专题06 椭圆的方程（期中真题汇编，内蒙古专用）高二数学上学期人教A版

专题06 椭圆的方程 7大高频考点概览 考点01 椭圆的定义 考点02 直线与椭圆的位置关系 考点03 椭圆的离心率问题 考点04 椭圆性质的综合 考点05 求椭圆的标准方程 考点06 直线与椭圆的综合应用 考点07 椭圆的轨迹方程和新定义问题 地 城 考点01 椭圆的定义 1．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)椭圆的焦点坐标为（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【详解】由椭圆方程化标准方程得：， 由，可得， 则焦点坐标为：和， 故选：C. 2．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)已知椭圆：，则椭圆的焦距为（   ） A．5 B．10 C．4 D．8 【答案】D 【详解】由，可得， 即， 故选：D 3．(24-25高二上·内蒙古赤峰林西县第一中学·期中)“”是“方程表示椭圆”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若方程表示椭圆，则，解得且， 所以“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件． 故选：B. 4．(24-25高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学·期中)已知方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得. 故选：B. 5．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯达拉特旗第一中学·期中)已知椭圆的短轴长为4，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【详解】由的短轴长为4，得，即，则， 若，则，显然矛盾； 若，则． 经验证，当时，椭圆的短轴长为4， 故选：B 6．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可知椭圆焦点在轴上，且， 故可设所求双曲线方程为：，依题得：， 解得：，故所求的双曲线方程为：. 故选：D. 7．(24-25高二上·内蒙古赤峰林西县第一中学·期中)（多选题）设椭圆：的左、右焦点分别为，，是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（    ） A． B．椭圆的离心率 C．的最大值是 D．面积的最大值为 【答案】ACD 【详解】因为椭圆C的方程，故， 由椭圆的定义可知，故A正确； 离心率，故B错； 由椭圆性质可知，所以的最大值是3，故C对； 因为，又， 当时，即P在短轴的顶点时面积的取得最大值， ，故D对； 故选：ACD 8．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中)（多选题）已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，则下列说法正确的是（   ） A．椭圆的离心率为 B．存在点，使得 C．的最小值为 D．内切圆半径的最大值为 【答案】AD 【详解】不妨设分别是左、右焦点. 对于选项A：由椭圆方程可得，，，所以椭圆的离心率为，故A正确； 对于选项B：因为，可知以为直径的圆与椭圆没有交点，所以不存在点使得，故B错误； 对于选项C：由于对有，，从而. 所以不可能以为最小值，故C错误； 对于选项D：设内切圆半径为，则，故. 当且仅当点为短轴顶点时，取到最大值，所以内切圆半径的最大值为，故D正确； 故选：AD. 9．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)焦点在轴上，焦距等于4，且经过点的椭圆标准方程是 【答案】 【详解】因为椭圆的焦距等于4，故，所以， 又因为椭圆过点，所以，所以， 所以椭圆方程为. 故答案为：. 【点睛】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的简单几何性质，考查计算能力，属于常考题. 10．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯达拉特旗第一中学·期中)经过椭圆的左焦点的直线交椭圆于两点，是椭圆的右焦点，则的周长为 . 【答案】 【详解】由题意可知：， 因为， 所以的周长为. 故答案为：. 11．(24-25高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学·期中)已知椭圆的左，右顶点分别为A，，上顶点为，则直线，的斜率之积为 ． 【答案】/ 【详解】由题意知，，，所以， 即直线，的斜率之积为． 故答案为： 地 城 考点02 直线与椭圆的位置关系 1．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)设是椭圆上的上顶点，点在上，则的最大值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】设，则，，. 易知， 所以 ，. 当时，有最大值，为：. 所以的最大值为：. 故选：A 2．(24-25高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学·期中)已知离心率为的椭圆的短轴长为，直线过点且与椭圆交于、两点，若，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得，解得，所以，椭圆方程为， 因为，则点在椭圆内，设点、， 因为直线过点且与椭圆交于、两点，若，则为的中点， 所以，，， 若直线轴时，则线段的中点在轴上，不合乎题意， 所以，直线的斜率存在， 因为，这两个等式作差可得， 即，可得， 因此，直线的方程为，即. 故选：B. 3．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)已知点为椭圆的左焦点，点为椭圆的下顶点，平行于的直线交椭圆于两点，且的中点为，则该椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 如图，由题意，点，，直线的斜率为， 因，故， 设点，则， 两式相减，可得：（*）， 因的中点为，则，且， 代入（*），化简可得：①又②， 联立① ② ，解得：，故该椭圆的方程为. 故选：B. 地 城 考点03 椭圆的离心率问题 1．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)已知是椭圆的焦点，若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 如图，点分别是椭圆的左、右焦点，与以椭圆的短轴为直径的圆相切于点， 则，，连接， 因，则，且， 又点为椭圆上的一点，则有，故， 在中，，即， 将代入化简得：，解得， 则. 故选：A. 2．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)已知椭圆的左､右焦点分别为，若经过的弦满足，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    由题可知， 所以，解得， 由 得， 整理得， 所以. 故选：A. 3．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯达拉特旗第一中学·期中)已知椭圆的右焦点为，过点的直线与圆相切于点且与椭圆相交于、两点，若、恰为线段的三等分点，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不妨设切点在第一象限，点在第一象限，记椭圆的左焦点为，连接、，    由圆的几何性质可知， 易知、分别为、的中点，则，且， 所以，，由椭圆的定义可得， 由勾股定理可得，即， 整理可得，可得， 因此，该椭圆的离心率为， 故选：A. 4．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)已知，分别是椭圆的左右焦点，P是椭圆C上一点，若线段上有且只有中点Q满足其中O是坐标原点，则椭圆C的离心率是 . 【答案】/ 【详解】令椭圆半焦距为c，有，显然点P不可能是椭圆长轴左端点， 当点P为椭圆长轴的右端点时，即，取，显然点Q在线段上，并满足， 而点Q不一定是线段的中点，因此点P不是椭圆长轴的端点. 在中，不妨设，当Q为中点时，而O是的中点， 则，，， 由，得，由余弦定理得，， 线段上的点Q满足，令，，在中，， 显然，即，解得或， 因线段上有且只有中点Q满足，于是得，即，则， 所以椭圆C的离心率. 故答案为： 地 城 考点04 椭圆性质的综合 1．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)（多选题）已知分别是椭圆的左、右焦点，如图，过的直线与交于点，与轴交于点，，，设的离心率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】根据题意，设，则,， 又因为，所以勾股定理得， 得，故或(舍),所以，故选项A正确； 由，，则， 在中，，故选项B正确； 在中，， 整理得，故，选项C正确; 在中，，故选项D错误. 故选：ABC 2．(24-25高二上·内蒙古包头第九中学·期中)（多选题）已知椭圆的左、右焦点分别是、，点为椭圆上一点且，则下列关于椭圆的结论正确的有（    ） A．离心率为 B．长轴长为8 C．的周长为18 D．的面积为9 【答案】ACD 【详解】由椭圆方程可知：，所以， 所以：离心率，所以选项A正确； 长轴，所以选项B错误； 由椭圆的定义可知：， 所以的周长为，所以选项C正确； 设，所以，因为， 所以由勾股定理可得：，即：， 化简得：， 解之得：或，即：或， 所以的面积为： ，故选项D正确. 故选：ACD. 3．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)（多选题）如图所示．已知椭圆方程为，F1、F2为左右焦点，下列命题正确的是（    ） A．P为椭圆上一点，线段PF1中点为Q，则为定值 B．直线与椭圆交于R ，S两点，A是椭圆上异与R ，S的点，且、均存在，则 C．若椭圆上存在一点M使，则椭圆离心率的取值范围是 D．四边形 为椭圆内接矩形，则其面积最大值为2ab 【答案】ACD 【详解】A：连接，由椭圆的定义可知， 线段中点为Q，所以， 于是有，所以本选项命题正确； B：直线与椭圆交于R ，S两点， 因为直线经过原点，而椭圆是关于原点的中心对称图形， 所以R ，S两点关于原点对称，不妨设，， ， 因为A是椭圆上异与R 的点， 所以有，两个式相减，得 ， 因此， 所以本选项命题是假命题； C：椭圆上存在一点M使， 由余弦定理可知：， 即， 即， 而 ，当且仅当时取等号，即M为上（下）顶点时取等号， 而，所以，因此本选项命题是真命题； D：因为矩形和该椭圆的对称轴和对称中心相同， 所以设矩形在第一象限的顶点为，即， 所以矩形的面积为， 因为， 当且仅当时取等号，即当时取等号， 因此本选项命题是真命题， 故选：ACD 4．(24-25高二上·内蒙古包头第九中学·期中)已知椭圆，点，，为其长轴上从左到右的3个四等分点，分别过这三点作斜率为的一组平行线，交椭圆于，，，，，，则6条直线，，，…的斜率乘积为 . 【答案】 【详解】不妨设左右顶点的坐标分别为， ，，为其长轴上从左到右的3个四等分点，故与原点重合， 设椭圆上任意一点坐标为，且不与重合，即， 则，所以， 则， 由对称性可知，，故， 同理可得， 所以6条直线，，，…的斜率乘积为. 故答案为：. 地 城 考点5 求椭圆的标准方程 1．(24-25高二上·内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学·期中)求适合下列条件的椭圆的标准方程． (1)焦点在轴上，且经过两个点和； (2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是，，并且经过点． 【详解】（1）因为椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为． 又椭圆经过点和， 所以解得 所以所求椭圆的标准方程为． （2）由于椭圆的焦点在轴上， 所以设它的标准方程为， 设椭圆的半焦距为，则， 又， 所以， 所以， 所以所求椭圆的标准方程为． 2．(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯达拉特旗第一中学·期中)求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为，长轴长是短轴长的2倍； (2)经过两点. 【详解】（1）由题意知， 因为，即，解得， 且焦点在轴上，所以椭圆的标准方程为. （2）设椭圆的方程为. 因为椭圆经过两点， 则，解得 故椭圆的标准方程为. 3．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中)设椭圆的左右焦点分别为，离心率，短轴长为2，点是椭圆上的两点，且. (1)求椭圆的标准方程： (2)求点A的坐标. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2）由（1）可知：， 设， 则， 因为，则，即， 又因为， 解得，则， 所以点A的坐标为或. 地 城 考点6 直线与椭圆的综合应用 1．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)已知点在椭圆上，与椭圆的上，下顶点的连线的斜率之积为． (1)求椭圆的离心率； (2)若直线与椭圆相交于、两点，且的面积为（为坐标原点），求椭圆的标准方程． 【详解】（1）因椭圆上、下顶点的坐标分别为、， 依题意，整理得（*）， 因点在椭圆上，则，即， 代入（*），化简得： ，又，所以， 则椭圆的离心率； （2）    如图，设、，由（1）已得， 则由，消去并整理得， 此时，解得， 由韦达定理得，， 所以， 又原点到直线的距离， 所以的面积，解得， 故椭圆的方程为． 2．(24-25高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学·期中)已知椭圆的左、右焦点分别为，且经过点. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆上的点满足，求点的坐标. 【详解】（1）椭圆的左、右焦点分别为， 半焦距. 又椭圆经过点， ， 故椭圆的方程为. （2）设点，因为， 则，即， 联立，解得. 当时，，当时，， 点的坐标为或或或 3．(24-25高二上·内蒙古赤峰林西县第一中学·期中)已知椭圆，其中离心率为，且过点 (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线被椭圆截得的弦长为，求直线的方程. 【详解】（1）因为椭圆，其中离心率为，且过点， 所以，解得， 所以椭圆的标准方程为. （2） 过点的直线斜率不存在时，直线方程为，此时截得的弦长为，不符题意； 当斜率存在时，设直线方程为，即， 联立，得， 设直线与椭圆的交点为， 则，， 则， 解得， 所以直线的方程. 4．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)已知和为椭圆上的两点. (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)设直线与椭圆C交于A、B两点，求三角形AOB面积的取值范围. 【详解】（1）解：和为椭圆上的两点， 所以，解之得，，又因为，所以. 所以椭圆C的方程为，离心率. （2）解：联立方程，消去得， 因为， 所以设交点，，则，， 所以 . 又因为点到直线的距离为， 所以三角形AOB面积 令 ， 则 （当且仅当即时，等号成立）， 也就是当时，三角形AOB面积取最大值 又因为当时，， 所以三角形AOB面积的取值范围是. 5．(24-25高二上·内蒙古包头第九中学·期中)已知椭圆的上顶点为，两个焦点为、，半焦距为，原点到经过，两点的直线距离为. (1)求椭圆的离心率； (2)过且垂直于的直线与椭圆交于，两点，，求的周长. 【详解】（1）依题意，不妨令，，则，又是直角三角形， 于是，解得， 所以椭圆的离心率. （2）由（1）知，，，椭圆的方程为， 如图所示，，，即为正三角形， 又过且垂直于的直线与C交于D，E两点，则为线段的垂直平分线， 直线的斜率为，直线的方程：， 由消去并整理得：， ，， 解得，得，由垂直平分线段，得， 因此的周长等于的周长，利用椭圆的定义得到周长为 . 地 城 考点7 椭圆的轨迹方程和新定义问题 1．(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学·期中)如图1，椭圆的左右焦点分别为，点分别为椭圆与轴负半轴、轴正半轴的交点，且椭圆上的点满足，． (1)求椭圆的标准方程； (2)图2中矩形的四条边分别与椭圆相切，求矩形面积的取值范围． 【详解】（1）因为，所以，得，所以， 因为在椭圆上，则，解得， 因为，解得，所以， 所以椭圆的标准方程． （2）①当直线的斜率不存在时，矩形的面积为； ②当直线的斜率为0时，矩形的面积为； ③当直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为， 联立方程，消去整理可得， 因为直线与椭圆相切， 所以，解得， 则平行线，的方程为和， 因为为矩形，所以即为平行线，之间的距离， 所以， 同理可得， 所以矩形的面积 ， 令，所以， 又，所以，则， 当，即时，取得最大值为， 所以，所以， 综上所述，矩形面积的取值范围是． 2．(24-25高二上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中)我们在学习解析儿何过程中知道椭圆、双曲线的定义分别是平面内到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土星及其卫星运行规律时发现到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线.若定点，动点满足，其中均为正数，记该卡西尼卵形线为曲线，它的轨迹方程为. (1)求参数的值（用含的式子表示）； (2)若为曲线上一点，求证：，； (3)若，求证：曲线恰经过个整点（横、纵坐标均为整数的点）. 【详解】（1）设为曲线上一点，则由可得. 整理可得， 结合题意可知：，. （2）据（1）的结论有. 一方面，，故. 可得，即； 另一方面，，从而，即. 从而，所以. （3）将代入，可得的轨迹方程为.   同时据（2）的结论有，. 若均为整数，则由，可知. 若，则，即，故. 故或，但和都不是整数的平方，矛盾. 所以，从而，这就得到，所以可以取. 这表明曲线经过的整点只可能有，，. 经验证，曲线经过这个整点，结论得证. 3．(24-25高二上·内蒙古乌兰浩特第一中学·期中)给定椭圆:，我们称椭圆为椭圆的“伴随椭圆”.已知，分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆的上顶点，等腰的面积为，且顶角的余弦值为 (1)求椭圆的方程； (2)是椭圆上一点（非顶点），直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，直线与椭圆的“伴随椭圆”交于，两点，证明:为定值． 【详解】（1）由，可得， 因为的面积为，所以， 解得． 所以椭圆的方程为．    （2）由（1）知，设， 直线的斜率为，直线的方程为， 直线的斜率为，直线的方程为， 所以． 由，得， 椭圆的“伴随椭圆”的方程为． 联立，可得， 设，则， ， 同理， 所以．        4．(24-25高二上·内蒙古包头第九中学·期中)“曲线”：由半椭圆与半椭圆组成，其中，.如图，设点是相应椭圆的焦点，和分别是“曲线”与轴的交点，为线段的中点. (1)若等边三角形的重心坐标为，求“曲线”的方程； (2)设是“曲线”的半椭圆上任意的一点.求证：当取得最小值时，在点或处； (3)作垂直于轴的直线与“曲线”交于两点，求线段中点的轨迹方程. 【详解】（1）解：因为等边的重心坐标为， . 在半椭圆中， 由， ， 解得， 因此“曲线”的方程为. （2）证明：设，则，. ，开口向下， 对称轴为：， 当或时， 取得最小值时，即在点或处. （3）由题可知，直线的斜率，则设直线， 设在上， 当时，. 设在半椭圆上， 当时，. 的中点为, 即线段中点的轨迹方程为：. 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 专题06椭圆的方程 ☆7大高频考点概览 考点01椭圆的定义 考点02直线与椭圆的位置关系 考点03椭圆的离心率问题 考点04椭圆性质的综合 考点05求椭圆的标准方程 考点06直线与椭圆的综合应用 考点07椭圆的轨迹方程和新定义问题 考点01 椭圆的定义 1.(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)椭圆x2+2y2=1的焦点坐标为() A.-1,0和1,0 B.0,-1和0,1 C. V2。和2 ,0 D 2 2 72,0 0,2 2.(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)已知椭圆C：: -=1,则椭圆C的焦距为() 9 A.5 B.10 C.4 D.8 3.425高二上：内蒙古赤峰林西县第一中学期中)2<m<4是“方程，X+ =1表示椭圆”的 4-m'm-2 () A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要 条件 4.2425高二上内蒙古乌兰浩特第一中学期中已知方程，X+少=1表示焦点在x轴上的椭圆，则实 2-m m 数m的取值范围是() A.0,2 B.0,1 C.(2,+∞ D.0,1)U1,2 1/9 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 5.4-25高二上内蒙古鄂尔多斯达拉特旗第一中学期中)已知椭圆C:X+y=1的短轴长为4，则m "m=i mm () A.2 B.4 C.8 D.16 6.(24-25高二上·内蒙古包头第八十一中学期中)过点2,2且与椭圆9x2+3y=27有相同焦点的双曲线方 程为() AX-=1B.-X=1 C.x-y=1 D.Y'_x =1 68 68 24 24 7.2425高二上内蒙古赤峰林西县第一中学期中（多选题》设椭圆C:丈+之=1的左、右焦点分别为 43 F,F2,P是椭圆C上的动点，则下列说法中正确的是() A.PF+PF,=4 B.椭圆C的离心率e=3 C.PE,的最大值是3 D.△PF,F,面积的最大值为3 8.(24-25高二上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中)（多选题）已知F1,F2是椭圆 C:父+y=1的两个焦点，点P在椭圆C上，则下列说法正确的是() 43 A.椭圆C的离心率为} B.存在点P,使得∠P,PF,=号 C.PF,·PF的最小值为3 D.△PF,F,内切圆半径的最大值为3 9.(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第一中学·期中)焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P6,0的椭圆标准 方程是 10.2425高二上内蒙古鄂尔多斯达拉特旗第一中学期中经过椭圆C:心+少 =1的左焦点F的直线交椭 324 圆C于A,B两点，F2是椭圆C的右焦点，则△ABF2的周长为一· 1.2425高二上内蒙古乌兰浩特第一中学期中)已知椭圆E:X+y2=1的左，右顶点分别为4，B,上 16 顶点为C,则直线CA,CB的斜率之积为一· 考点02 直线与椭圆的位置关系 2/9 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 1.24-25高三上内蒙古呼和浩特第三中学期中设M是椭圆C:箐+之三1上的上顶点，点P在C上，则 乙PMV元的最大值为() A.95 B.V15 C.V13 D.4 5 2.2425高二上内蒙古乌兰浩特第一申学期中已知离心率为1的椭圆C:米+=10≥b>0的短轴长 a b2 为23，直线过点P12 且与椭圆C交于A、B两点，若AP=BP,则直线的方程为() A.3x-2y-2=0 B.3x+2y-4=0 C.4x+6y-7=0 D.4x-6y-1=0 3.2425商二上内蒙古包头第八十一中学期)已知点F-1,0为椭圆父+兰 8+6=1a>b>0的左焦点，点 P为椭圆的下顶点，平行于PP的直线交椭圆于A,B两点，且AB的中点为L,。 则该椭圆的方程为 () A. + 1 B. 2+y2=1 C.xy2 5+4=1 D.+y 4+3=1 考点03 椭圆的离心率问题 化24.25高二上内蒙吉包头第八十一中学期中已知-是椭圆×+=1Q>b>0的焦点，若椭圆上存在 一点P,满足线段PF相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段PF的中点，则该椭圆的离心率为 () A.5 B. 2 3 c.2 5 2 D. 9 2425高三上内蒙古呼和浩特第二中学期中)已知椭圆C:义，+之=1(a>b>0)的左、右焦点分别为 3/9 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 F1,E,B0,b若经过F,的弦AB满足1AB=AF,则椭圆C的离心率是（) A.3 B.3 c.6 D.6 3 3 4 3.(2425高二上内蒙古鄂尔多斯达拉特旗第一中学期中)已知精圆+之=10>h>0的右焦点为下'过 a2'b2 点F的直线与圆x+y=b相切于点E且与椭圆相交于M、N两点，若E、F恰为线段MN的三等分点，则 椭圆的离心率为() A.5 B. 3 D. 3 5 c.5 4 5 2高二上：内蒙古包头第八十一中学·期中)已知F’F,分别是椭圆C:X±y=1(a>b>0)的左右 点，P是椭圆C上一点，若线段PF上有且只有中点Q满足(QF,V元2VQOV其中O是坐标原点，则 椭圆C的离心率是 考点04 椭圆性质的综合 1.(24-25高二上内蒙古包头第八十一中学期中)（多选题)已知F1,F2分别是椭圆 C学芳=1a60商本、右点照拉，的俊与c金T应A与，#交于高rF方-西-0 B京=4FA:设C的离心率为e则() A.IAF:=2 B.2cos∠BF1F2=e 4/9 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 c.e2=2 D.sin∠E,AF,=3 2.(24-25高二上：内蒙古包头第九中学期中)（多选题）已知椭圆C:X )5+。=1的左、右焦点分别是F1 F;'点p为椭圆C上一点且∠F,PF,=90,则下列关于椭圆c的结论正确的有（） A.离心率为 B.长轴长为8 5 C.△PF1F的周长为18 D.△PF1F,的面积为9 3.(24-25高二上·内蒙古呼和浩特第二中学·期中)（多选题）如图所示.己知椭圆方程为 芳+三10>b>05为左有焦点，下列命想正确的是C P F F2 A.P为椭圆上一点，线段PF,中点为Q,则PF1+2OQ为定值 B.直线y=kX与椭圆交于R,S两点，A是椭圆上异与R,S的点，且kAR、kAs均存在，则 KAR'kAs=1-e2 C.若椭圆上存在一点M使∠E,MF,=2n,则椭圆离心率的取值范围是|3 3 D.四边形A,BCD为椭圆内接矩形，则其面积最大值为2ab 4.24-25高二上内蒙古包头第九中学期中已知椭圆C:+少=1，点M,M,M,为其长轴AB上从 32 左到右的3个四等分点，分别过这三点作斜率为kk≠0的一组平行线，交椭圆C于P1,P2,P3,P4,P5, P6,则6条直线AP1,AP2,AP3,…AP6的斜率乘积为一 5/9 函学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 目目 考点5 求椭圆的标准方程 1.(24-25高二上·内蒙古兴安盟科尔沁右翼前旗第二中学·期中)求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)焦点在y轴上，且经过两个点0,2和1,0： (2)已知椭圆的两个焦点坐标分别是-2,0,2,0，并且经过点 32 2.(24-25高二上·内蒙古鄂尔多斯达拉特旗第一中学期中)求符合下列条件的椭圆的标准方程： (1)一个焦点为6,0，长轴长是短轴长的2倍： 2经过p22,23,02,32两点 3.②4,25高二上内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学期中)没椭圆c:+兰=1O>b>0的左右焦 a2 b2 点分别为F1,F2,离心率e= 6 短轴长为2，点A,B是椭圆C上的两点，且F,A=5F2B 3 (1)求椭圆C的标准方程： (2)求点A的坐标 考点6 直线与椭圆的综合应用 1.24-25高二上：内蒙古包头第八十一中学期中)已知点pX,y。在椭 在ic答-Ia>b0上p 椭圆的上，下顶点M,N的连线的斜率之积为- (1)求椭圆C的离心率； (2)若直线y=X+1与椭圆C相交于A、B两点，且△AOB的面积为3(0为坐标原点)，求椭圆C的标准方 4 程. 425高上内蒙古马兰浩特第一中学·期中)已知椭圆c:×+X=1(Q>b>0的左、右焦点分别》 6/9 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 F,(-3,0),F,(3,0且经过点B(0,1 (1)求椭圆C的方程： (2)若椭圆C上的点P满足PF1⊥PF2,求点P的坐标 同一上内蒙古赤峰林西县第一中学·期中)已知椭圆c.y+X=1(a>b>0?其中离心率为 2 且过点2 (1)求椭圆C的标准方程： (2)过点0,1的直线1被椭圆C截得的弦长为32，求直线1的方程. 内家语特第甲学中吧和p0.2Q2.1为椭c。+ 上的两点. (1)求椭圆C的方程和离心率； (2)设直线：y=kx+1与椭圆C交于A、B两点，求三角形AOB面积的取值范围. 5.24,25商三上：内蒙古包头第九中学期已知椭圆c:艾+ a+长=1(a>b>0)的上顶点为4两个焦点为 F、F,半焦距为c,原点0到经过(C,0),(0,b)两点的直线距离为3 (1)求椭圆C的离心率； (2)过F1且垂直于AF,的直线与椭圆C交于D,E两点，DE=6,求△ADE的周长. 考点7 椭圆的轨迹方程和新定义问题 425高上内装黏包头第人中学明购图，韩西E+1Q>h>0的左右焦点分别为 719 丽学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 F,E点A,B分别为椭圆E与y轴负半轴、y轴正半轴的交点，且椭圆上的点P2, ,满足AB/iOP' F2A=3 B B A F 图1 图2 (1)求椭圆E的标准方程： (2)图2中矩形ABCD的四条边分别与椭圆E相切，求矩形ABCD面积的取值范围. 2.(24-25高二上·内蒙古呼和浩特内蒙古师范大学附属中学·期中)我们在学习解析儿何过程中知道椭圆、双 曲线的定义分别是平面内到两定点距离之和、距离之差的绝对值等于某个定值，天文学家卡西尼在研究土 星及其卫星运行规律时发现到两定点距离之积为常数的点的轨迹，我们称之为卡西尼卵形线若定点 F,-c,0,F,c,0动点p满足|PF,PF,=a,其中a,c均为正数，记该卡西尼卵形线为曲线C 它的轨迹方程为x2+y2+x2-y=μ (1)求参数入，μ的值（用含a,c的式子表示）： ②)若Px,y为曲线上一点，求证：ys x)sVa+c2: 2c 3)若a=c=32 2 求证：曲线C恰经过3个整点（横、纵坐标均为整数的点）· a+6=1(a>b>0), 3.24-25高二上：内蒙古鸟兰浩特第一中学期中给定椭园E米+少 我们称椭圆 丈+y-Q为椭圆E的“伴随椭圆”.已知AB分别是椭圆E的左、右顶点，C为椭圆E的上顶点，等腰 a2b2 b2 819 品学科网 www .zxxk com 让教与学更高效 △ABC的面积为22，且顶角的余弦值为- 3 (1)求椭圆E的方程： (2)P是椭圆E上一点（非顶点），直线AP与椭圆E的“伴随椭圆”交于G,H两点，直线BP与椭圆E的 “伴随椭圆”交于M,N两点，证明：GH+MN为定值. a3t方-1x≥0与半椭圆 4.Q4-25商二上内蒙古包头第九中学期中)“曲线M”:由半椭圆X+少 兰+兰=1X≤0组成，其中。=+c2”a>b>c>0如图，设点F,F,5,是相应椭圆的熊点，A,A,和 c2b21 B1,B2分别是“曲线M”与X,y轴的交点，N为线段A1A2的中点. B2 F2 A F B 若等边三角形△FF,F,的重心坐标为3,0求“曲线M”的方程： 3 2设p是“曲线M 的泽长土净xs0的a:司P不PBB 或A1处： (3)作垂直于y轴的直线与“曲线M”交于两点H,K,求线段HK中点的轨迹方程. 919