ ． 题型十 绝对值的几何意义（基础）（共3小题） 28．（24-25六年级上·上海嘉定·期中）绝对值不大于3的整数有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．无数个 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的意义：若，则；若，则；若，则．根据绝对值的意义得到整数，，，0的绝对值都不大于3． 【详解】解：绝对值不大于3的整数有：，，，0，共7个数． 故选：C． 29．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知表示与的差的绝对值，实际上可理解为在数轴上正数对应的点与负数对应的点之间的距离，的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，绝对值的意义，化简绝对值等知识点，熟练掌握绝对值的意义并运用数形结合思想是解题的关键． 利用绝对值的意义解答即可． 【详解】解：表示数到数，，的距离之和， 只有当时，有最小值，其最小值为： ， 故答案为：． 30．（24-25七年级上·河南周口·期中）阅读下面的材料： 在学习绝对值时，根据绝对值的几何意义，我们知道表示5、3在数轴上对应的两点间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点A、B在数轴上分别表示有理数a 、b，那么A、B两点之间的距离可以表示为． 回答下列问题： (1)数轴上表示6与的两点之间的距离是 ； (2)若，则 ； (3)满足的有理数x有 个． 【答案】(1)15 (2)0或6 (3)无数 【分析】本题考查了绝对值的意义，数轴的应用，解题的关键是： （1）数轴上两点间的距离等于两个数的差的绝对值，据此计算； （2）分析出的意义，继而求解； （3）分析出表示与的距离与它与3的距离之和为5，得到x的范围，继而得解． 【详解】（1）解：数轴上表示6与的两点之间的距离是； 故答案为：15； （2）表示与3的距离为3， 则或6， 故答案为：0或6； （3）表示与的距离与它与3的距离之和为5， 则，这样的有理数有无数个， 故答案为：无数． 题型十一 有理数的大小比较（共4小题） 31．（24-25七年级上·贵州毕节·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数的大小比较，有绝对值的先化简绝对值，再根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小解答即可． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，，，所以，故此选项正确，符合题意； C、，，所以，故此选项错误，不符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意． 32．（25-26七年级上·全国·期中）比较大小： （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号，有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 【详解】解：，， ， ， 故答案为：． 33．（24-25七年级上·全国·期中）在如图所示的数轴上表示下列各数：， ，，3，并用“”号将这些数连接起来． 【答案】见解析， 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，熟练掌握数轴上的点表示的数的大小特点是解题的关键． 根据数轴上左边的数小于右边的数，即可解答． 【详解】解：如图， 所以． 题型十二 有理数的混合运算（共2小题） 34．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算即可； （2）先计算乘除，再计算减法即可； （3）先计算乘方和括号内的，再计算乘法，然后计算加法即可； （4）先计算括号内的，再计算除法即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 35．（24-25七年级上·北京·期中）计算 (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【答案】(1) (2)79 (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． （1）根据有理数的加减法可以解答本题； （2）根据有理数的乘除法和加法可以解答本题； （3）根据有理数的乘除法和乘法分配律可以解答本题； （4）根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 36．（24-25七年级上·四川巴中·期中）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题关键是熟记有理数的混合运算的顺序，运算法则和运算定律． （1）根据混合运算的顺序和绝对值与运算法则进行计算便可； （2）根据乘法的分配律进行计算便可； （3）根据混合运算的顺序与运算法则进行计算便可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 题型十三 有理数的简便运算（共3小题） 37．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）用简便方法计算 (1) (2) 【答案】(1) (2)17 【分析】本题考查了有理数的混合运算，乘法运算律，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先将除法化为乘法，再利用乘法分配律简便计算即可； （2）先利用乘法分配律展开，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 38．（24-25七年级上·四川泸州·期中）简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算及乘法分配律的运用，准确熟练地进行计算是解题的关键 （1）利用乘法分配律的逆运算进行计算，即可解答∶ （2）将变形乘再用乘法分配律进行计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： 39．（24-25七年级上·吉林长春·期中）简便计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，运用有理数的加减运算法则，乘法分配律，除法法则，简便计算的方法进行计算，掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）把小数化为分数，分母相同的结合起来，运用分数加减运算法则计算即可； （2）运用乘法分配律，把分别乘以括号中的每一项，注意符号不能出错，不能少乘，再根据有理数的加减运算法则计算即可； （3）将变形，再根据除以一个非零数，等于乘以这个数的倒数，注意符号不能出错，最后运用有理数的加减运算法则计算即可； （4）运用简便计算方法，提取公因数后，先算括号里的，再算乘法，由此即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型十四 有理数混合运算的实际应用（共3小题） 40．（24-25七年级上·全国·期中）出租车司机小李某天下午从A地出发，营运全是在东西的人民大道进行的．如果规定向东为正，向西为负，他这天营运的车次和里程如表（单位：千米）： 车次 里程 (1)在哪次记录中距A地最远？ (2)将最后一名乘客送到目的地时，小李距出发地的距离是多少？ (3)若每千米耗油，问小李这天下午共耗油多少升． 【答案】(1)第③次 (2)12千米 (3) 【分析】本题考查了有理数的加减运算在实际生活中的应用，以及正负数的意义，体现了数学知识与实际生活的结合，熟练掌握正负数的意义并正确运算是解决本题的关键． （1）分别计算出第①次到第⑦次距离A地的距离，由此可得； （2）根据第⑦次距离A地的距离可解； （3）求解出第①次到第⑦次的总路程，由总路程乘以油耗即可求解． 【详解】（1）解：第①次距离A地的距离：， 第②次距离A地的距离：， 第③次距离A地的距离：， 第④次距离A地的距离：， 第⑤次距离A地的距离：， 第⑥次距离A地的距离：， 第⑦次距离A地的距离：， 答：第③次距离A地最远； （2）解：第⑦次距离A地的距离：， 答：将最后一名乘客送到目的地时，小李距出发地的距离是12千米； （3）解：∵千米， ∴， 答：小李这天下午共耗油． 41．（24-25七年级下·广西柳州·期中）某自行车厂一周计划生产1050辆自行车，平均每天生产150辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入．如表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前三天共生产_______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产多少辆？ (3)该厂实行计件工资制，每辆车50元，超额完成任务每辆奖10元，少生产一辆扣10元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)449 (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产26辆 (3)该厂工人这一周的工资总额是53040元 【分析】此题主要考查了正负的意义，有理数的减法与加法，以及有理数的乘法，关键是看懂题意，弄清表中的数据所表示的意思； （1）三天的计划总数加上三天多生产的辆数的和即可； （2）用表格中最大的增减量减去最小的增减量即可； （3）求得这一周生产的总辆数，然后按照工资标准求解即可． 【详解】（1）解：前三天共生产（辆）， 故答案为：； （2）解：产量最多的一天比产量最少的一天多生产： （辆）； （3）解：（辆）， （元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是元． 42．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）最近李老师家刚买了一辆小轿车，他连续记录了7天中小轿车每天行驶的路程（如下表），以50千米为标准，多于50千米的记为“”，不足50千米的记为“”，刚好50千米记为“0”．     第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（千米） (1)求出这七天中平均每天行驶多少千米？ (2)若每行驶100千米需用汽油6升，汽油价7元每升，请计算李老师家这七天的油费是多少元？ 【答案】(1)这七天平均行驶50千米 (2)李老师家这周的油费是元 【分析】本题考查了正负数的意义和应用，有理数的混合运算，熟练掌握正负数的意义是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解： （千米） 答：这七天平均行驶50千米． （2）解：（元） 答：李老师家这周的油费是元． 题型十五 有理数的乘方运算（共3小题） 43．（24-25七年级上·广东湛江·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． 先计算乘方，然后计算乘法，最后计算加减． 【详解】解： ． 44．（24-25七年级上·广东中山·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，涉及乘方运算、绝对值运算、有理数乘法运算和有理数减法运算等知识，熟练掌握有理数的混合运算法则是解决问题的关键．先计算乘方与绝对值运算，括号内的运算，再计算乘法运算，最后利用有理数减法运算求解即可得到答案． 【详解】解： ． 45．（24-25七年级上·甘肃天水·期中）计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十六 程序流程图（共3小题） 46．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）[新视角 程序计算题]如图是一个简单的数值运算程序图，当输入x的值为时，输出的数值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了程序流程图与有理数计算，观察数值运算程序图，且结合输入x的值为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵输入x的值为， ∴观察数值运算程序图，得， 故选：D 47．（24-25七年级上·贵州黔南·期中）如图，某同学设计了一种计算程序流程图，当输入的的值为时，输出的的值为 ． 【答案】124 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数混合计算：根据流程图可得算式，计算出该结果，若大于100，则输出，若不大于100，则计算的结果作为新输入的数，再计算，如此反复，直至能输出对应的结果即可． 【详解】解：当时，， ∴此时输出的的值为124． 故答案为：124． 48．如图是一个“数值转换机”（箭头是指数进入转换机的路径，方框是对进入的数进行转换的转换机）． (1)当小亮输入1，3这两个数时，则两次输出的结果依次为__________，__________． (2)当小亮输入数15时，求出输出的结果． (3)当小亮输入数18时，则输出结果为______________． (4)有一次，小亮操作的时候，输出结界结果是2，聪明的你判断一下，小亮输入的正整数可能是（   ） A．2022        B．2023        C．2024 【答案】(1)1， (2)输出的结果是0 (3) (4)A 【分析】（1）将两个数输入，再计算即可得出答案； （2）输入计算即可； （3）输入计算即可； （4）根据输出的结果讨论的数据． 【详解】（1）解：输入1时，小于2，1的相反数为，的绝对值为1，所以输出1； 输入3时，3大于2，，的相反数是2，2的倒数是. 故答案为：1，； （2）当输入15时，15大于2，，0的相反数是0，0的绝对值是0，则输出的结果是0； （3）当输入18时，18大于2，，的相反数是2，2的倒数是，所以输出的结果是． 故答案为：； （4）按照倒数计算输出的结果不能是2，当按照绝对值计算输出的结果是2时，输入的数是2或7，根据题意将这两个数扩大，即再加上5的倍数，， 所以符合题意的数是或． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数字转换机，相反数，倒数，绝对值，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 题型十七 算24点（共3小题） 49．（24-25七年级上·浙江温州·期中）将2，，4，8这四个数（每个数用且只能用一次）进行加，减，乘，除，乘方，开方混合运算，使其结果为24，则可列式为 ． 【答案】 【分析】本题主要查了有理数的混合运算．根据有理数的混合运算法则，即可求解． 【详解】解：∵ 。 故答案为： 50．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期中）有一种“二十四点”游戏，其游戏规则是：任取1至13之间的四个自然数，将这四个数（每个数用且只用一次，可以加括号）进行加减乘除混合运算，使其结果等于24．现有四个有理数，3，4，10，请仿照“二十四点”游戏规则写出一个算式： ，使其结果等于24． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据有理数的四则混合计算法则进行计算求解即可． 【详解】解： ， ∴满足题意的式子可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 51．（24-25七年级上·重庆南岸·期中）学习了有理数后，为练习加、减、乘、除以及乘方混合运算，“智慧学习小组”自制了一副卡片，每天课余，小组成员会做五分钟的混合运算游戏．每次随机抽取4张卡片，根据卡片上的数字进行混合运算（每张卡片必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或者． 例如果随机抽取的四张卡片上的数为，可以列式为：． 说明：与，是交换了因数的位置，看作是相同的算式；与是交换了加数的位置，看作是相同的算式． (1)若随机抽取的卡片上的数为，请列出计算结果为24或的两个不同算式； (2)若随机抽取的卡片上的数为，请列出计算结果为24或的三个不同算式． 【答案】(1)， (2)，， 【分析】（1）根据题目要求，通过四个数的组合运算，列出结果为24或的算式即可； （2）根据题目要求，通过四个数的组合运算，列出结果为24或的算式即可． 【详解】（1）解：； ． （2）解：； ； ． 【点睛】本题考查了有理数混合运算，解题关键是熟练掌握有理数运算法则，正确列出不同算式． 题型十八 数轴上点的运动问题（压轴）（共3小题） 52．（24-25七年级上·吉林·期中）阅读材料：点，在数轴上对应的数分别为，，当点在点的左侧时，我们把数轴上，两点之间的距离表示为．如可以表示为3与1两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 探索： 若点，在数轴上对应的数分别为，6． (1)，两点之间的距离是________； (2)点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点对应的数为________（用含的代数式表示）；2秒后，两点间距离为______； (3)点以每秒2个单位长度沿数轴向左运动，点以每秒3个单位长度同时沿数轴向右运动，求秒后，两点间距离．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，和数轴上的动点问题． （1）根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可； （2）先求得秒后点A表示的数，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算，然后代入数值即可； （3）先求得t秒后点A和点B表示的数，再根据数轴上两点距离的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：，两点之间的距离是， 故答案为：． （2）解：点对应的数为； 2秒后点表示的数为，， ∴2秒后，两点间距离为； 故答案为：；； （3）解：秒后，两点间距离为． 53．（24-25七年级上·福建厦门·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和点建立起一一对应的关系，揭示了代数与几何之间的内在联系，它是“数形结合”的基础，小安在一张长方形纸条上画了一条数轴，然后进行了实践探究： (1)折叠纸条，使表示1的点与表示的点重合，则表示的点与表示___________的点重合． (2)在数轴上A，B两点之间的距离为2024（点A在点B的左侧），折叠纸条，使表示6的点与表示的点重合．此时A，B两点也重合，则点A表示的数是___________． (3)定义：P，Q为数轴上任意两点，若折叠纸条使点P，Q重合，折痕与数轴的交点为点M，则称点M为点P和点Q的“叠点”． 点C，D，O在数轴上，点C是数轴上最大的负整数点，点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7．折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”．若存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，．求点F到“叠点”E的距离． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数与数轴；熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，折叠的性质，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． （1）利用中点坐标公式求出折痕点，再求解即可； （2）①利用中点坐标公式求出折痕点，设A点表示的数是x，则B点表示的数是，根据中点坐标公式求出x，即可求解； （3）根据题意分别求得表示的数，进而即可求解． 【详解】（1）解：∵1表示的点和表示的点重合， ∴折叠点对应的数是0， ∴表示的点与表示的点重合， 故答案为：； （2）解：∵表示的点和表示的点重合， ∴折叠的点表示的数是， 设点表示的数是，则B点表示的数是， ∴， 解得， ∴点A表示的数， 故答案为：； （3）解：∵点C是数轴上最大的负整数点， ∴点C表示的数是， ∵点O是原点，点D在点O的右侧且到点O的距离是7， ∴点D表示的数是， ∵折叠纸条使点C和点D重合，点E是点C和点D的“叠点”． ∴点E表示的数是； ∵存在点F在点C与点D之间，且其在数轴上对应的数为m，． ∴，即点F表示的数是， ∴点F到“叠点”E的距离为． 54．若A、、为数轴上三点，若点到A的距离是点到的距离2倍，我们就称点是【A，】的好点．例如，如图1，点A表示的数为，点表示的数为2．表示1的点到点A的距离是2，到点的距离是1，那么点是【A，】的好点；又如，表示0的点到点A的距离是1，到点的距离是2，那么点就不是【A，】的好点，但点是【，A】的好点． 知识运用：如图2，、为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为4． (1)数 所表示的点是【，】的好点； (2)如图3，A、为数轴上两点，点A所表示的数为，点所表示的数为40．现有一只电子蚂蚁从点出发，以2个单位每秒的速度向左运动，到达点A停止．当为何值时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点？ 【答案】(1)2或10 (2)秒或20秒或15秒 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题： （1）根据数轴求出两点距离，再根据新定义的概念求出结果，注意有两种情况； （2）分情况讨论，根据好点的定义可求出结果； 正确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：设点是【，】的好点， ， 当在、之间时， ， ， ， 表示的数为， 当在右边时， 设表示的数为， ， ， 故答案为：2或10； （2）解：当是【A，】好点时， 即， ， ； 当是【，A】好点时， 即， ， ； 当是【A，】好点时， 即， ， ， 当A是【，】好点时， 即， ， ； 综上所述，当秒或20秒或15秒时，、A和中恰有一个点为其余两点的好点． 题型十九 绝对值的几何意义（压轴）（共3小题） 55．（24-25七年级上·四川成都·期中）阅读下面材料： 点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为，当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图甲，；当A、B两点都不在原点时， ①如图乙，点都在原点的右边，； ②如图丙，点都在原点的左边， ③如图丁，点在原点的两边， 综上，数轴上两点之间的距离． 回答下列问题： (1)数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和的两点之间的距离是 ，数轴上表示和 的两点之间的距离是 ； (2)数轴上表示和的两点分别是点和，则之间的距离是 ，如果，那么 ； (3)当代数式取最小值时，相应的的取值范围是 ． (4)当代数式的最小值． 【答案】(1)3；3；4 (2)，1 或 (3) (4)90 【分析】本题考查绝对值的意义；能够熟练掌握绝对值的意义，将绝对值问题转化为两点距离问题，借助数轴求解是解题的关键. （1）由绝对值表示的距离的意义，直接代入公式即可求解； （2）由绝对值表示的距离的意义，直接代入公式即可求解； （3）表示点到与的距离和， 当取最小值时， 在与之间； （4）表示到的距离，所以当到的距离等于到的距离时， 取最小值. 【详解】（1）解：与两点距离为； 和的两点之间的距离为； 和的两点之间的距离为； 故答案为：， ， （2）解：和的两点距离为； 时， 或， ∴或； 故答案为， 或； （3）解：表示点到与的距离和， 当取最小值时， 在与之间，即； 故答案为：； （4）解：∵表示到的距离， ∴当到的距离等于到的距离时， 取最小值，最小值． 56．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【定义新知】我们知道：式子的几何意义是数轴上表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离，因此，若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离．若点P表示的数为x，请根据数轴解决以下问题： （1）式子在数轴上的几何意义是 ，当，则x的值为 ； （2）当 时，的值最小，最小值为 ； 【解决问题】 （3）如图，一条笔直的公路边有三个居民区A、B、C和市民广场O，居民区A、B、C分别位于市民广场左侧5千米，右侧1千米，右侧3千米，A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人，现因防疫需要，需要在该公路上建一个核酸检测实验室P，用于接收这3个小区的全员核酸样本．若核酸样本的运输和包装总成本为每千米1元/千份，那么实验室P建在何处才能使总运输和包装总成本最低，最低成本是多少？ 【答案】（1）数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离；或4；（2），7；（3）实验室P建在点B与点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元 【分析】本题考查了绝对值的几何意义、距离之和的最小值以及实际应用；熟练掌握绝对值的几何意义、数形结合是解题的关键． （1）根据绝对值的几何意义即可得解； （2）表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和，当时，距离之和最小，化简即可； （3）A、B、C在数轴上分别表示，1，3，P表示x，使总运输和包装成本最低即最小，分析在点B处才能使总运输和包装成本最低． 【详解】（1）由题可知式子在数轴上的几何意义数轴上表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离； ∵表示有理数x的点与表示有理数的点之间的距离，表示有理数x的点与表示有理数3的点之间的距离， ∴表示数轴上x到的距离加上x到3的距离等于7， ∵， ∴表示有理数x的点一定在表示有理数的点的左侧或表示有理数3的点右侧， 当表示有理数x的点一定在表示有理数的点的左侧时，， 解得：； 当表示有理数x的点一定在表示有理数3的点的右侧时，， 解得：； 综上，或4； （2）∵表示数轴上x到、x到与x到1的距离之和， ∴当时，的值最小，且最小值为： ； （3）设市民广场O为原点，建立数轴，实验室P所对应的数为x，A、B、C在数轴上分别表示，1，3， ∵A小区有居民1000人，B居民区有居民2000人，C居民区有居民3000人， ∴运输距离为：， ∵的几何意义是数轴上表示有理数x的点分别与表示有理数的点，与表示有理数1的点，与表示有理数3的点之间的距离的和， ∴由（2）得，在之间才能取最小值，最小值为： ， 核酸样本的运输和包装成本为每千米1 元/千份， ∴此时最低成本为12元， 即实验室P建在点B与点C之间才能使总运输和包装成本最低，最低成本是12元． 57．（24-25七年级上·四川成都·期中）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如表示5、3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5、在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点、在数轴上分别表示有理数、，那么、之间的距离可表示为． (1)如果表示数和3的两点之间的距离是7，则可记为：，那么___________． (2)若数轴上表示数的点位于与3之间，求的值． (3)当取何值时，的值最小，最小值是多少？请说明理由 【答案】(1)或10 (2)7 (3)时，最小值为7 【分析】本题主要运用绝对值的几何含义，通过数形结合的思想，根据绝对值表示数轴上两点间的距离来求解．涉及绝对值的性质，即正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．掌握绝对值的几何含义是解题的关键． （1）因为，根据绝对值的性质可得解得或10； （2）因为的点位于与3之间，则，即可解得； （3）通过数形结合的思想，根据绝对值表示数轴上两点间的距离来求解即可． 【详解】（1）解：， ， 或， 解得或10， 故答案为：或10． （2）解：若数轴上表示数的点位于与3之间， 则 故的值为7． （3）解：当时，的值最小， 则， 理由：时，正好是3和两点间的距离． 