精品解析：四川省成都实验外国语学校融通班2025-2026学年九年级上学期开学数学试卷

融通班数学周测（01） 满分120分 一、单选题（每小题4分，共32分） 1. 关于x的方程有两个根为、，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 3. 若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 不能确定 4. 《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（ ） A. B. C. D. 6. 已知是实数，且满足，则的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. 或6 D. 6 7. 设关于x的方程在范围内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，于点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 二、多选题（每小题4分，共12分） 9. 下列关于函数（为常数）的说法正确的是（ ） A. 该函数的图象与轴始终有两个交点 B. 该函数的图象与轴有一个或两个交点 C. 该函数的图象过一定点 D. 该函数的图象的对称轴为直线 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，为方程的两个根，则 D. 若抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，则 11. 若函数的图象过点和．则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（每小题4分，共12分） 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 13. 如图，把边长为5的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点的延长线交于点，交的延长线于点．若，则__________． 14. 阅读：求方程的正整数解．小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为，可知x为偶数，令（为正整数），代入得，即，由y为正整数可知，所以，原方程的正整数解为． 请你在下列两个问题中任选一个作答． 问题①：方程的正整数解是______； 问题②：方程的正整数解是______． 四、解答题（共4题，共64分） 15. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 16. 阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： （1）若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． （2）已知实数、满足，求的值． （3）解方程． 17. 定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”________； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； （3）已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 18. 定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）有下列函数：①；②；③．其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是_________（填序号）； （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数表达式； （3）若抛物线是常数，上有且只有一个“纵三倍点”，令，求的最值． 19. 我们约定；我们将关于的二次函数（，，，为常数）与称为“匀称二次函数”，根据该约定，解答下列问题： （1）若关于的二次函数与互为“匀称二次函数”，求，，的值； （2）二次函数（，，，为常数），二次函数与互为“匀称二次函数”，直线与、有且只有个交点，且交点分别为点、点、点，，请求出线段的长度： （3）二次函数，二次函数与互为“匀称二次函数”，过的顶点作直线，在直线上任意取一点，过点作轴的垂线，与、分别交于点、（点，，不重合），的最大值为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 融通班数学周测（01） 满分120分 一、单选题（每小题4分，共32分） 1. 关于x的方程有两个根为、，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键 根据一元二次方程根与系数的关系，即“”直接计算两根之和即可 【详解】解：由根与系数的关系，两根之和为：． 故选：D ． 2. 一元二次方程的根的情况为（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 无实数根 D. 只有一个实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的情况，掌握根的判别式，利用判断根的情况是解题的关键； 当，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当，方程无实数根，计算得出即可． 【详解】解：，，， ， ∴原方程无实数根． 故选：C． 3. 若等腰三角形的三边长均满足方程，则此三角形的周长为（ ） A. 9 B. 12 C. 9或12 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，三角形的三边关系． 先求出这个方程的解，再根据等腰三角形及三角形的三边关系即可求出周长． 【详解】解：解方程得， ∵三角形为等腰三角形， ∴三边长为5，5，2或2，2，5（舍去） ∴周长为， 故选B． 4. 《感动中国2024年度人物》视频在上线后三天内，播放总次数达到8.9万次，其中第一天的播放量为2万次，若每天的播放量平均增长率为，则根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；根据“增长率问题”及题意可直接列出方程，进而问题可求解． 【详解】解：由题意可得方程为； 故选D． 5. 甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为和5，乙把常数项看错了，解得两根为和，则原方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据得到的解，求出正确的一次项系数和常数项即可解答，熟练运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， 令，则，， ∴关于x的一元二次方程是． 故选：D． 6. 已知是实数，且满足，则的值为（ ） A. 3 B. 3或 C. 或6 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了换元法解一元二次方程．先设，再把原方程变形为，再根据因式分解法求出y的值，即可得出的值．在解题时要注意当时，此方程无解，解题的关键是利用换元法将原方程变形． 【详解】解：设， 原方程变为． ∴． ∴，． 当时，方程的判别式，存在实数解． 当时，方程的判别式，无实数解． ∴满足条件． 故选：A． 7. 设关于x的方程在范围内有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，一元二次方程的解，根据题意可得与的交点在范围内，且有2个不同交点，可得不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】解：设， 依题意， 解不等式①得：或， 解不等式②得：， 解不等式③得：， 解不等式④得：， ∴不等式组的解集为：． 故选：D． 8. 在中，于点，则的最小值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查坐标系中两点之间的距离，一元二次方程的应用，理解题意，建立坐标系，将问题进行转化是解题关键 以H为原点，在x轴上，所在直线为y轴，建立直角坐标系，得出，设，则长度为，确定，，建立方程，设，则，根据一元二次方程解的特点求解即可得出结果 【详解】解：以H为原点，在x轴上，所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示： ∴， 设，则长度为， ∴，， ∵， ∴整理得 设，则，代入得：， 整理得：， 关于b的方程有实数解， ∴， ∴， ∴或， ∴， ∴的最小值为8， 故选：C 二、多选题（每小题4分，共12分） 9. 下列关于函数（为常数）的说法正确的是（ ） A. 该函数的图象与轴始终有两个交点 B. 该函数的图象与轴有一个或两个交点 C. 该函数的图象过一定点 D. 该函数的图象的对称轴为直线 【答案】BC 【解析】 【分析】分两种情况考虑：时、时，结合一元二次方程与二次函数综合、根的判别式、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质对选项进行判断即可． 【详解】解：当时， 一元二次方程中，， 该一元二次方程有两个不等实数根， 函数的图象与轴始终有两个交点； 当时， 函数，即为一次函数， 则该函数的图象与轴只有一个交点， 函数（为常数）的图象与轴有一个或两个交点， 选项错误，选项正确； 无论为何值，当时，， 函数（为常数）过定点；选项正确； 当时， 函数是一次函数，无对称轴，选项错误． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是一元二次方程与二次函数综合、根的判别式、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质，解题关键是分情况讨论：时及时． 10. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间．下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，为方程的两个根，则 D. 若抛物线与x轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象和系数的关系．根据二次函数图象对称性，与坐标轴的交点，顶点，一元二次方程根与系数的关系等知识点逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，故选项A正确，符合题意； ，故选项B不正确，不符合题意； ∵抛物线的对称轴为，与x轴的一个交点位于，两点之间， ∴另一个交点在，之间， ∴当时，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，为方程的两个根， ∴， ∴，故选项C正确，符合题意； ∵抛物线的对称轴为， ∴顶点纵坐标为， ∵抛物线与轴的两交点和其顶点组成的三角形为等边三角形，如图， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得， 整理得， ∴， ∵，， ∴，即， ∴，故选项D正确，符合题意； 故选：ACD． 11. 若函数的图象过点和．则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程综合．解题的关键在于对知识的数量掌握与灵活运用．根据抛物线开口方向、与的交点位置及对称轴的位置可得出、、的符号，可判断①；根据时，可判断②；根据和是一元二次方程的两个根，结合根与系数的关系可判断③④；即可得答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下、与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧， ∴，，， ∴， ∴，故①错误，不符合题意， 由图像可知，当时，， ∴， ∴，故②正确，符合题意， ∵函数的图象过点和， ∴和是一元二次方程的两个根， ∴，，， ∴，故③正确，符合题意， ∵， ∴， ∴ 故④正确，符合题意， 故选：BCD． 三、填空题（每小题4分，共12分） 12. 已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意可得，，，再整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，把边长为5的正方形绕点逆时针旋转得到正方形与交于点的延长线交于点，交的延长线于点．若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． 由，推出，再由可得，设，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵把边长为5的正方形绕点O逆时针旋转得到正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或0（舍去）， ∴． 故答案为： 14. 阅读：求方程的正整数解．小张在解决此问题时从多个角度进行了思考，得到了多种解法，其中一种解法是：将方程化为，可知x为偶数，令（为正整数），代入得，即，由y为正整数可知，所以，原方程的正整数解为． 请你在下列两个问题中任选一个作答． 问题①：方程的正整数解是______； 问题②：方程的正整数解是______． 【答案】 ①. ②. ， 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的整数根，因式分解法，掌握多项式的因式分解是解题的关键．方程的左边因式分解得到，得到正整数解；，变形为，设（为正整数），得，可得，且为正整数，代入计算即可． 【详解】解：， 则， ∴， ∴， ∴， ∵时，， ∴没有正整数根， ∴的正整数根是， 则方程的正整数解是； ∵， ∴， ∴， 由是正整数，则是3的倍数， ∴设（为正整数）， ∴， ∴， ∵为正整数， ∴，且为正整数， 当时，得，得，得（负值舍），则； 当时，得，得，得（负值舍），则； 方程的正整数解是，， 故答案为：；，． 四、解答题（共4题，共64分） 15. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程，换元法解一元二次方程，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）用公式法求解； （2）用因式分解法求解； （3）先化为一般形式，再用公式法求解； （4）用换元法求解． 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项，得， ，，， ， ， 即，； 【小问2详解】 ， 两边同除以2，得， 方程左边分解因式，得， 所以或， 解得，； 【小问3详解】 ， 去括号，得, 移项，得， 合并同类项，得， ，，， , 所以，； 【小问4详解】 设， 则原方程可化为， 去括号，得， 即， 所以， 所以或， 解得：或， 所以，， 解得：，． 16. 阅读下列材料： 已知实数、满足，试求的值． 解：设，则原方程可化为，即； 解得． ， ． 上面这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化．根据以上阅读材料为内容，解决下列问题： （1）若四个连续正整数的积为，直接写出这四个连续的正整数为 ． （2）已知实数、满足，求的值． （3）解方程． 【答案】（1），，， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，多项式的乘法，平方差公式与求方程的解； （1）根据题意设最小数为，列出关系式，进而利用换元法即可求解． （2）设．由已知等式得出，结合可得答案； （3）设，则，可得，求出的值，再根据绝对值的性质得出答案． 【小问1详解】 解：设最小数为，则， 即：， 设，则， ，， 为正整数， ， ，舍去， 这四个整数为，，，． 故答案为：，，，． 【小问2详解】 设． ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 ， ， 设，则， ， 或， ，， 或， ∴． 17. 定义：我们把关于的一元二次方程与称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是． （1）写出一元二次方程的“友好方程”________； （2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根________，________．根据以上结论，猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系为________； （3）已知关于的方程的两根是，，请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根． 【答案】（1）； （2），，互为倒数； （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义问题，一元二次方程的一般形式，一元二次方程的解，用因式分解法和换元法解一元二次方程，掌握并灵活运用新定义是解题的关键． （1）根据“友好方程”的定义，即得答案； （2）先写出的友好方程，然后再解得其友好方程的答案，通过观察，可猜想出原方程与友好方程两根之间的关系； （3）由（2）可知，的两个根分别是，，将整理为：，那么有或，从而解得答案． 【小问1详解】 解：一元二次方程与称为一对“友好方程”， 一元二次方程的“友好方程”为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意可知，一元二次方程的友好方程为， 解，得到， 解得，， 观察可知，，； 所以猜想的两根，，与其“友好方程”的两根，之间存在的一种特殊关系是互为倒数． 故答案为：，，互为倒数； 【小问3详解】 解：已知关于的方程的两根是，， 那么的两个根分别是，， 将整理为：， 那么有或， 即，； 故答案为：，． 18. 定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”．例如都是“纵三倍点”． （1）有下列函数：①；②；③．其中，图象上只有一个“纵三倍点”的是_________（填序号）； （2）已知抛物线（均为常数）与直线只有一个交点，且该交点是“纵三倍点”，求抛物线对应的函数表达式； （3）若抛物线是常数，上有且只有一个“纵三倍点”，令，求的最值． 【答案】（1）①③ （2） （3） 【解析】 【分析】（1）对于每个函数，根据“纵三倍点”的定义，即点的纵坐标是横坐标的三倍，也就是，将其代入函数解析式，得到关于的方程，通过判断方程解的个数来确定函数图象上“纵三倍点”的个数． （2）首先根据“纵三倍点”的定义，设出交点坐标为，因为该点在直线上，所以可以求出的值，得到交点坐标．然后将交点坐标代入抛物线解析式，再结合抛物线与直线只有一个交点，即联立方程后的判别式，从而求出和的值，得到抛物线的函数表达式． （3）根据“纵三倍点”的定义，将代入抛物线解析式，得到关于的一元二次方程．因为抛物线上有且只有一个“纵三倍点”，所以该一元二次方程有且只有一个解，即判别式，由此得到和的关系式．然后将用这个关系式进行转化，得到关于的二次函数，再根据二次函数的性质求出的最值． 【小问1详解】 解：对于①，将代入， ， ， ； 此时，有一个解，所以①有一个“纵三倍点”． 对于②，将代入， ， ， ， 解得，，有两个解，所以②有两个“纵三倍点”． 对于③，将代入， ， ， ， 解得，有一个解，所以③有一个“纵三倍点”． 综上，答案为①③． 【小问2详解】 解：设交点为， ∵交点在上， ∴， 解得，则交点为． 将代入，得，即． 联立，消去得， 将代入得． ∵抛物线与直线只有一个交点， ∴， ， ， 解得，则． 所以抛物线的函数表达式为． 【小问3详解】 解：将代入，得， 整理得． ∵抛物线有且只有一个“纵三倍点”， ∴， ， ； 将代入，得． 对于二次函数，其中二次项系数，对称轴为． 当时，，无最大值． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的综合应用，求解一元二次方程，涉及到新定义“纵三倍点”，一元二次方程解的个数与判别式的关系等知识点．熟练掌握“纵三倍点”的定义，以及利用判别式判断方程解的个数是解题的关键． 19. 我们约定；我们将关于的二次函数（，，，为常数）与称为“匀称二次函数”，根据该约定，解答下列问题： （1）若关于的二次函数与互为“匀称二次函数”，求，，的值； （2）二次函数（，，，为常数），二次函数与互为“匀称二次函数”，直线与、有且只有个交点，且交点分别为点、点、点，，请求出线段的长度： （3）二次函数，二次函数与互为“匀称二次函数”，过的顶点作直线，在直线上任意取一点，过点作轴的垂线，与、分别交于点、（点，，不重合），的最大值为，求的值． 【答案】（1），为任意实数，； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据新定义可得，，，解之即可求解； （2）根据“匀称二次函数”的定义得到二次函数，由直线与、有且只有3个交点，分两种情况：①当时，直线经过二次函数的顶点，与二次函数有两个交点；②当时，直线经过二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，分别求出的长即可； （3）设，则，，根据点，，不重合，则且，，分①当时；②当时；③当时；④当时；⑤当时；分别求解即可． 【小问1详解】 解：关于的二次函数与互为“匀称二次函数”， ，，， ，为任意实数，； 【小问2详解】 解：二次函数（，，，为常数），二次函数与互为“匀称二次函数”， 二次函数 二次函数与二次函数关于轴对称， 二次函数 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 二次函数的顶点坐标为，对称轴为直线， 直线与、有且只有个交点， ①当时，直线经过二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图， 令，解得：， 直线与、有且只有个交点，且交点分别为点、点、点，， ，， ， ， ②当时，直线经过二次函数的顶点，与二次函数有两个交点，如图， 同理可得， 综上，线段的长度为． 【小问3详解】 解：设，则，， 点，，不重合 且，， ①当时，如图， 由图可知，， ， 的最大值为， 此情况不存在； ②当时，如图， 由图可知，， ， 的最大值为， 此情况不存在； ③当时， ， 无最大值， 的最大值为， 此情况不存在； ④当时，如图， ， ， 当时，有最大值， 但是不在中， 当时，有最大值， 的最大值为， 解得：； ⑤当时，如图， 由图可知： 的最大值为， 此情况不存在； 综上，当的最大值为时，的值为． 【点睛】本题考查新定义，二次函数的图象性质，二次函数的最值，二次函数的对称变换，二次函数与一次函数交点问题，两点间距离，此题属二次函数综合题目，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $