专题01 相似三角形（期中复习讲义）（必备知识+6大题型+分层检测）九年级数学上学期沪教版五四制

该初中数学复习讲义以“相似三角形”为核心，构建了从概念理解到判定性质、再到综合应用的完整知识体系。通过表格梳理核心考点与考情规律，用思维导图呈现比例线段、平行线分线段成比例、相似三角形判定与性质等模块间的逻辑关联，并结合典型例题标注易错点，清晰展现重难点分布和内在联系。 讲义的亮点在于紧扣新课标核心素养，突出“几何直观”“推理能力”和“模型意识”的培养。例如在“三角形一边的平行线”题型中，设计“A字型、X字型”模型识别技巧，引导学生从复杂图形中抽象基本结构，提升空间观念；在“相似三角形判定与性质综合”部分，通过“比例三角形”新定义题型，训练学生建模能力和逻辑推理能力。每类题型均配有解题策略口诀和变式练习，基础薄弱生可掌握方法模板，优等生能拓展思维深度，教师据此实现精准分层教学，助力学生自主复习与课堂高效推进。

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01相似三角形（期中复习讲义） 明·期中考情 核心考点复习目标 考情规律 相似形 能清晰界定相似形的定义。 基础必考点，常出现在小题。 比例线段 明确“四条线段成比例”的前提条件；知 高频易错点，常出现在小题。容易忽视一条线 道黄金分割点的存在性。 段上有两个黄金分割点。 三角形 理解并掌握平行线分线段成比例定理及推 必考点，主要以小题的形式出现。重点考查三 边平行线 论，能快速识别图形中的比例关系。 角形一边的平行线性质定理及推论 相似三角 牢记相似三角形的判定定理，明确每个定理 核心考点考查形式多样。综合题难度较大，在 形判定与 的适用条件。熟练背诵相似三角形的性质及 解答题中出现，要求学生能够熟练运用相似三 性质 灵活应用性质解题。 角形的判定定理和性质定理进行推理和计算。 向量的运 能熟练、准确地进行向量的线性运算。能运 上海特色必考题，考查形式多样。重点关注向 算 用向量的相关知识进行逻辑推理。 量概念中的易错点。 记·必备知识 1/64 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 相似形 相似形定义性质 0定义 ,则线段a、b、c、d是成比例线段 基本性质 若5=行，则d=c ②性质 合比性质 b d 比例线段 等比性质 e =m(6+d+f+n≠0)，则9+c+e+m= a n b+d+f+…n b ③黄金分割 性质定理推论 0三角形一边的平行线】 判旋定理 推论 ⑤平行线分线段成比例定理特例 相似三角形 两角分别相等的两个三角形相似 0判定/ 两边对应成比例且夹鱼相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 相似三角形 相似三角形对应边成出例，对应角相等 相似三角形对应中线对应角平分线、对应高之比等于相似 ②性质 比 相似三角形周张之比等于相似比 面积比等于相似比的平立 ●加法、减法 运算法则 平行向量定理 ②实数与向量相乘 向量的运算 运算律 向量的线性组合 ③线性运算 向量的分解 屋知识点01相似形的概念及性质 1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例.当两个相似的多边 形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1. ®知识点02比例的性质 1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作：b(或表示为b); 如果a:b=c:d(或bd),那么就说a、b、c、d成比例. 2、比例的性质 (1)基本性质： a c 如果bd,那么ad=bc: 2/64 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a c b d ab cd 如果bd,那么ac,cd,ab. (2)合比性质： a c a+b c+d 如果bd,那么bd: a c a-b c-d 如果bd,那么bd. (3)等比性质： ac=k 如果bd，那人6+d=五日k ®知识点03比例线段 1、比例线段的概念 a c 对于四条线段a、b、c、d,如果a:b=c:d(或表示为bd),那么a、b、c、d叫做成比例线 段，简称比例线段. 2、黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB(AP>PB)两段（如下图），其中AP是AB和PB的比例中项， 4P5-1≈0.618 那么称这种分割为黄金分割，点P称为线段AB的黄金分割点.其中，AB2 ，称为黄金分 割数，简称黄金数 A B 易错点： 条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注AP>PB或AP< BP,否则在己知AB的长度求AP(或BP)的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。 圆知识点04三角形一边的平行线性质定理及其推论 1、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例. AD AE ·示例：如图，已知△ABC,直线IBC,且与AB、AC所在直线交于点D和点E,那么DBEC 3/64 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E D B 2、三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. DE AD AE ·示例：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE/IBC,那么BC AB AC D 3、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心. 