精品解析：2018-2019学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期末数学试卷

2018-2019学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 已知反比例函数，下列各点在此函数图象上的是（ ） A. （3，4） B. （-2，6） C. （-2，-6） D. （-3，-4） 2. 方程的解为（　　） A. B. C. D. 3. 如图几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 某省2013年的快递业务量为亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展若2015年的快递业务量达到亿件设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A B. C. D. 5. 在同一时刻，身高 的小强，在太阳光线下影长是 ，旗杆的影长是 ，则旗杆高为（　　） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 7. 与是位似图形，且与位似比是，已知的面积是10，则的面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 8. 顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个正方形，这个四边形最可能是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边AB上中点，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是( ) A B. C. D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的图象的对称轴只有1条 B. 将二次函数的图象向上平移2个单位，得到二次函数的图象 C. 两个正六边形一定相似 D. 菱形的对角线互相垂直且相等 11. 如图，点是正方形对角线的交点，以为边构造菱形且点在上，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 12. 如图是二次函数，，是常数，图象的一部分，对称轴为直线，经过点，且与轴的交点在点与之间．下列判断中，正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 若，则的值是__________． 14. 一个不透明的盒子里装有120个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出一个球记下颜包后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么估计盒子中红球的个数为_____． 15. 如图，已知正比例函数y＝kx（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B，则不等式kx＜的解集是_____． 16. 如图，在中，，，D在内部，且，，连接CD，若，则的面积为______． 三、计算题（本大题共1小题，共5.0分） 17. 计算：． 四、解答题（本大题共6小题，共47.0分） 18. 从两副完全相同扑克中，抽出两张黑桃6和两张黑桃10，现将这四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌子上． （1）从中随机抽取一张扑克牌是黑桃6的概率是多少？ （2）请利用画树状图或列表法表示从中随机抽取两张扑克牌成为一对的概率． 19. 为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶．已知千米，，． （1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到1千米）（参考数据：，） 20. 如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=kx+4的图象交于A和B（6，1）两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 21. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，规定试销期间销售单价不低于成本价.据试销发现，月销量（千克）与销售单价（元）符合一次函数.若该商店获得的月销售利润为元，请回答下列问题： （1）请写出月销售利润与销售单价之间的关系式（关系式化为一般式）； （2）在使顾客获得实惠条件下，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ （3）若获利不高于，那么销售单价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 22. 如图1，矩形的边、分别在x轴、y轴上，B点坐标是，将沿对角线翻折得，与相交于点E． （1）求证：； （2）求E点坐标； （3）如图2，若将沿直线平移得（边始终在直线上），是否存在四边形为菱形的情况？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 如图1，抛物线与x轴交于A和两点，与y轴交于点，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）点P在x轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点P的坐标； （3）如图2，作轴于M点，点Q是上方的抛物线上一点，作于N点，是否存在Q点使得？若存在，请直接写出Q坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2018-2019学年广东省深圳市龙岗区九年级（上）期末数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，共36.0分） 1. 已知反比例函数，下列各点在此函数图象上的是（ ） A. （3，4） B. （-2，6） C. （-2，-6） D. （-3，-4） 【答案】B 【解析】 【分析】依次把各个选项的横坐标代入反比例函数的解析式中，得到纵坐标的值，即可得到答案． 【详解】解：A．把x=3代入 得：，即A项错误， B．把x=-2代入 得：，即B项正确， C．