专题04 角平线相关压轴题（5种类型35道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级上册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04角平线相关压轴题 (5种类型35道) 类型角平线相关最值问题 类型2角平线相关综合题 角平线相关压轴题 类型3角平线相关探究角的数量关系 类型4角平线相关探究线段的数量关系 类型5角平线相关动点问题 目目 类型01 角平线相关最值问题 1.如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AD=2,点E是BC边上的动点，连接AC、AE,若CA平分 ∠BCD,则AE的最小值为() 4 A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在锐角三角形ABC中AB=5,ABC的面积15，BD平分∠ABC交AC于点D,若M、N分别是 BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为() M 1/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.5 B.6 C.8 D.9 3.如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C,PC=1,点Q是射线OB上的一个动点，线段PO长 度的最小值为Q,下列说法正确的是() C B A.a=0 B.a=0.5 C.a=1 D.a=2 4.如图，AB∥CD,BE和CE分别平分∠ABC和LBCD,AD过点E,且与AB互相垂直，点P为线段BC 上一动点，连接PE,若AD=8,BC=10,则PE的最小值为() B A.8 B.5 c.4 D.2 5.如图，在△ABC中，AB=10,S。ABc=24,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点， 则PC+PQ的最小值是() B A.2.4 B.4.8 C.4 D.5 6.如图，在△ABC中，AC=BC=8,∠ACB=120°，BD平分∠ABC交AC于点D,点E、F分别是线段BD ,BC上的动点，则CE+EF的最小值是() 2/13 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.4 c.5 D.6 目目 类型02 角平线相关综合题 7.如图，∠ABC、∠EAC的平分线BP、AP交于点P,PM⊥BE,PN⊥BF,则下列结论中正确的个数是() A B ①CP平分∠ACF;②LABC+2LAPC=180°； ③∠ACB=2∠APB;④SAPAC=S△PAM+S△PCw· A.1 B.2 C.3 D.4 8.如图，在ABC中，BE,CE,CD分别平分∠ABC,∠ACB,∠ACF,AB∥CD,下列结论：① ∠BDC=∠BAC;②LBEC=90°+∠ABD:③∠CAB=∠CBA;④LADB+∠ABC=90°，其中正确的有() F A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D,BE平分∠ABC交AC于E,交AD于F, FG∥BC,FH∥AC,下列结论：①AE=AF;②AF=FH;③AG=CE;④AB+FG=BC,其中正确 的结论有() D H C A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 1O.如图，DE1AB、DF⊥AC,垂足分别为E、F,若BD=CD,BE=CF,则以下结论：①DE=DF; ②AD平分∠BAC;③LC+∠BAD=180°；④AC-AB=2BE,其中正确的结论序号是() 3/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①②③④ 11.如图，在△0AB和△0CD中，0A=0B,0C=0D,0A>0C,∠A0B=∠C0D=40°，连接AC, BD交于点M,连接OM,下列结论：①AC=BD;②∠AMB=40°；③M0平分∠BMC,其中正确的结论 有() A.① B.①② C.②③ D.①②③ 12.如图，在ABC中，AD L BC交BC于D,AE平分∠BAC交BC于E,F为BC延长线上一点， FG⊥AE交AE的延长线于点M,交AD的延长线于点G,AC的延长线交FC于点H,连接BG,则下列 结论：①∠BAG=∠F;②LAGH=∠MEF;③SAAEB:S△AEc=AB:AC;④若GM=EM,则 △AGM≌△FEM·其中正确的有() B \E H G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 目目 类型03 角平线相关探究角的数量关系 13.在ABC中，CE平分∠ACB,∠A>∠B. B D E B 图1 图2 4/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图1，若CD⊥AB于点D,∠A=70°，∠B=40°，则∠DCE的度数为 (2)如图1，若CD⊥AB于点D,猜想并写出∠A、∠B、∠DCE之间的数量关系，并说明理由； (3)如图2，设∠A=Q,∠B=B,当点F在射线EF上时（不与点E重合），且DF⊥AB于点D,直接写出 ∠DFE的度数为： .(用含、B的式子表示). 14.综合与实践 B M 图1 图2 图3 (1)如图1，在ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P,如果LA=70°，那么∠BPC=- (2)如图2，作ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q,试求出∠Q、∠A之间的数量关系_ (3)如图3，延长BP、QC交于点E,在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程， 求∠A的度数. 15.【探究】如图①，在ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于点P. (1)若∠ABC=80°，∠ACB=48°，则∠A=度，∠P=度； (2)∠A与∠P的数量关系为一，并说明理由： 【应用】如图②，在ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的平分线相交于P,∠ABC的外角平分线与 ∠ACB的外角平分线相交于点Q.直接写出∠A与∠Q的数量关系为 B 图① 图② 16. 已知：如图①，线段AB,CD相交于点O,连接AD,CB,我们把形如图①的图形称为8字形”.试 解答下列问题： 5/13 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 图① 图② (1)根据图①，求LA,∠B,∠C,∠D之间的数量关系； (2)仔细观察，图②中“8字形"的个数有_个； (3)在图②中，若∠D=40°，∠B=36°，AP和CP分别平分∠DAB和∠BCD,求∠P的度数. 17.(1)如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B=∠C+∠D. (2)如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD,∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试写出∠P与 ∠D、∠B之间数量关系. (3)在图3神，若设∠C=,∠B=”∠CMP-4<CB,∠CDP4<CDB,试间∠P与∠C、∠B之同 的数量关系为 (用x、y的代数式表示). (4)在图4中，直线BP平分∠ABC,DP平分∠ADC的外角∠ADE,猜想∠P与∠A、∠C的关系，直 接写出结论。 图1 图2 图3 图4 18.在ABC中，∠ABC和∠ACB的角平分线BE和CD交于点F. 图① 图② 备用图 (1)【问题呈现】如图①，若∠A=100°，求∠BFC的度数： (2)【问题推广】如图②，将ABC沿MN折叠，使得点A与点F重合，若∠1+∠2=160°，则∠BFC=_; (3)【问题拓展】若P,0分别是线段AB,AC上的点，若∠AQP=a,∠ACB=70°，射线CF与∠APQ的 平分线所在的直线相交于点H(不与点P重合)，直接写出∠PHC与∠BFC之间的数量关系（用含的式子 表示). 6/13 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 19.如图，在ABC中，点D是BC上的一点，点E是AB上的一点，AD、CE相交于一点F 图 图2 备用图 (1)如图1，若∠B=30°，∠BAD=28°，∠BCE=40°，求∠AFC的度数； (2)如图1，若AD为ABC的中线.CF=3EF,S。4rC=12,求SABC的值： (3)如图2，若AD、CE是ABC的角平分线.P、Q分别是线段AB、BC上的点，射线CF分别与直线PQ交 于点M,与∠BPQ的平分线所在的直线相交于点H(不与点P重合，设.∠PHC=a,∠AFC=B,∠CMQ=0. 当∠BQP=60°时，请自行补全图形，求出、B、0之间的数量关系， 20.【初步认识】 (1)如图①，在ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB.若∠A=80°，则∠P=一；如图②， BM平分∠ABC,CM平分外角∠ACD,则∠A与∠M的数量关系是一： 【继续探索】 (2)如图③，BN平分外角LEBC,CN平分外角∠FCB.请探索∠A与∠N之间的数量关系. B ① ② ③ 目目 类型04 角平线相关探究线段的数量关系 21.(1)如图1，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°.当4B=90°时，根据角平分线的性质，我们可知DB与 DC之间的数量关系为一： (2)如图2，AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°.当∠B<90°时，试说明DB与DC之间的数量关系； (3)如图3，AD平分∠BAC,若∠B=65°，DB=DC,求LACD的度数 图1 图2 图3 7/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 22.如图1，AD是∠BAC的角平分线，P为AD上任意一点，PM⊥AB于M,PN⊥AC于N. B D 图1 图2 图3 (1)求证：PM=PN; (2)如图2，在ABC中，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,若AB=5,AC=3, 求肥的位： (3)如图3，在ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，AD交BC的延长于点D,当AB=5,AC=3时，求 BC与CD的数量关系 23.己知点P为∠EAF平分线上一点，PB⊥AE于B,PC⊥AF于C,点M,N分别是射线AE,AF上的 点，且PM=PN. E B M C NF (1)如图，当点M在线段AB上，点N在线段AC的延长线上时，求证：BM=CN; (2)在(1)的条件下，直接写出线段AM,AN与AC之间的数量关系，并说明理由. 24.如图①，在ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分别是LBAC、LBCA的平分线，AD、CE相 交于点F,且FG⊥AB于G,FH⊥BC于H. B E D 图① 图② (1)求证：∠BEC=LADC; 8/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明； (3)如图②，在ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、LBCA的平分线， AD、CE相交于点F,请问，你在(2)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理 由 25.在ABC中，点D在直线BC上，连接AD,EF L AD交直线AB于点E,交直线AC于点F,过点E作 EG∥AC交直线BC于点G,探究线段BC,BG,CD之间的数量关系. 图① 图② 图③ (1)当AD平分∠BAC时，如图①，求证：BC-BG=2CD. 探究如下：某同学思考这道题时，想通过三角形全等证明DE=DF,进而再证明三角形全等，最终得出 BC-BG=2CD,请写出图①的证明过程： (2)当AD为ABC的外角平分线，且点D在BC的延长线上时，如图②；当AD为ABC的外角平分线，且 点D在CB的延长线上时，如图③，请直接写出BC,BG,CD之间的数量关系 26.如图1，在四边形ABCD中，已知LA=LC=90°，AD=CD,连接BD. B B M M 0 D D 图1 图2 图3 (1)求证：BD平分∠ABC; (2)点M,N分别是AB,BC上的动点，∠ABD=30°，∠MDN=60°. ①如图2，若∠CDN=18°，求∠AMD的度数； ②如图3，线段AM,MN,CN之间有什么数量关系，请加以证明. 27.已知OM是∠AOB的平分线，P是射线OM上一点，点C,D分别在射线OA,OB上，连接PC,PD. 9/13 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A M D B D B 图① 图② (1)如图①，当PC⊥OA,PD⊥0B时，PC与PD的数量关系是 (2)如图②，点C,D分别在射线0A,0B上运动，且∠A0B=90°.当LPC0+LPD0=180°时，PC与PD在 (1)问中的数量关系还成立吗？请说明理由. 28.如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC. D B (1)若∠CDE=55°，则∠CED=°； (2)若∠BAE=40°，则∠BAD=; (3)AE和DE的位置关系是-，当AE=6,DE=8时，四边形ABCD的面积是-； (4)探索AB、CD、AD的数量关系，并加以证明. 目目 类型05 角平线相关动点问题 29.如图，在ABC中，∠BAD=∠DAC,DF⊥AB,DM⊥AC,AB=18cm,AF=10cm,AC=21cm, 动点E以1cm/s的速度从A点向F点运动，动点G以2cm/s的速度从C点向A点运动，当一个点到达终点 时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t. B D C (1)求S△4BD:S△4CD; (2)求证：在运动过程中，无论t取何值，都有2S.AD=SDcc; (3)当t取何值时，△DFE与△DMG全等： 10/13函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04角平线相关压轴题 (5种类型35道) 类型角平线相关最值问题 类型2角平线相关综合题 角平线相关压轴题 类型3角平线相关探究角的数量关系 类型4角平线相关探究线段的数量关系 类型5角平线相关动点问题 目目 类型01 角平线相关最值问题 1.如图，在四边形ABCD中，∠D=90°，AD=2,点E是BC边上的动点，连接AC、AE,若CA平分 ∠BCD,则AE的最小值为() 4 B A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【详解】解：过A作AE'1BC于E,则AE'的长为AE的最小值， :CA平分∠BCD,AE'⊥BC,∠D=90°，AD=2, 1/62 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :AE'=AD=2, 即AE的最小值为2， 故选：B. 2.如图，在锐角三角形ABC中AB=5,ABC的面积15，BD平分∠ABC交AC于点D,若M、N分别是 BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值为() M A.5 B.6 C.8 D.9 【答案】B 【详解】解：过C作CE⊥AB于点E,交BD于点M',过点M'作MN'⊥BC于N',如图 D 、M M :BD平分∠ABC,ME⊥AB于点E,MN'⊥BC于N', ∴MN=ME, .CE=CM'+ME=CM'+MN'是CM+MW最小值，此时M与M重合N与N'重合， :三角形ABC的面积为15，AB=5, 1 .×5.CE=15, 2 CE=6, 即CM+MN的最小值为6. 故选：B 3.如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C,PC=1,点Q是射线OB上的一个动点，线段PQ长 度的最小值为a,下列说法正确的是() 2/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B Q A.a=0 B.a=0.5 C.a=1 D.a=2 【答案】c 【详解】解：当PQ⊥OB时，P2最短， :OP平分∠AOB,PC⊥OA, .PC=PO, :PC=1, ·PQ的最小值为1，即a=1. 故选：C. 4.如图，AB∥CD,BE和CE分别平分∠ABC和LBCD,AD过点E,且与AB互相垂直，点P为线段BC 上一动点，连接PE.若AD=8,BC=I0,则PE的最小值为() B D A.8 B.5 C.4 D.2 【答案】C 【详解】解：过点E作EP⊥BC于P,此时PE的值最小， B :AB∥CD,AD⊥AB, AD⊥CD, :BE和CE分别平分∠ABC和LBCD, 5/D4 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .AE=PE,ED=PE, ∴AE=ED=PE, AD=8, ∴AE=ED=PE=4, 即PE的最小值是4， 故选：C 5.如图，在△ABC中，AB=10,S。4Bc=24,AD是∠BAC的平分线.若P,Q分别是AD和AC上的动点， 则PC+PQ的最小值是() A.2.4 B.4.8 C.4 D.5 【答案】B 【详解】解：作点Q关于AD的对称点E,连接PE,CE,过点C作CH⊥AB于点H, EH B :AD是△ABC的角平分线，Q与E关于AD对称， 点E在AB上，PC+PQ=PC+PE≥CH, 18=105m-4C8c=24. .CH=4.8, .CP+PQ≥4.8， PC+PQ的最小值为4.8， 故选：B. 6.如图，在△ABC中，AC=BC=8,∠ACB=120°，BD平分∠ABC交AC于点D,点E、F分别是线段BD ,BC上的动点，则CE+EF的最小值是() 4/62 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.2 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【分析】从己知条件结合图形，利用对称性和三角形的三边关系确定线段和的最小值。 【详解】解：作C点关于BD的对称点C,过C作CF⊥BC交BD于点E,交BC于点F, C EGb B ∴.CE+EF=CE+EF2CF, ∴CE+EF的最小值是CF的长， .CC⊥BD, :BD平分∠ABC, ∴.∠CBG=∠GBC, 在△CBG和△CBG中， ∠C'BG=∠GBC BG=BG ∠BGC'=∠BGC .△CBG≌△CBG(ASA), .BC=BC, :AC=BC=8,∠ACB=120°， ∠ABC=30°，BC=8, 在Rt△BFC中，C'F=BC=8×=4, 2 “CE+EF的最小值为4， 故选：B 5/62 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 目目 类型02 角平线相关综合题 7.如图，∠ABC、∠EAC的平分线BP、AP交于点P,PM⊥BE,PN⊥BF,则下列结论中正确的个数是() M A B ①CP平分∠ACF；②LABC+2∠APC=180°； ③∠ACB=2∠APB;④SAPAC=SAPAM+S△PCN· A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【详解】解：①如答图，过点P作PDAC于点D, E M及 BP平分∠ABC,AP平分∠EAC,PM⊥BE,PN⊥BF,PD⊥AC, B .PM=PN,PM=PD, :PN PD, :点P在∠ACF的平分线上，故①正确： ②：PM⊥BE,PN⊥BF, :∠ABC+90°+∠MPN+90°=360°， :∠ABC+∠MPN=180°. PA=PA, 在RtaPAM和Rt△PAD中， PM=PD, :Rt△PAM≌RtAPAD(HL), .∠APM=∠APD, 同理可证得RtAPCD≌RtAPCN, .∠CPD=∠CPN, ∠MPN=2∠APC, o/OL 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 :∠ABC+2LAPC=180°，②正确： ③：AP平分∠CAE,BP平分∠ABC, B∠CAE=LABC+LACB=2LPAM,∠PAM=)∠ABC+LAPB, ·∠ACB=2LAPB,③正确； ④由②可知RtAPAM≌RtAPAD,RtaPCD≌RtAPCN, S△PiD=SAPAM，Spn=S.Pew, ∴.SAPAM+SAPCN=S△PAD+SAPCD=S△PAC,故④正确， 故选：D 8.如图，在ABC中，BE,CE,CD分别平分∠ABC,∠ACB,∠ACF,AB∥CD,下列结论：① ∠BDC=∠BAC;②∠BEC=90°+∠ABD;③∠CAB=∠CBA;④∠ADB+∠ABC=90°，其中正确的有() D E B F A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【详解】解：如图所示： M :BE平分∠ABC,CD平分∠ACF, .令∠ABD=∠CBD=x,∠ACD=∠FCD=y, :AB∥CD, :∠DCF=y=∠ABC=2x,∠ABD=∠BDC=x :∠ACF=∠ACD+∠DCF=2y=4x=∠BAC+∠ABC=∠BAC+2x, ∠BAC=2x, :∠BDC=∠BAC,LCBA=∠CAB=2x, 7/62 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 故①错误；③正确： :CE平分∠ACB, .令∠ACE=∠BCE=a, :∠BAC+∠ABC+∠ACB=2x+2x+2a=180°， a=90°-2x, :∠EBC+LECB+∠BEC=180°， x+∠ECB+a=180°=∠ECB+90°-x, ÷∠ECB=90°+x=90°+∠ABD, 故②正确： 过点D作DG⊥AC、DM⊥BA、DN⊥BC分别交AC、BA、BC于点G、 M、N, :BE平分∠ABC,CD平分∠ACF, DG=DM=DN. .AD平分∠MAC, ∠MAC=∠ABC+∠ACB=2∠MAD=2x+2a, :∠MAD=x+a=∠MBD+∠ADB=x+∠ADB, :∠ADB=a, :2a+2y=180°， a+y=90°=a+2x, .∠ADB+∠ABC=90°， 故④正确； 综上可知，正确的有3个，故C正确 故选：C 【点晴】本题主要考查了三角形外角定理，三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，以及角 平分线的性质与判定等知识.解题的关键是熟练掌握三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，以及 8/62 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 角平分线的性质与判定快速得到AD也是角平分线 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D,BE平分∠ABC交AC于E,交AD于F, FG∥BC,FH∥AC,下列结论：①AE=AF;②AF=FH;③AG=CE;④AB+FG=BC,其中正确 的结论有(） D H C A.①②③④ B.①②③ C.①③④ D.②③④ 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质， 熟练掌握以上判定与性质是解题的关键，①根据角度之间的计算和角平分线的性质即可得到答案；②由平 行线的性质和全等三角形的判定与性质可证得答案；③利用平行四边形的判定与性质即可证得答案；④根 据平行四边形的性质和全等三角形的性质即可证得答案， 【详解】解：：∠BAC=90°， ∴.∠ABE+∠AEB=90°， ∴.∠ABE=90°-∠AEB, AD L BC, ∠DBE+LBFD=90°， .∠DBE=90°-∠BFD, :∠BFD=∠AFE, ∴∠DBE=90°-∠AFE, :BE平分∠ABC, .∠ABE=∠DBE, 90°-LAEB=90°-∠AFE, ∠AEB=∠AFE, :AE=AF, 故①正确； :∠BAC=90° .∠BAF+∠DAC=90°， 9/62 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 ∠BAF=90°-∠DAC, :AD⊥BC, ∠ADC=90°， ∴∠C+∠DAC=90°， ∠C=90°-∠DAC, .∠C=∠BAF, :FH∥AC, :ZC ZBHF, ∠BAF=∠BHF, 在△ABF和△HBF中， I∠ABE=∠CBE ∠BAF=∠BHF BF=BF △ABF≌△HBF, .AF=FH, 故②正确： :AE=AF,AF=FH, :AE =FH, :FG∥BC,FH∥AC, :四边形FHCG是平行四边形， .FH=GC, .AE=GC, .AE+EG=GC+EG, :AG=CE, 故③正确： :四边形FHCG是平行四边形， .FH=GC, :△ABF≌△HBF .AB HB, 10/62