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍。 4、三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边， 5、三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例， 那么这条直线平行于三角形的第三边. AD AE ·示例：如图，在△MBC中，直线I与AB、AC所在直线交于点D和点E,如果DBEC那么II/BC. 昼知识点5平行线分线段成比例定理 4/64 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例. DF EG ·示例：如图，直线4/乃/乃，直线m与直线n被直线4、、马所截，那么FBGC G 2、平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也 相等. 平行线分线段成比例速记口诀！！！ 平行线分线段，成比例是关键。 先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 ·易错点： 易错点1在求两条线段的比时忽略了要统一单位 易错点2判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错 易错点3解题时漏掉一个黄金分割点 易错点4判断三角形中线段平行时，判断线段成比例时，比例式中不能有要证明的平行线 昼知识点06三角形相似的判定定理 1判定三角形相似的预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似： 这是判定三角形相似的一种基本方法.相似的基本图形可分别记为“A'型和“X”型，如图所示在应用时要 善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形， 2.三角形相似的判定定理1 5/64 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似. 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似， ·示例：如图，在AMBC与△4BC中，如果∠A=∠A、∠B=∠B,那么△ABC∽△4BC1. A B 示例：常见模型如下： 3.三角形相似的判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似. ABAC ·示例：如图，在△MBC与△4BC中，∠A=∠A,ABAC,那么△4BC∽△4B,C. A B C B C 4.三角形相似的判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似. AB BC CA 示例：如图，在△4BC与△4B,C中，如果4BB,CCA,那么AMBC∽△4BC. 6/64 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B 5.判定两个直角三角形相似定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两 个直角三角形相似， 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似， AB BC 示例：如图，在RA4BC和R△4B,C中，如果∠C=∠C=90°，ABBC,那么A1BC∽A4B,G. 属知识点07三相似三角形在质定理 1.相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比. 2.相似三角形周长的比等于相似比. 3.相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 屋知识点08实数与向量相乘 1.平面向量的相关概念 向量：既有大小、又有方向的量叫做向量： 向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）： 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0： 相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量： 互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量： 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量 2.平面向量的加减法则 几个向量相加的多边形法则： 7/64 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 向量减法的三角形法则： 向量加法的平行四边形法则. 3.实数与向量相乘的运算 设k是一个实数，a是向量，那么k与a相乘所得的积是一个向量，记作ka. 如果≠0，且a≠0，那么ka的长度kd= ka的方向：当k>0时ka与a同方向：当k<0时ka与a反方向. 如果k=0或a=0,那么ka=0 4.实数与向量相乘的运算律 设m、n为实数，则 mna=(mn)a.(m+n)a=ma+na ma+b=ma+mb 平行向量定理 如果向量b与非零向量a平行，那么存在唯一的实数m,使b=ma 5.单位向量 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量。设e为单位向量，则日=1 单位向量有无数个：不同的单位向量，是指它们的方向不同. 对于任意非零向量a,与它同方向的单位向量记作o. 由实数与向量的乘积可知： 屋知识点9向量的线性运算 1.向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算. 如2a+.日-5.266、专0+6 a-36 等，都是向量的线性运算. 8/64 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 一般来说，如果a、b是两个不平行的向量，c是平面内的一个向量，那么c可以用a、b表示，并且通常 将其表达式整理成c=xa+b的形式，其中x、y是实数. 2.向量的合成与分解 如果a、b是两个不平行的向量，c=ma+nb(m、n是实数)，那么向量c就是向量ma与nb的合成；也 可以说向量c分解为ma、b两个向量，这时，向量ma与b是向量c分别在a、b方向上的分向量， ma+nb是向量c关于a、b的分解式. 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 破·重难题型 题型一 比例线段 解题技巧 技巧1：设k法 解决“已知比例求具体值” 当题目给出明确比例，但未给具体数值时，可设比例系数为k,将比例中的量用k表示，再结合 已知条件列方程求解。 技巧2：等比性质法一一解决“多个比例相等”问题 当题目中出现3个及以上量成比例，且需要求“分子和与分母和的比”时，直接用等比性质，无 需单独求每个量。 【典例1】(24-25九年级上·上海奉贤期中)下列各组线段中，能成比例线段的一组是() A.2,3,4,6B.1,2,3,4 C.2,3,5,6 D.3,4,5,6 【答案】A 【详解】解：A、2×6=4×3,故本选项正确： B、1×4≠3×2，故本选项错误； C、2×6≠3×5，故本选项错误： D、3×6≠4×5，故本选项错误. 故选：A 9/64 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【典例2】(24-25九年级上，上海奉贤·期中)如果在比例尺为1：1000000的地图上，A、B两地的图上距离 是4.2厘米，那么A、B两地的实际距离是_千米. 【答案】42 【详解】解：设A,B两地的实际距离是x厘米， 则4.2：x=1:1000000, 解得x=4200000, 因为4200000厘米=42千米， A.B 所以”两地的实际距离是42千米， 故答案为：42. a_ce 3 a-2c+3e 【典例3】(24-25九年级上上海期中)若bd了4，且b-2d+3f≠0，则b-2d+3 【答案】4 【1报：8-香分 3 3 3 ..a=-b,c=-d,e= 4 4 4 a-2c+3e .b-2d+3f 3 3 之是Z、 b-2d+3f 3b-2d+3f) b-2d+3f 4 故答案为：4 【变式1】(24-25九年级上·上海宝山期中)线段a=3厘米，c=6厘米，如果线段b是线段a和C的比例 中项，那么b=厘米. 10/64 专题01 相似三角形（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 相似形 能清晰界定相似形的定义。 基础必考点，常出现在小题。 比例线段 明确 “四条线段成比例” 的前提条件；知道黄金分割点的存在性。 高频易错点，常出现在小题。容易忽视一条线段上有两个黄金分割点。 三角形一边平行线 理解并掌握平行线分线段成比例定理及推论，能快速识别图形中的比例关系。 必考点，主要以小题的形式出现。重点考查三角形一边的平行线性质定理及推论。 相似三角形判定与性质 牢记相似三角形的判定定理，明确每个定理的适用条件。熟练背诵相似三角形的性质及灵活应用性质解题。 核心考点考查形式多样。综合题难度较大，在解答题中出现，要求学生能够熟练运用相似三角形的判定定理和性质定理进行推理和计算。 向量的运算 能熟练、准确地进行向量的线性运算。能运用向量的相关知识进行逻辑推理。 上海特色必考题，考查形式多样。重点关注向量概念中的易错点。 知识点01 相似形的概念及性质 1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形． 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1． 知识点02 比例的性质 1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量与相除，叫做与的比，记作（或表示为）； 如果（或），那么就说、、、成比例． 2、比例的性质 （1）基本性质： 如果，那么； 如果，那么，，． （2）合比性质： 如果，那么； 如果，那么． （3）等比性质： 如果，那么． 知识点03 比例线段 1、比例线段的概念 对于四条线段、、、，如果（或表示为），那么、、、叫做成比例线段，简称比例线段． 2、黄金分割 如果点把线段分割成和（）两段（如下图），其中是和的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点称为线段的黄金分割点．其中，，称为黄金分割数，简称黄金数． ·易错点： 一条线段有两个黄金分割点，因此，一般说点P是线段AB的黄金分割点时，需加注 或AP＜ BP，否则在已知AB的长度求AP（或BP）的长度时，会有两种情况，此时应分情况讨论。 知识点04 三角形一边的平行线性质定理及其推论 1、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． ·示例：如图，已知，直线，且与、所在直线交于点和点，那么． 2、三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例． ·示例：如图，点、分别在的边、上，，那么． 3、三角形的重心 定义：三角形三条中线交于一点，三条中线交点叫三角形的重心． 性质：三角形重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍． 4、三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5、三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形的两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． ·示例：如图，在中，直线与、所在直线交于点和点，如果那么//． 知识点05 平行线分线段成比例定理 1、平行线分线段成比例定理 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例． ·示例：如图，直线////，直线与直线被直线、、所截，那么． 2、平行线等分线段定理 两条直线被三条平行的直线所截，如果一条直线上截得的线段相等，那么另一条直线上截得的线段也相等． 平行线分线段成比例速记口诀！！！ 平行线分线段，成比例是关键。 先找出平行线，再找出上、下、全，对应之比均相等，代入数值求线段。 ·易错点： 易错点1在求两条线段的比时忽略了要统一单位 易错点2判断线段是否成比例时，局限于字母的顺序而出错 易错点3解题时漏掉一个黄金分割点 易错点4判断三角形中线段平行时，判断线段成比例时，比例式中不能有要证明的平行线 知识点06 三角形相似的判定定理 1.判定三角形相似的预备定理 平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似； 这是判定三角形相似的一种基本方法．相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型，如图所示在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形． 2.三角形相似的判定定理1 如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两角对应相等，两个三角形相似． ·示例：如图，在与中，如果、，那么． A B C A1 B1 C1 ·示例：常见模型如下： 3.三角形相似的判定定理2 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似． 可简述为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似． ·示例：如图，在与中，，，那么． A B C A1 B1 C1 4.三角形相似的判定定理3 如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似． 可简述为：三边对应成比例，两个三角形相似． ·示例：如图，在与中，如果，那么∽． A B C A1 B1 C1 5.判定两个直角三角形相似定理 如果一个直角三角形的斜边及一条直角边与另一个直角三角形的斜边及一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 可简述为：斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似． ·示例：如图，在和中，如果，，那么∽． 知识点07 三相似三角形性质定理 1.相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 2.相似三角形周长的比等于相似比． 3.相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 知识点08 实数与向量相乘 1.平面向量的相关概念 向量：既有大小、又有方向的量叫做向量； 向量的长度：向量的大小也叫做向量的长度（或向量的模）； 零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作； 相等的向量：方向相同且长度相等的两个向量叫做相等的向量； 互为相反向量：方向相反且长度相等的两个向量叫做互为相反向量； 平行向量：方向相同或相反的两个向量叫做平行向量． 2.平面向量的加减法则 几个向量相加的多边形法则； 向量减法的三角形法则； 向量加法的平行四边形法则． 3.实数与向量相乘的运算 设k是一个实数，是向量，那么k与相乘所得的积是一个向量，记作． 如果，且，那么的长度； 的方向：当k > 0时与同方向；当k < 0时与反方向． 如果k = 0或，那么． 4.实数与向量相乘的运算律 设m、n为实数，则 ；；． 平行向量定理 如果向量与非零向量平行，那么存在唯一的实数m，使． 5.单位向量 单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．设为单位向量，则． 单位向量有无数个；不同的单位向量，是指它们的方向不同． 对于任意非零向量，与它同方向的单位向量记作． 由实数与向量的乘积可知：，． 知识点09 向量的线性运算 1.向量的线性运算 向量加法、减法、实数与向量相乘以及它们的混合运算叫做向量的线性运算． 如、、、等，都是向量的线性运算． 一般来说，如果、是两个不平行的向量，是平面内的一个向量，那么可以用、表示，并且通常将其表达式整理成的形式，其中x、y是实数． 2.向量的合成与分解 如果、是两个不平行的向量，（m、n是实数），那么向量就是向量与的合成；也可以说向量分解为、两个向量，这时，向量与是向量分别在、方向上的分向量，是向量关于、的分解式． 平面上任意一个向量都可以在给定的两个不平行向量的方向上分解 题型一 比例线段 解｜题｜技｜巧 技巧 1：设 k 法 —— 解决 “已知比例求具体值” 当题目给出明确比例，但未给具体数值时，可设比例系数为 k，将比例中的量用 k 表示，再结合已知条件列方程求解。 技巧 2：等比性质法 —— 解决 “多个比例相等” 问题 当题目中出现 3 个及以上量成比例，且需要求 “分子和与分母和的比” 时，直接用等比性质，无需单独求每个量。 【典例1】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）下列各组线段中，能成比例线段的一组是（      ） A．2，3，4，6 B．1，2，3，4 C．2，3，5，6 D．3，4，5，6 【典例2】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）如果在比例尺为的地图上，A、B两地的图上距离是厘米，那么A、B两地的实际距离是 千米． 【典例3】（24-25九年级上·上海·期中）若，且，则 ． 【变式1】（24-25九年级上·上海宝山·期中）线段厘米，厘米，如果线段是线段和的比例中项，那么 厘米． 【变式2】（24-25九年级上·上海·期中）已知：，且，则的值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）已知 ，且，试求的值． 题型二 黄金分割 解｜题｜技｜巧 技巧 ：利用比例关系列方程 当题目给出 “某两线段的比为黄金比” 时，设未知数，将比例转化为一元二次方程求解。 【典例1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知点是线段上的一点，且，如果，那么 ． 【典例2】（24-25九年级上·上海金山·期中）“黄金分割”给人以美感，它在建筑、艺术等领域有着广泛的应用．秦兵马俑被誉为“世界第八大奇迹”，兵马俑的眼睛到下巴的距离与头顶到下巴的距离之比约为，如果如图所示的兵马俑头顶到下巴的距离约为分米，那么该兵马俑的眼睛到下巴的距离约为 分米（结果保留根号）． 【变式1】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）今年为庆祝建平西校建校周年，学校举办了一场大型的“”文艺汇演活动，汇演舞台的形状为矩形，宽度为米，如果主持人站立的位置是宽度的黄金分割点，那么主持人从台侧点沿方向走到主持的位置至少需走 米 【变式2】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）在小提琴的设计中，经常会引入黄金分割的概念．如图，一架小提琴中、、各部分长度的比满足，则 ． 题型三 三角形一边的平行线 解｜题｜技｜巧 1.找模型：观察图形是否符合 “A 字型、X 字型、梯形” 等常见模型，直接提取比例； 2.补辅助线：若无现成比例条件，通过 “作平行线、连中点” 构造模型（优先作平行线）； 【典例1】（24-25九年级上·上海静安·期中）已知线段，求作线段使，下列作法（图中虚线均为平行线）中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知，如果，，那么k的值为 ． 【变式1】（24-25九年级上·上海·期中）如图所示，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的点都在横线上，如果线段的长2，那么的长是（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【变式2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，直线分别交直线于点，交直线于点，且，如果，那么 ． 【变式3】（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 题型四 相似三角形的性质 【典例1】（24-25九年级上·上海静安·期中）如果两个相似三角形对应边上的高之比为，则这两个三角形的周长比为 ． 【典例2】（24-25九年级上·上海嘉定·期中）若两个相似三角形的面积之比为，则它们的对应中线之比为 ． 【典例3】（24-25九年级上·山东济南·期中）两个相似三角形的相似比为，则它们的面积之比为 ． 【变式1】（24-25九年级上·上海闵行·期中）如果两个相似三角形对应边之比是，且较小的三角形的周长是6，那么较大三角形的周长是 ． 【变式2】（24-25九年级上·上海宝山·期中）如图，在中，，，则 ． 【变式3】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，正方形的边在的边上，顶点分别在边上．已知长为60厘米，如果正方形的边长为20厘米，那么的高为 厘米． 题型五 相似三角形的判定与性质综合 【典例1】（24-25九年级上·上海普陀·期中）已知：如图，在与中，．点是边上一点，，与交于点．点，点分别是边上的中点． 求证： (1) (2)． 【典例2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在平行四边形中，，点是对角线上的两点，且，的延长线交于点，的延长线交于点． (1)求的长： (2)设的面积为，求四边形的面积．（用含的代数式表示） 【典例3】（24-25九年级上·上海·期中）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形． (1)已知是比例三角形，，请直接写出所有满足条件的的长； (2)如图1，在四边形中，，对角线平分．求证：是比例三角形； (3)如图2，在（2）的条件下，当时，求出的值． 【变式1】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，点分别在的边上，延长交于点，且． (1)求证：； (2)连接，若，求证：． 【变式2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，E、F分别是AC、BC边上的点，交AF的延长线于，交BC于． (1)求证： (2)求证： 【变式3】（24-25九年级上·上海·期中）如图所示，已知在梯形中，，点为边上一点，且，连接交于点，已知，过点作的平行线交于点，连接交于点． (1)求证：点是的中点； (2)如果，求的长； (3)如图，如果与互补，求的面积． (4) 【变式4】（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图所示，在中，，，垂足为D，平分，交于点E，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，． ①求的长． ②点P是延长线上一点，若与相似，请直接写出的长． 题型六 平面向量的线性运算 【典例1】（24-25九年级上·上海奉贤·期中）点在线段上，如果，，那么等于（      ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25九年级上·上海普陀·期中）如图，在中，点在边上，线段经过重心，向量，向量，那么向量 ．（用向量、表示） 【典例3】（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，已知中，，设． (1)求关于，的分解式； (2)连接，在图中作出向量分别在，方向上的分向量． （不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【变式1】（24-25九年级上·上海浦东新·期中）点是的重心，设 ，那么 关于 和的分解式是 ． 【变式2】（24-25九年级上·上海·期中）在梯形中，，对角线、相交于点，设．用的式子表示向量 【变式3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在梯形中，，交于点O，，，． (1)填空：_________，_________（结果用表示）； (2)画出在方向上的分向量．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·上海宝山·期中）下列选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等边三角形 B．两个矩形 C．两个菱形 D．两个等腰三角形 2．（24-25九年级上·上海嘉定·期中）如果，，且与反向，那么下列关系式中成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）计算： 4．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 已知点D、E分别在的边和上， 如果 那么 得到． （填“能”或“不能”） 5．（24-25九年级上·上海·期中）已知点分别在的边的反向延长线上，且，，那么 ． 6．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，用手电来测量古城墙高度，将平面镜水平放置在点处，光线从点出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙的顶端处．若，，米，米，米，根据物理学中光的反射定律，可计算出该古城墙的高度是 米． 7．（24-25九年级上·上海·期中）在中，已知是中线，点G是重心，那么 ． 8．（24-25九年级上·上海·期中）如图，的边长为a，中线为h，菱形的边在的边上，顶点D、G分别在边上，且．求菱形的边长（用含a，h的代数式表示）． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，四边形的对角线与相交于点，，，，，那么下列结论中，错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在平行四边形中，点在边上，，连接交于点，若的面积为，则平行四边形的面积为 ． 3．（24-25九年级上·上海·期中）在中，点G为重心，若边上的高为6，则点G到边的距离为 ． 4．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知平行四边形中，，E为上一点，，那么用表示 ． 5．（24-25九年级上·上海静安·期中）如图，在中，，点在边上，，且，那么的比值是 ． 6．（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，点E为中点，点D在边上，，，． (1)求的长； (2)设，用向量、表示向量，即______． 7．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 在中，平分，． (1)已知，求的长； (2)如果 求（用的代数式表示） 8．（24-25九年级上·上海松江·期中）已知：如图，在中，，D为边上一点，过点B作，垂足为点E，延长交边于点F． (1)当D为的中点时，求证：； (2)当F为中点时，连结，求证：． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在正方形中，是等边三角形，的延长线分别交边于点E、F，连结与相交于点H，有下列5个结论：①；②；③；④．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在梯形中，，点E、F分别在上，且，当，时，线段的长为 ．（用含m、n的代数式表示） 3．（24-25九年级上·上海·期中）如图，已知E、F分别是平行四边形的边的中点，如果，那么的值为 ． 4．（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，点D、E分别在边上，且．如果的面积为，的面积为，那么的面积为 ． 5．（24-25九年级上·上海·期中）如图， 正方形中， 将绕着点逆时针旋转到， ，分别交对角线于点，．如果 那么 的值为 ．    6．（24-25九年级上·上海·期中）新定义：平行于三角形一边的直线被其他两边所截得的线段叫做“三角形的弦”，已知等边三角形的一条弦的长度为，且这条弦将等边三角形分成面积的两个部分，那么这个等边三角形的边长为 ． 7．（24-25九年级上·上海静安·期中）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的优美线．如图，等腰斜边上的高就是它的优美线．在中，，若是的优美线，且是等腰三角形，那么优美线 ． 8．（24-25九年级上·上海普陀·期中）在中，垂足为．且点是边上一动点(点不与点A、点C重合)，连接，过点作交线段于点． (1)如图①，求证：． (2)如图②，若，求的面积． (3)若交线段于点，连接，且与相似，请直接写出的长． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $