专题03 有理数的运算（含巧算、规律计算）专项训练13大题型（期中专项训练）七年级数学上学期新教材冀教版

专题03 有理数的运算（含巧算、规律计算） 题型1 有理数混合运算 题型8 进制规律计算 题型2 有理数简便运算 题型9 等式规律（难点） 题型3 拆项法（重点） 题型10 表格规律（重点） 题型4 倒数法 题型11 图形规律 题型5 绝对值方程 题型12 数阵规律 题型6 含乘方的有理数计算 题型13 新定义运算 题型7 裂项相消法（常考点） 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 有理数混合运算（共6小题） 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)3 (2)2 (3)222 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算（含去括号、乘方、乘除、加减运算）及乘法分配律的应用，解题的关键是牢记有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号先算括号内的，同级运算从左到右，同时灵活运用运算律简化计算。 （1）先根据去括号法则去掉括号，将式子转化为不含括号的加减运算，再按从左到右顺序计算； （2）先分别计算乘除运算，再计算加减运算，注意符号变化； （3）先将除法转化为乘法，观察到两项均含因数，用乘法分配律简化计算； （4）先算乘方，再算括号内的运算（先算小括号，再算减法），接着算乘法，最后算括号外的减法，注意与的区别。 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，有理数的加减乘除混合运算，有理数的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确地进行化简． （1）先进行幂的乘方运算、去括号，接着进行乘法运算，最后进行减法运算即可； （2）先进行幂的乘方运算、去绝对值，接着进行乘法运算，最后进行减法运算即可； （3）先把带分数化成假分数、通分、去括号，接着进行乘法运算，最后进行减法运算即可； （4）先进行幂的符号运算，再加减即可． 【详解】（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． 3．（24-25七年级上·山东枣庄·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)； 【答案】(1)0 (2) (3)6 (4)2 (5) (6) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数的加减混合运算法则计算； （2）利用加法交换律和结合律进行计算； （3）利用乘法分配律计算； （4）利用有理数乘除混合运算法则计算； （5）利用有理数四则混合运算法则计算； （6）先将除法化为乘法，再由乘法分配律计算． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 4．（24-25六年级上·山东泰安·期中）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3)1 (4)14 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的顺序和运算法则是解题的关键． （1）按照有理数的加减运算法则，从左到右依次计算． （2）先算括号内的减法，再将除法转化为乘法，最后依次进行乘法运算． （3）先分别计算乘方，再进行乘法运算，最后进行加减运算． （4）先算乘方和括号内的运算，再将除法转化为乘法，最后依次进行乘法和加减运算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据有理数加减运算法则计算即可； （2）先计算乘方，再计算括号内的，然后计算乘法和加法即可； （3）先判定正负，再把除法化成乘法，然后计算乘法即可； （4）先利用乘法分配律运算，然后进行加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 6．（24-25六年级上·山东泰安·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键． （1）先将除法转化为乘法，然后利用乘法分配律求解即可； （2）根据先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号内的运算顺序求解即可； （3）先化简绝对值以及多重符号，再计算乘除，最后计算加减，即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 题型二 有理数简便运算（共6小题） 7．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）简便运算． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的知识点是乘法分配律(包括乘法分配律的正用和逆用)． ()运用乘法分配律进行计算即可； ()逆用乘法分配律进行求解即可． 【详解】（1）解： ． （2） ． 8．（24-25七年级上·吉林·期中）简便运算： （1）      （2） （3）             （4） 【答案】（1）﹣2；（2）﹣3790；（3）﹣5；（4）25 【分析】（1）先将分数化为小数，再去括号进行加减运算即可； （2）先将小数化为分数、带分数化为假分数，再利用乘法运算律进行计算即可； （3）利用乘法分配律简便计算即可； （4）先将小数化为分数，再利用乘法分配律的逆运算计算即可． 【详解】解：（1） = = = =； （2） = = = =； （3） = = =； （4） = = = =． 【点睛】本题考查有理数的加减乘除混合运算，解答的关键是熟练掌握运算法则，适当运用运算律进行简便运算． 9．（24-25六年级上·山东青岛·期中）运算律是通过对一些等式的观察、比较和分析而抽象、概括出来的运算规律应用运算律，通常可以使运算简便，如图，是老师讲解的两个例题： 请你参考黑板中老师的讲解，运用运算律简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）逆用乘法的分配律计算即可； （2）把变为100-，然后根据乘法的分配律计算即可. 【详解】（1）解：−9×−(−8)×(−)−(−16)× =×（-9-8+16） =- （2）解：×(−36) =（100-）×(−36) =-3600+ =−3599 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握乘法的分配律是解答本题的关键. 10．（24-25七年级上·全国·期中）恰当运用运算律进行简便计算． (1) (2) 【答案】(1)9 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先将除法转化为乘法，根据乘法分配律计算即可； （2）先计算乘方，并根据乘法分配律计算，再计算减法即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 11．（24-25七年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料，并解答问题： 材料一：乘积为的两个数互为倒数，如和，即若设，则； 材料二：乘法 律：． (1)在阅读材料中，横线处应填；（填“交换”、“结合”或“分配”） (2)利用上述材料，请用简便方法计算：． 【答案】(1)分配 (2) 【分析】本题主要考查了乘法分配律以及倒数的应用，熟练掌握乘法分配律和倒数的概念是解题的关键． （1）根据乘法运算律的形式判断横线处内容． （2）先求除数与被除数交换后的除法运算结果，再利用倒数关系求出原式结果． 【详解】（1）解：符合乘法分配律形式， 故答案为：分配． （2）解： ， ∴原式． 12．（24-25七年级上·全国·期中）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数加减法的简便计算，熟练掌握运算法则与运算律是解题关键． （1）先将分数化成小数，再利用交换律与结合律计算即可得； （2）先利用交换律与结合律计算、带分数化成假分数，再计算加减法即可得； （3）先去括号，再将每一项拆成两项的差，然后计算加减法即可得； （4）将原式化成，再计算加减法与乘法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． 题型三 拆项法（共4小题） 13．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算： 解：原式= = == 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加减混合运算，利用题目提供的方法计算即可，正确理解题干提供的计算方法是解题的关键． 【详解】解： ． 14．（24-25七年级上·四川凉山·期末）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法． 请你仿照上面的方式计算： ． 【答案】0 【分析】本题考查有理数的加法运算，根据拆项法进行求解即可． 【详解】原式 ． 15．（24-25七年级上·甘肃陇南·期中）阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 ． 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键．根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法，可得答案． 【详解】解： ． 16．（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 　　 　　 　　． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法计算： （1）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案； （2）先把带分数化为整数加上真分数的形式，再把整数和整数相加，分数与分数相加，分别求和后，最后再求和即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ． 故答案为：，，； （2）解： ． 题型四 倒数法（共4小题） 17．（25-26七年级上·全国·期中）阅读下题的解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，利用倒数意义求解是解答的关键．仿照例题求解方法，先利用有理数混合运算法则求解，再根据倒数意义求解即可． 【详解】解： ， ∴原式． 18．（19-20七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）请你先认真阅读材料： 计算：． 解：原式的倒数是： 故原式等于． 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： ． 【答案】 【分析】本题考查倒数的定义，有理数的混合计算，乘法分配律．读懂阅读材料，利用“倒数”求解是解题关键．根据阅读材料求出原计算式的倒数，即可求解． 【详解】原式的倒数是： ． ∴． 19．（24-25七年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，完成作答． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 (1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）； (2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）； (3)请你简便计算： 【答案】(1)① (2)③ (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算． （1）分析三种方法的解答过程可得答案； （2）根据解答过程可得答案； （3）类比解法③的方法求解即可． 【详解】（1）解：以上三种不同的解法中，没有除法分配律，故解法①是错误的；解法②和③解答过程正确； 故答案为：①； （2）解：解法②和③解答过程正确，解法③比较简便， 故答案为：③； （3）解：原式的倒数为： ， 故原式． 20．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）下面是两位同学计算的不同解法． 小英的解法： 小李的解法： 原式的倒数为……第一步 ……第二步 ……第三步           第四步 ．……第五步 所以． 分析这两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)这两位同学的解法中，________同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是________________； (3)用一种你喜欢的方法计算． 【答案】(1)小李 (2)乘法分配 (3) 【分析】根据有理数的减法运算，有理数的除法运算，倒数判断求解即可； （2）利用乘法运算律求解即可； （3）根据题意，计算的倒数，进而可求的值． 【详解】（1）解：由题意知，小李同学的解答是正确的， 故答案为：小李； （2）解：由题意知，第二步到第三步的运算依据是乘法分配律； 故答案为：乘法分配律； （3）解：由题意知，原式的倒数为 ． ∴． 【点睛】本题考查了有理数的减法运算，有理数的除法运算，乘法运算律，倒数等知识．熟练掌握有理数的减法运算，有理数的除法运算，乘法运算律，倒数是解题的关键． 题型五 绝对值方程（共4小题） 21．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读与探究：如： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，都是含有绝对值的方程，有绝对值的方程的解呢？基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意． 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： (1)若，则的取值范围是_____； (2)方程的解是_____； (3)解方程：； (4)解方程． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4)当时，方程无解；当时，；当时，或 【分析】本题考查阅读理解，理解材料中的解法是解决问题的关键． （1）阅读材料，由材料中的解法，将含绝对值的方程转化为不等式求解即可得到答案； （2）阅读材料，由材料中的解法，将含绝对值的方程转化为不含绝对值的方程求解即可得到答案； （3）阅读材料，由材料中的解法，将含绝对值的方程转化为不含绝对值的方程求解即可得到答案； （4）阅读材料，由材料中的解法，结合参数的情况，分类讨论，将含绝对值的方程转化为不含绝对值的方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， 当，即时，方程可化为， 解得，符合题意； 当，即时，方程可化为：， 解得，符合题意； 原方程的解为：或， 故答案为：或； （3）解：， 当，即时，方程可化为， 解得，符合题意； 当，即时，方程可化为， 解得，符合题意； 原方程的解为：或； （4）解：， 当时，，方程无解； 当时，，则； 当时，有两个解， 即或， 解得或； 综上所述：当时，方程无解；当时，；当时，或． 22．（24-25七年级上·贵州黔南·期中）知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像，，都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值． 例如： （1）表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是5和． 解：因为，所以，或． （1）表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是8和． 解：因为，所以，或，解得：或． 知识应用： （1）求出下列未知数的值． ； ． （2）知识探究： 直接写出的最小值． 【答案】（1）①或；②或；（2）2． 【分析】本题考查了数轴上的点所表示的数、绝对值的含义、数轴上两点间的距离等基础知识，明确相关概念是解题的关键． （1）表示在数轴上，数与数的距离为个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是和； 表示在数轴上，数与数的距离为个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是和． （2）根据表示数与表示数和的点之间的距离之和，当表示数的点处于表示和的点之间时，距离最小，可得答案． 【详解】解：（1）①因为， 所以或， 解得：或； 因为， 所以或， 解得：或； （2）表示数与表示数和的点之间的距离之和， 当a在3和5之间时距离之后最小，最小值为2， 的最小值是． 23．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）【阅读材料】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【解决问题】 (1)数轴上A和B两点分别表示有理数x和，如果A和B两点之间的距离为3，那么________； (2)若点A表示的数为x，则当x为________时，与的值相等； (3)若数轴上表示数x的点位于与3之间，则的值为________； (4)若数轴上表示数x的点位于的左侧，则的值为________． 【答案】(1)2或 (2) (3) (4)7 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离公式，绝对值的意义以及绝对值方程，理解绝对值的意义是解题关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式列绝对值方程求解即可； （2）根据题意列绝对值方程求解即可； （3）根据数x的位置，确定，，再去绝对值符号计算即可； （4）根据数x的位置，确定，，再去绝对值符号计算即可． 【详解】（1）解：数轴上A和B两点分别表示有理数x和，且A和B两点之间的距离为3， ，即 ，， 或， 故答案为：2或 （2）解：与的值相等， 或， ， 故答案为：； （3）解：数x的点位于与3之间， ，， ， 故答案为：5； （4）解：数x的点位于的左侧， ，， ， 故答案为：7． 24．（24-25七年级上·山西晋城·期中）阅读下列材料，完成后面任务： 我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离． 例1：已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2， 所以的值为或2． 例2：已知，求的值． 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和， 所以的值为3或． 任务：仿照材料中的解法，求下列各式中的值． (1)． (2)． 【答案】(1)或8 (2)8或 【分析】本题主要考查的是数轴上两点之间的距离，及利用两点之间的距离解绝对值方程； （1）根据可表示数轴上表示x的点到原点的距离，据此求解可得； （2）可表示数轴上x表示的点与2对应的点的距离，据此求解可得． 理解数轴上两点之间的距离的表示是解题的关键． 【详解】（1）解：∵在数轴上与原点距离为8的点表示的数为和8， ∴x的值为或8． （2）解：在数轴上与2对应的点的距离为6的点表示的数为8和， ∴x的值为8或． 题型六 含乘方的有理数计算（共4小题） 25．（24-25七年级上·全国·期中）计算下列各题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算法则是解决此题的关键． 对于（1），先算乘方，再算乘除，然后算加减； 对于（2），先算乘方，再算乘除，然后算加减． 【详解】（1）解： ； （2）解： . 26．（24-25七年级上·广东揭阳·期中）计算：． 【答案】15 【分析】本题考查含乘方的有理数的四则运算，掌握知识点是解题的关键． 先算乘方，再算乘除，最后算加减，逐步计算即可． 【详解】解： ． 27．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）计算： 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 28．（24-25七年级上·广东韶关·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)38 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是牢记有理数混合运算的顺序（先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的），以及相关的运算法则（如乘方运算、乘除法法则、绝对值运算等）． （1）按照有理数混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减； （2）先算乘方，再算乘法，接着算绝对值，最后算加法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七 裂项相消法（共4小题） 29．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）请你观察： ；… ； ；… 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)_______； (2)计算 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题中所给式子进行变形求解即可； （2）结合（1）中的计算方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得： ， 故答案为： （2） ． 【点睛】题目主要考查有理数的加减混合运算及乘法运算，找出相应规律进行计算求解是解题关键． 30．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：________； (2)类比裂项的方法，计算：； (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中材料即可得结果； （2）根据（1）中的裂项方法，把每一个分数进行裂项，由有理数的加减法则即可完成计算； （3）先变形，再由阅读感知把每个分数进行裂项，最后进行加减乘运算即可． 【详解】（1）由题意知：； （2） ， ， ， ； （3） ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的加法中的简便计算．关键是读懂题中的材料，根据材料提供的方法进行简便． 31．（24-25七年级上·山东济南·期中）观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现式子的变化特点． 通过裂项求和法可以求得所求式子的值． 【详解】解： … 32．（2023七年级上·全国·专题练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出： ． (2)探究并计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意和题目中的例子，可以解答本题； （2）根据题目中的例子和式子的特点，可以求得所求式子的值； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2） ＝1 ＝1 ； 【点睛】本题考查了有理数的加减，根据例题掌握裂项相减是解题的关键． 题型八 进制规律计算（共4小题） 33．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算机中常用的16进制是逢16进1的计算制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表． 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：，则（　　） A．156 B．19 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数乘法与加法的应用，理解十六进制与十进制之间的对应关系是解题关键．先根据有理数的乘法法则求出的值，再利用十六进制将结果表示出来即可得． 【详解】解：， ，十六进制中的C与十进制中的12对应， 数156用十六进制可表示为，即， 故选：C． 34．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1~12，另一只手用五根手指表示1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是．若当其左手伸出两根手指，右手大挴指掐中第五指关节时，表示的十进制数字是（    ） A．7 B．25 C．21 D．29 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算．根据题意，列出算式，进行计算即可．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：当其左手伸出两根手指，右手大挴指掐中第五指关节时，表示的十进制数字是； 故选D． 35．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法… 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示， 孩子已经出生的天数为       ． 【答案】42 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法是解题的关键． 满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】解：由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为132，转化为十进制数为 所以，孩子已经出生了42天． 故答案为42 36．（24-25七年级上·福建泉州·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：．计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数“1101”转化为十进制数：；二进制数“10000”转化为十进制数：． （说明：①非零有理数的0次方都是1；②其他进制也有类似的算法．）    (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“101101”转化为十进制数是__________． (2)【迁移】将八进制数“175”转化为十进制数． (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 【答案】(1)45 (2)125 (3)孩子已经出生194天 【分析】本题考查了有理数的乘方运算，正确理解题中二进制转换十进制的计算方法是解题的关键． （1）根据二进制转换十进制的方法列式计算即可； （2）仿照二进制转换十进制的方法进行计算即可； （3）满五进一，类似于五进制数，仿照二进制转换十进制的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：101101转化为十进制数是： ； （2）解：将八进制数“175”转化为十进制数为： ； （3）解：由于满五进一，类似于五进制数，图示表示的五进制数为1234，转化为十进制数为 ． 所以，孩子已经出生了194天． 题型九 等式规律（共4小题） 37．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型，在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即：，请你推算的个位数字是(   ) A．6 B．4 C．2 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，通过观察可知2的乘方的尾数每4个循环一次，则22023与23的尾数相同，即可求解． 【详解】解：，， 的乘方的尾数每个循环一次， ， 与的尾数相同，为， 故选：A． 38．（24-25七年级上·江西景德镇·期中）观察下列现象：①；②；③；④；⑤；⑥；……，则的个位数字是（    ） A．3 B．9 C．1 D．7 【答案】D 【分析】本题考查数字类规律探究．根据给出的等式，得到的个位数字以四个数字为一组进行循环，再进行判断即可． 【详解】解：由题意，可知：的个位数字以四个数字为一组进行循环， ∵， ∴的个位数字是； 故选D． 39．（24-25七年级上·河北保定·期中）计算：，，，，，…归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是 ． 【答案】1 【分析】此题考查了有理数的乘方中的数字变化规律，熟练掌握有理数的乘方运算、找出个位数字的变化规律是解答此题的关键． 通过前面几项结果中的个位数字的特点，归纳出变化规律：3，9，7，1依次循环；据此可以得出答案． 【详解】解：，，，，，，… 计算结果中的个位数字依次是：3，9，7，1，3，9，… 个位数的规律为：3，9，7，1依次循环； ， 的个位数字是9， 的个位数字是1； 故答案为：1． 40．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）观察下列算式发现规律：，，，，，，……，则的个位数字是 ． 【答案】1 【分析】根据7的指数从1到5，末位数字从7，9，3，1，7进行循环，再用2020除以4得出余数，再写出72020个位数字． 【详解】解：∵71=7，72=49，73=343，74=2401，75=16807，76=117649，上述的几个式子，易知1次方为末位数字是7，2次方末位数字是为9，3次方末位数字是为3，4次方末位数字是为1，5次方末位数字是为7， ∴个位数字的变化是以7，9，3，1为周期，即周期为4， ∵2020÷4=505， ∴72020的个位数字为1， 故答案为：1． 【点睛】此题主要考查了尾数特征，观察出结果个位数字的特点是解本题的关键． 题型十 表格规律（共4小题） 41．（24-25七年级上·广东深圳·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的加减法以及出三元一次方程的音乐，根据题意出三元一次方程以及整体思想是解题关键． 如图：根据题中给出的三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，即可列出三元一次方程，然后变形即可解答． 【详解】解：∵三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等， ∴如图可得： 即． 故选D． 42．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，4，，8，，12，，16分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（　） A．或 B．或 C．2或 D．2或 【答案】A 【分析】本题考查有理数的加法， 根据所给数的特征，可知横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4，再由已经填写的数，确定或，分类求解即可． 【详解】解：， 横、竖、外圈、内圈的4个数之和为4， ， ， ，， ，， 或， 当时，，此时， 当时，，此时， 故选∶A． 43．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（    ）    A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查有理数的加减运算，要先读懂题意，根据题意获取数量关系，再用尝试法，直到找到合理的数值，本题综合性比较强，比较注重逻辑推理．由题意可知，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．所以有，进而得，，，再利用尝试法，把数据代入验证，可得，，，的值，并代入计算可得结论． 【详解】解：由题意可得： ， 所以有，，， 由图中可知，，，的值，由，，5，，6，8中取得， 由于，且只有， ，， 这时，的值从，，中取得， 当和，计算验证，都不符合题意， 所以时，符合题意． 具体数值如下图所示，    所以，，，， 则． 故选：B． 44．（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的加法，解决此题的关键利用中心数求幻和，再由幻和与已知数求得、，最后是有理数的加法． 根据三阶幻方的特点，三阶幻方的中心数，可得三阶幻方的和，根据三阶幻方的和，可得、的值，根据有理数的减法，可得答案． 【详解】解：根据幻方的性质， 则， 所以， 而， 则， 故， 故答案为：． 题型十一 图形规律（共4小题） 45．（24-25七年级上·宁夏中卫·期中）新课标要求，在数学学习中要引导学生用数学的眼光观察生活．如下列图形都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形，其中第①个图形中一共有4个圆圈；第②个图形中一共有8个圆圈，第③个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，请问第⑦个图形中圆圈的个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．33 【答案】B 【分析】本题考查了规律探究，解题关键是发现规律，本题的规律是第n个图形有个圆圈． 【详解】解：第①个图形中一共有个圆圈； 第②个图形中一共有个圆圈； 第③个图形中一共有个圆圈； 第⑦个图形中一共有个圆圈； 故选：B ． 46．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）利用如图所示的图形，可求的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】该题主要考查了有理数乘方的应用，解题的关键是读懂图象． 根据图象得出即为的面积，再计算的面积即可． 【详解】解：假设正方形的面积为1， 根据图象可得即为的面积， ∵的面积， 故的面积为， 故选：C． 47．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图，将一张边长为 1 的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是 ； (2)以下是甲，乙两位同学求 的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求， ；    乙同学的方法： ① ② ②①即可…. 请同学们帮助乙同学完成之后的步骤，并求出S的值。 (3)请借助甲或乙同学的方法，求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了图形规律的探究，含有乘方的有理数混合运算，熟练掌握含有乘方的有理数混合运算是解题的关键． （1）根据题意计算即可； （2）根据题目步骤进行计算即可； （3）按照乙的方法，设，再求出，然后相减计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， 故答案为：． （2）解：②①，得． （3）解：令①， ②， ②①，得， ∴． 48．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 【答案】(1)，见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了有理数乘方的应用，理解乘方的意义是解题关键． （1）仿照小明的做法画出图形求解即可； （2）仿照小亮的做法验证即可； （3）仿照小亮的做法求解即可； 【详解】（1）解：， （2）解：设， 则， 因为，所以． （3）解：设， 则， 因为， 所以． 题型十二 数阵规律（共4小题） 49．（2024七年级上·全国·期中）观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 【答案】 82 45 88 【分析】本题考查了数的规律的探索，乘方运算的符号规律，找到规律是解题的关键；观察知，从左边数，每行最后一个数是行数的平方，且奇数行符号为负，偶数行符号为正，据此可完成解答． 【详解】解：根据规律知，第9行最后一个数为，则第10行左边数第一个数为； ∵， ∴数2024是第45行左边数的倒数第二个数， ∵第45行共有：个数， ∴第45行倒数第二个数是从左边数第88个数； 故答案为：82；45；88． 50．（2024七年级上·江苏·期中）在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 列． 【答案】四 【分析】根据所给的排列规律，利用列表法，重新排列发现规律，据此可解决问题． 本题考查实数的排列规律，能发现每8个数一循环且每行4个数字是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得 数字序号数 数字 列数 1 2 2 3 3 4 4 5 5 4 6 3 7 2 8 1 发现规律是：每8个数字一个循环，余数为1，在第二列；余数为2，在第三列；余数为3，在第四列；余数为4，在第五列；余数为5，在第四列；余数为6，在第三列；余数为7，在第二列；余数为0，在第一列； 又． 故在第四列． 故答案为：四． 51．观察下面三行数： 第一行数：； 第二行数：； 第三行数：． (1)第一行数按什么规律排列？ (2)第二行、第三行数与第一行数分别有什么关系？ (3)取每行数的第8个数，计算这三个数的和． 【答案】(1)第一行数是， (2)第二行的每个位置上的数是第一行相应位置上的数减2得到的，第三行的每个位置上的数是第一行相应位置上的数除以2得到的 (3) 【分析】（1）根据第一行数可知，后一个数是前一个数的倍，即可解答； （2）根据两行数之间对比即可得到关系； （3）利用（1）（2）的规律列式计算即可． 【详解】（1）解：第一行数是，． （2）解：第二行的每个位置上的数是第一行相应位置上的数减2得到的，第三行的每个位置上的数是第一行相应位置上的数除以2得到的． （3）解：第一行的第8个数是，故每行数的第8个数的和为． 【点睛】此题考查了有理数的规律运算，有理数的混合运算，正确掌握各数之间的关系并利用关系解决问题是解题的关键． 52．（24-25七年级上·山西吕梁·期中）定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 【答案】(1)相加；绝对值 (2)①11；② 【分析】本题考查了定义新运算、有理数的加法，理解新定义的运算法则是解题的关键． （1）观察算式的规律，归纳新定义的运算法则即可解答； （2）①根据（1）中的运算法则计算即可；②根据（1）中的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的绝对值． 故答案为：相加；绝对值． （2）解：①∵5和6同号，， ∴， 故答案为：11； ②由（1）得，， ∵和4异号，， ∴， 即． 题型十三 新定义运算（共4小题） 53．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）定义新运算：，如． (1)求； (2)若，且，求． 【答案】(1)8； (2)0． 【分析】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答． （1）根据，可以求得所求式子的值； （2）根据，且，可以求得m、p的值，然后代入所求式子计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，且， ∴， ∴， ∴，， 解得，， ∴． 54．（2024七年级上·全国·专题练习）（中考新趋势•新定义）用符号表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下： ，，，，… ，，，… 利用以上规律计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，熟练掌握有理数乘方混合运算是解题关键． （1）先研究对整数的运算规律为，对分数的运算规律是，再按的运算法则转换为常规运算，把转化为，再按有理数运算法则计算即可； （2）转化为，再按有理数除法和乘方运算法则计算即可； 【详解】（1）解：根据题意得，，， 原式； （2）解：原式； 55．（24-25七年级上·河南南阳·期中）阅读下列内容，完成相关问题． 明明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ，； ，； ，． 兰兰看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)归纳*（加乘）运算的运算法则：同号得______，异号得______，并把______．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，都得这个数的______． (2)计算： 【答案】(1)正，负，绝对值相加，绝对值 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）根据所给的算式进行分析即可； （2）根据所给的运算法则进行运算即可． 【详解】（1）解：由题意可得：*（加乘）运算的运算法则：同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，都得这个数的绝对值； （2）解： ． 56．（24-25七年级上·辽宁阜新·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)计算： ①； ②； ③； (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)①29；②101；③，； (2)存在，或． 【分析】本题考查有理数的运算，新定义运算；理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义进行计算即可； （2）判断，异号，根据题意求出的值为1或5，即可得到答案． 【详解】（1）解：①； ② ； ③当时，； 当时，， ； （2）解：存在，理由如下： ，算出来的答案为负数， 故，异号， m，n是整数， 或， 解得：或， 或， 综上，的值为1或5， ， ． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 有理数的运算（含巧算、规律计算） 题型1 有理数混合运算 题型8 进制规律计算 题型2 有理数简便运算 题型9 等式规律 题型3 拆项法 题型10 表格规律 题型4 倒数法 题型11 图形规律 题型5 绝对值方程 题型12 数阵规律 题型6 含乘方的有理数计算 题型13 新定义运算 题型7 裂项相消法 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 有理数混合运算（共6小题） 1．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 2．（24-25七年级上·安徽芜湖·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 3．（24-25七年级上·山东枣庄·期中）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6)； 4．（24-25六年级上·山东泰安·期中）计算下列各题 (1) (2) (3) (4) 5．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 6．（24-25六年级上·山东泰安·期中）计算： (1) (2) (3) 题型二 有理数简便运算（共6小题） 7．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）简便运算． (1) (2) 8．（24-25七年级上·吉林·期中）简便运算： （1）      （2） （3）             （4） 9．（24-25六年级上·山东青岛·期中）运算律是通过对一些等式的观察、比较和分析而抽象、概括出来的运算规律应用运算律，通常可以使运算简便，如图，是老师讲解的两个例题： 请你参考黑板中老师的讲解，运用运算律简便计算： (1)； (2)． 10．（24-25七年级上·全国·期中）恰当运用运算律进行简便计算． (1) (2) 11．（24-25七年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料，并解答问题： 材料一：乘积为的两个数互为倒数，如和，即若设，则； 材料二：乘法 律：． (1)在阅读材料中，横线处应填；（填“交换”、“结合”或“分配”） (2)利用上述材料，请用简便方法计算：． 12．（24-25七年级上·全国·期中）用简便方法计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三 拆项法（共4小题） 13．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）阅读下面的解题过程，并用解题过程中的解题方法解决问题． 示例：计算： 解：原式= = == 以上解题方法叫做拆项法． 请你利用拆项法计算下面式子的值． 14．（24-25七年级上·四川凉山·期末）数学张老师在多媒体上列出了如下的材料： 计算：． 解：原式 ． 上述这种方法叫作拆项法． 请你仿照上面的方式计算： ． 15．（24-25七年级上·甘肃陇南·期中）阅读下面的解题方法． 计算：． 解：原式 ． 上述解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 16．（2024七年级上·江苏·专题练习）阅读下面文字： 对于可以如下计算： 原式 　　 　　 　　． 上面这种方法叫拆项法． (1)请补全以上计算过程； (2)类比上面的方法计算：． 题型四 倒数法（共4小题） 17．（25-26七年级上·全国·期中）阅读下题的解答： 计算：． 分析：利用倒数的意义，先求出原式的倒数，再得原式的值． 解：． 所以原式． 根据阅读材料提供的方法，完成下面的计算：． 18．（19-20七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）请你先认真阅读材料： 计算：． 解：原式的倒数是： 故原式等于． 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法计算： ． 19．（24-25七年级上·福建福州·期中）阅读下列材料，完成作答． 计算： 解法①：原式 解法②：原式 解法③：原式的倒数为 故原式 (1)以上三种不同的解法，你认为解法________是错的．（填序号）； (2)在正确的解法中，你觉得解法________比较简便．（填序号）； (3)请你简便计算： 20．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期中）下面是两位同学计算的不同解法． 小英的解法： 小李的解法： 原式的倒数为……第一步 ……第二步 ……第三步           第四步 ．……第五步 所以． 分析这两位同学的解法，请你回答下列问题： (1)这两位同学的解法中，________同学的解答正确； (2)小李的解法中，第二步到第三步的运算依据是________________； (3)用一种你喜欢的方法计算． 题型五 绝对值方程（共4小题） 21．（24-25七年级下·福建泉州·期中）阅读与探究：如： 我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做“含有绝对值的方程”．如：，，都是含有绝对值的方程，有绝对值的方程的解呢？基本思路是：把“含有绝对值的方程”转化为“不含有绝对值的方程”．例如： 解方程． 解：当时，方程可化为：，解得，符合题意． 当时，方程可化为：，解得，符合题意． 所以，原方程的解为：或． 根据以上材料解决下列问题： (1)若，则的取值范围是_____； (2)方程的解是_____； (3)解方程：； (4)解方程． 22．（24-25七年级上·贵州黔南·期中）知识理解：同学们，我们在绝对值一节的学习中知道，一般的，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数a的绝对值，绝对值符号中含有未知数的方程叫做绝对值方程．像，，都叫做绝对值方程，对于绝对值方程，我们根据绝对值的定义求出未知数的值． 例如： （1）表示在数轴上，数a与数0的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是5和． 解：因为，所以，或． （1）表示在数轴上，数a与数3的距离为5个单位长度，所以，或，对应的数有两个，分别是8和． 解：因为，所以，或，解得：或． 知识应用： （1）求出下列未知数的值． ； ． （2）知识探究： 直接写出的最小值． 23．（24-25七年级上·辽宁鞍山·期中）【阅读材料】 表示5与2的差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【解决问题】 (1)数轴上A和B两点分别表示有理数x和，如果A和B两点之间的距离为3，那么________； (2)若点A表示的数为x，则当x为________时，与的值相等； (3)若数轴上表示数x的点位于与3之间，则的值为________； (4)若数轴上表示数x的点位于的左侧，则的值为________． 24．（24-25七年级上·山西晋城·期中）阅读下列材料，完成后面任务： 我们知道的几何意义是数轴上数的对应点与原点之间的距离，即，也可以说，表示数轴上数与数0对应点之间的距离．这个结论可以推广为表示数轴上数与数对应点之间的距离． 例1：已知，求的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点表示的数为和2， 所以的值为或2． 例2：已知，求的值． 解：在数轴上与1对应的点的距离为2的点表示的数为3和， 所以的值为3或． 任务：仿照材料中的解法，求下列各式中的值． (1)． (2)． 题型六 含乘方的有理数计算（共4小题） 25．（24-25七年级上·全国·期中）计算下列各题． (1)； (2)． 26．（24-25七年级上·广东揭阳·期中）计算：． 27．（24-25七年级上·湖南娄底·期中）计算： 28．（24-25七年级上·广东韶关·期中）计算 (1)； (2)． 题型七 裂项相消法（共4小题） 29．（24-25七年级上·内蒙古鄂尔多斯·期中）请你观察： ；… ； ；… 以上方法称为“裂项相消求和法”． 请类比完成： (1)_______； (2)计算 30．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．比如在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出：________； (2)类比裂项的方法，计算：； (3)探究并计算：． 31．（24-25七年级上·山东济南·期中）观察下列等式：，，， 把以上三个等式两边分别相加得： 这种求和的方法称为裂项求和法：裂项法的实质是将数列中的每项分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的．规律应用： 计算：的值． 32．（2023七年级上·全国·专题练习）类比推理是一种重要的推理方法，根据两种事物在某些特征上相似，得出它们在其他特征上也可能相似的结论．在异分母的分数的加减法中，往往先化作同分母，然后分子相加减，例如：，我们将上述计算过程倒过来，得到，这一恒等变形过程在数学中叫做裂项．类似地，对于可以用裂项的方法变形为：．类比上述方法，解决以下问题． (1)猜想并写出： ． (2)探究并计算：． 题型八 进制规律计算（共4小题） 33．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）计算机中常用的16进制是逢16进1的计算制，采用数字和字母共16个计数符号，这些符号与十进制的数对应关系如下表． 16进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：，则（　　） A．156 B．19 C． D． 34．（24-25七年级上·浙江宁波·期中）区别于十进制，古巴比伦使用的是60进制．这与他们独特的计数方式有关，如图：右手4根手指的12个指关节表示1~12，另一只手用五根手指表示1~5倍．如当古巴比伦人左手伸出1根手指，右手掐住第八指关节时，表示的数是．若当其左手伸出两根手指，右手大挴指掐中第五指关节时，表示的十进制数字是（    ） A．7 B．25 C．21 D．29 35．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：； 计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数10010转化为十进制数：； 其他进制也有类似的算法… 在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示， 孩子已经出生的天数为       ． 36．（24-25七年级上·福建泉州·期中）生活中常用的十进制是用这十个数字来表示数，满十进一，例：．计算机常用二进制来表示字符代码，它是用0和1两个数来表示数，满二进一，例：二进制数“1101”转化为十进制数：；二进制数“10000”转化为十进制数：． （说明：①非零有理数的0次方都是1；②其他进制也有类似的算法．）    (1)【发现】根据以上信息，将二进制数“101101”转化为十进制数是__________． (2)【迁移】将八进制数“175”转化为十进制数． (3)【应用】在我国远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”，如图所示是远古时期一位母亲记录孩子出生后的天数，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，满五进一，根据图示，求孩子已经出生的天数． 题型九 等式规律（共4小题） 37．（24-25七年级上·云南曲靖·期末）生物学中，描述、解释和预测种群数量的变化，常常需要建立数学模型，在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细胞可通过分裂来繁殖后代，我们就用数学模型来表示即：，请你推算的个位数字是(   ) A．6 B．4 C．2 D．8 38．（24-25七年级上·江西景德镇·期中）观察下列现象：①；②；③；④；⑤；⑥；……，则的个位数字是（    ） A．3 B．9 C．1 D．7 39．（24-25七年级上·河北保定·期中）计算：，，，，，…归纳计算结果中的个位数字的规律，猜测的个位数字是 ． 40．（24-25七年级上·海南省直辖县级单位·期中）观察下列算式发现规律：，，，，，，……，则的个位数字是 ． 题型十 表格规律（共4小题） 41．（24-25七年级上·广东深圳·期末）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，如图是另一个三阶幻方，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．7 42．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）同学们都熟悉“幻方”游戏，现将“幻方”游戏稍作改进变成“幻圆”游戏，将，4，，8，，12，，16分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两个正方形顶点处圈内4个数字之和都相等，则的值为（　） A．或 B．或 C．2或 D．2或 43．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）“幻方”最早记载于春秋时期的《大戴礼记》中，如图1所示，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等，现，2，，，5，，6，8填入如图2所示的“幻方”中，部分数据已填入，则图中的值为（    ）    A． B．5 C．6 D． 44．（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）把夏禹时代的“洛书”用数学符号翻译出来就是一个三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，则幻方中的值是 ． 题型十一 图形规律（共4小题） 45．（24-25七年级上·宁夏中卫·期中）新课标要求，在数学学习中要引导学生用数学的眼光观察生活．如下列图形都是小明用同样大小的圆圈按照一定的规律所组成的图形，其中第①个图形中一共有4个圆圈；第②个图形中一共有8个圆圈，第③个图形中一共有13个圆圈，…，按此规律排列下去，请问第⑦个图形中圆圈的个数为（　　） A．34 B．43 C．53 D．33 46．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）利用如图所示的图形，可求的值是（   ） A． B． C． D． 47．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）如图，将一张边长为 1 的正方形纸片分割成7个部分，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，依此类推． (1)阴影部分的面积是 ； (2)以下是甲，乙两位同学求 的方法； 甲同学的方法：利用已给正方形图形求， ；    乙同学的方法： ① ② ②①即可…. 请同学们帮助乙同学完成之后的步骤，并求出S的值。 (3)请借助甲或乙同学的方法，求出的值． 48．（24-25七年级上·山东济宁·期中）如何计算？小明和小亮给出了不同的做法： 一、小明的做法： 如图，画一个边长为1的正方形，并将它的面积不断做二等分． 第1次分割：把正方形的面积二等分，其中阴影部分的面积为； 第2次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； 第3次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为； … 第2024次分割：将上次分割图中的空白部分的面积继续二等分，阴影部分的面积为． 根据图形可得，． 二、小亮的做法： 设， 则，因为，所以． (1)请仿照小明的做法求出的值（画出最后一次分割的图形，在图上标注阴影部分面积，并写出结果）； (2)请仿照小亮的做法验证（1）的结论； (3)在上面的两种做法中任选一种计算的值． 题型十二 数阵规律（共4小题） 49．（2024七年级上·全国·期中）观察下面一列数：，…，将这列数排成如图的图形．按照此规律排下去，那么第10行从左边数第1个数是 ，数2024是第 行从左边数第 个数． 50．（2024七年级上·江苏·期中）在小学阶段，我们学习了偶数0，2，4，6，8，…，以及奇数1，3，5，7，9，…，现在我们学过了负数，也知道了负偶数，，，，…，以及负奇数，，，，…．图中是我们将这些负偶数与负奇数按如图所示排列，观察它们的规律，发现在第 列． 51．观察下面三行数： 第一行数：； 第二行数：； 第三行数：． (1)第一行数按什么规律排列？ (2)第二行、第三行数与第一行数分别有什么关系？ (3)取每行数的第8个数，计算这三个数的和． 52．（24-25七年级上·山西吕梁·期中）定义一种新运算“※”，观察下面算式的规律，并解答相关问题． ， ． ， ． ， ． (1)由上述算式可知，两个非零的数进行“”运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值 ；任何数同零进行“”运算，都等于这个数的 ． (2)计算：① ； ②． （提示：对于新运算“”，如有括号，先做括号内的运算，括号使用法则与有理数运算相同） 题型十三 新定义运算（共4小题） 53．（24-25七年级上·湖北武汉·期中）定义新运算：，如． (1)求； (2)若，且，求． 54．（2024七年级上·全国·专题练习）（中考新趋势•新定义）用符号表示一种运算，它对整数和分数的运算结果分别如下： ，，，，… ，，，… 利用以上规律计算： (1)； (2)． 55．（24-25七年级上·河南南阳·期中）阅读下列内容，完成相关问题． 明明说：“我定义了一种新的运算，叫*（加乘）运算．”然后他写出了一些按照*（加乘）运算的运算法则进行运算的算式： ，； ，； ，． 兰兰看了这些算式后说：“我知道你定义的*（加乘）运算的运算法则了．”聪明的你也明白了吗？ (1)归纳*（加乘）运算的运算法则：同号得______，异号得______，并把______．特别地，0和任何数进行*（加乘）运算，或任何数和0进行*（加乘）运算，都得这个数的______． (2)计算： 56．（24-25七年级上·辽宁阜新·期中）探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ； ； ； ； ； ． (1)计算： ①； ②； ③； (2)是否存在整数m，n，使得，若存在，直接写出的值，若不存在，说明理由． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $