第二章 有理数及其运算（知识串讲+热考题型+真题训练）-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

第二章 有理数及其运算 【考点1】正负数 【考点2】相反意义的量表示 【考点3】有理数的概念辨析 【考点4有理数的分类 【考点5】数轴的三要素和画法 【考点6】用数轴上的点表示有理数 【考点7】利用数轴比较有理数的大小 【考点8】数轴上两点之间的距离 【考点9】数轴上点的平移(动点) 【考点10】相反数的概念 【考点11】相反数的性质运用 【考点12】绝对值定义 【考点13】绝对值的几何意义 【考点14】非负性的性质 【考点15】有理数大小比较 【考点16】有理数的加减运算 【考点17】有理数乘除法运算 【考点18】有理数的乘方 【考点19】有理数混合运算 【考点20】科学记数法 【考点21】近似数的表示 【考点22】有理数的实际应用 【考点23】程序流程图与有理数计算 【考点24】 算“24”点 知识点1 ：正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2） 意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 知识点2： 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 知识点3：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （3）应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号） 知识点4：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 （0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 （3）多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点5:绝对值 （1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） （2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 （3）代数符号意义： a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0 a = 0， |a|=0 a＜0， |a|=‐ 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （6）比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 知识点6 ：加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 知识点7：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点8 ：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 即a－b=a＋（﹣）b 知识点9：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点10 ：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点11： 倒数 （1）定义： 的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 . 知识点12：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点13：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点14：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 知识点15：科学记数法和近似数 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 4. 注：（1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点1】正负数 1．（2025·贵州·一模）下列各数中，正数是（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义是解题的关键，正数都大于0，负数都小于0，0既不是正数也不是负数． 根据正数都大于0，注意判断即可． 【详解】解：A、，是负数，故A错误； B、，是负数，故B错误； C、0 既不是正数也不是负数，故C错误 D、，是正数，故D正确． 故选：D． 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查负数的定义，小于0的数是负数，据此即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴这四个数中，是负数的是． 故选：A 3．（23-24七年级上·广东汕头·期末）下列有理数中，，，，，，，，正数的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是有理数中正数的定义，熟练掌握正数的定义是解题关键； 正数指的大于，根据定义逐一分析判断即可． 【详解】解：，，这个数是正数，既不是正数也不是负数； 故选：A 【考点2】相反意义的量表示 1．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）在生产生活中，正数和负数都有现实意义例如收入元记作元，则支出元记作（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题主要考查了正负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：“正”和“负”相对，所以，在生产生活中，正数和负数都有现实意义．例如收入元记作元，则支出元记作元． 故选：B． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）规定：表示向右移动2记作，则表示向左移动3，记作（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正数和负数．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示，“正”和“负”相对，据此求解即可， 【详解】解：如果表示向右移动，记作，则表示向左移动，记作， 故选：B． 3．（2025·内蒙古·中考真题）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【分析】本题考查利用正负数表示具有相反意义的量，需根据题意确定相反意义的量及其符号表示即可． 【详解】解：若盈利元记作元，则亏损应用负数表示， 亏损元应记作元， 故选：B． 4．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）如果把分的成绩记为分，那么的成绩记为 分． 【答案】 【分析】本题考查了正数与负数的应用．由题意可得分为基准点，从而可得出分的成绩表示． 【详解】解：把分的成绩记为分， 分为基准点， 故分的成绩记为分． 故答案为：． 【考点3】有理数的概念辨析 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的定义，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义，整数和分数统称为有理数，求解即可． 【详解】解：在，，，，，中， 有理数有：，，，，，共个； 故选：B． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在，0，，，，中有理数的个数有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的定义是解题的关键．根据有理数的定义判断解答即可． 【详解】解：根据题意，有理数是0，，，，，共5个． 故选：B． 3.（24-25七年级上·四川眉山·期末）观察下面六个数，，，，，，（两个1之间的2的个数依次逐渐增加），这些数中，有理数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的定义，根据有理数定义：“整数和分数统称为有理数”进行解答即可． 【详解】解：在，，，，，（两个1之间的2的个数依次逐渐增加）中，有理数有，，，，共4个， 故选：C． 【考点4有理数的分类 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面的说法中，正确的是（    ） A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数 C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和小数统称有理数 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方法是解题的关键．根据有理数的分类进行判断即可． 【详解】解：A、正有理数、0和负有理数统称为有理数，故本选项错误； B、无限不循环小数是无理数，故本选项错误； C、整数和分数统称为有理数，故本选项正确； D、整数包括零，故本选项错误； 故选：C． 2．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开） ，，，，，，，，，，，． (1)正数：__________________________； (2)非负整数：________________________； (3)整数：__________________________； (4)负分数：___________________________． 【答案】(1)6，2.4，，， (2)6，0， (3)6，，0，， (4)，，， 【分析】本题主要考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可． （1）大于0的数叫正数； （2）非负整数包括正整数和零； （3）整数包括正整数、0、负整数； （4）在正数前面加“-”的分数． 【详解】（1）正数：6，2.4，，， （2）非负整数：6，0， （3）整数：6，，0，， （4）负分数：，，， 3.．（24-25七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 【答案】；；； 【分析】本题考查了实数的分类，解决本题的关键是熟记有理数的分类． 根据正数、正有理数、整数、分数的定义即可解答． 【详解】解：正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 4．（24-25七年级上·广东东莞·期中）有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（1）根据、、在数轴上的位置即可求解； （）根据相反数的定义即可求解； （）结合数轴，根据绝对值性质去绝对值符号，再合并即可求解； 本题考查了数轴，绝对值的性质，相反数的定义，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：由数轴可知：，， ∴，，， 故答案为：，，； （2）解：∵互为相反数， ∴，即， ∴， 故答案为：； （3）解：由数轴可知：， ∴ ． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）[教材复习题1变式]教材上有这么一段话“若，分别是有理数，在数轴上对应的两点，我们就把，叫作，的一维坐标．一般地，称为点与点之间的距离．” (1)对照数轴，填写下表： 6 2 4 0 A，B两点的距离 (2)请说出和的意义； (3)求的最小值； (4)当的值最小时，求x的值． 【答案】(1)2，6，12，0 (2)的意义为表示数x的点与表示数2的点的距离；的意义为表示数x的点与表示数的点的距离 (3)3 (4)4 【分析】此题主要考查了绝对值的几何意义和应用，解答此题的关键是要明确既可以理解为x与a的差的绝对值，也可理解为x与a两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据两点距离公式进行求解即可； （2）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （3）根据绝对值的几何意义进行求解即可； （4）根据绝对值的几何意义进行求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：2，6，12，0； （2）解：的意义为表示数x的点与表示数2的点的距离；的意义为表示数x的点与表示数－1的点的距离； （3）解：为表示数x的点到表示数2与数的点的距离之和，当表示数x的点在表示数2的点与表示数的点之间（包括2与两点）时，式子有最小值，即； （4）解：根据题意可知，为表示数x的点到表示数，4，9的点的距离之和，所以当时，式子有最小值，即． 【考点5】数轴的三要素和画法 1．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）在数轴上，原点和原点右边的点表示的数是（    ） A．零 B．正数 C．非负数 D．非正数 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，根据数轴上表示数的特点即可求解，熟练掌握数轴上表示数的特点是解题的关键． 【详解】解：原点和原点右边的点表示的数是非负数， 故选：C． 2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）下图中是数轴的为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了数轴的定义，解题的关键是熟记数轴的三要素．根据“数轴是规定了原点、单位长度和正方向的直线”，即可求解． 【详解】解：A、有原点和正方向，没有单位长度，所以该选项不正确，不符合题意； B、正、负数的位置反了，所以该选项不正确，不符合题意； C、没有规定正方向，所以该选项不正确，不符合题意； D、有原点、单位长度和正方向，所以该选项正确，符合题意． 故选：D． 【考点6】用数轴上的点表示有理数 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上点A表示的数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数与数轴．直接观察数轴，即可求解． 【详解】解：数轴上点A表示的数是． 故选：B 2.（2025·山西·一模）如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数，比较解答即可. 本题考查了有理数的分类，有理数的大小比较，熟练掌握大小比较的原则是解题的关键. 【详解】解：根据题意，得点B到原点的距离大于1到原点的距离，且为负数， 故该数可能是. 故选：A. 3．（2025·广东深圳·二模）如图，数轴上的下列四点中，最可能表示的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查的是数轴，正数和负数，根据数轴的概念和数轴上各点的分布即可得出答案． 【详解】解：由数轴可知，在原点左侧的各点为负数，在原点右侧的各点为正数， ∵，则在原点的左侧，位于和中间， ∴最可能表示的点是点C， 故选：C． 【考点7】利用数轴比较有理数的大小 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）数、在数轴上的对应点如图所示，则、、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了用数轴上点表示有理数，有理数大小的比较，熟练掌握数轴上点的特点是解本题的关键．根据有理数a、在数轴上对应的点的位置可知：，且，由此判断即可． 【详解】解：由题意可知：，且， ， 故选：B． 2．（22-23七年级上·辽宁大连·期末）如图，若点、、在数轴上所对应的数分别为、、，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数的大小比较，相反数的含义，把表示在数轴上，根据数轴上右边的数大于左边的数，即可求解． 【详解】解：由题意可知，，且， 如图所示，把表示在数轴上， ∴， 故选：B． 3.（24-25七年级上·天津南开·期中）数轴上表示数的点如图所示，把按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小．熟练掌握利用数轴比较有理数的大小是解题的关键． 由数轴可知，然后作答即可． 【详解】解：由数轴可知， 故选：A． 【考点8】数轴上两点之间的距离 1．（24-25七年级上·河南周口·期末）在数轴上点，点分别表示数是、6，则数轴上到点、点距离相等的点表示的数为（   ） A．0 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查数轴上中点表示的数．根据题意利用求中点数公式即可得到本题答案． 【详解】解：∵点，点分别表示数是、6， ∴到点A，点B距离相等的点表示的数：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）数轴上点与点相距3个单位，若点表示，则点表示的数是 【答案】或 【分析】本题考查了数轴，分类讨论：点在点左边，则点表示的数为；若点在点右边，则点表示的数为，熟练利用数轴是解题的关键． 【详解】解：点表示，点与点相距3个单位， 若点在点左边，则点表示的数为； 若点在点右边，则点表示的数为， 即点表示的数为或． 故答案为：或． 3．（24-25七年级上·贵州·阶段练习）若数轴上的点A表示的数为，则到A的距离为2个单位长度的点所表示的数为 ． 【答案】或1 【分析】本题主要考查了数轴，数轴上的点，两点间的距离等知识点，到点A的距离等于2个单位长度的点可以在A的左边，也可以在A的右边，据此求解即可，熟练掌握数轴上的点和两点间的距离是解决此题的关键． 【详解】解：在数轴上，点A所表示的数为，那么到点A的距离等于2个单位长度的点所表示的数是或， 故答案为：或1． 【考点9】数轴上点的平移(动点) 1．（25-26七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 【答案】C 【分析】此题是考查数轴的认识． 点A为数轴上表示的点，即点A在原点左边表示2个单位长的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，有两种情况：一是向右移动；二是向左移动．若向右移动，移动5个单位长度时，到原点右边表示3个长度单位的点，即3，若向左移动5个单位，B点在原点左边7个单位长度的点，即． 【详解】解：点A为数轴上表示的点，当点A沿数轴移动5个单位长度到点B时，点B所表示的数为3或． 故选：C． 2．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【答案】D 【分析】本题考查了用数轴表示有理数，数轴上两点之间的距离，先得出点B表示的数，再得出点A表示的数即可． 【详解】解：由条件可知：点B表示的数是：和1， ∵点A向左移动5个单位后到达点B， ∴点A表示的数是4或6， 故选：D． 【考点10】相反数的概念 1．（25-26七年级上·湖南·期中）的相反数是（   ） A．2025 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键，根据相反数的定义直接进行判断即可． 【详解】解：相反数是指绝对值相等，符号不同的两个数， 的相反数是， 故选：A． 2．（24-25七年级上·湖北十堰·阶段练习）下列两个数互为相反数的是（   ） A．与3 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】先对每个选项中的数进行化简，再根据相反数的定义判断两个数是否互为相反数．本题主要考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ ，与不互为相反数， ∴ 选项不符合； ∵ ，与互为相反数， ∴ 选项符合； ∵ ，与不互为相反数， ∴ 选项不符合； ∵ ，与不互为相反数， ∴ 选项不符合． 故选：． 【考点11】相反数的性质运用 1．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（    ） A． B． C． D．16 【答案】C 【分析】根据a，b互为相反数，可得，c的倒数是4，可得 ，代入即可求解． 【详解】∵a，b互为相反数， ∴， ∵c的倒数是4， ∴， ∴ ， 故选：C 【点睛】本题考查了代数式的求值问题，利用已知求得，是解题的关键． 2．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）若a、b互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D． 【答案】C 【分析】根据互为相反数的两数之和等于0，可得的值，然后代入求解即可． 【详解】解：a、b互为相反数， ， ． 故选C． 【点睛】本题考查了互为相反数的性质，熟练掌握互为相反数的两数之和等于0是解题的关键． 3．（22-23七年级上·山东日照·期中）已知与2互为相反数，那么 ． 【答案】 【分析】根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：∵与2互为相反数， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相反数的定义，熟知互为相反数的两个数和为零是解题的关键． 【考点12】绝对值定义 1．（2025·西藏·中考真题）18的绝对值是（   ） A．18 B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了绝对值，根据一个正数的绝对值等于它本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，求解即可． 【详解】解：18的绝对值是18， 故选：A． 2．（25-26七年级上·湖北·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据一个负数的绝对值等于它的相反数即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算： ． 【答案】3 【分析】本题考查绝对值的计算，解题的关键是理解绝对值的定义和运算规则． 先计算括号内的运算，再根据绝对值的定义求出结果． 【详解】， ， 故答案为：3． 4．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查绝对值运算及意义，先由，得到，结合绝对值意义即可得到答案，熟记绝对值运算及意义是解决问题的关键． 【详解】解： ，， ， ， 故答案为：． 【考点13】绝对值的几何意义 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在数轴上与原点的距离等于的点表示的数是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题围绕数轴上点到原点的距离与绝对值的几何意义，需利用“数轴上数到原点的距离为”推导. 【详解】解：数轴上，点到原点的距离等于该点对应数的绝对值. 设所求数为，则距离条件可表示为：. 故或. 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的几何意义，掌握“数轴上数到原点的距离为”是解题的关键. 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下列检测结果中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正数和负数，以及绝对值的意义，根据绝对值最小的最接近标准，可得答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴最接近标准质量的是（克）， 故选：． 【考点14】非负性的性质 1．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）若与互为相反数，则的值为（　　） A．8 B． C．0 D．8或 【答案】A 【分析】本题考查了绝对值的非负性，相反数的应用，求代数式的值；根据题意，得，得到，得到，计算即可. 【详解】根据题意，得， ∴， ∴， ∴. 故选：A. 2．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）若，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查了非负数的性质：绝对值，掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0是解题的关键．根据非负数的性质求出，，代入代数式求值即可． 【详解】解：， ，， 解得，， ， 故答案为：5． 3．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）如果，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，根据几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0得到，则，据此代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·河南漯河·期末）已知，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查绝对值的非负性，根据非负性求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：1． 【考点15】有理数大小比较 1．（2025九年级·宁夏·专题练习）下列各数中，比小的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数大小比较，熟记有理数大小比较方法是解答本题的关键． 根据正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵是正数，是负数， ∴，， ∴选项A、B不符合题意， ∵，，， ∴， ∴选项C不符合题意， ∵，，， ∴， ∴选项D符合题意． 故选：D． 2．（24-25七年级上·陕西西安·期末）在，，，四个有理数中，比小的数是（    ） A．4 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了有理数大小比较，解答此题的关键是掌握有理数大小比较法则．有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数比较大小，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴比小的数是， 故选：B． 3．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）比较大小： （填“”“”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查了化简多重符号，先化简，，再结合负数小于0，0小于正数，进行分析，即可作答． 【详解】解：，， ∴， 即， 故答案为： 【考点16】有理数的加减运算 1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）冰箱冷冻室的温度为，此时房间内的温度为，则房间内的温度比冰箱冷冻室的温度高（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法应用，根据题意列出算式，然后根据有理数减法法则计算即可． 【详解】解：依题意，， 即房间内的温度比冰箱冷冻室的温度高 故选：D． 2．（23-24七年级上·河北保定·期中）定义新运算符号“⊕”如下：，例如：，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了新运算法则和有理数运算，掌握新运算法则是解题的关键．根据新运算列出算式，然后根据有理数的加减法法则计算即可． 【详解】解：由得 ， 故答案为：6． 3．（22-23七年级上·四川资阳·期中）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的加减混合运算： （1）根据有理数的加减混合运算法则计算，即可求解； （2）根据有理数的加减混合运算法则计算，即可求解； （3）先把原式变形为，再根据有理数加法运算律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 【考点17】有理数乘除法运算 1．（24-25七年级上·四川内江·期中）简便计算 (1) (2) 【答案】(1)23 (2) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数乘法分配律，是解题的关键． （1）根据有理数乘法分配律进行计算即可； （2）逆用乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1)11 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序． （1）利用有理数的乘法分配律求解即可； （2）首先将除法转化成乘法，然后计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）观察下列等式，发现规律，并解决问题．           ．．．．．． (1)由上述式子的规律，计算：． (2)类比以上式子的规律，计算：． (3)类比第（1）题，计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键； （1）根据题中所给运算拆分方法进行求解即可； （2）根据题中所给的运算拆分方法进行求解即可； （3）根据（1）（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得： ； （2）解：由题意得： ； （3）解：由（1）（2）规律可得： ． 【考点18】有理数的乘方 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）下列各组数中，相等的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查绝对值和乘方运算，根据绝对值和乘方运算的法则计算后即可比较得到答案． 【详解】A、∵ ∴故A选项不符合题意； B、∵ ∴ 故B选项不符合题意； C、∵， ∴故C选项符合题意； D、∵ ∴故D选项不符合题意． 故选：C． 2．（24-25七年级上·广西桂林·期中）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的乘方运算，熟练掌握乘法的运算法则是解题的关键，按有理数的乘方运算法则运算即可． 【详解】原式 ． 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读材料： 求值：． 解：设， 将等式两边同时乘，得 ， ，得 所以． 请你仿照此法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）将等式两边同时乘以求出，相减之后再除即可； （）将等式两边同时乘以求出，相加之后再除即可； 本题考查有理数的乘方，解题的关键是明确题意，理解题目中的解题方法，运用类比的数学思想解答问题． 【详解】（1）解：设， 将等式两边同时乘，得 ， ，得 ， 所以； （2）解：设， 将等式两边同时乘，得 ， ，得 ， 所以． 【考点19】有理数混合运算 1．（24-25七年级上·河南信阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1； (2)． 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算，含乘方的有理数的混合运算． （1）将除法变为乘法，再约分计算即可求解． （2）先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)19 (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． (1)先把减法转化为加法，再根据加法法则计算即可； (2)先算乘方，再算乘除法，最后算加法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，熟记“先乘方再乘除后加减，有括号优先去括号”是解题关键． （1）根据有理数的加减法则直接计算即可； （2）先将除法运算转化为乘法运算，再使用乘法运算法则计算即可； （3）根据先乘方再乘除后加减运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 【考点20】科学记数法 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）某公司2024年第一季度创收3200000元，数3200000用科学记数法可记为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查科学记数法的概念，掌握科学记数法的形式：（且 n为整数），正确确定a，n的值是解题的关键． 科学记数法：，n的取值方法：把原数变为a时，当原数的绝对值大于等于10时，小数点向左移动位数即为n的值；当原数的绝对值小于1时，小数点向右移动位数的相反数即为n的值，由此即可求解． 【详解】解：， 故选：B． 2．（25-26七年级上·全国·期中）2024年内蒙古某地煤炭产量约为9860000吨，将9860000用科学记数法表示（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法表示较大的数，准确确定a与n值是关键．根据科学记数法表示较大的数的表示形式为，其中，n为正整数；确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的值与小数点移动的位数相同，据此解答即可． 【详解】解： 故选：C． 【考点21】近似数的表示 1．（24-25七年级上·海南海口·期中）关于近似数的精确度说法正确的是（   ） A．精确到千分位 B．精确到万位 C．精确到十万位 D．精确到千位 【答案】C 【分析】本题考查了近似数，近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．根据近似数的精确度求解即可． 【详解】解：近似数还原后为10800000，故精确到十万位． 故选：C． 2．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列近似数中，说法正确的是（   ）． A．与精确度相同 B．精确到了百万位 C．精确到了百分位 D．万精确到了万位 【答案】B 【分析】本题考查了近似数：经过四舍五入得到的数为近似数；近似数与精确数的接近程度，可以用精确度表示．一般的，精确到哪一位，保留几个有效数字等说法．根据近似数的取法，逐项进行分析判断即可． 【详解】解：A、精确到十分位，精确到百分位，则与精确度不相同，此选项不符合题意； B、，则6在百万位上，因此精确到百万位，此选项符合题意； C、，则3后的第一个0在百位上，因此精确到了十位，此选项不符合题意； D、万，则5在千位上，因此万精确到了千位，此选项不符合题意． 故选：B． 【考点22】有理数的实际应用 1．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期中）某水果店销售香蕉，前一天未卖完的香蕉会有部分由于不新鲜而损耗，未损耗的水果第二天继续销售，当天结束时，若库存较前一天减少．则记为负数，若库存较前一天增多，则记为正数．10月1日至10月5日的经营情况如下表： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 购进（千克） 55 45 50 50 50 库存变化（千克） 4 2 损耗（千克） 1 4 12 2 1 (1)10月3日卖出香蕉 千克． (2)问卖出香蕉最多的一天是哪一天？ (3)这五天经营结束后，库存是增加了还是减少了？变化了多少？ 【答案】(1)46 (2)卖出香蕉最多的一天是10月5日 (3)库存减少了，减少了7千克 【分析】题目主要考查有理数的加减运算及正负数的应用，理解题意，列式计算是解题关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）分别求出每一天卖出的量，即可得出结果； （3）根据题意直接列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：（千克）， 故答案为：46． （2）10月1日卖出的香蕉（千克）， 10月2日卖出的香蕉（千克）， 10月3日卖出的香蕉（千克）， 10月4日卖出的香蕉（千克）， 10月5日卖出的香蕉（千克）， ∴卖出香蕉最多的一天是10月5日； （3）， 答：库存减少了，减少了7千克． 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“-”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米），，，，，，，，请回答： (1)小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？ (2)若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱．而小王的出租车每千米耗油0.3升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午盈利多少钱？ 【答案】(1)在出发地南8千米 (2)小王这天下午盈利元 【分析】本题考查了正数和负数，注意不论正数还是负数，都耗油，计算路程耗油时要加绝对值． （1）根据正数大于0，负数小于0，可判断小王在下午出车的出发地的什么方向，距下午出车的出发地多远； （2）根据收入与支出的差，大于0盈利，小于0亏损． 【详解】（1）解：， 答：小王在下午出车的出发地的南面，距下午出车的出发地8千米； （2）解：元， ， 元， 元， 答：小王这天下午盈利元． 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人负数表示比前一天少的人数），若9月30日的游客人数为1万人，人均消费为50元． 日期（10月） 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 (1)10月4日的游客人数为 万人； (2)七天内游客人数最多的是10月 日，游客人数为 万人； (3)求该景区“十一”期间所有游客在此风景区的总消费是多少万元？ 【答案】(1)2.8 (2)3；3.2 (3)765万元 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）根据正数和负数的实际意义列式计算即可； （2）根据正数和负数的实际意义分别求得10月1日～7日每天的游客数量后即可求得答案； （3）结合（2）中所求列式计算即可． 【详解】（1）解：（万人）， 即10月4日的游客人数为2.8万人， 故答案为：2.8； （2）根据题意可得10月1日～7日每天的游客数量如下： 10月1日：（万人）； 10月2日：（万人）； 10月3日：（万人）； 10月4日：2.8万人； 10月5日：（万人）； 10月6日：（万人）； 10月7日：（万人）； 则七天内游客人数最多的是10月3日，游客人数为3.2万人， 故答案为：3；3.2； （3） （万元）， 即该景区“十一”期间所有游客在此风景区的总消费是765万元． 4．（24-25七年级上·福建宁德·期中）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前四天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行按天计件工资制，每生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题考查了有理数四则混合运算的应用、有理数加减法的应用、正负数的应用，理解题意，正确列出运算式子是解题关键． （1）将前四天记录的数字相加，再加上四天的计划总量即可得； （2）将记录的数字中的最大数减去最小数即可得； （3）将记录的数字相加，再加上一周计划生产的700辆自行车可得这一周工人实际生产总量，然后根据按天计件工资制列式计算即可得． 【详解】（1）解： （辆）， 即根据记录可知前四天共生产辆， 故答案为：． （2）解：（辆）， 即产量最多的一天比产量最少的一天多生产辆， 故答案为：． （3）解： （辆）， （元）， 答：该厂工人这一周的工资总额是元． 【考点23】程序流程图与有理数计算 1.下图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为（    ） A．7 B．11 C．13 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了程序图与代数式求值，掌握知识点是解题的关键．根据图表列出代数式，再按照有理数混合运算的顺序，先乘方后乘除最后算加减，有括号的先算括号里面的，即可解答． 【详解】解：依题意，当时，所求代数式为 ． 故选A． 2.如图，小李同学设计了一个计算程序．如果输入的数是1，那么最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘除法，根据运算程序列出算式是解题的关键． 根据程序框图，把代入依次按照步骤计算即可． 【详解】解：输入，则，不能输出； 输入，则，可以输出； 所以最后输出结果为． 故答案为： 3.根据流程图中的程序，若输入的值为2，则输出的值为 ． 【答案】7 【分析】本题考查程序图与有理数的混合运算．掌握用数值代替代数式里的字母进行计算，读懂题意是解题关键．把代入流程图中的程序，直到结果大于即可得出答案． 【详解】解：根据题意得： ， ∴输出的值为． 故答案为：． 4.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2024次输出的结果为 ． 【答案】3 【分析】根据流程图进行计算，再发现规律从第三次开始，第奇数次输出的结果是6，第偶数次输出的结果是3，即可求出答案．本题考查有理数与程序运算问题，从程序中找到规律是解题的关键． 【详解】解：由题意得，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 从第三次开始，第奇数次输出的结果是6，第偶数次输出的结果是3， 是偶数， 第2024次输出的结果为3． 故答案为：3． 【考点24】 算“24”点 1.在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 （写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的混合运算，根据题意结合有理数的混合运算法则写出式子即可，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：． 故答案为：（答案不唯一）． 2.以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，根据题意列出符合题意的算式即可，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：（答案不唯一）． 3.算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的混合运算，从外向内的三层中的每一层各取一个数字进行计算，若结果为24，则能进入迷宫中心；根据进入迷宫的方式进行判断，看是否能进入迷宫． 【详解】解：如等. 故答案为：（答案不唯一） 4.有一种叫做“24点”的游戏，其游戏规则是这样的：将4个绝对值为1至13之间的数进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可以加括号），使其结果为24．例如，1，2，3，4可做运算．现有4个有理数3，4，，10，运用上述规则，写出一个的算式 ，使其结果为24． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据题意写出符合题意的算式，本题答案不唯一； 【详解】解：； ； ； ； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的法则和运算顺序． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数及其运算 【考点1】正负数 【考点2】相反意义的量表示 【考点3】有理数的概念辨析 【考点4有理数的分类 【考点5】数轴的三要素和画法 【考点6】用数轴上的点表示有理数 【考点7】利用数轴比较有理数的大小 【考点8】数轴上两点之间的距离 【考点9】数轴上点的平移(动点) 【考点10】相反数的概念 【考点11】相反数的性质运用 【考点12】绝对值定义 【考点13】绝对值的几何意义 【考点14】非负性的性质 【考点15】有理数大小比较 【考点16】有理数的加减运算 【考点17】有理数乘除法运算 【考点18】有理数的乘方 【考点19】有理数混合运算 【考点20】科学记数法 【考点21】近似数的表示 【考点22】有理数的实际应用 【考点23】程序流程图与有理数计算 【考点24】 算“24”点 知识点1 ：正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2） 意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 知识点2： 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 知识点3：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （3）应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号） 知识点4：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 （0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 （3）多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点5:绝对值 （1）几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） （2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 （3）代数符号意义： a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0 a = 0， |a|=0 a＜0， |a|=‐ 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （6）比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 知识点6 ：加法法则 ⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 ⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 ⑶一个数同0相加，仍得这个数。 知识点7：加法运算定律 （1）加法交换律：两数相加，交换加数的位置，和不变。即a＋b=b＋a （2） 加法结合律：在有理数加法中，三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个数相加，和不变。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c） 知识点8 ：减法法则 减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。 即a－b=a＋（﹣）b 知识点9：乘法法则 （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 （2）任何数同0相乘，都得0。 （3）多个不为0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即先确定符号，再把绝对值相乘，绝对值的积就是积的绝对值。 （4）多个数相乘，若其中有因数0，则积等于0；反之，若积为0，则至少有一个因数是0。 知识点10 ：除法法则 （1）除以一个（不等于0）的数，等于乘这个数的倒数。 （2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 （3）0除以任何一个不等于0的数，都得0。 知识点11： 倒数 （1）定义： 的两个数互为倒数。 （2）性质：负数的倒数还是负数 ，正数的倒数是正数 。 注意：① 0 没有倒数；②倒数等于它本身的数为 . 知识点12：乘法运算定律 （1）乘法交换律：两数相乘，交换因数的位置，积相等。即a×b＝ba （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。 （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，在把积相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。 知识点13：乘方法则运算 （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）0的任何正整数次幂都是0 知识点14：混合运算 （1）先乘方，再乘除，最后加减。 （2）同级运算，从左到右的顺序进行。 （3）如有括号，先算括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。在进行有理数的运算时，要分两步走：先确定符号，再求值。 知识点15：科学记数法和近似数 1.科学记数法概念：把一个大于10的数表示成a×10n的形式（其中a 是整数数位只有一位的数，n为正整数）。这种记数的方法叫做科学记数法。﹙1≤|a|＜10﹚ 注：一个n为数用科学记数法表示为a×10n－1 2.近似数的精确度：两种形式 （1）精确到某位或精确到小数点后某位。 （2）保留几个有效数字 注：对于较大的数取近似数时，结果一般用科学记数法来表示 例如：256000（精确到万位）的结果是2.6×105 3. 有效数字：从一个数的左边第一个非0数字起，到末尾数字止，所有的数字都是这个数的有效数。 4. 注：（1） 用科学记数法表示的近似数的有效数字时，只看乘号前面的数字。例如：3.0×104的有效数字是3 。 （2）带有记数单位的近似数的有效数字，看记数单位前面的数字。 例如：2.605万的有效数字是2，6，0，5。 【考点1】正负数 1．（2025·贵州·一模）下列各数中，正数是（   ） A． B． C．0 D．1 2．（24-25七年级上·贵州遵义·期末）下列四个数中，是负数的是（   ） A． B．0 C．1 D．3 3．（23-24七年级上·广东汕头·期末）下列有理数中，，，，，，，，正数的个数为（　　） A． B． C． D． 【考点2】相反意义的量表示 1．（25-26七年级上·江苏南京·阶段练习）在生产生活中，正数和负数都有现实意义例如收入元记作元，则支出元记作（ ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（23-24七年级上·湖北武汉·期末）规定：表示向右移动2记作，则表示向左移动3，记作（   ） A． B． C． D． 3．（2025·内蒙古·中考真题）我国是历史上最早认识和使用负数的国家．若盈利元记作元，则亏损元应记作（   ） A．元 B．元 C．元 D．元 4．（25-26七年级上·浙江·阶段练习）如果把分的成绩记为分，那么的成绩记为 分． 【考点3】有理数的概念辨析 1．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）下列数，，，，，中，有理数的个数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖南长沙·期末）在，0，，，，中有理数的个数有（ ） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 3.（24-25七年级上·四川眉山·期末）观察下面六个数，，，，，，（两个1之间的2的个数依次逐渐增加），这些数中，有理数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【考点4有理数的分类 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）下面的说法中，正确的是（    ） A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数 C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和小数统称有理数 2．（24-25七年级上·福建泉州·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开） ，，，，，，，，，，，． (1)正数：__________________________； (2)非负整数：________________________； (3)整数：__________________________； (4)负分数：___________________________． 3.．（24-25七年级上·青海西宁·期中）将下列各数填入合适的集合内． ． 正数集合： 正有理数集合： 整数集合： 分数集合： 4．（24-25七年级上·广东东莞·期中）有理数在数轴上的位置如图： (1)______，______，______0；填（“”或“”） (2)如果互为相反数，则______； (3)计算：． 5．（2024七年级上·全国·专题练习）[教材复习题1变式]教材上有这么一段话“若，分别是有理数，在数轴上对应的两点，我们就把，叫作，的一维坐标．一般地，称为点与点之间的距离．” (1)对照数轴，填写下表： 6 2 4 0 A，B两点的距离 (2)请说出和的意义； (3)求的最小值； (4)当的值最小时，求x的值． 【考点5】数轴的三要素和画法 1．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）在数轴上，原点和原点右边的点表示的数是（    ） A．零 B．正数 C．非负数 D．非正数 2．（23-24七年级上·山东济宁·期中）下图中是数轴的为（    ） A．   B．   C．   D．   【考点6】用数轴上的点表示有理数 1．（23-24七年级上·福建泉州·期末）如图，数轴上点A表示的数是（    ） A． B． C． D．2 2.（2025·山西·一模）如图，数轴上点表示的数是0，点表示的数可能是下列四个数中的（   ） A． B． C．2 D．3 3．（2025·广东深圳·二模）如图，数轴上的下列四点中，最可能表示的点是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【考点7】利用数轴比较有理数的大小 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）数、在数轴上的对应点如图所示，则、、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·辽宁大连·期末）如图，若点、、在数轴上所对应的数分别为、、，则下列大小关系正确的是（   ） A． B． C． D． 按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【考点8】数轴上两点之间的距离 1．（24-25七年级上·河南周口·期末）在数轴上点，点分别表示数是、6，则数轴上到点、点距离相等的点表示的数为（   ） A．0 B． C．2 D． 2．（24-25七年级上·浙江温州·期末）数轴上点与点相距3个单位，若点表示，则点表示的数是 3．（24-25七年级上·贵州·阶段练习）若数轴上的点A表示的数为，则到A的距离为2个单位长度的点所表示的数为 ． 【考点9】数轴上点的平移(动点) 1．（25-26七年级上·全国·期中）点A在数轴上表示的数是，将点A沿数轴移动5个单位长度后得到点B，则点B所表示的数是（    ） A．3 B． C．3或 D．5或 2．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）数轴上一点A向左移动5个单位后到达点B，如果点B到原点的距离为1，则点A表示的数是（    ） A．1 B．1或 C．5或 D．4或6 【考点10】相反数的概念 1．（25-26七年级上·湖南·期中）的相反数是（   ） A．2025 B． C． D． 2．（24-25七年级上·湖北十堰·阶段练习）下列两个数互为相反数的是（   ） A．与3 B．与 C．与 D．与 【考点11】相反数的性质运用 1．（2022·内蒙古包头·中考真题）若a，b互为相反数，c的倒数是4，则的值为（    ） A． B． C． D．16 2．（23-24七年级上·广东东莞·阶段练习）若a、b互为相反数，则的值为（    ） A． B．0 C．2 D． 3．（22-23七年级上·山东日照·期中）已知与2互为相反数，那么 ． 【考点12】绝对值定义 1．（2025·西藏·中考真题）18的绝对值是（   ） A．18 B． C． D． 2．（25-26七年级上·湖北·阶段练习） ． 3．（24-25七年级上·广东广州·期末）计算： ． 4．（24-25七年级上·辽宁大连·期末）已知，，则的值为 ． 【考点13】绝对值的几何意义 1．（25-26七年级上·全国·课后作业）在数轴上与原点的距离等于的点表示的数是（   ） A． B． C．或 D． 2．（24-25七年级上·广西南宁·期中）在足球质量检测中，我们规定超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，下列检测结果中最接近标准质量的是（   ） A． B． C． D． 【考点14】非负性的性质 1．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）若与互为相反数，则的值为（　　） A．8 B． C．0 D．8或 2．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期中）若，则的值为 ． 3．（23-24七年级上·重庆长寿·期中）如果，则的值是 ． 4．（23-24七年级上·河南漯河·期末）已知，则 ． 【考点15】有理数大小比较 1．（2025九年级·宁夏·专题练习）下列各数中，比小的数是（　　） A．1 B．0 C． D． 2．（24-25七年级上·陕西西安·期末）在，，，四个有理数中，比小的数是（    ） A．4 B． C．1 D． 3．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）比较大小： （填“”“”或“＝”）． 【考点16】有理数的加减运算 1．（24-25七年级上·福建漳州·期中）冰箱冷冻室的温度为，此时房间内的温度为，则房间内的温度比冰箱冷冻室的温度高（　　） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·河北保定·期中）定义新运算符号“⊕”如下：，例如：，则 ． 3．（22-23七年级上·四川资阳·期中）计算 (1) (2) (3) 【考点17】有理数乘除法运算 1．（24-25七年级上·四川内江·期中）简便计算 (1) (2) 2．（24-25七年级上·新疆乌鲁木齐·期中）计算 (1)； (2)． 3．（24-25七年级上·浙江金华·期中）观察下列等式，发现规律，并解决问题．           ．．．．．． (1)由上述式子的规律，计算：． (2)类比以上式子的规律，计算：． (3)类比第（1）题，计算： 【考点18】有理数的乘方 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期中）下列各组数中，相等的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 2．（24-25七年级上·广西桂林·期中）计算： 3．（24-25七年级上·全国·课后作业）阅读材料： 求值：． 解：设， 将等式两边同时乘，得 ， ，得 所以． 请你仿照此法计算： (1)； (2)． 【考点19】有理数混合运算 1．（24-25七年级上·河南信阳·期中）计算： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）计算： (1)； (2)． 3．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）计算： (1) (2) (3) 【考点20】科学记数法 1．（24-25七年级上·贵州遵义·期中）某公司2024年第一季度创收3200000元，数3200000用科学记数法可记为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·全国·期中）2024年内蒙古某地煤炭产量约为9860000吨，将9860000用科学记数法表示（   ） A． B． C． D． 【考点21】近似数的表示 1．（24-25七年级上·海南海口·期中）关于近似数的精确度说法正确的是（   ） A．精确到千分位 B．精确到万位 C．精确到十万位 D．精确到千位 2．（24-25七年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列近似数中，说法正确的是（   ）． A．与精确度相同 B．精确到了百万位 C．精确到了百分位 D．万精确到了万位 【考点22】有理数的实际应用 1．（24-25七年级上·辽宁辽阳·期中）某水果店销售香蕉，前一天未卖完的香蕉会有部分由于不新鲜而损耗，未损耗的水果第二天继续销售，当天结束时，若库存较前一天减少．则记为负数，若库存较前一天增多，则记为正数．10月1日至10月5日的经营情况如下表： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 购进（千克） 55 45 50 50 50 库存变化（千克） 4 2 损耗（千克） 1 4 12 2 1 (1)10月3日卖出香蕉 千克． (2)问卖出香蕉最多的一天是哪一天？ (3)这五天经营结束后，库存是增加了还是减少了？变化了多少？ 2．（24-25七年级上·河北保定·期中）出租车司机小王某天下午营运全是在南北走向的公路上进行的．如果向南记作“+”，向北记作“-”．他这天下午行车情况如下：（单位：千米），，，，，，，，请回答： (1)小王将最后一名乘客送到目的地时，小王在下午出车的出发地的什么方向？距下午出车的出发地多远？ (2)若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱．而小王的出租车每千米耗油0.3升，每升汽油6元，不计汽车的损耗，那么小王这天下午盈利多少钱？ 3．（24-25七年级上·河北石家庄·期中）“十一”期间，某风景区在7天中每天游客的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人负数表示比前一天少的人数），若9月30日的游客人数为1万人，人均消费为50元． 日期（10月） 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化单位：万人 (1)10月4日的游客人数为 万人； (2)七天内游客人数最多的是10月 日，游客人数为 万人； (3)求该景区“十一”期间所有游客在此风景区的总消费是多少万元？ 4．（24-25七年级上·福建宁德·期中）某自行车厂一周计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因实际每天生产量与计划量相比有出入，下表是某周的生产情况（超产为正、减产为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 (1)根据记录可知前四天共生产______辆； (2)产量最多的一天比产量最少的一天多生产______辆； (3)该厂实行按天计件工资制，每生产一辆自行车给工人60元，超额完成任务超额部分每辆再奖15元，少生产一辆扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少元？ 【考点23】程序流程图与有理数计算 1.下图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为（    ） A．7 B．11 C．13 D．9 2.如图，小李同学设计了一个计算程序．如果输入的数是1，那么最后输出的结果是 ． 3.根据流程图中的程序，若输入的值为2，则输出的值为 ． 4.如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为48，我们发现第一次输出的结果为24，第二次输出的结果为12，…，则第2024次输出的结果为 ． 【考点24】 算“24”点 1.在玩“24点”游戏时，小明抽到的数字是4，，3，10，运用所学过的有理数混合运算，使得运算结果为24，你的算法是 （写出一种即可，每个数字都要用到并且只能用一次）． 2.以用加、减、乘、除等运算，请写出一个成功的算式： ． 3.算“24”是一种常见的数学游戏．一座有三道环路的数字迷宫，每一个入口处都设置一个数，要求每一个进入者都把自己当作数“1”，进入时必须形状一种运算（加、减、乘、除或乘方），与入口处的数进行计算，并将结果带到下一个入口，依次累计下去．在通过最后一个入口时，如果计算结果是24才能到达迷宫中心．请选择一条可以到达迷宫中心的道路，列出其对应的算式为 ． 4.有一种叫做“24点”的游戏，其游戏规则是这样的：将4个绝对值为1至13之间的数进行加、减、乘、除四则运算（每个数只能用一次，可以加括号），使其结果为24．例如，1，2，3，4可做运算．现有4个有理数3，4，，10，运用上述规则，写出一个的算式 ，使其结果为24． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 学科网（北京）股份有限公司 $