24.4解直角三角形 同步课堂讲义2025－2026学年华东师大版数学九年级上册

24.4解直角三角形 讲解目录 【知识点1】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 1 【知识点2】解直角三角形的应用-方向角问题 1 【知识点3】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 1 【知识点4】解直角三角形的应用 2 【知识点5】解直角三角形 2 【题型1】解直角三角形 3 【题型2】解直角三角形的应用——高度深度宽度长度问题 5 【题型3】解直角三角形的应用——方向角问题 7 【题型4】解直角三角形的应用——坡度坡角问题 12 【题型5】解直角三角形的应用——仰角俯角问题 14 知识讲解 【知识点1】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 【知识点2】解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 【知识点3】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域  ③航海领域：④工程领域等． 【知识点4】解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【知识点5】解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系      ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；      ②三边之间的关系：a2+b2=c2；      ③边角之间的关系： sinA==，cosA==，tanA==． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 1.（2024秋•和平区期末）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理可以求得AB的长，再根据锐角三角函数，即可求得sinB的值． 【解答】解：由图可得， AB===3， ∴sinB===， 故选：D． 2.（2024秋•宁阳县期中）如图，在4×4的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：由勾股定理可得AC2=22+42=20，BC2=12+22=5，AB2=32+42=25， ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形， ∴sin∠ABC==， 故选：B． 题型专练 【题型1】解直角三角形 【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为(　　) A.5 B.4 C.25 D. 【答案】B 【解析】∵cosB＝，∴BC＝AB·cosB＝6×＝4.故选B. 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝5，则边AC的长是(　　) A.3 B.4 C. D. 【答案】D 【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，∴sinA＝＝， ∵AB＝5，∴BC＝，∴AC＝＝＝，故选D. 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，∠A＝α，那么BC的长是(　　) A. B.5tanα C.5cosα D.5sinα 【答案】B 【解析】∵tanA＝，AC＝5，∠A＝α，∴BC＝5tanα，故选B. 【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝8 cm，则AC的长是____________cm. 【答案】2 【解析】∵∠C＝90°，∴sinA＝＝， ∵AB＝8 cm，∴BC＝6 cm，∴AC＝2 cm. 【举一反三4】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形． (1)∠B＝60°，a＝4； (2)a＝－1，b＝-3； (3)∠A＝60°，c＝2＋. 【答案】解　(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°. 由tan B＝，得b＝atan B＝4tan 60°＝4. 由cos B＝，得c＝＝＝8. (2)由tan B＝＝＝， ∴∠B＝60°，∠A＝90°－∠B＝30°， 由sin A＝，得c＝＝＝2－2. (3)∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°， 由sinA＝，得a＝csin A＝(2＋)×＝＋， 由cos A＝，得b＝ccosA＝(2＋)×＝1+. 【题型2】解直角三角形的应用——高度深度宽度长度问题 【典型例题】某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝135°，AB＝AE＝1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4)(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，过点A作BC的平行线AG，过点E作EH⊥AG于H， 则∠EHG＝∠HEF＝90°， ∵∠AEF＝135°，∴∠AEH＝∠AEF－∠HEF＝45°，∠EAH＝45°， 在△EAH中，∠EHA＝90°，∠EAH＝45°，AE＝1.3米， ∴EH＝AE·sin∠EAH≈1.3×0.7＝0.91(米)， ∵AB＝1.3米，∴AB＋EH≈1.3＋0.91≈2.2米． 故选B. 【举一反三1】如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是(　　) A.5sin36°米 B.5cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米 【答案】C 【解析】∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝10米，∴DC＝BD＝5米， 在Rt△ADC中，∠B＝36°，∴tan 36°＝，即AD＝BD·tan 36°＝5tan36°(米)． 故选C. 【举一反三2】如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC＝75米，∠ACB＝55°，那么A和B之间的距离是(　　) A.75·sin 55°米 B.75·cos 55°米 C.75·tan 55°米 D.米 【答案】C 【解析】根据题意，在Rt△ABC，有AC＝75，∠ACB＝55°，且tan α＝， 则AB＝AC×tan 55°＝75·tan 55°，故选C. 【举一反三3】如图，小明妈妈的高跟鞋很高，但是小明发现妈妈在走上坡路时一点也不累．有一次，妈妈上山上坡正好和走平地一样，脚掌AB正好呈水平，小明偷偷量过妈妈的高跟鞋跟高h是10 cm，AB长度15 cm，请问妈妈走的那个山坡与水平线夹角的正切值是________． 【答案】 【解析】∵Rt△ABC中，AB＝15 cm，AC＝h＝10 cm， ∴BC＝＝＝5，∴tan∠ABC＝＝＝. 【举一反三4】美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°.若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 【答案】解　过点D作DE⊥AC，垂足为E，设BE＝x，在Rt△DEB中，tan∠DBE＝， ∵∠DBC＝65°，∴DE＝xtan65°.又∵∠DAC＝45°，∴AE＝DE.∴132＋x＝xtan 65°， ∴解得x≈115.8，∴DE≈248(米)．∴观景亭D到南滨河路AC的距离约为248米． 【题型3】解直角三角形的应用——方向角问题 【典型例题】上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处(如图)．从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么在B处船与小岛M的距离为(　　) A.20海里 B.20海里 C.15海里 D.20海里 【答案】B 【解析】如图，过点B作BN⊥AM于点N. 由题意得，AB＝40×＝20海里，∠ABM＝105°. 作BN⊥AM于点N. 在直角三角形ABN中，BN＝AB·sin 45°＝10. 在直角△BNM中，∠MBN＝60°，则∠M＝30°， 所以BM＝2BN＝20(海里)．故选B. 【举一反三1】如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为(　　) A.(40＋40)海里 B.(80)海里 C.(40＋20)海里 D.80海里 【答案】A 【解析】根据题意，得PA＝40海里，∠A＝45°，∠B＝30°， ∵在Rt△PAC中，AC＝PC＝PA·cos45°＝40×＝40(海里)， 在Rt△PBC中，BC＝＝40÷＝40(海里)， ∴AB＝AC＋BC＝40＋40(海里)．故选A. 【举一反三2】如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行2 km到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则观测站O距港口A的距离(即OA的长)为(　　) A.2 km B. km C.2 km D.4 km 【答案】C 【解析】如图，过点A作AD⊥OB于D. 在Rt△AOD中，∠B＝180°－30°－90°－15°＝45°， ∴AD＝AB·sin45°＝2×＝km， ∴OA＝2×＝2 km. 即该船航行的距离(即OA的长)为2 km.故选C. 【举一反三3】在某次海上搜救工作中，A船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同时在A船正东10 km处的B船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向，此时，B船到该漂浮物的距离是(　　) A.5 km B.10 km C.10 km D.20 km 【答案】B 【解析】∵△ABC中，∠ABC＝90°－60°＝30°，∠CAB＝30°＋90°＝120°， ∴∠C＝30°，∴∠C＝∠ABC，∴AB＝AC＝10 km. 作AD⊥BC于点D，则BC＝2BD. 在直角△ABD中，BD＝AB·cos 30°＝5(km)．则BC＝10(km)．故选B. 