把x=-2代入 得：，即C项错误， D．把x=-3代入 得：，即D项错误， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正确掌握代入法是解题的关键． 2. 方程的解为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．移项后用因式分解法求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴或 ∴ 故选D 3. 如图几何体的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得：从正面看，主视图是两个长方形，即可求解． 【详解】解：从正面看，主视图是两个长方形． 故选：A 【点睛】本题主要考查了几何体的三视图，熟练掌握几何体的三视图的特征是解题的关键． 4. 某省2013年的快递业务量为亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展若2015年的快递业务量达到亿件设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是掌握平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为． 根据题意可得等量关系：2013年的快递业务量增长率年的快递业务量，根据等量关系列出方程即可． 【详解】设2014年与2013年这两年的平均增长率为x，由题意得： ， 故选：C． 5. 在同一时刻，身高 的小强，在太阳光线下影长是 ，旗杆的影长是 ，则旗杆高为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用在同一时刻身高与影长成比例计算． 【详解】解：设旗杆高， 根据在同一时刻身高与影长成比例得： ， 解得：， 即旗杆高为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用：通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决． 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 只有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；求出的值即可判断求解，掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴一元二次方程没有实数根， 故选：． 7. 与是位似图形，且与位似比是，已知的面积是10，则的面积是（ ） A. 10 B. 20 C. 40 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似变换的概念、相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据位似变换的性质得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 【详解】解：与是位似图形，且与位似比是， ，相似比为， ， 的面积是10， 的面积是40， 故选：C． 8. 顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个正方形，这个四边形最可能是（ ） A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 平行四边形 【答案】A 【解析】 【分析】利用连接四边形各边中点得到的四边形是正方形，则结合正方形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解． 【详解】解：如图点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点， 且四边形EFGH是正方形． ∵点E，F，G，H分别是四边形各边的中点，且四边形EFGH是正方形． ∴EF=EH，EF⊥EH， ∵BD=2EF，AC=2EH， ∴AC=BD，AC⊥BD， 即四边形ABCD满足对角线相等且垂直， 选项A满足题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了利用三角形中位线定理得到新四边形各边与相应线段之间的数量关系和位置．熟练掌握特殊四边形的判定是解题的关键． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D是斜边AB上的中点，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直角三角形斜边上的中线的性质求出AB长，再根据正弦的定义求出． 【详解】解：∵，D是斜边AB上的中点， ∴， ∵，∴， ，． 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线的性质，正弦的定义，解题的关键是掌握正弦值等于对边比斜边． 10. 下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的图象的对称轴只有1条 B. 将二次函数的图象向上平移2个单位，得到二次函数的图象 C. 两个正六边形一定相似 D. 菱形的对角线互相垂直且相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的平移，多边形的相似，菱形的性质等知识，根据反比例函数的图象和性质，二次函数的平移，多边形的相似，菱形的性质等知识对选项进行逐个判断即可得出结论． 【详解】解：反比例函数的图象的对称轴是和，有两条，故选项A错误； 将二次函数的图象向上平移2个单位，得到二次函数，故选项B错误； 两个正六边形对应角相等，对应边成比例，故选项C正确； 菱形的对角线互相垂直但不一定相等，故选项D错误． 故选：C． 11. 如图，点是正方形对角线的交点，以为边构造菱形且点在上，连接，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，菱形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角函数的定义．如图，设与交于，与交于，根据正方形的性质得到，，根据菱形的性质得到，，推出，，是等腰直角三角形，设，则，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，设与交于，与交于， 四边形是正方形， ，，，， 四边形是菱形， ，，， ，，，， ，，是等腰直角三角形， 设，则， ， ， 故选：C． 12. 如图是二次函数，，是常数，图象的一部分，对称轴为直线，经过点，且与轴的交点在点与之间．下列判断中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是二次函数图像与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练的掌握二次函数图像与系数的关系． 根据抛物线开口方向、对称轴位置、抛物线与y轴交点位置求得a、b、c的符号；根据对称轴求出；把代入函数关系式，结合图象判断函数值与0的大小关，根据二次函数与y的交点得到，进而求解即可． 【详解】对称轴为直线，经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， ， ，故A选项错误； ， ， ，故B选项错误； 抛物线的开口向上， ， 当时，， ， ， ，故C选项错误； 抛物线与轴的交点在点与之间， ， 当时，， ， ， ， ， ，故D选项正确， 故选：D． 二、填空题（本大题共4小题，共12.0分） 13. 若，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，根据题意设，代入根据比例的性质化简即可． 【详解】解：设， 故答案为：． 14. 一个不透明的盒子里装有120个红、黄两种颜色的小球，这些球除颜色外其他完全相同，每次摸球前先将盒子里的球摇匀任意摸出一个球记下颜包后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4，那么估计盒子中红球的个数为_____． 【答案】72 【解析】 【分析】根据利用频率估计概率得摸到黄球的频率稳定在0.4，进而可估计摸到黄球的概率，根据概率公式列方程求解可得. 【详解】设盒子中红球的个数为x， 根据题意，得：， 解得：x＝72， 即盒子中红球的个数为72， 故答案为72． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率.当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率. 15. 如图，已知正比例函数y＝kx（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1）和点B，则不等式kx＜的解集是_____． 【答案】﹣2＜x＜0或x＞2． 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征求得B（2，-1），然后根据函数的图象的交点坐标即可得到结论． 【详解】∵正比例函数y＝kx（k≠0）和反比例函数y＝（m≠0）的图象相交于点A（﹣2，1），和点B， ∴B（2，﹣1）， ∴不等式kx＜的解集是﹣2＜x＜0或x＞2， 故答案为﹣2＜x＜0或x＞2． 【点睛】此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用． 16. 如图，在中，，，D在内部，且，，连接CD，若，则的面积为______． 【答案】2 【解析】 【分析】过A作于H，过D作于G，设，，根据勾股定理得到，得到，过D作于E，则四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，从而推出，可证，根据全等三角形的性质得到，然后求得，设，根据勾股定理列出方程，解得，最后利用三角形的面积公式即可得到结论． 详解】解：过A作于H，过D作于G， ， ∴ ∵， 设，， ， ， ，， ， 过D作于E， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， 设， ， ， ， 或（不合题意舍去）， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形面积的计算；证明三角形全等得出是解决问题的关键，并利用方程的思想解决问题． 三、计算题（本大题共1小题，共5.0分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了实数运算，特殊角的三角函数，正确化简各项是解题关键． 先计算每一项的值，再计算即可． 【详解】原式． 四、解答题（本大题共6小题，共47.0分） 18. 从两副完全相同的扑克中，抽出两张黑桃6和两张黑桃10，现将这四张扑克牌洗匀后，背面向上放在桌子上． （1）从中随机抽取一张扑克牌是黑桃6的概率是多少？ （2）请利用画树状图或列表法表示从中随机抽取两张扑克牌成为一对的概率． 【答案】（1）随机抽取一张扑克牌是黑桃6概率为； （2）从中随机抽取的两张扑克牌成为一对的概率为． 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可； （2）根据树状图法求概率即可． 【小问1详解】 解：随机抽取一张扑克牌是黑桃6的概率． 【小问2详解】 解：设两张黑桃6分别为a、b，两张黑桃10分别为m、n，画树状图如下： 共有12种情况，成对的有ab，ba，mn，nm则从中随机抽取的两张扑克牌成为一对的概率：． 【点睛】本题考查了概率公式求概率和画树状图求概率，掌握求概率的方法是解题的关键． 19. 为加快城乡对接，建设全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建．如图，A、B两地之间有一座山．汽车原来从A地到B地需途径C地沿折线行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线行驶．已知千米，，． （1）开通隧道前，汽车从A地到B地大约要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走多少千米？（结果精确到1千米）（参考数据：，） 【答案】（1）千米 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用： （1）过点作，垂足为，解求出，再解求出的长即可得到答案； （2）解求出，再解求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 解：过点作，垂足为． 在中，，千米， ∴（千米）， 在中，， ∴（千米）， ∴（千米）， 答：开通隧道前，汽车从地到地大约要走千米． 【小问2详解】 解：在中， ，千米， ∴千米 在中，， ∴（千米）， ∴千米， 千米 答：开通隧道后，汽车从地到地大约少走千米． 20. 如图，已知反比例函数y=（x＞0）的图象与一次函数y=kx+4的图象交于A和B（6，1）两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△AOB的面积． 【答案】（1）y=；y= –x+4；（2）S△AOB= 8． 【解析】 【分析】（1）先把B点坐标代入与一次函数y=kx+4中，求出m，k的值即可； （2）分别过点A、B作AE⊥x轴，BF⊥x轴，垂足分别是E、F点．直线AB交x轴于C点，S△AOB=S△AOC-S△BOC，由三角形的面积公式可以直接求得结果． 【详解】解：（1）将B（6，1）代入y=得：m=6， ∴反比例函数的解析式为y=， 将B（6，1）代入y=kx+4得：1=6k+4， 解得k=–， 即一次函数的解析式为y=–x+4； （2）联立， 解得，， ∴A（2，3）， 如图，过点A作AE⊥x轴于E，过点B作BF⊥x轴于F，则AE=3，BF=1， 设直线y=–x+4与x轴交于C点， 由y=–x+4=0得x=8，即C（8，0）， ∴S△AOB=S△AOC–S△BOC=×8×3–×8×1=8． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：先由点的坐标求函数解析式，然后解由解析式组成的方程组求出交点的坐标，体现了数形结合的思想． 21. 某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，规定试销期间销售单价不低于成本价.据试销发现，月销量（千克）与销售单价（元）符合一次函数.若该商店获得的月销售利润为元，请回答下列问题： （1）请写出月销售利润与销售单价之间的关系式（关系式化为一般式）； （2）在使顾客获得实惠的条件下，要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少元？ （3）若获利不高于，那么销售单价定为多少元时，月销售利润达到最大？ 【答案】（1）W＝﹣10x2+1400x﹣40000；（2）销售单价应定60元；（3）销售单价定为68元时，月销售利润达到最大． 【解析】 【分析】（1）根据总利润=每千克的利润×月销量，即可求出月销售利润与销售单价之间的关系式，然后化为一般式即可； （2）将=800代入（1）的关系式中，求出x即可； （3）根据获利不高于，即可求出x的取值范围，然后根据二次函数的增减性，即可求出当月销售利润达到最大时，销售单价的定价． 【详解】解：（1）根据题意得，W＝（x﹣40）（﹣10x+1000） ＝﹣10x2+1000x+400x﹣40000 ＝﹣10x2+1400x﹣40000； （2）当W＝﹣10x2+1400x﹣40000＝8000时， 得到x2﹣140x+4800＝0， 解得：x1＝60，x2＝80， ∵使顾客获得实惠， ∴x＝60． 答：销售单价应定为60元． （3）W＝-10x2+1400x﹣40000 ＝-10（x﹣70）2+9000 ∵获利不得高于70%，即x﹣40≤40×70%， ∴x≤68． ∵-10＜0，对称轴为直线x=70 ∴当x≤68时，y随x的增大而增大 ∴当x＝68时，W最大＝8960． 答：销售单价定为68元时，月销售利润达到最大． 【点睛】此题考查的是二次函数是应用，掌握实际问题中的等量关系、二次函数和一元二次方程的关系和利用二次函数的增减性求值是解决此题的关键． 22. 如图1，矩形的边、分别在x轴、y轴上，B点坐标是，将沿对角线翻折得，与相交于点E． （1）求证：； （2）求E点坐标； （3）如图2，若将沿直线平移得（边始终在直线上），是否存在四边形为菱形的情况？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）见解析 （2） （3）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）用证明即可； （2）设，则，利用勾股定理即可求解； （3）设点C在水平方向上向左移动m个单位，则在垂直方向上向上移动了个单位，利用，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ，， ，， 又， ； 【小问2详解】 ∵ ∴ ，即，． ∴设，则， 由， 得， 解得：， ； 【小问3详解】 设点C在水平方向上向左移动m个单位，则在垂直方向上向上移动了个单位， 则点坐标为， ∵四边形为菱形， ， 解得：， 故点的坐标为或． 【点睛】本题为一次函数综合题，主要考查了矩形中的折叠问题、全等三角形的判定、菱形的性质、勾股定理、图形平移等知识．熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． 23. 如图1，抛物线与x轴交于A和两点，与y轴交于点，点D是抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标； （2）点P在x轴上，直线将的面积分成两部分，请求出点P的坐标； （3）如图2，作轴于M点，点Q是上方的抛物线上一点，作于N点，是否存在Q点使得？若存在，请直接写出Q坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线表达式为：，点D的坐标为 （2）点P的坐标为或 （3）存在，点Q的坐标为 【解析】 【分析】（1）将、代入，即可求解； （2）取的三等分点E、F，作轴于点G，轴于点H，由平行线分线段成比例的性质即可求解； （3）设点Q坐标为，延长交于点，作于点E，求出，得出．证明求出，求出直线的解析式为，然后把代入计算即可． 【小问1详解】 解：将、代入得： ，解得：， 抛物线表达式为：， 则点D的坐标为； 【小问2详解】 取的三等分点E、F，作轴于点G，轴于点H，则G、H即为点P，则当直线过点E和点F时，直线将的面积分成两部分， ， 由平行线分线段成比例的性质可得：． 由、可得的直线表达式为：， 、， ∵， ∴轴， 坐标为， 由、得的直线表达式为：， 当时，，即点坐标为， 故点P的坐标为或； 【小问3详解】 存在，理由：设点Q坐标为， 延长交于点，作于点E， ，，轴于M点， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 由待定系数法可求出直线解析式为， ∴， 整理得，， 解得：， 故点Q的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，待定系数法求函数解析式，二次函数与几何综合，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，难度较大，数形结合是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $