数学（北师大版）2-2025-2026学年九年级上学期第一次学业质量检测

2025~2026学年九年级第一学期第一次学业质量检测 数学（北师大版） 注意事项： 1.本试卷共8页.总分120分，考试时间120分钟 务 2.仔细审题，工整作答，保持卷面整洁 条形码粘贴处 3.考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍， 总分 题号 17 18 19 20 21 22 23 24 得分 名 选择题涂卡处 军 1 [A][B][C][D] 6[A][B][C][DJ 11[A][B][C][D g 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 12[A][B][C][D] 3[A][B][c][D] 8[A][B][c][D 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D 10[A][B][C][D 阳 得 分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 也 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知口x2-4x-2=0,在口中填入一个数使其为一元二次方程，填法不正确的是( A.-4 B.0 C.1 D.4 ::: 2.如图1-1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具，斗的口呈 正方形（如图1-2），若它的一边长为1dm,则A,C之间的距离为( A.3 dm B.2 dm 线 C.V3 dm D.V2 dm 荞 3.方程(x-2)(x+3)=0的解是( 图1-1 图1-2 A.x=2 B.x=-3 . C.x1=2,x2=-3 D.x1=-2,x2-3 4.如图2，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ACB=40°， 则∠B0C=( A.100° B.95 图2 C.90° D.80° ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第1页（共8页)》 5.关于x的方程x2-6x-m=0通过配方法转化为(x-n)P=6的形式，则m+n的值为( A.-3 B.0 C.3 D.9 6.如图3，在菱形ABCD中，AC+BD=34,且菱形的周长为52，则△AOB的周长为( A.24 B.36 C.30 D.60 7.已知一元二次方程m2-7a+12=0,关于①、②下列判断正确的是( 图3 ①方程有两个不相等的实数根；②若方程的两根分别为a1,a2,则aa2-(a+a)=5 A.①②都对 B.①②都不对 C.①对②不对 D.①不对②对 8.兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是( 4 D 9.为了提高成绩，某学习小组成员每两人互提一条不同的学习建议（所有建议均不相同），小组内 一共提了42条不同的学习建议，设该小组共有x人，则可列方程为() A.x(x-1)=42 B.x(x+1)=42 C.x-1)=42 D.xx+1)=42 2 2 10.如图4，平行四边形ABCD的对角线相交于点O,尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，OC 长为半径画弧：②以点D为圆心，OD长为半径画弧：③两弧交于点E,连接DE,CE.则下列说 法一定正确的是() A.若AC⊥BD,则四边形OCED是正方形 B.若AD=CD,则四边形OCED是菱形 C.若ADLCD,则四边形OCED是正方形 图4 D.若AC=BD,则四边形OCED是菱形 11.求x2+8=33正数解的一种几何方法是：“如图5-1，构造一个面积为x2的正方形，再以正方形 的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+2×2×4=49，则该方 程的正数解为7-4=3.”按此方法解关于x的方程x2+20x+m=0时，构造的图形如图5-2所示。 若图5-2中阴影部分的面积为300，则下列不正确的是( A.图5-2中向外构造的四个矩形的面积均为5x B.方程正数解为x=10 C.方程的另一个解为x=-40 D.m的值为-300 图5-1 图5-2 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第2页（共8页） 12.如图6，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A,D分别在x轴，y轴的正半轴 上移动，点A,C之间的距离为4，连接OC.下列关于结论①、②③的判断正确的是( ①∠BAD的度数为100°；②若E为AD的中点，则0E的长始终为2； y ③线段0C长度的最大值为2V3+2 A.①②都对③错 B.①错②③都对 C.①③都错②对 D.①②③都错 图6 得分 评卷人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13.在矩形ABCD中，AC与BD交于点O,添加一个条件： (填 一个即可)，使四边形ABCD是正方形. 14.如图7，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标是(1,3)，则AC 的长是 图7 15.在一块长12m,宽8m的矩形空地上，修建如图8所示的小路，小路的宽度 相同，剩余的部分种植花草，且种植花草的面积为60m,则所修小路的宽 是 m. 图8 a2-b(a≤b), 16.定义新运算：a⊙b= ,若x⊙(2-x)=3x-2,则满足条件的x值有 个 b2-a(a-b) 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) 甲、乙两位同学解方程22-4x=5的过程如下，按要求完成下列各小题， (1)甲的解答如下，从第 步开始出错，错误原因是： 二次项系教化为1，得2x=三， 第一步 配方，得(x-1八3 …第二步 !两边开方，得x-1=±V10 2, …第三步 所以=1+V10 ,x1-V10 …第四步} (2)乙用公式法求解，将乙的解答过程补充完整。 将原方程化为一般式，得2x2-4x-5=0,这里a=2,b=-4,c=-5, ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第3页（共8页） 得分 评卷人 18.(本小题满分8分) 如图9，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.现有两个条件：a:OA=OD: b:∠DAC+∠DCA=90. (1)从条件a,b中任选一个作为已知条件，求证：四边形ABCD是矩形； (2)在(1)的基础上，若四边形ABCD的面积为18，AD=3,则AC的长为 △AB0与△ADO的周长差为 0 图9 得分 评卷人 19.(本小题满分8分) 已知关于x的方程x2-x+m=0. (1)若x与x2-nx+m的值如下表所示，直接根据表中数据可得方程x2-nx+m=0的一个解 x的取值范围是 -3 -2 -10 x2-nx+m 13 5-1-5 (2)若n=3,方程x2-nx+m=0有两个不相等的实数根. ①求m的取值范围； ②若两个根都是整数，求正整数m的值及两个根. ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第4页（共8页）】 得分 评卷人 20.(本小题满分8分) 如图10，在菱形ABCD中，O为对角线BD的中点，点E,F分别在边CD,AD上，目 DE=DF. ....... (1)求证：△ABF≌△CBE; (2)已知AD=5,BD=8,连接F0O,并延长FO交BC于点H. 密 ①求菱形ABCD的面积； ②若OF=3,直接写出四边形ABHF的周长 图10 照 得分 评卷人 21.(本小题满分9分) 封 综合实践小组调查了某商场一种商品的销售情况，甲：“该商品的进价为40元/件.” 乙：“销售单价为60元/件，每天可售出180件.”丙：“在当前售价的基础上，销售单价每 上涨1元，每天的销售量就减少5件.”设每件的销售价格上涨了x元. (1)小敏通过列表的方法整理数量关系，请把表格补充完整；（均用含x的代数式表示） 每件的利润（元） 每天的销量（件） 每天的总利润（元）》 涨价前 60-40 180 180×(60-40) 彬 涨价后 (2)商场经理：“将价格上调，使明天销售该商品的利润达到4000元.”请通过计算说明 经理的想法能否实现。 线 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第5页（共8页） 得分 评卷人 22.(本小题满分9分)》 如图11，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE,BE,以AE,BE为邻边向下作平行四 边形AFBE,P为边AB上的动点（不与点A,B重合） (1)求证：四边形AFBE是菱形； (2)当AB与AD的数量关系满足 时，四边形AFBE是正方形； (3)在(2)的基础上，若AD=a,过点P作PH⊥BF,PG⊥AF,垂足分别为H,G.嘉嘉：四边形PGFH 的周长与点P的位置无关.嘉嘉的想法是否正确？若正确，请用含α的式子表示四边形PGFH的 周长；若不正确，请说明理由 图11 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第6页（共8页） ■ 得分评卷人 23.(本小题满分11分) 如图12，科技社团在矩形跑道ABCD上进行智能车性能测试，已知AB=60m,BC=80m (1)科技社团的社长在老师的培训下，学会了智能车的某项操作，回到社团后，他第一天教会了x 名同学，第二天会该项操作的每名同学又各教会了x名同学，这样全社团49人恰好都会此项操 作，根据题意可列方程为 (2)智能车P(看作点P)从点A开始以10/s的速度沿边AB向终点B行驶，与此同时，智能车Q (看作点Q)从点B开始以20/s的速度沿边BC向终点C行驶，设运动时间为ts(t>0). ①BQ= m,BP= m;(均用含t的代数式表示) ②当两智能车之间的直线距离PQ为60m时，求智能车P与其终点的距离； ③若两智能车的行驶速度保持不变，且智能车P的终点不变，智能车Q在到达点C后立刻沿原路 返回B,当一车停止时另一车也随之停止.当两智能车的连线PQ与跑道所围的封闭区域△BPQ 的面积为500m2时，直接写出t的值. 学Q 图12 ■ ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第7页（共8页） 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 【综合与实践】利用剪切和拼接等活动研究特殊四边形 【剪拼矩形】(1)将平行四边形和三角形剪、拼成与原图形等面积的矩形. ①如图13-1，在平行四边ABCD中，沿过点A且与对边垂 直的线AE剪下△ABE,平移△ABE到△DCF的位置，将证 B 明四边形AEFD为矩形的过程补充完整 图13-1 证明：由平移的性质可知AE∥DF,且 ,.四边形AEFD为平行四边形 又：AEBC.∠AEC=90°， .四边形AEFD为矩形.（依据： ②图13-2是将△ABC剪开拼成矩形FGJ的一种方法，则 BC 然 图13-2 图13-3 (2)将四边形ABCD(AD∥BC)剪、拼成一个与原四边形等面积的矩形，请在图13-3中 补全剪拼过程和剪拼后的图形（在原图形上画图，用虚线表示裁剪线，箭头表示移动）； 【裁剪菱形】(3)如图13-4，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,P是边BC上的点（不与 封 点B,C重合)，以点P与对边AD的一个顶点的连线为裁剪线，将剪下的三角形与剩余 部分拼成与原矩形等面积的菱形，求BP的长度， D 图13-4 (4)如图13-5，矩形纸片ABCD中AB=3,BC=6,点E在AB上，BE=1,点F是边BC上 的动点，以EF为边剪下一个菱形EFMN,.使点N落在AD边上（包括端点），点M落在矩 线 形ABCD内或其边上，先在两个备用图中分别利用尺规画出当EN最小、最大时的菱形 EFMN,再直接写出BF长度的最大值与最小值的差， N E 图13-5 备用图 备用图 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第8页（共8页）2025~2026学年九年级第一学期第一次学业质量检测 数学（北师大版） 注意事项： 1.本试卷共8页.总分120分，考试时间120分钟 务 2.仔细审题，工整作答，保持卷面整洁 条形码粘贴处 3.考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍， 总分 题号 17 18 19 20 21 22 23 24 得分 名 选择题涂卡处 军 1 [A][B][C][D] 6[A][B][C][DJ 11[A][B][C][D g 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 12[A][B][C][D] 3[A][B][c][D] 8[A][B][c][D 4[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 5[A][B][C][D 10[A][B][C][D 阳 得 分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 也 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知口x2-4x-2=0,在口中填入一个数使其为一元二次方程，填法不正确的是( A.-4 B.0 C.1 D.4 ::: 2.如图1-1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具，斗的口呈 正方形（如图1-2），若它的一边长为1dm,则A,C之间的距离为( A.3 dm B.2 dm 线 C.V3 dm D.V2 dm 荞 3.方程(x-2)(x+3)=0的解是( 图1-1 图1-2 A.x=2 B.x=-3 . C.x1=2,x2=-3 D.x1=-2,x2-3 4.如图2，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ACB=40°， 则∠B0C=( A.100° B.95 图2 C.90° D.80° ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第1页（共8页)》 5.关于x的方程x2-6x-m=0通过配方法转化为(x-n)P=6的形式，则m+n的值为( A.-3 B.0 C.3 D.9 6.如图3，在菱形ABCD中，AC+BD=34,且菱形的周长为52，则△AOB的周长为( A.24 B.36 C.30 D.60 7.已知一元二次方程m2-7a+12=0,关于①、②下列判断正确的是( 图3 ①方程有两个不相等的实数根；②若方程的两根分别为a1,a2,则aa2-(a+a)=5 A.①②都对 B.①②都不对 C.①对②不对 D.①不对②对 8.兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是( 4 D 9.为了提高成绩，某学习小组成员每两人互提一条不同的学习建议（所有建议均不相同），小组内 一共提了42条不同的学习建议，设该小组共有x人，则可列方程为() A.x(x-1)=42 B.x(x+1)=42 C.x-1)=42 D.xx+1)=42 2 2 10.如图4，平行四边形ABCD的对角线相交于点O,尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，OC 长为半径画弧：②以点D为圆心，OD长为半径画弧：③两弧交于点E,连接DE,CE.则下列说 法一定正确的是() A.若AC⊥BD,则四边形OCED是正方形 B.若AD=CD,则四边形OCED是菱形 C.若ADLCD,则四边形OCED是正方形 图4 D.若AC=BD,则四边形OCED是菱形 11.求x2+8=33正数解的一种几何方法是：“如图5-1，构造一个面积为x2的正方形，再以正方形 的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+2×2×4=49，则该方 程的正数解为7-4=3.”按此方法解关于x的方程x2+20x+m=0时，构造的图形如图5-2所示。 若图5-2中阴影部分的面积为300，则下列不正确的是( A.图5-2中向外构造的四个矩形的面积均为5x B.方程正数解为x=10 C.方程的另一个解为x=-40 D.m的值为-300 图5-1 图5-2 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第2页（共8页） 12.如图6，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A,D分别在x轴，y轴的正半轴 上移动，点A,C之间的距离为4，连接OC.下列关于结论①、②③的判断正确的是( ①∠BAD的度数为100°；②若E为AD的中点，则0E的长始终为2； y ③线段0C长度的最大值为2V3+2 A.①②都对③错 B.①错②③都对 C.①③都错②对 D.①②③都错 图6 得分 评卷人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13.在矩形ABCD中，AC与BD交于点O,添加一个条件： (填 一个即可)，使四边形ABCD是正方形. 14.如图7，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标是(1,3)，则AC 的长是 图7 15.在一块长12m,宽8m的矩形空地上，修建如图8所示的小路，小路的宽度 相同，剩余的部分种植花草，且种植花草的面积为60m,则所修小路的宽 是 m. 图8 a2-b(a≤b), 16.定义新运算：a⊙b= ,若x⊙(2-x)=3x-2,则满足条件的x值有 个 b2-a(a-b) 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) 甲、乙两位同学解方程22-4x=5的过程如下，按要求完成下列各小题， (1)甲的解答如下，从第 步开始出错，错误原因是： 二次项系教化为1，得2x=三， 第一步 配方，得(x-1八3 …第二步 !两边开方，得x-1=±V10 2, …第三步 所以=1+V10 ,x1-V10 …第四步} (2)乙用公式法求解，将乙的解答过程补充完整。 将原方程化为一般式，得2x2-4x-5=0,这里a=2,b=-4,c=-5, ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第3页（共8页） 得分 评卷人 18.(本小题满分8分) 如图9，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.现有两个条件：a:OA=OD: b:∠DAC+∠DCA=90. (1)从条件a,b中任选一个作为已知条件，求证：四边形ABCD是矩形； (2)在(1)的基础上，若四边形ABCD的面积为18，AD=3,则AC的长为 △AB0与△ADO的周长差为 0 图9 得分 评卷人 19.(本小题满分8分) 已知关于x的方程x2-x+m=0. (1)若x与x2-nx+m的值如下表所示，直接根据表中数据可得方程x2-nx+m=0的一个解 x的取值范围是 -3 -2 -10 x2-nx+m 13 5-1-5 (2)若n=3,方程x2-nx+m=0有两个不相等的实数根. ①求m的取值范围； ②若两个根都是整数，求正整数m的值及两个根. ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第4页（共8页）】 得分 评卷人 20.(本小题满分8分) 如图10，在菱形ABCD中，O为对角线BD的中点，点E,F分别在边CD,AD上，目 DE=DF. ....... (1)求证：△ABF≌△CBE; (2)已知AD=5,BD=8,连接F0O,并延长FO交BC于点H. 密 ①求菱形ABCD的面积； ②若OF=3,直接写出四边形ABHF的周长 图10 照 得分 评卷人 21.(本小题满分9分) 封 综合实践小组调查了某商场一种商品的销售情况，甲：“该商品的进价为40元/件.” 乙：“销售单价为60元/件，每天可售出180件.”丙：“在当前售价的基础上，销售单价每 上涨1元，每天的销售量就减少5件.”设每件的销售价格上涨了x元. (1)小敏通过列表的方法整理数量关系，请把表格补充完整；（均用含x的代数式表示） 每件的利润（元） 每天的销量（件） 每天的总利润（元）》 涨价前 60-40 180 180×(60-40) 彬 涨价后 (2)商场经理：“将价格上调，使明天销售该商品的利润达到4000元.”请通过计算说明 经理的想法能否实现。 线 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第5页（共8页） 得分 评卷人 22.(本小题满分9分)》 如图11，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE,BE,以AE,BE为邻边向下作平行四 边形AFBE,P为边AB上的动点（不与点A,B重合） (1)求证：四边形AFBE是菱形； (2)当AB与AD的数量关系满足 时，四边形AFBE是正方形； (3)在(2)的基础上，若AD=a,过点P作PH⊥BF,PG⊥AF,垂足分别为H,G.嘉嘉：四边形PGFH 的周长与点P的位置无关.嘉嘉的想法是否正确？若正确，请用含α的式子表示四边形PGFH的 周长；若不正确，请说明理由 图11 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第6页（共8页） ■ 得分评卷人 23.(本小题满分11分) 如图12，科技社团在矩形跑道ABCD上进行智能车性能测试，已知AB=60m,BC=80m (1)科技社团的社长在老师的培训下，学会了智能车的某项操作，回到社团后，他第一天教会了x 名同学，第二天会该项操作的每名同学又各教会了x名同学，这样全社团49人恰好都会此项操 作，根据题意可列方程为 (2)智能车P(看作点P)从点A开始以10/s的速度沿边AB向终点B行驶，与此同时，智能车Q (看作点Q)从点B开始以20/s的速度沿边BC向终点C行驶，设运动时间为ts(t>0). ①BQ= m,BP= m;(均用含t的代数式表示) ②当两智能车之间的直线距离PQ为60m时，求智能车P与其终点的距离； ③若两智能车的行驶速度保持不变，且智能车P的终点不变，智能车Q在到达点C后立刻沿原路 返回B,当一车停止时另一车也随之停止.当两智能车的连线PQ与跑道所围的封闭区域△BPQ 的面积为500m2时，直接写出t的值. 学Q 图12 ■ ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第7页（共8页） 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 【综合与实践】利用剪切和拼接等活动研究特殊四边形 【剪拼矩形】(1)将平行四边形和三角形剪、拼成与原图形等面积的矩形. ①如图13-1，在平行四边ABCD中，沿过点A且与对边垂 直的线AE剪下△ABE,平移△ABE到△DCF的位置，将证 B 明四边形AEFD为矩形的过程补充完整 图13-1 证明：由平移的性质可知AE∥DF,且 ,.四边形AEFD为平行四边形 又：AEBC.∠AEC=90°， .四边形AEFD为矩形.（依据： ②图13-2是将△ABC剪开拼成矩形FGJ的一种方法，则 BC 然 图13-2 图13-3 (2)将四边形ABCD(AD∥BC)剪、拼成一个与原四边形等面积的矩形，请在图13-3中 补全剪拼过程和剪拼后的图形（在原图形上画图，用虚线表示裁剪线，箭头表示移动）； 【裁剪菱形】(3)如图13-4，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,P是边BC上的点（不与 封 点B,C重合)，以点P与对边AD的一个顶点的连线为裁剪线，将剪下的三角形与剩余 部分拼成与原矩形等面积的菱形，求BP的长度， D 图13-4 (4)如图13-5，矩形纸片ABCD中AB=3,BC=6,点E在AB上，BE=1,点F是边BC上 的动点，以EF为边剪下一个菱形EFMN,.使点N落在AD边上（包括端点），点M落在矩 线 形ABCD内或其边上，先在两个备用图中分别利用尺规画出当EN最小、最大时的菱形 EFMN,再直接写出BF长度的最大值与最小值的差， N E 图13-5 备用图 备用图 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第8页（共8页） 考试专用试题，禁止一切形式传播，违者必究侵权责任 2025一2026学年九年级第一学期第一次学业质量检测 数学（北师大版）参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（每小题3分，共36分） 题号 3 5 10 12 答案 B 二、（每小题3分，共12分） 13.AB=BC（答案不唯一) 14.10 15.2 16.2 三、17.解：(1)二；(2分)配方时等号右边未加1；(2分) (2)△=(4)4x2X(-5)=56>0.x(-5⑤-2±压，点x-2+,x2- -,X2= .(3分) 2×2 2 2 2 18.解：(1)选择条件a,证明：，四边形ABCD为平行四边形，OA=OD,OA=OC=OD=OB,∴AC=BD,∴.四边形 ABCD为矩形：(（4分) (或选择条件b,证明：，四边形ABCD为平行四边形，∠DAC+∠DCA=90°，∴.∠ADC=90°，∴.四边形ABCD为 矩形) (2)3√5；(2分)3.(2分) 19.解：(1)-2<x<-1；(2分) (2)①由题意得△>0，.(-3)2-4m>0,.m< 4:(2分) @方程父3x=0的解为-3生v-血。：口为正整数，且z<},时或2 2 当1时，×2生5，方程没有整数根，不符合题意合去： 2 当m=2时，方程的根为x=1,x=2,符合题意. .m=2,x=1,x2=2.(4分) 20.解：（1)证明：，四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD. .'DF=DE,∴.AF=AD-DF=CD-DE=CE,∴.△ABF≌△CBE(SAS);(3分) (2)①连接A0,,四边形ABCD是菱形，AD=5,BD=8,,0B⊥0A,OB=0D=二BD=4,∴.0A=√AB-OB2=3, 2 AC=6,.S菱形m= AC·BD=24;(3分) ②16.(2分) 21.解：(1)60-40+x;180-5x;(60-40+x)(180-5x):(6分) (2)由题意得(60-40+x)(180-5x)=4000,整理得x2-16x+80=0,△=16-4×80=-64<0. ∴经理的想法不能实现.(3分) ◇◇九年级数学（北师大版)◇◇第1页（共2页) 22.解：(1)证明：.四边形ABCD是矩形，E是边CD的中点，∴.AD=BC,∠ADC=∠BCD=90°，DE=CE, ∴.△ADE≌△BCE,∴AE=BE.又，四边形AFBE为平行四边形，∴.四边形AFBE为菱形；(3分) (2)AB=2AD;(2分) (3)嘉嘉的想法正确；(1分) ,四边形AFBE为正方形，∴.∠EBF=∠AEB=∠AFB=90°，AE=AF,.BA平分∠EBF,∴.∠ABF=45°. ,PH⊥BF,PG⊥AF,∴.∠PHB=∠PHF=∠PGF=90°，∴.△PHB为等腰直角三角形，四边形PGFH为矩形， ∴.PH=HB,PG=FH,∴.四边形PGFH的周长为2(PH+PG)=2(HB+FH)=2BF=2AE=2√2a.(3分) 23.解：（1)1+x+x(1+x)=49;(3分) (2)①20t;(60-10t);(2分) ②t秒后，BP=60-t,BQ=20t,根据勾股定理，得PQ=BP+BQ=(60-10t)2+(20t)2,当PQ=60时， 有500t2-1200t=0,解得t,=0(舍去)，t22.4,此时智能车P距终点的距离为60-2.4×10=36(m);(4分) ③t的值为1或7-√6.(2分) 【精思博考：当0<t≤4时，BQ-20t,PB=60-10t,S△=号PB~BQ=500,即×(60-10t)×20t=500,即t-6t+5=0, 2 解得t,=1,t25(舍去)· 当4<t≤6时，则CQ=20t-80,BQ=BC-CQ=160-20t,有二×(160-20t)×(60-10t)=500,即t-14t+43=0, 2 解得t=7+V6(舍去)，t=7-√6.综上所述，当S=500m时，t的值为1或7-√6】 24.解：（1)①AE=DF;⊥；有一个角是直角的平行四边形是矩形；（3分) e分：2分) (2)如图1（方法不唯一）；(2分) 24题图1 (3)如图2，当点P靠近点B时，PD为裁剪线，将△PCD向左平移拼成菱形AEPD, ∴.PE=AE=AD=4,AB=2,根据勾股定理可得BE=2V3,∴.BP=4-2√3： B P 如图3，当点P靠近点C时，AP为裁剪线，将△ABP向右平移拼成菱形APED,同理可 24题图2 得CE=2√，∴BP=2√.综上所述，BP的长度为2√3或4-2√3；(2分) (4)如图4：(2分)B那长度的最大值与最小值的差为13-5，(1分) 4 24题图3 【精思博考：当点N与点A重合时，EN最小，如图4左图， 此时点F距点B最近，EF=AE=AB-BE=2,∴，BF=VEF2-BE2=V; A(N) 大M 当EN最大时，如图4右图，此时点F距点B最远. ,四边形ABCD为矩形，.AD∥BC,.∠FND=∠NFB. ,四边形EFN为菱形，∴.∠MNF=∠ENF=∠EFN=∠MFN, 24题图4 .∴.∠BFE=∠MND. 又.'∠ABC=∠MDN,EF=MN,∴.△BFE≌△DM,.BE=DME1,BF=DN,∴.AN=AD-DN=6-DN 在Rt△AEN和Rt△DMN中，由勾股定理得EN=AE+AN,Mr=DMf+DN,∴AE+Ar=DM+DN,解得DN=13,.BF=DN=13 4 4 综上，B那长度的最大值与最小值的差为3-5】 4 ◇◇九年级数学（北师大版)◇◇第2页（共2页）考试专用试题，禁止一切形式传播，违者必究侵权责任 2025一2026学年九年级第一学期第一次学业质量检测 数学（北师大版）参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（每小题3分，共36分） 题号 3 5 10 12 答案 B 二、（每小题3分，共12分） 13.AB=BC（答案不唯一) 14.10 15.2 16.2 三、17.解：(1)二；(2分)配方时等号右边未加1；(2分) (2)△=(4)4x2X(-5)=56>0.x(-5⑤-2±压，点x-2+,x2- -,X2= .(3分) 2×2 2 2 2 18.解：(1)选择条件a,证明：，四边形ABCD为平行四边形，OA=OD,OA=OC=OD=OB,∴AC=BD,∴.四边形 ABCD为矩形：(（4分) (或选择条件b,证明：，四边形ABCD为平行四边形，∠DAC+∠DCA=90°，∴.∠ADC=90°，∴.四边形ABCD为 矩形) (2)3√5；(2分)3.(2分) 19.解：(1)-2<x<-1；(2分) (2)①由题意得△>0，.(-3)2-4m>0,.m< 4:(2分) @方程父3x=0的解为-3生v-血。：口为正整数，且z<},时或2 2 当1时，×2生5，方程没有整数根，不符合题意合去： 2 当m=2时，方程的根为x=1,x=2,符合题意. .m=2,x=1,x2=2.(4分) 20.解：（1)证明：，四边形ABCD是菱形，∴.AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD. .'DF=DE,∴.AF=AD-DF=CD-DE=CE,∴.△ABF≌△CBE(SAS);(3分) (2)①连接A0,,四边形ABCD是菱形，AD=5,BD=8,,0B⊥0A,OB=0D=二BD=4,∴.0A=√AB-OB2=3, 2 AC=6,.S菱形m= AC·BD=24;(3分) ②16.(2分) 21.解：(1)60-40+x;180-5x;(60-40+x)(180-5x):(6分) (2)由题意得(60-40+x)(180-5x)=4000,整理得x2-16x+80=0,△=16-4×80=-64<0. ∴经理的想法不能实现.(3分) ◇◇九年级数学（北师大版)◇◇第1页（共2页) 22.解：(1)证明：.四边形ABCD是矩形，E是边CD的中点，∴.AD=BC,∠ADC=∠BCD=90°，DE=CE, ∴.△ADE≌△BCE,∴AE=BE.又，四边形AFBE为平行四边形，∴.四边形AFBE为菱形；(3分) (2)AB=2AD;(2分) (3)嘉嘉的想法正确；(1分) ,四边形AFBE为正方形，∴.∠EBF=∠AEB=∠AFB=90°，AE=AF,.BA平分∠EBF,∴.∠ABF=45°. ,PH⊥BF,PG⊥AF,∴.∠PHB=∠PHF=∠PGF=90°，∴.△PHB为等腰直角三角形，四边形PGFH为矩形， ∴.PH=HB,PG=FH,∴.四边形PGFH的周长为2(PH+PG)=2(HB+FH)=2BF=2AE=2√2a.(3分) 23.解：（1)1+x+x(1+x)=49;(3分) (2)①20t;(60-10t);(2分) ②t秒后，BP=60-t,BQ=20t,根据勾股定理，得PQ=BP+BQ=(60-10t)2+(20t)2,当PQ=60时， 有500t2-1200t=0,解得t,=0(舍去)，t22.4,此时智能车P距终点的距离为60-2.4×10=36(m);(4分) ③t的值为1或7-√6.(2分) 【精思博考：当0<t≤4时，BQ-20t,PB=60-10t,S△=号PB~BQ=500,即×(60-10t)×20t=500,即t-6t+5=0, 2 解得t,=1,t25(舍去)· 当4<t≤6时，则CQ=20t-80,BQ=BC-CQ=160-20t,有二×(160-20t)×(60-10t)=500,即t-14t+43=0, 2 解得t=7+V6(舍去)，t=7-√6.综上所述，当S=500m时，t的值为1或7-√6】 24.解：（1)①AE=DF;⊥；有一个角是直角的平行四边形是矩形；（3分) e分：2分) (2)如图1（方法不唯一）；(2分) 24题图1 (3)如图2，当点P靠近点B时，PD为裁剪线，将△PCD向左平移拼成菱形AEPD, ∴.PE=AE=AD=4,AB=2,根据勾股定理可得BE=2V3,∴.BP=4-2√3： B P 如图3，当点P靠近点C时，AP为裁剪线，将△ABP向右平移拼成菱形APED,同理可 24题图2 得CE=2√，∴BP=2√.综上所述，BP的长度为2√3或4-2√3；(2分) (4)如图4：(2分)B那长度的最大值与最小值的差为13-5，(1分) 4 24题图3 【精思博考：当点N与点A重合时，EN最小，如图4左图， 此时点F距点B最近，EF=AE=AB-BE=2,∴，BF=VEF2-BE2=V; A(N) 大M 当EN最大时，如图4右图，此时点F距点B最远. ,四边形ABCD为矩形，.AD∥BC,.∠FND=∠NFB. ,四边形EFN为菱形，∴.∠MNF=∠ENF=∠EFN=∠MFN, 24题图4 .∴.∠BFE=∠MND. 又.'∠ABC=∠MDN,EF=MN,∴.△BFE≌△DM,.BE=DME1,BF=DN,∴.AN=AD-DN=6-DN 在Rt△AEN和Rt△DMN中，由勾股定理得EN=AE+AN,Mr=DMf+DN,∴AE+Ar=DM+DN,解得DN=13,.BF=DN=13 4 4 综上，B那长度的最大值与最小值的差为3-5】 4 ◇◇九年级数学（北师大版)◇◇第2页（共2页）2025~2026学年九年级第一学期第一次学业质量检测 数学（北师大版） 中 注意事项： 1.本试卷共8页.总分120分，考试时间120分钟 2.仔细审题，工整作答，保持卷面整洁」 磨 条形码粘贴处 3.考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍， 三 总分 题号 17 18 20 21 22 23 24 然 得分 总 选择题涂卡处 神 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 妙 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D 12[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][c][D 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D 得 分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 地 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知☐x2-4x-2=0,在口中填入一个数使其为一元二次方程，填法不正确的是( A.-4 B.0 黛 * C.1 D.4 2.如图1-1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具，斗的口呈 正方形（如图1-2），若它的一边长为1dm,则A,C之间的距离为( A.3 dm B.2 dm 线 C.V3 dm D.V2 dm 3.方程(x-2)(x+3)=0的解是( 图1-1 图1-2 A.x=2 B.x=-3 C.x1=2,x2=-3 D.x1=-2,x2=3 4.如图2，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ACB=40° M 则∠B0C=( 国量 A.100° B.95° 图2 C.909 D.80° ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第1页（共8页） 5.关于x的方程x2-6x-m=0通过配方法转化为(x-n)2=6的形式，则m+n的值为() A.-3 B.0 C.3 D.9 6.如图3，在菱形ABCD中，AC+BD=34,且菱形的周长为52，则△AOB的周长为( A.24 B.36 C.30 D.60 7.已知一元二次方程d-7a+12=0,关于①、②下列判断正确的是( 图3 ①方程有两个不相等的实数根；②若方程的两根分别为a1,2,则a2-(a+2)=5 A.①②都对 B.①②都不对 C.①对②不对 D.①不对②对 8.兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是() 4 A. 33 D. 9.为了提高成绩，某学习小组成员每两人互提一条不同的学习建议（所有建议均不相同），小组内 一共提了42条不同的学习建议，设该小组共有x人，则可列方程为() A.x(x-1)=42 B.x(x+1)=42 C.x(-1）=42 D.x(x+1）=42 2 2 10.如图4，平行四边形ABCD的对角线相交于点O,尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，OC 长为半径画弧；②以点D为圆心，OD长为半径画弧；③两弧交于点E,连接DE,CE.则下列说 法一定正确的是() A.若AC⊥BD,则四边形OCED是正方形 B.若AD=CD,则四边形OCED是菱形 C.若AD⊥CD,则四边形OCED是正方形 图4 D.若AC=BD,则四边形OCED是菱形 11.求x2+8x=33正数解的一种几何方法是：“如图5-1，构造一个面积为x2的正方形，再以正方形 的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+2×2×4=49，则该方 程的正数解为7-4=3.”按此方法解关于x的方程x2+20x+m=0时，构造的图形如图5-2所示. 若图5-2中阴影部分的面积为300，则下列不正确的是( A.图5-2中向外构造的四个矩形的面积均为5x B.方程正数解为x=10 C.方程的另一个解为x=-40 2 D.m的值为-300 图5-1 图5-2 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第2页（共8页） 12.如图6，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A,D分别在x轴，y轴的正半轴 上移动，点A,C之间的距离为4，连接OC.下列关于结论①、②、③的判断正确的是( ①∠BAD的度数为100°；②若E为AD的中点，则0E的长始终为2； ③线段0C长度的最大值为2V3+2 A.①②都对③错 B.①错②③都对 D C.①③都错②对 D.①②③都错 A 图6 得分 评卷人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13.在矩形ABCD中，AC与BD交于点O,添加一个条件： (填 一个即可)，使四边形ABCD是正方形 14.如图7，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标是(1,3)，则AC 的长是 图7 15.在一块长12m,宽8m的矩形空地上，修建如图8所示的小路，小路的宽度 相同，剩余的部分种植花草，且种植花草的面积为602，则所修小路的宽 是 m. 图8 a2-b(a≤b) 16.定义新运算：a⊙b= ,若x⊙(2-x)=3x-2,则满足条件的x值有 个 b2-a(a-b) 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) 甲、乙两位同学解方程2x2-4x=5的过程如下，按要求完成下列各小题. (1)甲的解答如下，从第 步开始出错，错误原因是： 二次项系数化为1，得2x5, 2 …第一步 配方，得1八广号 …第二步 两边开方，得x-1=±V0 …第三步！ 2 所以x,=1+V10 ,1-V10 …第四步 (2)乙用公式法求解，将乙的解答过程补充完整 1将原方程化为一般式，得2x2-4x-5=0,这里a=2,b=-4,c=-5, ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第3页（共8页） 得 分 评卷人 18.(本小题满分8分) 如图9，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.现有两个条件：a:OA=OD; b:∠DAC+∠DCA=90°. (1)从条件a,b中任选一个作为已知条件，求证：四边形ABCD是矩形； (2)在(1)的基础上，若四边形ABCD的面积为18，AD=3,则AC的长为 △AB0与△ADO的周长差为 图9 存 得分 评卷人 19.(本小题满分8分) 已知关于x的方程x2-nx+m=0. (1)若x与x2-x+m的值如下表所示，直接根据表中数据可得方程x2-x+m=0的一个解 x的取值范围是 ； x -3 -2 -1 0 x2-nx+m 13 5 -1 -5 絲 (2)若n=3,方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根. ①求m的取值范围； ②若两个根都是整数，求正整数m的值及两个根. ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第4页（共8页） . 得分 评卷人 20.(本小题满分8分) 如图10，在菱形ABCD中，O为对角线BD的中点，点E,F分别在边CD,AD上，且 DE=DF. : (1)求证：△ABF≌△CBE; (2)已知AD=5,BD=8,连接FO,并延长FO交BC于点H. 密 ①求菱形ABCD的面积； ②若OF-3,直接写出四边形ABHF的周长 图10 照 得分 评卷人 21.（本小题满分9分) 封 综合实践小组调查了某商场一种商品的销售情况，甲：“该商品的进价为40元/件.” : 乙：“销售单价为60元/件，每天可售出180件.”丙：“在当前售价的基础上，销售单价每 上涨1元，每天的销售量就减少5件.”设每件的销售价格上涨了x元. (1)小敏通过列表的方法整理数量关系，请把表格补充完整；（均用含x的代数式表示） 每件的利润（元） 每天的销量（件） 每天的总利润（元） 涨价前 60-40 180 180×(60-40) 涨价后 (2)商场经理：“将价格上调，使明天销售该商品的利润达到4000元.”请通过计算说明 经理的想法能否实现， 线 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第5页（共8页） ■ 得分 评卷人 22.(本小题满分9分) 如图11，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE,BE,以AE,BE为邻边向下作平行四 边形AFBE,P为边AB上的动点（不与点A,B重合） (1)求证：四边形AFBE是菱形； (2)当AB与AD的数量关系满足 时，四边形AFBE是正方形； (3)在(2)的基础上，若AD=a,过点P作PH⊥BF,PG⊥AF,垂足分别为H,G.嘉嘉：四边形PGFH 的周长与点P的位置无关.嘉嘉的想法是否正确？若正确，请用含a的式子表示四边形PGFH的 周长；若不正确，请说明理由、 G 图11 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第6页（共8页） ■ 得分 评卷人 23.(本小题满分11分) 如图12，科技社团在矩形跑道ABCD上进行智能车性能测试，已知AB=60m,BC=80m (1)科技社团的社长在老师的培训下，学会了智能车的某项操作，回到社团后，他第一天教会了x 名同学，第二天会该项操作的每名同学又各教会了x名同学，这样全社团49人恰好都会此项操 作.根据题意可列方程为 (2)智能车P(看作点P)从点A开始以10m/s的速度沿边AB向终点B行驶，与此同时，智能车Q (看作点Q)从点B开始以20m/s的速度沿边BC向终点C行驶，设运动时间为ts(t>0). ①BQ= m,BP- m;(均用含t的代数式表示) ②当两智能车之间的直线距离PQ为60m时，求智能车P与其终点的距离； ③若两智能车的行驶速度保持不变，且智能车P的终点不变，智能车Q在到达点C后立刻沿原路 返回B,当一车停止时另一车也随之停止.当两智能车的连线PQ与跑道所围的封闭区域△BPQ 的面积为500m2时，直接写出t的值. D 学Q 图12 ■ ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第7页（共8页） 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 【综合与实践】利用剪切和拼接等活动研究特殊四边形. 【剪拼矩形】(1)将平行四边形和三角形剪、拼成与原图形等面积的矩形 ①如图13-1，在平行四边ABCD中，沿过点A且与对边垂 直的线AE剪下△ABE,平移△ABE到△DCF的位置，将证 明四边形AEFD为矩形的过程补充完整 图13-1 密 证明：由平移的性质可知AE∥DF,且 ,.四边形AED为平行四边形 又AEBC,.∠AEC=90°， 四边形AEFD为矩形.（依据： ②图13-2是将△ABC剪开拼成矩形FGJ的一种方法，则FC BC 轻 食 G 图13 图13-3 (2)将四边形ABCD(AD∥BC)剪、拼成一个与原四边形等面积的矩形，请在图13-3中 补全剪拼过程和剪拼后的图形（在原图形上画图，用虚线表示裁剪线，箭头表示移动）： 【裁剪菱形】(3)如图13-4，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,P是边BC上的点（不与 点B,C重合)，以点P与对边AD的一个顶点的连线为裁剪线，将剪下的三角形与剩余 部分拼成与原矩形等面积的菱形，求BP的长度. 0 图13-4 (4)如图13-5，矩形纸片ABCD中AB=3,BC=6,点E在AB上，BE=1,点F是边BC上 的动点，以EF为边剪下一个菱形EFMN,使点N落在AD边上（包括端点），点M落在矩 线 形ABCD内或其边上.先在两个备用图中分别利用尺规画出当EN最小、最大时的菱形 EFMN,再直接写出BF长度的最大值与最小值的差. 图13-5 备用图 备用图 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第8页（共8页）2025~2026学年九年级第一学期第一次学业质量检测 数学（北师大版） 中 注意事项： 1.本试卷共8页.总分120分，考试时间120分钟 2.仔细审题，工整作答，保持卷面整洁」 磨 条形码粘贴处 3.考生完成试卷后，务必从头到尾认真检查一遍， 三 总分 题号 17 18 20 21 22 23 24 然 得分 总 选择题涂卡处 神 1[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 妙 2[A][B][C][D] 7[A][B][C][D 12[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 9[A][B][c][D 5[A][B][C][D] 10[A][B][C][D 得 分 评卷人 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分.在每小题 地 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知☐x2-4x-2=0,在口中填入一个数使其为一元二次方程，填法不正确的是( A.-4 B.0 黛 * C.1 D.4 2.如图1-1，古代叫“斗”，官仓、粮栈、米行、家里等都是必备的粮食度量用具，斗的口呈 正方形（如图1-2），若它的一边长为1dm,则A,C之间的距离为( A.3 dm B.2 dm 线 C.V3 dm D.V2 dm 3.方程(x-2)(x+3)=0的解是( 图1-1 图1-2 A.x=2 B.x=-3 C.x1=2,x2=-3 D.x1=-2,x2=3 4.如图2，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠ACB=40° M 则∠B0C=( 国量 A.100° B.95° 图2 C.909 D.80° ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第1页（共8页） 5.关于x的方程x2-6x-m=0通过配方法转化为(x-n)2=6的形式，则m+n的值为() A.-3 B.0 C.3 D.9 6.如图3，在菱形ABCD中，AC+BD=34,且菱形的周长为52，则△AOB的周长为( A.24 B.36 C.30 D.60 7.已知一元二次方程d-7a+12=0,关于①、②下列判断正确的是( 图3 ①方程有两个不相等的实数根；②若方程的两根分别为a1,2,则a2-(a+2)=5 A.①②都对 B.①②都不对 C.①对②不对 D.①不对②对 8.兴趣小组的同学用木棒做了4个相框，下面是他们的测量结果，则不一定是矩形的相框是() 4 A. 33 D. 9.为了提高成绩，某学习小组成员每两人互提一条不同的学习建议（所有建议均不相同），小组内 一共提了42条不同的学习建议，设该小组共有x人，则可列方程为() A.x(x-1)=42 B.x(x+1)=42 C.x(-1）=42 D.x(x+1）=42 2 2 10.如图4，平行四边形ABCD的对角线相交于点O,尺规作图操作步骤如下：①以点C为圆心，OC 长为半径画弧；②以点D为圆心，OD长为半径画弧；③两弧交于点E,连接DE,CE.则下列说 法一定正确的是() A.若AC⊥BD,则四边形OCED是正方形 B.若AD=CD,则四边形OCED是菱形 C.若AD⊥CD,则四边形OCED是正方形 图4 D.若AC=BD,则四边形OCED是菱形 11.求x2+8x=33正数解的一种几何方法是：“如图5-1，构造一个面积为x2的正方形，再以正方形 的边长为一边向外构造四个面积为2x的矩形，得到大正方形的面积为33+2×2×4=49，则该方 程的正数解为7-4=3.”按此方法解关于x的方程x2+20x+m=0时，构造的图形如图5-2所示. 若图5-2中阴影部分的面积为300，则下列不正确的是( A.图5-2中向外构造的四个矩形的面积均为5x B.方程正数解为x=10 C.方程的另一个解为x=-40 2 D.m的值为-300 图5-1 图5-2 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第2页（共8页） 12.如图6，在平面直角坐标系中，边长为4的菱形ABCD的顶点A,D分别在x轴，y轴的正半轴 上移动，点A,C之间的距离为4，连接OC.下列关于结论①、②、③的判断正确的是( ①∠BAD的度数为100°；②若E为AD的中点，则0E的长始终为2； ③线段0C长度的最大值为2V3+2 A.①②都对③错 B.①错②③都对 D C.①③都错②对 D.①②③都错 A 图6 得分 评卷人 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13.在矩形ABCD中，AC与BD交于点O,添加一个条件： (填 一个即可)，使四边形ABCD是正方形 14.如图7，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标是(1,3)，则AC 的长是 图7 15.在一块长12m,宽8m的矩形空地上，修建如图8所示的小路，小路的宽度 相同，剩余的部分种植花草，且种植花草的面积为602，则所修小路的宽 是 m. 图8 a2-b(a≤b) 16.定义新运算：a⊙b= ,若x⊙(2-x)=3x-2,则满足条件的x值有 个 b2-a(a-b) 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 得分 评卷人 17.(本小题满分7分) 甲、乙两位同学解方程2x2-4x=5的过程如下，按要求完成下列各小题. (1)甲的解答如下，从第 步开始出错，错误原因是： 二次项系数化为1，得2x5, 2 …第一步 配方，得1八广号 …第二步 两边开方，得x-1=±V0 …第三步！ 2 所以x,=1+V10 ,1-V10 …第四步 (2)乙用公式法求解，将乙的解答过程补充完整 1将原方程化为一般式，得2x2-4x-5=0,这里a=2,b=-4,c=-5, ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第3页（共8页） 得 分 评卷人 18.(本小题满分8分) 如图9，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O.现有两个条件：a:OA=OD; b:∠DAC+∠DCA=90°. (1)从条件a,b中任选一个作为已知条件，求证：四边形ABCD是矩形； (2)在(1)的基础上，若四边形ABCD的面积为18，AD=3,则AC的长为 △AB0与△ADO的周长差为 图9 存 得分 评卷人 19.(本小题满分8分) 已知关于x的方程x2-nx+m=0. (1)若x与x2-x+m的值如下表所示，直接根据表中数据可得方程x2-x+m=0的一个解 x的取值范围是 ； x -3 -2 -1 0 x2-nx+m 13 5 -1 -5 絲 (2)若n=3,方程x2-x+m=0有两个不相等的实数根. ①求m的取值范围； ②若两个根都是整数，求正整数m的值及两个根. ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第4页（共8页） . 得分 评卷人 20.(本小题满分8分) 如图10，在菱形ABCD中，O为对角线BD的中点，点E,F分别在边CD,AD上，且 DE=DF. : (1)求证：△ABF≌△CBE; (2)已知AD=5,BD=8,连接FO,并延长FO交BC于点H. 密 ①求菱形ABCD的面积； ②若OF-3,直接写出四边形ABHF的周长 图10 照 得分 评卷人 21.（本小题满分9分) 封 综合实践小组调查了某商场一种商品的销售情况，甲：“该商品的进价为40元/件.” : 乙：“销售单价为60元/件，每天可售出180件.”丙：“在当前售价的基础上，销售单价每 上涨1元，每天的销售量就减少5件.”设每件的销售价格上涨了x元. (1)小敏通过列表的方法整理数量关系，请把表格补充完整；（均用含x的代数式表示） 每件的利润（元） 每天的销量（件） 每天的总利润（元） 涨价前 60-40 180 180×(60-40) 涨价后 (2)商场经理：“将价格上调，使明天销售该商品的利润达到4000元.”请通过计算说明 经理的想法能否实现， 线 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第5页（共8页） ■ 得分 评卷人 22.(本小题满分9分) 如图11，在矩形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE,BE,以AE,BE为邻边向下作平行四 边形AFBE,P为边AB上的动点（不与点A,B重合） (1)求证：四边形AFBE是菱形； (2)当AB与AD的数量关系满足 时，四边形AFBE是正方形； (3)在(2)的基础上，若AD=a,过点P作PH⊥BF,PG⊥AF,垂足分别为H,G.嘉嘉：四边形PGFH 的周长与点P的位置无关.嘉嘉的想法是否正确？若正确，请用含a的式子表示四边形PGFH的 周长；若不正确，请说明理由、 G 图11 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第6页（共8页） ■ 得分 评卷人 23.(本小题满分11分) 如图12，科技社团在矩形跑道ABCD上进行智能车性能测试，已知AB=60m,BC=80m (1)科技社团的社长在老师的培训下，学会了智能车的某项操作，回到社团后，他第一天教会了x 名同学，第二天会该项操作的每名同学又各教会了x名同学，这样全社团49人恰好都会此项操 作.根据题意可列方程为 (2)智能车P(看作点P)从点A开始以10m/s的速度沿边AB向终点B行驶，与此同时，智能车Q (看作点Q)从点B开始以20m/s的速度沿边BC向终点C行驶，设运动时间为ts(t>0). ①BQ= m,BP- m;(均用含t的代数式表示) ②当两智能车之间的直线距离PQ为60m时，求智能车P与其终点的距离； ③若两智能车的行驶速度保持不变，且智能车P的终点不变，智能车Q在到达点C后立刻沿原路 返回B,当一车停止时另一车也随之停止.当两智能车的连线PQ与跑道所围的封闭区域△BPQ 的面积为500m2时，直接写出t的值. D 学Q 图12 ■ ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第7页（共8页） 得分 评卷人 24.(本小题满分12分) 【综合与实践】利用剪切和拼接等活动研究特殊四边形. 【剪拼矩形】(1)将平行四边形和三角形剪、拼成与原图形等面积的矩形 ①如图13-1，在平行四边ABCD中，沿过点A且与对边垂 直的线AE剪下△ABE,平移△ABE到△DCF的位置，将证 明四边形AEFD为矩形的过程补充完整 图13-1 密 证明：由平移的性质可知AE∥DF,且 ,.四边形AED为平行四边形 又AEBC,.∠AEC=90°， 四边形AEFD为矩形.（依据： ②图13-2是将△ABC剪开拼成矩形FGJ的一种方法，则FC BC 轻 食 G 图13 图13-3 (2)将四边形ABCD(AD∥BC)剪、拼成一个与原四边形等面积的矩形，请在图13-3中 补全剪拼过程和剪拼后的图形（在原图形上画图，用虚线表示裁剪线，箭头表示移动）： 【裁剪菱形】(3)如图13-4，在矩形ABCD中，AB=2,BC=4,P是边BC上的点（不与 点B,C重合)，以点P与对边AD的一个顶点的连线为裁剪线，将剪下的三角形与剩余 部分拼成与原矩形等面积的菱形，求BP的长度. 0 图13-4 (4)如图13-5，矩形纸片ABCD中AB=3,BC=6,点E在AB上，BE=1,点F是边BC上 的动点，以EF为边剪下一个菱形EFMN,使点N落在AD边上（包括端点），点M落在矩 线 形ABCD内或其边上.先在两个备用图中分别利用尺规画出当EN最小、最大时的菱形 EFMN,再直接写出BF长度的最大值与最小值的差. 图13-5 备用图 备用图 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第8页（共8页） 考试专用试题，禁止一切形式传播，违者必究侵权责任 2025一2026学年九年级第一学期第一次学业质量检测 数学（北师大版）参考答案 评分说明： 1.本答案仅供参考，若考生答案与本答案不一致，只要正确，同样得分 2.若答案不正确，但解题过程正确，可酌情给分 一、（每小题3分，共36分） 题号 3 5 10 12 答案 二、（每小题3分，共12分） 13.AB=BC（答案不唯一) 14.10 15.2 16.2 三、17.解：(1)二；(2分)配方时等号右边未加1；(2分) (2)△=(-4)2-4X2×(-5)=56>0,∴.x= (-4±5⑤-2±厘，x=2+4,x=2=4.（3分) -，X2= 2×2 2 2 2 18.解：(1)选择条件a,证明：，四边形ABCD为平行四边形，OA=OD,.0A=OC=0D=OB,∴AC=BD,.四边形 ABCD为矩形：(4分) (或选择条件b,证明：，四边形ABCD为平行四边形，∠DAC+∠DCA=90°，∴.∠ADC=90°，∴.四边形ABCD为 矩形) (2)3√5；(2分)3.(2分) 19.解：(1)-2<x<-1;(2分) (2)①由题意得△>0，.(-3)2-4m>0,.m< 4:(2分) @方程父3x=0的解为-3生v-血。：口为正整数，且z<},∴日或2 2 3±V5 当m=1时，= 2 ,方程没有整数根，不符合题意舍去： 当m=2时，方程的根为x=1,x=2,符合题意. ∴.m=2,8=1,x2=2.(4分) 20.解：（1)证明：，四边形ABCD是菱形，.AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD. ,'DF=DE,∴.AF=AD-DF=CD-DE=CE,∴.△ABF≌△CBE(SAS);(3分) (2)①连接A0,,四边形ABCD是菱形，AD=5,BD=8,.0B⊥0A,OB=0D=二BD=4,∴.0A=√AB-OB2=3, 2 AC=6,.S菱形n 2AC·BD-24:(3分) 2 ②16.(2分) 21.解：(1)60-40+x:180-5x:(60-40+x)(180-5x):(6分) (2)由题意得(60-40+x)(180-5x)=4000,整理得x2-16x+80=0,△=162-4×80=-64<0. ∴.经理的想法不能实现.(3分) ◇◇九年级数学（北师大版)◇◇第1页（共2页) 22.解：(1)证明：.四边形ABCD是矩形，E是边CD的中点，∴.AD=BC,∠ADC=∠BCD=90°，DE=CE, ∴.△ADE≌△BCE,∴AE=BE.又，四边形AFBE为平行四边形，∴.四边形AFBE为菱形；(3分) (2)AB=2AD;(2分) (3)嘉嘉的想法正确；(1分) ,四边形AFBE为正方形，∴.∠EBF=∠AEB=∠AFB=90°，AE=AF,.BA平分∠EBF,∴.∠ABF=45°. ,PH⊥BF,PG⊥AF,∴.∠PHB=∠PHF=∠PGF=90°，∴.△PHB为等腰直角三角形，四边形PGFH为矩形， ∴.PH=HB,PG=FH,∴.四边形PGFH的周长为2(PH+PG)=2(HB+FH)=2BF=2AE=2√2a.(3分) 23.解：（1)1+x+x（1+x)=49;(3分) (2)①①20t;(60-10t);(2分) ②t秒后，BP=60-t,BQ=20t,根据勾股定理，得PQ=BP+BQ=(60-10t)2+(20t)2,当PQ=60时， 有500t2-1200t=0,解得t,=0(舍去)，t22.4,此时智能车P距终点的距离为60-2.4×10=36(m);(4分) ③t的值为1或7-√6.(2分) 【精思博考：当0<t≤4时，BQ-20t,PB=60-10t,S△=号PB~BQ=500,即×(60-10t)×20t=500,即t-6t+5=0, 2 解得t,=1,t5（舍去)· 当4<t≤6时，则CQ=20t-80,BQ=BC-0Q=160-20t,有二×(160-20t)×(60-10t)=500,即t2-14t+43=0, 解得t=7+V6(舍去)，t=7-√6.综上所述，当S=500m时，t的值为1或7-√6】 24.解：（1)①AE=DF;⊥；有一个角是直角的平行四边形是矩形；（3分) ②时：(2分) (2)如图1（方法不唯一）；(2分) 24题图1 (3)如图2，当点P靠近点B时，PD为裁剪线，将△PCD向左平移拼成菱形AEPD, ∴.PE=AE=AD=4,AB=2,根据勾股定理可得BE=2V3,∴.BP=4-2√3： B P 如图3，当点P靠近点C时，AP为裁剪线，将△ABP向右平移拼成菱形APED,同理可 24题图2 得CE=2√3，，BP=2√3.综上所述，BP的长度为2V5或4-2√3；(2分) (4)如图4：(2分)B那长度的最大值与最小值的差为3-5，(1分) P C 4 24题图3 【精思博考：当点N与点A重合时，EN最小，如图4左图， 此时点F距点B最近，F=AE=AB-BE=2,∴，BF=VEF2-BE2=V3; A(N) 大M 当EN最大时，如图4右图，此时点F距点B最远. ,四边形ABCD为矩形，.AD∥BC,∠FND=∠NFB. ,四边形EFN为菱形，.∠MNF=∠ENF=∠EFN=∠MFN, 24题图4 .∴.∠BFE=∠MND. 又.'∠ABC=∠MDN,EF=MN,∴.△BFE≌△DM,.BE=DM=1,BF=DN,∴.AN=AD-DN=6-DN 在Rt△AEN和Rt△DMN中，由勾股定理得EN=AE+AN,Mr=DMF+DN,∴AE+Ar=DM+DN,解得DN=13,.BF=DN=13 4 4 综上，那长度的最大值与最小值的差为3-5】 4 ◇◇九年级数学（北师大版）◇◇第2页（共2页)