题型二十 带绝对值的式子化简问题（压轴）（共3小题） 58．（24-25七年级上·天津和平·期中）|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a，，那么的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．不确定 【答案】C 【分析】根据绝对值的意义，先求出a的值，然后进行化简，得到，则，，再进行化简计算，即可得到答案． 【详解】解：∵|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|的最小值是a， ∴当时，|x﹣2|+|x﹣4|+|x﹣6|+|x﹣8|有最小值8， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴ ∴ = = = = =0； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，求代数式的值，解题的关键是掌握绝对值的意义，正确的求出，，． 59．如果，且，那么 ． 【答案】或 【分析】由题意可求出，故可分类讨论：①当时，则，从而可化简绝对值求解；②当时，则，同理求解即可． 【详解】解：，且， ． 对的值分类讨论如下： ①当时， ， ， ； ②当时， ， ， ． 故答案为：或． 【点睛】本题考查化简绝对值．利用分类讨论的思想是解题关键． 60．（24-25七年级上·浙江丽水·期中）已知：，且，，则共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为，则 ． 【答案】7 【分析】根据绝对值的性质进行化简求出x、y的值，然后代入即可解答． 【详解】解：，， ，，， ，，三个数中有两负一正， 当，为负，为正数时， ； 当，为负，为正数时， ； 当，为负，为正数时， ； 共有个不同的值，若在这些不同的值中，最小的值为， ，， ． 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了绝对值，掌握绝对值的性质以及分类讨论思想是解题的关键． 题型二十一 数轴上的翻折问题（压轴）（共3小题） 61．平移和翻折是初中数学两种重要的图形变换    (1)平移运动 ①把笔尖放在数轴的原点处，先向负方向移动4个单位长度，再向正方向移动1个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？用算式表示以上过程及结果是______． A、    B、 C、    D、 ②一机器人从原点开始，第1次向左跳1个单位，紧接着第2次向右跳2个单位，第3次向左跳3个单位，第4次向右跳4个单位，，依此规律跳，当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是______． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示2023的点与表示______的点重合； ②若数轴上两点之间的距离为2024（在的左侧，且折痕与①折痕相同），且两点经折叠后重合，则点表示______，点表示______． (3)一条数轴上有点，其中点表示的数分别是、8，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上，并且，求点表示的数． 【答案】(1)①D；② (2)①；②，1013 (3)点表示的数或 【分析】（1）①读懂题意，根据移动过程列式计算即可；②读懂题意，根据跳动过程列算式，在算式中发现规律，利用规律计算即可； （2）①先通过折叠重叠在一起的两个数，确定折叠的中心点对应的数，再找到与表示2023的点重合的点即可；②根据①可得出折痕处表示的数为1，再根据两点之间的距离进行计算即可得到答案； （3）分两种情况：当点在的左侧时；当点在的右侧时；分别进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①根据移动过程得：， 故选：D； ②向左为，向右为， 机器人跳动过程可以用算式表示为： ， 当它跳2023次时，落在数轴上的点表示的数是：， 故答案为：； （2）解：①表示的点与表示3的点重合， 折痕处的点表示的数为， 与表示2023的点重合的点为：， 表示2023的点与表示的点重合， 故答案为：； ②由①得折痕处的点表示的数为1， 数轴上两点之间的距离为2024，且两点经折叠后重合， 两点到1的距离都是， 点表示，点表示， 故答案为：，1013； （3）解：当点在的左侧时， ，点表示的数为8， 表示的数为， 以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上， 点表示的数为：， 当点在的右侧时， ，点表示的数为8， 表示的数为， 以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在数轴上， 点表示的数为：， 综上所述：点表示的数或． 【点睛】本题主要考查了数轴，折叠与对称，有理数的加减运算，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 62．平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： (1)平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． ①把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动2个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是______； ②一个机器人从数轴上表示﹣1的点出发，并在数轴上移动2次，每次移动3个单位后到达B点，则B点表示的数是______； ③数轴上点A表示的数为m．则点A向左移动n个单位长度所表示的数为______； (2)翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． ①若折叠纸条，表示﹣2的点与表示1的点重合，则表示﹣4的点与表示______的点重合； ②若数轴上A、B两点之间的距离为8，点A在点B的左侧，A、B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示﹣2的点，则A点表示的数为______； ③在数轴上，点P表示的数为4，点Q表示的数为x，将点P、Q两点重合后折叠，折痕与数轴交于M点；将点P与点M重合后折叠，新的折痕与数轴交于N点，若此时点P与点N的距离为3，数x的值为______． 【答案】(1)①；②或5或；③； (2)①3；②；③16或． 【分析】（1）平移： ①根据右加左减的平移规律即可求解； ②分四种情况：①两次向左移动；②两次向右移动；③第一次向左移动，第二次向右移动；④第一次向右移动，第二次向左移动．根据右加左减的平移规律分别求解即可； ③设需将点向左移动个单位，根据，两点的距离是，两点距离的2倍列出方程，解方程即可； （2）翻折： ①设所求数为，根据重合点相同列出方程，解方程即可； ②设点表示的数为，根据与表示的点之间的距离等于4列出方程，解方程即可； ③根据中点坐标公式得出点、表示的数，根据点与点的距离为3列出方程，解方程即可． 【详解】（1）①由题意可得，笔尖的位置表示的数是：． 故答案为：； ②分四种情况： ①如果两次向左移动，那么点表示的数是：； ②如果两次向右移动，那么点表示的数是：； ③如果第一次向左移动，第二次向右移动，那么点表示的数是：； ④如果是第一次向右移动，第二次向左移动，那么点表示的数是：． 综上所述，点表示的数是或6或0． 故答案为：或5或； ③数轴上点A表示的数为m．则点A向左移动n个单位长度所表示的数： ． 故答案为：； （2）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． ①设所求数为，根据题意得 ，解得． 故答案为：3； ②设点表示的数为，根据题意得 ，解得． 故答案为：； ③根据题意可得， 点表示的数为，点表示的数为． 点与点的距离为2， ，即， ，或， 或． 故答案为：16或． 【点睛】本题考查了数轴、列代数式，解决本题的关键是掌握数轴上两点之间的距离公式． 63．综合与实践 【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以完美地将数与形结合，而平移和翻折是初中数学两种重要的图形变化．请借助数轴，结合具体情境解答下列问题． 【问题情境】 (1)平移运动 一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动个单位长度到达点，然后再向右移动个单位长度到达点．请画出一条数轴，并表示出三点的位置． (2)翻折变换 ①若折叠纸条，表示的点与表示3的点重合，则表示7的点与表示______的点重合． ②若数轴上两点之间的距离为（点在点的左侧，且折痕与①折痕相同），当两点经折叠后重合，则点表示的数为______，点表示的数为______． ③如图，一条数轴上有三点，其中点表示的数分别是，现以为折点，将数轴向右对折．若对折后点对应的点为，且点与点之间的距离为3，求点表示的数． 【答案】(1)见解析 (2)①；②；③或 【分析】本题考查了数轴，翻折的性质，有理数的运算； （1）①根据用数轴上的点表示有理数即可求解． ②根据题意找到其规律即可求解． （2）①设表示的点与表示的点重合，根据翻折的性质即可求解． ②根据数轴上两点之间的距离即可求解． ③根据翻折的性质即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，可得点为． 点为， 点为． 三点在数轴上表示如下． （2）①表示的点与表示的点重合， 翻折的点为， 设表示的点与表示的点重合， 点对应的点为， 解得：， 故与表示的点重合， 故答案为：． ②数轴上、两点之间的距离为，设、在数轴上所对应的数为，， 点在点的左侧，且折痕与①折痕相同， ，， ∴，， 故表示的点为，表示的点为， ③分两种情况： 当点落在点的左边时，因为点与点之间的距离为， 所以点在数轴上表示的数为， 所以点表示的数为； 当点落在点的右边时，因为点与点之间的距离为． 所以点在数轴上表示的数为， 所以点表示的数为． 综上所述，点表示的数为或． 题型二十二 数轴与绝对值的综合题型（压轴）（共3小题） 70．【背景知识】数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段的中点表示的数为． 【问题情境】如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒． 【综合运用】 (1)填空： ①A、B两点间的距离_______，线段的中点C表示的数为_______； ②用含t的代数式表示：t秒后，点P表示的数为_______；点Q表示的数为_______； (2)求当t为何值时，； (3)若点M为的中点，点N为的中点，点P在运动过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，请求出线段的长． 【答案】(1)①10，3；②，； (2)1或3； (3)不变，5． 【分析】（1）①根据题目所给的两点距离公式以及两点中点公式进行求解即可；②根据数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动进行求解即可得到结果； （2）由（1）②得t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为，则，再由，可得，由此求解即可； （3）根据两点中点公式，分别求出点M表示的数，点N表示的数，即可得出线段的长度． 【详解】（1）解：①由题意得：，线段AB的中点C为， 故答案为：10，3； ②数轴上点A表示的数为，点B表示的数为8，点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动． t秒后，点P表示的数为：，点Q表示的数为：； 故答案为：，； （2）解：∵t秒后，点P表示的数，点Q表示的数为， ∴， 又∵， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，； （3）解：不发生变化，理由如下： ∵点M为的中点，点N为的中点， ∴点M表示的数为，点N表示的数为， ∴． 【点睛】本题主要考查了用数轴表示有理数，数轴上两点的距离，数轴上的动点问题，数轴上两点之间的中点表示方法，解题的关键在于理解题意，能够熟练掌握数轴上两点的距离计算公式． 71．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）定义：若，，为数轴上三点，若点到点的距离是点到点的距离倍，我们就称点是【，】的美好点．若规定、两点之间的距离为，即当时，我们称点是【，】的美好点． 例如：如图，点表示的数为，点表示的数为．表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点是【，】的美好点；又如，表示的点到点的距离是，到点的距离是，那么点就不是【，】的美好点，但点是【，】的美好点． 如图2，，为数轴上两点，点所表示的数为，点所表示的数为． (1)点，，表示的数分别是，，，其中是【，】美好点的是；写出【，】美好点所表示的数是______． (2)现有一只电子蚂蚁从点开始出发，以个单位每秒的速度向左运动．请你写出当为何值时，，和中恰有一个点为其余两点的美好点？ 【答案】(1)；或 (2)，，，，， 【分析】本题考查数轴上的动点问题、数轴上两点之间的距离、点是【M，N】的美好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据美好点的定义，结合图，直观考察点，，到点，的距离，只有点符合条件．结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，在点的移动过程中注意到两个点的距离的变化． （2）根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况，须区分各种情况分别确定点的位置，进而可确定的值． 【详解】（1）解：根据美好点的定义，，，，只有点G符合条件， 故答案是：． 结合图，根据美好点的定义，在数轴上寻找到点的距离是到点的距离倍的点，点N的右侧不存在满足条件的点，点M和之间靠近点一侧应该有满足条件的点，进而可以确定符合条件．点的左侧距离点M的距离等于点和点的距离的点符合条件，进而可得符合条件的点是． 故答案为：或； （2）解：根据美好点的定义，，和中恰有一个点为其余两点的美好点分种情况， 第一情况：当为【，】的美好点，点在，之间，如图， 当时，则， 因此秒； 第二种情况，当为【，】的美好点，点在，之间，如图2， 当时，则， 因此秒； 第三种情况，为【N，M】的美好点，点在左侧，如图3， 当时，则， 因此秒； 第四种情况，M为【P，N】的美好点，点在左侧，如图4， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第五种情况，M为【N，P】的美好点，点在左侧，如图5， 当时，则，点对应的数为， 因此秒； 第六种情况，M为【N，P】的美好点，点在，左侧，如图， 当时，则， 因此秒； 第七种情况，为【，】的美好点，点在左侧， 当时，则， 因此秒， 第八种情况，N为【M，P】的美好点，点在右侧， 当时，则， 因此秒， 综上所述，的值为：，，，，，． 72．（24-25七年级上·福建泉州·期中）【知识准备】 若数轴上点对应的数为x，点对应的数为y，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． (1)在一条数轴上，O为原点，点对应的数为5，点对应的数为，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】 (2)在（1）的条件下，若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动．设运动时间为，为何值时，的中点所对应的数为10？ 【拓展延伸】 (3)若数轴上点对应的数为x，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：． 在（2）的条件下，若是最靠近的五等分点，为的中点，是否存在使为定值？若存在，请求出的取值范围和此时的定值．若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)17 (3)当时，，理由见解析 【分析】此题主要考查了有理数与数轴，绝对值的意义，理解题意，读懂题目中新定义的分点公式，熟练掌握绝对值的意义，运用分类讨论思想进行分类讨论是解决问题的关键． （1）根据中点公式进行求解即可； （2）首先依题意求出点P和点Q所表示的数，然后根据的中点公式得，由此解出t即可； （3）根据题意得出点表示的数为，点表示的数为，然后表示出，再根据绝对值的意义即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点对应的数为5，点对应的数为， ∴的中点所对应的数为， 故答案为：． （2）解：由题意得，点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 解得， ∴为17时，的中点所对应的数为10． （3）解：存在，当时，，理由如下： 根据题意，五等分点公式为：，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴， ∴表示数到数10和之间的距离之和， ∴当时，． 题型二十三 有理数的混合运算（压轴）（共3小题） 73．（24-25七年级上·山东聊城·期中） 计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，有理数的乘法运算律，解题的关键是掌握各运算法则． （1）先将除法运算转化成乘法运算，再利用乘法运算律进行求解即可； （2）先进行通分，再运用除法运算法则进行计算即可； （3）先进行括号里面的运算，最后进行乘法运算； （4）先利用乘法运算律进行计算，再进行除法计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 74．（24-25七年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，完成作答． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 (1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）； (2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）； (3)请你简便计算： 【答案】(1)① (2)③ (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算． （1）分析三种方法的解答过程可得答案； （2）根据解答过程可得答案； （3）类比解法③的方法求解即可． 【详解】（1）解：以上三种不同的解法中，没有除法分配律，故解法①是错误的；解法②和③解答过程正确； 故答案为：①； （2）解：解法②和③解答过程正确，解法③比较简便， 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 75．（24-25七年级上·河南洛阳·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先化除为乘，然后根据乘法交换律，进行计算，即可； （2）先根据有理数的乘法运算律进行计算，然后再进行减法运算即可 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型二十四 有理数的实际应用（压轴）（共3小题） 76．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）随着手机的普及，微信的兴起，许多人做起了“微商”，很多农产品也改变了原来的销售模式，实行了网上销售．刚大学毕业的张明把自家的冬枣产品也放到了网上实行包邮销售，他原计划每天卖100斤冬枣．但由于种种原因，实际每天的销售量与计划量相比有出入，下表是某周的销售情况（超额记为正，不足记为负．单位：斤）； 星期 一 二 三 四 五 六 日 与计划量的差值 +14 +21 (1)根据记录的数据可知销售量最多的一天是星期 ，销售量最少的一天是星期 ； (2)本周实际销售总量是否达到了计划数量？试说明理由； (3)若冬枣每斤按9元出售，张明需要支付费用包括运费和采摘费，平均每斤冬枣运费和采摘费分别是3元和0.5元，那么张明本周销售冬枣实际共得多少元？ 【答案】(1)六，五； (2)本周实际销售总量达到了计划数量，理由见解析； (3)张明本周销售冬枣实际共得3943.5元 【分析】本题考查了正数和负数以及有理数的混合运算的应用，此题的关键是读懂题意，列式计算． （1）根据正负数的意义可得答案； （2）先将各数相加求得正负即可求解； （3）将每斤冬枣的利润乘以总数量解答即可． 【详解】（1）解：由题意可知：销售量最多的一天是星期六，销售量最少的一天是星期五； （2）本周实际销售总量达到了计划数量，理由如下： ， 故本周实际销量达到了计划数量； （3） （元）， 所以张明本周销售冬枣实际共得3943.5元． 77．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）某超市购进10箱樱桃，若以每箱净重5千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称重的记录如下（单位：千克）：、、、、、、、0、、 (1)求这10箱樱桃的总净重量是多少千克． (2)若每箱樱桃的进价为450元，超市原计划把这些樱桃全部以零售的形式出售，为保证超市仍然能获利，那么樱桃的售价应定为每千克多少元． (3)若第一天超市以（2）中的售价售出了的樱桃后，经超市进行商讨研究后，将剩余的樱桃每2千克一盒经过包装后再投入到超市销售，每盒售价为360元，包装成本费为每盒10元，人工费不计，最终全部售出，请计算该超市实际销售樱桃的总利润比原计划销售樱桃的总利润多多少元． 【答案】(1)这10箱樱桃的总净重量是48千克． (2)樱桃的售价应定为每千克150元． (3)该超市实际销售樱桃的总利润比原计划销售樱桃的总利润多900元． 【分析】本题考查正负数的实际应用以及有理数四则混合运算的实际应用，读懂题意，理解利润、单价、成本之间的关系是解题的关键． （1）求出称重记录的数据之和，再与标准重量相加，即为总净重量； （2）按照获利的标准求出销售额，除以数量，即为单价； （3）求出超市实际销售樱桃的总销售额和原计划销售樱桃的总销售额，再进行计算即可． 【详解】（1）解：（千克） （千克）， 答：这10箱樱桃的总净重量是48千克． （2）解：根据题意，销售额应为：（元）， 每千克售价：（元）． 答：樱桃的售价应定为每千克150元． （3）解：包装前销售额：（元）， 包装后销售额：（元）， 买入成本：（元） 包装成本：（元）， 实际总利润与原计划总利润之差：（元）． 答：该超市实际销售樱桃的总利润比原计划销售樱桃的总利润多900元． 78．（24-25七年级下·北京·期中）如图，小明家在点，学校在点，中间有道路相连，线段上的点，代表十字路口（十字路口处道路的长度忽略不计）．已知：，，；，两个路口都有红绿灯，对于方向的车辆和行人，每天早上、、、的时间段内，两个路口都是绿灯，其它时间段都是红灯；小明每天早上准时从家出发，不晚于到达学校；为确保安全，他的骑行速度不超过，并且只在绿灯时通过路口（如果到达路口时恰好遇到红灯变绿灯或绿灯变红灯，也可以立即通过路口）． (1)若小明的骑行速度保持为，他将在_____（填时刻）到达学校； (2)若小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变，那么他的骑行速度最大可以是_____，最小可以是_____． 【答案】(1) (2)225，150 【分析】本题主要考查有理数运算的应用，正确理解题意是解答本题的关键． （1）分别求出在段用时，段用时以及段用时，再加上等红灯的时间即可得出从出发到学校的总用时； （2）分别求出骑行完所用最长时间和最短时间，根据速度=路程÷时间即可得解． 【详解】（1）解：（分）， （分）， （分） （分）， 所以，从到所用总时间为（分）， （分）， 即小明的骑行速度保持为，他将在到达学校， 故答案为：； （2）解：因为小明骑行过程中不遇到红灯，并且骑行速度始终不变， 所以，他最少用时为（分）； 最多用时为（分）； 所以，他的骑行速度最大为； 骑行速度最小为； 故答案为：150；225． 题型二十五 有理数的新定义问题（压轴）（共3小题） 79．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）对于正整数a、b，定义一种新运算，． (1)计算的值为______； (2)求的所有可能的值； (3)下列说法中正确的是______． ①                ② ③                ④ 【答案】(1)0 (2)当a、b两数都是偶数时，原式；当a、b两数都是奇数时，原式；当a、b两数中一个是奇数，一个是偶数时，原式 (3)①③④ 【分析】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则、运算顺序以及对新定义的理解是解答此题的关键． （1）直接根据新定义的运算，进行计算即可； （2）分三种情况进行讨论：①均为偶数；②中一个奇数一个偶数；③均为奇数；即可得出答案； （3）根据新定义的运算，一一进行判断即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：0； （2）解：分三种情况进行讨论： ①当均为偶数时， ； ②当中一个奇数一个偶数时， ； ③当均为奇数时， ， 综上所述，的所有可能的值为2，0，； （3）解：①、，，故原式计算正确； ②、取，则，，故故原式计算错误； ③、，故原式计算正确； ④、，故原式计算正确； 综上计算正确的有：①③④； 故答案为：①③④． 80．（24-25七年级上·福建·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“”运算：；； ；； ；． (1)归纳运算的法则：两数，进行运算时，_______________，特别地，0和任何数进行运算，或任何数和0进行运算，____________．（文字语言或符号语言均可） (2)计算： (3)是否存在有理数，，使得，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由； 【答案】(1)同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． (2) (3)存在，，． 【分析】本题主要考查了定义新运算、平方数的非负性以及分类讨论的思想．熟练掌握根据所给示例归纳新运算规则，以及根据新规则进行计算和分类讨论是解题的关键． （1）通过观察所给运算的多个例子，分析和进行“”运算时与、各自平方的关系，以及参与运算的特殊情况，从而归纳出运算规则． （2）根据（1）中归纳出的“*”运算规则，将和代入规则进行计算． （3）先根据（1）中规则将转化为关于和的等式，再分情况讨论和的值． 【详解】（1）解：通过观察所给运算式： ； ； ； ． 可以发现两数，进行“”运算时，当，同号时结果为正，异号时结果为负，且结果都是，平方和的绝对值形式，所以归纳出两数，进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把两数平方相加； 由；；，可知和任何数进行“”运算，或任何数和进行“”运算，结果是这个数的平方． 故答案依次为：同号得正，异号得负，并把两数平方相加；结果是这个数的平方． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴且， ∴，． 81．（24-25七年级上·福建三明·期中）小明在学习了“有理数的乘方”后，类比“乘方”定义“除方”的概念：若干个相同有理数（不能为0）的除法运算叫做除方，用符号表示非零有理数a的n次除方，即，其中． (1)计算的值； (2)关于“有理数的除方”，给出以下判断： ①； ②若，则； ③对于任意正整数n，都有． 正确的是______．（写出所有正确判断的序号） (3)若，n为正整数，且，将“除方”的运算结果表示为幂的形式，并计算的值． 【答案】(1)； (2)③； (3)． 【分析】本题考查了了新定义，有理数的乘除运算及乘方运算，理解新定义并掌握相关运算法则是关键，主要考查了学生抽象能力、运算能力、推理能力、应用意识和创新意识，考查了学生函数化归与转化思想、特殊与一般思想． （1）根据除方的定义计算即可； （2）根据除方的定义计算即可； （3）根据除方的定义、乘方的定义计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：正确的判断是②③． 依据如下： ∵，， ∴故①错误． ∵， ∴②正确． ∵对任何正整数n， 又∵是奇数， ∴ ∴故③正确． （3）解：当时，； 则． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $