24.1 测量 题型梳理2025-2026学年华东师大版（2024）九年级数学上册

华师大版（2024）九年级上册 24.1 测量 题型梳理 【题型1】利用相似求高（长）度 【典型例题】一天晚上小亮在楼下散步，想利用所学知识测量一路灯AB的高度．如图，路灯AB在两棵同样高度的树CE和DF之间，小亮测得树高2 m，两棵树之间的距离CD为16 m，在路灯的照射下，树CE的影长CG为1 m，树DF的影长DH为3 m，点G，C，B，D，H在一条直线上．则路灯AB的高度为（　　） A.6 m B.8 m C.10 m D.12 m 【举一反三1】在上完相似三角形一课后，小方设计了一个实验来测量学校教学楼的高度．如图，在距离教学楼 MN为18米的点B处竖立一个长度为2.8米的直杆，小方调整自己的位置，使得他直立时眼睛所在位置点C、直杆顶点A和教学楼顶点 M三点共线．测得人与直杆的距离DB为2米，人眼高度CD为1.6米，则教学楼的高度 MN为（　　）米． A.12 B.12.4 C.13.6 D.15.2 【举一反三2】如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE的高为1 m，测得AB＝2 m，AC＝10 m，求建筑物CD的高是　　． 【举一反三3】学完《相似三角形》后，数学兴趣小组的同学利用周末来测量学校附近的河宽（如图），AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求得河宽AB＝　   　m． 【举一反三4】淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆高度． （1）如图1所示，淇淇将镜子放在地面上，然后后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，已知淇淇同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离淇淇头顶的距离是4 cm，求旗杆DE的高度． （2）如图2所示，嘉嘉在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为米，∠DCE＝45°，求旗杆AB的高度？ 【题型2】利用勾股定理列方程，求高（长）度 【典型例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，BE＝4，AE＝AC，求AE的长．解题思路：设AE＝AC＝x，根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，可列方程为　             　． 【举一反三1】学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端．然后将绳子向外拉．当把绳子接上1米时，此时一端到达离旗杆底端5米处，如图所示，小明算出旗杆高度是　   　米． 【举一反三2】阅读与思考 如图1所示的是一座钢铁桥梁，为了计算其中一个三角形钢架的面积，小明想办法测量出三边的长度AB＝c＝24米，BC＝a＝26米，AC＝b＝28米，如何求三角形ABC钢架的面积？下面是甲，乙两位同学的解题思路，分别根据甲、乙两位同学的解题思路求△ABC的面积． （1）甲同学：我们知道，已知△ABC的三边长a，b，c，设，即p为△ABC周长的一半，那么利用海伦公式就可求出△ABC的面积． （2）乙同学：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x米，然后用含x的代数式表示出CD，根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，利用勾股定理求出AD的长，再计算△ABC的面积． 【举一反三3】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝CD＝5，BC＝AD＝3， （1）如图①，E、F分别为CD、AB边上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，设CE＝x，则DE＝　      　（用含x的代数式表示），CD′＝AD＝3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE＝　       　． （2）如图②，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于点E，求此时CE的长； （3）如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分别交CD边于E、F，且DF＝A′F，请直接写出此时CE的长． 华师大版（2024）九年级上册 24.1 测量 题型梳理（参考答案） 【题型1】利用相似求高（长）度 【典型例题】一天晚上小亮在楼下散步，想利用所学知识测量一路灯AB的高度．如图，路灯AB在两棵同样高度的树CE和DF之间，小亮测得树高2 m，两棵树之间的距离CD为16 m，在路灯的照射下，树CE的影长CG为1 m，树DF的影长DH为3 m，点G，C，B，D，H在一条直线上．则路灯AB的高度为（　　） A.6 m B.8 m C.10 m D.12 m 【答案】C 【解析】设BC的长度为x m，则BD＝16﹣x，由题意可知CE∥AB∥DF， ∵CE∥AB，DF∥AB， ∴△GCE∽△GBA，△HDF∽△HBA， ∴，即；，即， ∴， 解得x＝4， ∴， 解得AB＝10． 故选：C． 【举一反三1】在上完相似三角形一课后，小方设计了一个实验来测量学校教学楼的高度．如图，在距离教学楼 MN为18米的点B处竖立一个长度为2.8米的直杆，小方调整自己的位置，使得他直立时眼睛所在位置点C、直杆顶点A和教学楼顶点 M三点共线．测得人与直杆的距离DB为2米，人眼高度CD为1.6米，则教学楼的高度 MN为（　　）米． A.12 B.12.4 C.13.6 D.15.2 【答案】C 【解析】如图，过点C作CH⊥ MN于点H，交AB于点J．则四边形CDBJ，四边形CDNH都是矩形． ∴CD＝BJ＝NH＝1.6米，BD＝CJ＝2米，BN＝JH＝18米， ∵AB＝2.8米． ∴AJ＝AB﹣BJ＝2.8﹣1.6＝1.2（米）， ∵AJ∥MH， ∴△CAJ∽△CMH， ∴， ∴， ∴MH＝12（米）， ∴MN＝MH+NH＝12+1.6＝13.6（米）， 故选：C． 【举一反三2】如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE的高为1 m，测得AB＝2 m，AC＝10 m，求建筑物CD的高是　　． 【答案】5 m 【解析】由题意得：BE⊥AC，DC⊥AC， ∴∠ABE＝∠ACD＝90°， ∵∠A＝∠A， ∴△AEB∽△ADC， ∴， ∴， 解得：CD＝5， ∴建筑物CD的高是5 m， 故答案为：5 m． 【举一反三3】学完《相似三角形》后，数学兴趣小组的同学利用周末来测量学校附近的河宽（如图），AE与BC相交于点D，∠B＝∠C＝90°，测得BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m，求得河宽AB＝　   　m． 【答案】100 【解析】∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°， ∴△ABD∽△ECD， ∴， ∵BD＝120 m，DC＝60 m，EC＝50 m， ∴AB100（米）． 故答案为：100． 【举一反三4】淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆高度． （1）如图1所示，淇淇将镜子放在地面上，然后后退直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，已知淇淇同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离淇淇头顶的距离是4 cm，求旗杆DE的高度． （2）如图2所示，嘉嘉在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时影长2米，在同时刻测量旗杆的影长时，旗杆的影子一部分落在地面上（BC），另一部分落在斜坡上（CD），他测得落在地面上的影长为10米，落在斜坡上的影长为米，∠DCE＝45°，求旗杆AB的高度？ 【答案】解：（1）由题意可得：AB＝1.5 m，BC＝0.5 m，DC＝4 m， △ABC∽△EDC， 则 ， 即 ， 解得：DE＝12， 答：DE的长为12 m． （2）延长AD交BC的延长线于点F，过点D作DE⊥BC于点E， ∵CD＝2 m，∠DCE＝45°， ∴DE＝CE＝2， ∵同一时刻物高与影长成正比， ∴，解得EF＝2DE＝4， ∴BF＝10+2+4＝16， ∵DE⊥BC，AB⊥BC， ∴△EDF∽△BAF， ∴，即， ∴AB＝8 m． 答：旗杆的高度约为8 m． 【题型2】利用勾股定理列方程，求高（长）度 【典型例题】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，BE＝4，AE＝AC，求AE的长．解题思路：设AE＝AC＝x，根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，可列方程为　             　． 【答案】x2+82＝（x+4）2 【解析】设AE＝AC＝x， ∵∠ACB＝90°，BC＝8，BE＝4，AE＝AC， 根据勾股定理，得AC2+BC2＝AB2， 即x2+82＝（x+4）2， 故答案为：x2+82＝（x+4）2． 【举一反三1】学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子恰好到达旗杆底端．然后将绳子向外拉．当把绳子接上1米时，此时一端到达离旗杆底端5米处，如图所示，小明算出旗杆高度是　   　米． 【答案】12 【解析】设旗杆的高为x米，则绳子长为x+1米， 由勾股定理得，（x+1）2＝x2+52，解得，x＝12米． 答：旗杆的高度是12米． 故答案为12． 【举一反三2】阅读与思考 如图1所示的是一座钢铁桥梁，为了计算其中一个三角形钢架的面积，小明想办法测量出三边的长度AB＝c＝24米，BC＝a＝26米，AC＝b＝28米，如何求三角形ABC钢架的面积？下面是甲，乙两位同学的解题思路，分别根据甲、乙两位同学的解题思路求△ABC的面积． （1）甲同学：我们知道，已知△ABC的三边长a，b，c，设，即p为△ABC周长的一半，那么利用海伦公式就可求出△ABC的面积． （2）乙同学：如图2，过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x米，然后用含x的代数式表示出CD，根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”建立方程，利用勾股定理求出AD的长，再计算△ABC的面积． 【答案】解：（1）∵AB＝c＝24米，BC＝a＝26米，AC＝b＝28米， ∴（米）， ∴（平方米）； （2）过点A作AD⊥BC于点D，设BD＝x米，则CD＝（26﹣x）米， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， 根据勾股定理得：AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， 即242﹣x2＝282﹣（26﹣x）2， 解得：x＝9， ∴（米）， ∴（平方米）． 【举一反三3】如图所示，在矩形ABCD中，AB＝CD＝5，BC＝AD＝3， （1）如图①，E、F分别为CD、AB边上的点，将矩形ABCD沿EF翻折，使点A与点C重合，设CE＝x，则DE＝　      　（用含x的代数式表示），CD′＝AD＝3，在Rt△CD′E中，利用勾股定理列方程，可求得CE＝　       　． （2）如图②，将△ABD沿BD翻折至△A′BD，若A′B交CD于点E，求此时CE的长； （3）如图③，P为AD边上的一点，将△ABP沿BP翻折至△A′BP，A′B、A′P分别交CD边于E、F，且DF＝A′F，请直接写出此时CE的长． 【答案】解：（1）如图①中，连接AE． 根据对称性可知AE＝EC，设AE＝EC＝x，则DE＝D′E＝5﹣x， 在Rt△CED′中，∵ED′2+CD′2＝CE2， ∴32+（5﹣x）2＝x2， 解得x， ∴DE，CE， 故答案为5﹣x，． （2）如图②中， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠1＝∠3， ∵∠1＝∠2， ∴∠2＝∠3， ∴DE＝EB，设DE＝EB＝y， 在Rt△BEC中，y2＝32+（5﹣y）2， 解得y， ∴CE＝5． （3）设PA＝PA′＝m． ∵∠D＝∠A′＝90°，DF＝FA′，∠DFP＝∠A′FE， ∴△DFP≌△A′FE， ∴DP＝A′E＝3﹣m，PF＝EF， ∵DF＝FA′， ∴DE＝PA′＝m，EC＝5﹣m，BE＝5﹣（3﹣m）＝2+ m， 在Rt△ECB中，（2+m）2＝32+（5﹣m）2， 解得 m， ∴CE＝5． 学科网（北京）股份有限公司 $