【举一反三4】如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33°方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船__________(填“有”或“没有”)触暗礁的危险．(可使用科学记算器) 【答案】没有 【解析】已知OA＝40，∠O＝33°，则AB＝40·sin 33°≈21.79＞20.所以轮船没有触暗礁的危险． 【举一反三5】如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得北偏东68.7°方向有小岛C，继续前进60海里到达B处，此时测得小岛C在船的北偏东26.5°方向，则船继续向东航行__________海里，离小岛最近(精确到0.1海里，参考数据tan21.3°≈0.39，tan63.5°≈2.01)． 【答案】15 【解析】过C作AB的垂线，交直线AB于点D，得到Rt△ACD与Rt△BCD. 设CD＝x海里，在Rt△BCD中，tan∠CBD＝，∴BD＝， 在Rt△ACD中，tanA＝，∴AD＝，∴AD－BD＝AB， 即－＝60，解得x＝30.BD＝≈15(海里)． 答：轮船继续向东航行15海里，距离小岛C最近． 【举一反三6】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为__________ n mile.(结果取整数，参考数据：≈1.7，≈1.4) 【答案】102 【解析】过P作PD⊥AB，垂足为D， ∵一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile的A处， ∴∠MPA＝∠PAD＝60°，∴PD＝AP·sin∠PAD＝86×＝43， ∵∠BPD＝45°，∴∠B＝45°. 在Rt△BDP中，BP＝＝43＝43×≈102(n mile)． 【举一反三7】如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头 A北偏东60°的方向，在码头 B北偏西45°的方向，AC＝4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2，若回到 A、B所用时间相等，则＝____________(结果保留根号)． 【答案】 【解析】作CD⊥AB于点B. ∵在Rt△ACD中，∠CAD＝90°－60°＝30°， ∴CD＝AC·sin∠CAD＝4×＝2(km)， ∵Rt△BCD中，∠CBD＝90°，∴BC＝CD＝2(km)， ∴＝＝＝. 【题型4】解直角三角形的应用——坡度坡角问题 【典型例题】如图，一座公路桥离地面高度AC为6米，引桥AB的水平宽度BC为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD，使其坡度为1∶6，则BD的长是(　　) A.36米 B.24米 C.12米 D.6米 【答案】C 【解析】由坡度定义得：＝， ∵BC＝24米，AC＝6米，∴BD＝12米，故选C. 【举一反三1】如图，河提横断面迎水坡AB的斜坡坡度i＝1∶是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比，若堤高BC＝5 m，则坡面AB的长度是(　　) A. m B.5 m C.15 m D.10 m 【答案】D 【解析】∵河提横断面迎水坡AB的斜坡坡度i＝1∶，∴＝＝， 即tan∠BAC＝，∴∠BAC＝30°， 又∵∠BCA＝90°，BC＝5 m，∴AB＝10 m，故选D. 【举一反三2】汽车沿着坡度为1∶7的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了____________米． 【答案】5 【解析】∵坡度为1∶7，∴设坡角是α，则sin α＝＝， ∴上升的高度是50×＝5(米)． 【举一反三3】如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.60) 【答案】解　过B作地平面的垂线段BC，垂足为C. 在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°， ∴BC＝AB·sin ∠BAC＝12×0.515≈6.2(米)． 即大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米． 【举一反三4】如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°. (1)求坝底AD的长度(结果精确到1米)； (2)若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料.(参考数据：≈1.414，≈1.732) 【答案】解　(1)作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形， ∴EF＝BC＝10米， ∵BE＝20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，∴AE＝50米， ∵CF＝20米，斜坡CD的坡角为30°， ∴DF＝＝20≈35米， ∴AD＝AE＋EF＋FD＝95米； (2)建筑这个大坝需要的土石料：12×(95＋10)×20×100＝105 000米3. 【题型5】解直角三角形的应用——仰角俯角问题 【典型例题】如图，热气球从空中的A处看一栋楼的顶部仰角为30°，看这栋楼的俯角为60°.热气球与楼的水平距离为120 m．这栋楼的高度为(　　) A.160 m B.160 m C.(120+120)m D.360 m 【答案】B 【解析】由题意可得，∠BAD＝30°，∠DAC＝60°，AD＝120 m， ∴BD＝120tan30°=40，CD＝120tan60°=120， ∴BC＝BD＋CD＝160，故选B. 【举一反三1】济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1 m，则该楼的高度CD为(　　) A.47 m B.51 m C.53 m D.54 m 【答案】B 【解析】根据题意，得∠A＝30°，∠DBC＝60°，DC⊥AC， ∴∠ADB＝∠DBC－∠A＝30°，∴∠ADB＝∠A＝30°，∴BD＝AB＝60 m， ∴CD＝BD·sin60°＝60×＝30≈51(m)．故选B. 【举一反三2】为了求河对岸建筑物AB的高，在地平面上测得基线CD＝180米，在C点测得A点的仰角为30°，在地平面上测得∠BCD＝∠BDC＝45°，那么AB的高是__________米． 【答案】30米 【解析】∵∠BCD＝∠BDC＝45°，∴∠CBD＝90°，CB＝BD， ∵CD＝180米，∴CB＝DB＝90， ∵∠ACB＝30°，∠ABC＝90°，∴AB＝BC·tan30°＝30米． 【举一反三3】哈尔滨龙塔坐落于经济技术开发区，在钢结构塔中位居亚洲第一，世界第二．在塔上有一个室外观光平台A可以欣赏的哈尔滨市的全景，室外观光平台中央位置A距离塔顶P约146米，一名同学站在C处观察A点的仰角为45°，观察P点的仰角为60.5°，则龙塔PB的高度为______________．(已知：tan60.5°＝1.77)(精确到1米) 【答案】336米 【解析】设AB的长为x，在Rt△ABC中，AB＝BC＝x， 在Rt△PBC中，tan 60.5°＝＝＝1.77，解得x≈190米， ∴PB＝AP＋AB≈146＋190＝336米． 【举一反三4】如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．当飞机在离地面高度CE＝1 500 m时，测量人员从C处测得A、B两点处的俯角分别为60°和45°.求隧道AB的长(≈1.732，结果保留整数)． 【答案】解　根据题意可知，∠CBE＝45°，∠CAE＝60°， 在Rt△AEC中，tan ∠CAE＝，∴AE＝＝＝500. 在Rt△BEC中，tan ∠CBE＝，∴BE＝＝1 500. ∴AB＝BE－AE＝1 500－500≈1 500－866＝634(m)， 答：隧道AB的长约为634 m. 【举一反三5】小明周日在广场放风筝，如图，小明为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为20米，小明的身高AB为1.75米，请你帮小明计算出风筝离地面的高度．(结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73) 【答案】解　∵在Rt△CBE中， ∴CE＝BC·sin 60°＝20×≈17.3 m， ∴CD＝CE＋ED＝17.3＋1.75＝19.05≈19.1(m). 答：风筝离地面的高度是19.1 m. 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.4解直角三角形 讲解目录 【知识点1】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 1 【知识点2】解直角三角形的应用-方向角问题 1 【知识点3】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 1 【知识点4】解直角三角形的应用 2 【知识点5】解直角三角形 2 【题型1】解直角三角形 3 【题型2】解直角三角形的应用——高度深度宽度长度问题 3 【题型3】解直角三角形的应用——方向角问题 5 【题型4】解直角三角形的应用——坡度坡角问题 7 【题型5】解直角三角形的应用——仰角俯角问题 8 知识讲解 【知识点1】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 （1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角． （2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决． 【知识点2】解直角三角形的应用-方向角问题 （1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数． （2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角． 【知识点3】解直角三角形的应用-坡度坡角问题 （1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式． （2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα． （3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题． 应用领域：①测量领域；②航空领域  ③航海领域：④工程领域等． 【知识点4】解直角三角形的应用 （1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问． 如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，计算出所要求的物体的高度或长度． （2）解直角三角形的一般过程是： ①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）． ②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 【知识点5】解直角三角形 （1）解直角三角形的定义 在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形． （2）解直角三角形要用到的关系      ①锐角、直角之间的关系：∠A+∠B=90°；      ②三边之间的关系：a2+b2=c2；      ③边角之间的关系： sinA==，cosA==，tanA==． （a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边） 1.（2024秋•和平区期末）如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，若△ABC的顶点均是格点，则sinB的值为（　　） A． B． C． D． 2.（2024秋•宁阳县期中）如图，在4×4的正方形方格图形中，每个小正方形边长为2，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则图中∠ABC的正弦值是（　　） A．2 B． C． D． 题型专练 【题型1】解直角三角形 【典型例题】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，cosB＝，则BC的长为(　　) A.5 B.4 C.25 D. 【举一反三1】在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝5，则边AC的长是(　　) A.3 B.4 C. D. 【举一反三2】在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，∠A＝α，那么BC的长是(　　) A. B.5tanα C.5cosα D.5sinα 【举一反三3】在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，AB＝8 cm，则AC的长是____________cm. 【举一反三4】已知Rt△ABC中，∠C＝90°，根据下列条件解直角三角形． (1)∠B＝60°，a＝4； (2)a＝－1，b＝-3； (3)∠A＝60°，c＝2＋. 【题型2】解直角三角形的应用——高度深度宽度长度问题 【典型例题】某地下车库出口处安装了“两段式栏杆”，点A是栏杆转动的支点，点E是栏杆两段的联接点．当车辆经过时，栏杆AEF最多只能升起到如图所示的位置，其中AB⊥BC，EF∥BC，∠AEF＝135°，AB＝AE＝1.3米，那么适合该地下车库的车辆限高标志牌为(栏杆宽度忽略不计．参考数据：≈1.4)(　　) A. B. C. D. 【举一反三1】如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，则中柱AD(D为底边中点)的长是(　　) A.5sin36°米 B.5cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米 【举一反三2】如图，某学校数学课外活动小组的同学们，为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A和B之间的距离，在垂直AB的方向AC上确定点C，如果测得AC＝75米，∠ACB＝55°，那么A和B之间的距离是(　　) A.75·sin 55°米 B.75·cos 55°米 C.75·tan 55°米 D.米 【举一反三3】如图，小明妈妈的高跟鞋很高，但是小明发现妈妈在走上坡路时一点也不累．有一次，妈妈上山上坡正好和走平地一样，脚掌AB正好呈水平，小明偷偷量过妈妈的高跟鞋跟高h是10 cm，AB长度15 cm，请问妈妈走的那个山坡与水平线夹角的正切值是________． 【举一反三4】美丽的黄河宛如一条玉带穿城而过，数学课外实践活动中，小林在南滨河路上的A，B两点处，利用测角仪分别对北岸的一观景亭D进行了测量．如图，测得∠DAC＝45°，∠DBC＝65°.若AB＝132米，求观景亭D到南滨河路AC的距离约为多少米？(结果精确到1米，参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14) 【题型3】解直角三角形的应用——方向角问题 【典型例题】上午9时，一条船从A处出发，以每小时40海里的速度向正东方向航行，9时30分到达B处(如图)．从A、B两处分别测得小岛M在北偏东45°和北偏东15°方向，那么在B处船与小岛M的距离为(　　) A.20海里 B.20海里 C.15海里 D.20海里 【举一反三1】如图，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为(　　) A.(40＋40)海里 B.(80)海里 C.(40＋20)海里 D.80海里 【举一反三2】如图，港口A在观测站O的正东方向，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行2 km到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则观测站O距港口A的距离(即OA的长)为(　　) A.2 km B. km C.2 km D.4 km 【举一反三3】在某次海上搜救工作中，A船发现在它的南偏西30°方向有一漂浮物，同时在A船正东10 km处的B船发现该漂浮物在它的南偏西60°方向，此时，B船到该漂浮物的距离是(　　) A.5 km B.10 km C.10 km D.20 km 【举一反三4】如图，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33°方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船__________(填“有”或“没有”)触暗礁的危险．(可使用科学记算器) 【举一反三5】如图，一艘轮船由西向东航行，在A处测得北偏东68.7°方向有小岛C，继续前进60海里到达B处，此时测得小岛C在船的北偏东26.5°方向，则船继续向东航行__________海里，离小岛最近(精确到0.1海里，参考数据tan21.3°≈0.39，tan63.5°≈2.01)． 【举一反三6】如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东60°方向，距离灯塔86 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，此时，B处与灯塔P的距离约为__________ n mile.(结果取整数，参考数据：≈1.7，≈1.4) 【举一反三7】如图，在一笔直的沿湖道路l上有A、B两个游船码头，观光岛屿C在码头 A北偏东60°的方向，在码头 B北偏西45°的方向，AC＝4 km.游客小张准备从观光岛屿C乘船沿CA回到码头A或沿CB回到码头B，设开往码头A、B的游船速度分别为v1、v2，若回到 A、B所用时间相等，则＝____________(结果保留根号)． 【题型4】解直角三角形的应用——坡度坡角问题 【典型例题】如图，一座公路桥离地面高度AC为6米，引桥AB的水平宽度BC为24米，为降低坡度，现决定将引桥坡面改为AD，使其坡度为1∶6，则BD的长是(　　) A.36米 B.24米 C.12米 D.6米 【举一反三1】如图，河提横断面迎水坡AB的斜坡坡度i＝1∶是指坡面的铅直高度BC与水平宽度AC的比，若堤高BC＝5 m，则坡面AB的长度是(　　) A. m B.5 m C.15 m D.10 m 【举一反三2】汽车沿着坡度为1∶7的斜坡向上行驶了50米，则汽车升高了____________米． 【举一反三3】如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，求大厅两层之间的距离BC的长．(结果精确到0.1米)(参考数据：sin31°＝0.515，cos31°＝0.857，tan31°＝0.60) 【举一反三4】如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°. (1)求坝底AD的长度(结果精确到1米)； (2)若坝长100米，求建筑这个大坝需要的土石料.(参考数据：≈1.414，≈1.732) 【题型5】解直角三角形的应用——仰角俯角问题 【典型例题】如图，热气球从空中的A处看一栋楼的顶部仰角为30°，看这栋楼的俯角为60°.热气球与楼的水平距离为120 m．这栋楼的高度为(　　) A.160 m B.160 m C.(120+120)m D.360 m 【举一反三1】济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”，某校数学社团的同学对超然楼的高度进行了测量，如图，他们在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往楼的方向前进60 m至B处，测得仰角为60°，若学生的身高忽略不计，≈1.7，结果精确到1 m，则该楼的高度CD为(　　) A.47 m B.51 m C.53 m D.54 m 【举一反三2】为了求河对岸建筑物AB的高，在地平面上测得基线CD＝180米，在C点测得A点的仰角为30°，在地平面上测得∠BCD＝∠BDC＝45°，那么AB的高是__________米． 【举一反三3】哈尔滨龙塔坐落于经济技术开发区，在钢结构塔中位居亚洲第一，世界第二．在塔上有一个室外观光平台A可以欣赏的哈尔滨市的全景，室外观光平台中央位置A距离塔顶P约146米，一名同学站在C处观察A点的仰角为45°，观察P点的仰角为60.5°，则龙塔PB的高度为______________．(已知：tan60.5°＝1.77)(精确到1米) 【举一反三4】如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度．当飞机在离地面高度CE＝1 500 m时，测量人员从C处测得A、B两点处的俯角分别为60°和45°.求隧道AB的长(≈1.732，结果保留整数)． 【举一反三5】小明周日在广场放风筝，如图，小明为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为20米，小明的身高AB为1.75米，请你帮小明计算出风筝离地面的高度．(结果精确到0.1米，参考数据2≈1.41，3≈1.73) 学科网（北京）股份有限公司 $