作差法比较大小、不等式的性质、利用不等式的性质求范围、解不等式专项训练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

作差法比较大小、不等式的性质、利用不等式的性质求范围、解不等式专项训练 作差法比较大小、不等式的性质、利用不等式的性质求范围、解不等式专项训练 考点目录 作差法比较大小 不等式的性质 利用不等式的性质求范围 解二次不等式、分式不等式与高次不等式 考点一 作差法比较大小 1．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．与的取值有关 3．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定的 4．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）若，设，则M，N的大小关系是 ． 6．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习），，则，的大小关系为 ． 7．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ． 8．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知，若，，则的大小关系是 ． 考点二 不等式的性质 1．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习·多选）对于实数、、，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．（24-25高二下·宁夏石嘴山·期中·多选）下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D． 3．（24-25高二下·河北沧州·期末·多选）下面说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 4．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试·多选）若，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 5．（25-26高三上·陕西西安·开学考试·多选）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试·多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26高一上·河北衡水·开学考试·多选）下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若且，则 C．若且，则； D．若，则 8．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习·多选）已知均为实数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若， 考点三 利用不等式的性质求范围 1．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·广西崇左·开学考试）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·贵州·阶段练习·多选）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·陕西渭南·期末·多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数x、y满足:则 的取值范围是 8．（2025·吉林长春·二模）正整数满足，则的最大值为 ． 9．（24-25高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是 . 10．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的取值范围是 . 11．（25-26高一上·山西太原·阶段练习）已知，，分别求，的取值范围． 12．（24-25高二下·天津南开·阶段练习）（1）已知实数、满足，.求的取值范围. （2）已知，求的最小值. 13．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知正数a，b满足，求的最大值； （2）已知，，求的取值范围． 14．（25-26高三上·安徽·阶段练习）（1）已知，，求的取值范围； （2）已知，且，求的最小值. 15．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 16．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）（1）试比较与的大小 （2）已知，，求，的取值范围. 考点四 解二次不等式、分式不等式与高次不等式 1．（2025高二下·湖南·学业考试）已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·辽宁·期中）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·天津·开学考试）设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习·多选）不等式的解集是，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·广东江门·期中·多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 7．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）不等式的解集为 ． 8．（23-24高一上·上海·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 9．（25-26高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 10．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 11．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知命题，命题：关于的不等式的解集为， (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 12．（23-24高一上·四川广安·阶段练习）已知函数. (1)对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $作差法比较大小、不等式的性质、利用不等式的性质求范围、解不等式专项训练 作差法比较大小、不等式的性质、利用不等式的性质求范围、解不等式专项训练 考点目录 作差法比较大小 不等式的性质 利用不等式的性质求范围 解二次不等式、分式不等式与高次不等式 考点一 作差法比较大小 1．（24-25高一上·新疆和田·期末）已知，则与大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以. 故选：C. 2．（24-25高一上·广东佛山·期中）已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D．与的取值有关 【答案】B 【详解】因为， 所以， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．不确定的 【答案】A 【详解】，故. 故选：A. 4．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）若，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意有， 因为，所以，， 所以，即． 故选：A． 5．（24-25高一上·海南海口·阶段练习）若，设，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【详解】， 因为， 所以， 所以，即， 故答案为： 6．（24-25高一上·福建厦门·阶段练习），，则，的大小关系为 ． 【答案】 【详解】由已知，， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 即， 故答案为：. 7．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【详解】， 因为，所以，，所以， 所以. 故答案为： 8．（24-25高一上·新疆阿克苏·阶段练习）已知，若，，则的大小关系是 ． 【答案】/ 【详解】 ， 因为，所以. 所以. 故答案为：. 考点二 不等式的性质 1．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习·多选）对于实数、、，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A选项，因为，则，故，A错； 对于B选项，若，则，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，若，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，若，则， 所以，D对. 故选：BCD. 2．（24-25高二下·宁夏石嘴山·期中·多选）下列命题为假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D． 【答案】AB 【详解】对于A，当，，故A为假命题； 对于B，若，则，故B为假命题； 对于C，若且，则， 所以，故C为真命题； 对于D，， 所以，故D为真命题； 故选：AB． 3．（24-25高二下·河北沧州·期末·多选）下面说法正确的是（    ）． A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】对于选项A： 因为，且，所以，故选项A正确； 对于选项B： 若，则，故选项B错误； 对于选项C： 因为，所以，又因为，所以，故选项C正确； 对于选项D： 若，则，不等式两边同时除以得，故选项D错误． 故选：AC． 4．（25-26高一上·湖北武汉·开学考试·多选）若，则下列命题正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】BC 【详解】对于A，取，满足且，但，不满足，错误； 对于B，因为，， 所以，即，正确； 对于C，， 因为，所以，所以，所以成立，正确； 对于D，取，满足且，但，不满足，错误. 故选：BC 5．（25-26高三上·陕西西安·开学考试·多选）下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，当时，显然不成立，错误； 对于B，由，可知，所以，正确； 对于C，取，此时，错误； 对于D，取，此时，错误； 故选：ACD 6．（25-26高三上·江苏扬州·开学考试·多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A：取，则，故A错误. 选项B：因为，而，故，故B正确. 选项C：由，可得， 则不等式两边均乘以可得，故C正确. 选项D： 又，则， 则，则，故D正确. 故选：BCD. 7．（25-26高一上·河北衡水·开学考试·多选）下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若且，则 C．若且，则； D．若，则 【答案】ABC 【详解】对于A，若，则，所以，故A正确； 对于B，若且，则，所以，故B正确； 对于C，若，，则，所以，故C正确； 对于D，若，当，则，故D不正确. 故选：ABC. 8．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习·多选）已知均为实数，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若， 【答案】AB 【详解】选项A，若，则，，即，选项A正确； 选项B，若，，则，，，即，选项B正确； 选项C，若，，取，，，，则，，，选项C错误； 选项D，若，，则，选项D错误. 故选：AB. 考点三 利用不等式的性质求范围 1．（25-26高一上·河南鹤壁·开学考试）已知实数满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，联立方程组，解得 ， 则， 因为，可得， 所以，所以，即. 故选：B. 2．（25-26高一上·广西崇左·开学考试）已知且，求的取值范围（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】设 因为， 所以， 又因为，将与的取值范围相加， 所以， 即. 故选：. 3．（2025·河北沧州·模拟预测）已知，，则的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，得，，所以． 故选：B． 4．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 5．（24-25高一上·贵州·阶段练习·多选）已知，，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，∵，，∴，，∴，故A正确； 对于B，∵，，∴，故B正确； 对于C，∵，∴，又∵，∴，故C不正确； 对于D，∵，∴，又，∴，∴，∴，故D正确； 故选：ABD 6．（24-25高二下·陕西渭南·期末·多选）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】A选项，，相加得，故，A正确； B选项，，相加得，故，B正确； C选项，设， 故，解得，所以， 故，相加得， 即，C错误； D选项，设， 故，解得，故， ， 相加得，，D错误. 故选：AB 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知实数x、y满足:则 的取值范围是 【答案】 【详解】设，，则，， 则，即，当时取等号， 又因为，则，又因，所以可得， 则， 所以则 的取值范围为. 故答案为：. 8．（2025·吉林长春·二模）正整数满足，则的最大值为 ． 【答案】/ 【详解】，要使其最大，则都最小即可， 因为，且为正整数，故取， 此时， 故答案为： 9．（24-25高一上·北京·期中）设实数满足：，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 10．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知实数x，y满足，且，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】因为，，令，则，， 所以，显然， 当时，，则，所以； 当时，，则，所以； 综上，或，即的取值范围是. 故答案为：. 11．（25-26高一上·山西太原·阶段练习）已知，，分别求，的取值范围． 【答案】的取值范围是，的取值范围是． 【详解】因为，， 所以，，可得， 所以的取值范围是． 易知，而，则， 所以的取值范围是． 12．（24-25高二下·天津南开·阶段练习）（1）已知实数、满足，.求的取值范围. （2）已知，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）设，其中、， 所以，解得，，即， 因为，，所以，， 由不等式的基本性质可得，即， 因此，的取值范围是； （2）因为，即，即， 由基本不等式可得， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 13．（24-25高一上·河北廊坊·阶段练习）（1）已知正数a，b满足，求的最大值； （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）由正数满足， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以，即，所以，即的最大值为； （2）令，即， 所以，解得，所以， 因为，，可得， 所以，所以，即的取值范围为. 14．（25-26高三上·安徽·阶段练习）（1）已知，，求的取值范围； （2）已知，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以， 所以，即的取值范围为； （2）因为，所以， ， 当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为. 15．（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知，，求，及的取值范围． （2）设、均为正实数，试比较和的大小． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【详解】（1）因为， 所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 又，两个不等式相加可得，即． 因为，所以， 当时，两个不等式相加乘可得：，即； 当时，两个不等式相加乘可得：，即， 所以． 的取值范围为； 的取值范围为； 的取值范围为. （2）． 因为，均为正实数，所以． 当，即时，，此时； 当，即时，，此时； 当，即时，，此时．     综上可得：当时，； 当时，； 当时，． 16．（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）（1）试比较与的大小 （2）已知，，求，的取值范围. 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）作差法比较即可； （2）由不等式的性质计算即可. 【详解】（1）因为 所以. （2）因为，所以， 所以； 因为，所以， 所以. 考点四 解二次不等式、分式不等式与高次不等式 1．（2025高二下·湖南·学业考试）已知是实数，则使得成立的一个充分不必要条件是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，则，解得， 则是使得成立的一个既不充分也不必要条件， 是使得成立的一个必要不充分条件， 是使得成立的一个充分不必要条件， 是使得成立的一个充要条件. 故选：C. 2．（25-26高一上·辽宁·期中）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得：， 解得：或 ，即 故选：D 3．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】按的正负分类可得： 或， 得：或或， 解得：或或. 故选：A 4．（25-26高三上·天津·开学考试）设，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，解得或，即， 又，则，解得，即， 又因为是的真子集， 所以“”是“”的必要而不充分条件． 故选：B． 5．（24-25高一上·湖南衡阳·阶段练习·多选）不等式的解集是，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】因为不等式的解集是， 所以有，所以AC错误， 则，，故BD正确． 故选： BD． 6．（24-25高一上·广东江门·期中·多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】ACD 【详解】因为不等式的解集为或， 所以和是一元二次方程的两个实数根，且该一元二次函数的开口向下. 所以且，解得.A正确； ，解得，故的解集为，B错误； ，C正确；， 解得. 所以的解集为，D正确. 故选：ACD 7．（25-26高一上·河南南阳·阶段练习）不等式的解集为 ． 【答案】或 【详解】不等式，移项可得，通分得到， 对分子因式分解，得， 其等价于或，解得或， 所以不等式的解集为或. 故答案为：或 8．（23-24高一上·上海·阶段练习）若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 【答案】 【详解】当时，原不等式等价于，得到，不合题意， 当时，因为不等式的解集是，则，解得， 综上所述，实数的取值范围是， 故答案为：. 9．（25-26高一上·天津·期中）不等式对于恒成立，则m的取值范围 . 【答案】 【详解】因为不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 所以不等式对于恒成立， 而当时，， 等号成立当且仅当，所以当时，有最小值3， 则m的取值范围为. 故答案为：. 10．（25-26高一上·湖南长沙·阶段练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）由，则，解得， 则不等式的解集为. （2）由，则， 即，即，解得或， 则不等式的解集为. （3）由，则， 则， 则，则， 解得或， 所以不等式的解集为或. 11．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）已知命题，命题：关于的不等式的解集为， (1)若命题为真命题，求实数的取值范围； (2)若命题有且仅有一个真命题，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）当命题为真命题时，，. 因为（当时取等号），所以. 所以命题为真命题，则实数的取值范围为. （2）命题为真命题，则或，所以. 若真假，则；若真假，则. 所以命题有且仅有一个真命题时，. 12．（23-24高一上·四川广安·阶段练习）已知函数. (1)对任意恒成立，求实数的取值范围； (2)求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析； (3) 【详解】（1）由题有恒成立，即恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，得， 得，综上可得，的取值范围是. （2）由题，即， 当，，所以不等式的解集为 当，，或 ①当时，，不等式的解集为； ②当时，不等式的解集为， ③当时，，不等式的解集为； 当，则，不等式的解集为 综上可得：当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）当时，令， 当且仅当时取等号， 关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程， 即有两个不同正根， 则 ，得， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得. 故实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $