1.1有理数的引入讲义2025-2026学年沪教版（五四制）数学六年级上册

1.1 有理数的引入 学习目标 1. 理解负数产生的实际意义，掌握用正、负数表示相反意义的量。 2. 理解有理数的概念，能正确对有理数进行分类。 3. 体会数的扩充过程，培养数感和抽象思维能力。 知识点讲解 1. 相反意义的量： 在现实生活中，存在着大量具有相反意义的量。例如：零上温度与零下温度、向东走与向西走、收入与支出等。为了区分这些具有相反意义的量，我们引入了正数和负数。 2. 正数与负数的定义： · 正数：像 +3、+5.2、+ 这样大于 0 的数叫做正数。“+”号读作“正”，通常可以省略不写。例如，+3 可写作 3。 · 负数：像 -2、-4.5、- 这样在正数前面加上“-”号的数叫做负数。“-”号读作“负”，不能省略。 · 0：0 既不是正数，也不是负数。它是正数与负数的分界点。 3. 有理数的概念： · 整数：正整数、零和负整数统称为整数。 例如：1，2，3，... (正整数)；0 (零)；-1，-2，-3，... (负整数)。 · 分数：正分数和负分数统称为分数。 例如：，3，0.2 (正分数)；-，-2.7，- (负分数)。 · 有理数：整数和分数统称为有理数。 4. 有理数的分类： 有理数可以按以下两种方式分类： 按定义分类：有理数 按性质（正负）分类：有理数 例题解析 1. 例题1：判断下列各数哪些是正数，哪些是负数，哪些既不是正数也不是负数。 +5， -3， 0， ， -0.7， π， 100 2. 例题2：用正负数表示下列具有相反意义的量。 (1) 若向东走5米记作 +5米，则向西走8米记作什么？ (2) 若收入1000元记作 +1000元，则支出800元记作什么？ (3) 若水位上升0.3米记作 +0.3米，则水位下降0.2米记作什么？ 3. 例题3：将下列各数填入相应的集合圈内。 -5， 3.7， ， 0， -3.14， 10， -， 2023 整数集合：{ ... } 分数集合：{ ... } 有理数集合：{ ... } 巩固练习 1. 判断题（对的打“√”，错的打“×”）。 (1) 零是正数。 ( ) (2) 负数一定比正数小。 ( ) (3) 带有“-”号的数都是负数。 ( ) (4) 0 是最小的有理数。 ( ) (5) 整数都是正数。 ( ) 2. 用正负数表示下列各量。 (1) 某商店本月盈利5000元记作 +5000元，那么亏损2000元记作 。 (2) 若把海平面的高度记为0米，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86米记作 +8848.86米，那么吐鲁番盆地低于海平面155米记作 。 (3) 小明向北走了10米记作 +10米，那么他向南走了15米记作 。 3. 将下列各数分别填入相应的大括号里。 -2， 0.3， ， 0， -3.14， 10， -， -1， 6.8 正整数集合：{ ... } 负整数集合：{ ... } 正分数集合：{ ... } 负分数集合：{ ... } 有理数集合：{ ... } 4. 选择题：下列说法中，正确的是（ ） A. 正数和负数统称为有理数 B. 0是最小的整数 C. 正有理数和负有理数组成全体有理数 D. 0是有理数 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1 有理数的引入 学习目标 1. 理解负数产生的实际意义，掌握用正、负数表示相反意义的量。 2. 理解有理数的概念，能正确对有理数进行分类。 3. 体会数的扩充过程，培养数感和抽象思维能力。 知识点讲解 1. 相反意义的量： 在现实生活中，存在着大量具有相反意义的量。例如：零上温度与零下温度、向东走与向西走、收入与支出等。为了区分这些具有相反意义的量，我们引入了正数和负数。 2. 正数与负数的定义： · 正数：像 +3、+5.2、+ 这样大于 0 的数叫做正数。“+”号读作“正”，通常可以省略不写。例如，+3 可写作 3。 · 负数：像 -2、-4.5、- 这样在正数前面加上“-”号的数叫做负数。“-”号读作“负”，不能省略。 · 0：0 既不是正数，也不是负数。它是正数与负数的分界点。 3. 有理数的概念： · 整数：正整数、零和负整数统称为整数。 例如：1，2，3，... (正整数)；0 (零)；-1，-2，-3，... (负整数)。 · 分数：正分数和负分数统称为分数。 例如：，3，0.2 (正分数)；-，-2.7，- (负分数)。 · 有理数：整数和分数统称为有理数。 4. 有理数的分类： 有理数可以按以下两种方式分类： 按定义分类：有理数 按性质（正负）分类：有理数 例题解析 1. 例题1：判断下列各数哪些是正数，哪些是负数，哪些既不是正数也不是负数。 +5， -3， 0， ， -0.7， π， 100 解析： 根据正数和负数的定义： · 大于0的数是正数：+5 是正数， 是正数，100 是正数。 · 在正数前面加上“-”号的数是负数：-3 是负数，-0.7 是负数。 · 0 既不是正数也不是负数。 · π 是一个无限不循环小数，它不是有理数，在此题中暂不讨论其正负性（小学阶段不涉及）。 答案： 正数：+5， ， 100； 负数：-3， -0.7； 既不是正数也不是负数：0。 2. 例题2：用正负数表示下列具有相反意义的量。 (1) 若向东走5米记作 +5米，则向西走8米记作什么？ (2) 若收入1000元记作 +1000元，则支出800元记作什么？ (3) 若水位上升0.3米记作 +0.3米，则水位下降0.2米记作什么？ 解析： 用正负数表示相反意义的量时，首先要规定哪一个量为正（或为负）。 (1) 规定向东为正，则向西为负。向西走8米记作 -8米。 (2) 规定收入为正，则支出为负。支出800元记作 -800元。 (3) 规定水位上升为正，则水位下降为负。水位下降0.2米记作 -0.2米。 答案： (1) -8米； (2) -800元； (3) -0.2米。 3. 例题3：将下列各数填入相应的集合圈内。 -5， 3.7， ， 0， -3.14， 10， -， 2023 整数集合：{ ... } 分数集合：{ ... } 有理数集合：{ ... } 解析： · 整数包括正整数、0和负整数。所以 -5（负整数），0（零），10（正整数），2023（正整数）是整数。 · 分数包括正分数和负分数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数。3.7（正分数，可化为），（正分数），-3.14（负分数，可化为），-（负分数）是分数。 · 有理数是整数和分数的统称，所以上述所有数都是有理数。 答案： 整数集合：{ -5， 0， 10， 2023， ... } 分数集合：{ 3.7， ， -3.14， -， ... } 有理数集合：{ -5， 3.7， ， 0， -3.14， 10， -， 2023， ... } 巩固练习 1. 判断题（对的打“√”，错的打“×”）。 (1) 零是正数。 ( ) (2) 负数一定比正数小。 ( ) (3) 带有“-”号的数都是负数。 ( ) (4) 0 是最小的有理数。 ( ) (5) 整数都是正数。 ( ) 答案与解析： (1) × 。0既不是正数也不是负数。 (2) √ 。所有负数都小于0，所有正数都大于0，所以负数一定比正数小。 (3) × 。例如 -(-3) = 3，是正数。带“-”号的数不一定是负数，关键看“-”号后面的数的性质以及“-”号的个数（后续会学习）。 (4) × 。有理数包括负有理数，负有理数都小于0，所以0不是最小的有理数，没有最小的有理数。 (5) × 。整数包括正整数、0和负整数，例如 -1是整数但不是正数。 2. 用正负数表示下列各量。 (1) 某商店本月盈利5000元记作 +5000元，那么亏损2000元记作 。 (2) 若把海平面的高度记为0米，珠穆朗玛峰高于海平面8848.86米记作 +8848.86米，那么吐鲁番盆地低于海平面155米记作 。 (3) 小明向北走了10米记作 +10米，那么他向南走了15米记作 。 答案与解析： (1) -2000元 。盈利和亏损是相反意义的量，盈利记为正，亏损则记为负。 (2) -155米 。高于海平面和低于海平面是相反意义的量，高于记为正，低于则记为负。 (3) -15米 。向北和向南是相反意义的量，向北记为正，向南则记为负。 3. 将下列各数分别填入相应的大括号里。 -2， 0.3， ， 0， -3.14， 10， -， -1， 6.8 正整数集合：{ ... } 负整数集合：{ ... } 正分数集合：{ ... } 负分数集合：{ ... } 有理数集合：{ ... } 答案与解析： · 正整数是指大于0的整数：10 · 负整数是指小于0的整数：-2， -1 · 正分数是指大于0的分数（包括可化为分数的有限小数和无限循环小数）：0.3（可化为）， ， 6.8（可化为） · 负分数是指小于0的分数（包括可化为分数的有限小数和无限循环小数）：-3.14（可化为）， - · 有理数包括所有整数和分数：-2， 0.3， ， 0， -3.14， 10， -， -1， 6.8 正整数集合：{ 10， ... } 负整数集合：{ -2， -1， ... } 正分数集合：{ 0.3， ， 6.8， ... } 负分数集合：{ -3.14， -， ... } 有理数集合：{ -2， 0.3， ， 0， -3.14， 10， -， -1， 6.8， ... } 4. 选择题：下列说法中，正确的是（ ） A. 正数和负数统称为有理数 B. 0是最小的整数 C. 正有理数和负有理数组成全体有理数 D. 0是有理数 答案与解析： A. 错误。有理数是整数和分数的统称，正数和负数中包含了无理数（如π是正数但不是有理数）。 B. 错误。整数包括负整数，例如 -1 是整数且小于0，所以0不是最小的整数，没有最小的整数。 C. 错误。全体有理数包括正有理数、0和负有理数，遗漏了0。 D. 正确。0是整数，整数是有理数，所以0是有理数。 答案：D 学科网（北京）股份有限公司 $