2.3：二次函数与一元二次方程、不等式讲义【十大题型】-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列

2.3：二次函数与一元二次方程、不等式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二　一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点四 解一元二次不等式 ①化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)； ②计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； ③有根求根； ④根据图象写出不等式的解集. 知识点五 解分式不等式 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0. 知识点六 一元二次不等式恒成立问题 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 【例题详解】 题型一、解不含参数的一元二次不等式 【例1】．（25-26高一上·全国）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【跟踪训练1】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 【跟踪训练2】（24-25高一上·全国·课前预习）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二、解分式不等式和含绝对值不等式 【例2】（25-26高一上·广西柳州）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【跟踪训练1】．（24-25高一上·上海·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【跟踪训练2】．（2025高三·天津·专题练习）求下列不等式的解集： (1); (2)； (3)； 题型三、解含有参数的一元二次不等式 【例3】．（25-26高一上·全国）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·江西·开学考试）解关于x的不等式： 【跟踪训练2】．（22-23高一上·吉林长春·阶段练习）. (1)若对任意的都有成立，求的范围； (2)解关于的不等式. 题型四、由一元二次不等式的解确定参数 【例4】．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型五、一元二次方程根的分布问题 【例5】．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【跟踪训练2】．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 题型六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 【例6】．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【跟踪训练2】．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【例7】．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题 【例8】．（24-25高一上·河南驻马店·期中）“，”的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练2】．（24-25高一上·湖北荆州）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 题型九、一元二次不等式的实际应用 【例9】．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【跟踪训练1】．（24-25高一上·全国·课后作业）某网店销售一批新款削笔器，进价为10元/个.经统计，该削笔器的日销售量（单位：个）与售价（单位：元）满足如图所示的函数关系. (1)为了使这批削笔器的日利润最大，应怎样定制这批削笔器的销售价格？ (2)为了使这批削笔器的日利润不低于售价为15元时的日利润，求售价的取值范围. 【跟踪训练2】．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 题型十：一元二次不等式的综合问题 【例10】．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数． (1)若关于的不等式的解集是，求的值． (2)若，求关于的不等式的解集． 【跟踪训练1】．（25-26高一上·湖北孝感·开学考试）设函数（） (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·辽宁·期中）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是（   ） A． B． C．关于的一元二次不等式的解集为 D．关于的一元二次不等式的解集为或 3．（25-26高一上·浙江·期中）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（25-26高一上·全国·单元测试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 6．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）设，则关于的不等式有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D． 7．（25-26高一上·天津·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（25-26高一上·广东·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 9．（25-26高一上·全国·课后作业）关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·广东江门·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 12．（24-25高一上·山东德州·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则且 D．若，则关于的不等式的解集为或 三、填空题 13．（25-26高一上·全国·课堂例题）（1）不等式的解集为 ；（2）不等式的解集为 . 14．（25-26高一上·广东广州）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 ． 15．（2025高一上·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是 ． 16．（2025高三·天津·专题练习）设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根. （1）则的取值范围是 ； （2）在此条件下，使有解，则的取值范围为 . 四、解答题 17．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知是一元二次方程的两个不等实数根． (1)若均为正根，求实数的取值范围； (2)求使的值为整数的的整数值； 18．（22-23高一上·四川广安·阶段练习）（1）若对于任意实数x都有恒成立，求实数a的取值范围； （2）已知，求关于x的不等式的解集. 19．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 20．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3：二次函数与一元二次方程、不等式 【考点梳理】 【知识梳理】 知识点一　一元二次不等式的概念 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，叫做一元二次不等式 一般形式 ax2＋bx＋c>0，ax2＋bx＋c<0，ax2＋bx＋c≥0，ax2＋bx＋c≤0，其中a≠0，a，b，c均为常数 知识点二　一元二次函数的零点 一般地，对于二次函数y＝ax2＋bx＋c，我们把使ax2＋bx＋c＝0的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点． 知识点三　二次函数与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点四 解一元二次不等式 ①化为基本形式ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0(其中a>0)； ②计算Δ＝b2－4ac，以确定一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有解； ③有根求根； ④根据图象写出不等式的解集. 知识点五 解分式不等式 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0；(2)≤0⇔(3)≥a⇔≥0. 知识点六 一元二次不等式恒成立问题 恒成立的不等式问题通常转化为求最值问题，即：k≥f(x)恒成立⇔k≥f(x)max；k≤f(x)恒成立⇔k≤f(x)min. 【例题详解】 题型一、解不含参数的一元二次不等式 【例1】．（25-26高一上·全国）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)． (3)或． (4)． 【分析】（1）求出的两个根，进而得到不等式的解集； （2）恒成立，故不等式解集为； （3）变形得到，求出不等式解集； （4）分别解和，进而求出答案. 【详解】（1）对于方程， 所以由求根公式可得方程的两个实数根为，， 所以不等式的解集为． （2）恒成立，则不等式的解集为． （3），移项得， 整理得，即， 解得或，则不等式的解集为或． （4）因为，即， 解不等式，即，解得； 解不等式，即， 又因为恒成立， 所以不等式的解集为． 综上，不等式的解集为． 【跟踪训练1】（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）求下列一元二次不等式的解集 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用因式分解法结合一元二次不等式解集的形式，解不等式； （2）根据一元二次不等式解集的形式，解不等式； （3）根据实数的性质解不等式； （4）根据根的判别式的值确定解集的形式. 【详解】（1）或. 所以所求不等式的解集为： （2）. 所以所求不等式的解集为： （3）由. 所以所求不等式的解集为： （4）因为. 由， 所以所求不等式的解集为： 【跟踪训练2】（24-25高一上·全国·课前预习）解下列不等式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)或； (2) (3)或． (4) 【分析】首先变形不等式的形式，再求对应方程的实数根，再结合二次函数的图象，即可求解. 【详解】（1）方程的两根为，．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或； （2）原不等式可化为． 解方程，得．结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． （3）原不等式可化为． 方程两根为2和-3． 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为或． （4）由原不等式得． 原不等式等价于． 解方程，得． 结合二次函数的图象知，原不等式的解集为． 题型二、解分式不等式和含绝对值不等式 【例2】（25-26高一上·广西柳州）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果； （2）利用分式不等式的解法：分式不等式转化成整式不等式，得到，且，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. （3）根据条件得到，利用，将问题转化成，再利用一元二次不等式的解法，即可求出结果. 【详解】（1）因为等价于，得到或， 所以的解集为或. （2）由，得到，即， 等价于，且，解得或， 所以的解集为或. （3）由，得到， 又恒成立， 所以原不等式等价于，解得， 所以原不等式的解集为 【跟踪训练1】．（24-25高一上·上海·期中）求下列不等式的解集： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）化分式不等式的右边为0，通分转化为一元二次不等式求解. （2）分段去绝对值符号求解不等式. 【详解】（1）不等式，则，解得， 所以原不等式的解集为. （2）不等式化为：或或， 解得；不等式组无解；解得， 所以原不等式的解集为. 【跟踪训练2】．（2025高三·天津·专题练习）求下列不等式的解集： (1); (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）不等式移项，化二次项系数为正，因式分解后，结合一元二次方程的根可得解集； （2）根据分式不等式的解法转化为整式不等式求解； （3）化为整式不等式平方后求解即可； 【详解】（1）原不等式可化为，即， 所以， 故原不等式的解集为 （2）由可得， 即，解得， 所以不等式的解集为. （3）由可得， 即，解得且， 所以不等式的解集为. 题型三、解含有参数的一元二次不等式 【例3】．（25-26高一上·全国）解下列关于的不等式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】三个不等式左侧都不能因式分解，相应一元二次方程解的情况不确定，因此需要分别研究时不等式的解集． 【详解】（1）对于一元二次方程，判别式． 当时，的解集为； 当时，的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为． 综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为． （2）对于一元二次方程，，判别式． 当时，等价于，解得， 故不等式的解集为； 当时，，方程的两根分别为，且， 则的解集为或； 当时，，不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为． （3）对于一元二次方程， 当时，，的解集为； 当时，的解集为； 当或时，，方程的两根分别为，且， 所以不等式的解集为． 综上，当时，不等式的解集为； 当或时，不等式的解集为． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·江西·开学考试）解关于x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【跟踪训练2】．（22-23高一上·吉林长春·阶段练习）. (1)若对任意的都有成立，求的范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）就、分类讨论，后者再结合判别式可求的范围； （2）就、、、及分类讨论后可得不等式的解集. 【详解】（1）即为， 若，则恒成立；若，则，即， 故 （2）即为即， ①当时，，即解集为， ②当时，令得， (i)当时，，开口向上，此时不等式的解集为； (ii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为； (iii)当时，，开口向下， 此时不等式的解集为或； (iiii)当时，，开口向下，此时不等式的解集为或. 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或; 当时，解集为; 当时，或. 题型四、由一元二次不等式的解确定参数 【例4】．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨）已知关于的不等式的解集为或，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据不等式解得结构可得，且，不等式同时除以后即可得出解集. 【详解】由题知，方程的两个根分别为，且， 则， 又，即， 所以的解集为. 故选：A. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据不等式的解集求得，，再求解分式不等式即可. 【详解】由题可知的根为1和2，代入方程可得，， 不等式等价于，则解集为， 故选：D. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·贵州毕节·阶段练习）若不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系，及根与系数的关系，求出，从而求出不等式的解集. 【详解】不等式的解集为， 和是的解， ， 解得， ， 整理的， ， 故不等式的解集为：， 故答案为：B. 题型五、一元二次方程根的分布问题 【例5】．（23-24高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由的解集，得到，，，进而可求解； 【详解】∵不等式的解集为或， 可得,是方程的两根， 由韦达定理可得： ，，且， 所以的解集，即， 所以解集为， 故选：A. 【跟踪训练1】．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．的解集为 【答案】C 【分析】利用三个二次的关系分析得到，，即可判断AB；对于C，由或可得；对于D，利用前面已得结论，消元后解一元二次不等式即得. 【详解】由题意知，和3是方程的两根，且， 则有，故得. 对于AB，由和，可推得，故AB均错误； 对于C，因或故，故C正确； 对于D，由上分析，不等式可化为， 因，故可解得，即的解集为，故D错误. 故选：C. 【跟踪训练2】．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 题型六、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 【例6】．（24-25高一上·浙江·期中）关于的方程有两根，其中一根小于2，另一根大于3，则实数的取值范围是（   ） A．或 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件结合一元二次函数及其方程的性质列出关于a的不等式组，即可求解． 【详解】设， 则由题意可知，即，解得， 故实数的取值范围是. 故选：C． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·安徽合肥·期中）已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（） A．或 B． C． D．或 【答案】B 【分析】设关于x的方程的两个根分别为，根据满足的条件列不等式组，解不等式组即可得实数的取值范围. 【详解】设关于x的方程的两个根分别为, 则由根与系数的关系，知 所以由题意知， 即， 解得. 故选：B 【跟踪训练2】．（22-23高一上·福建福州·阶段练习）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【详解】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 题型七、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【例7】．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 【跟踪训练1】．（24-25高一上·广东广州·阶段练习）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D 【跟踪训练2】．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 题型八、一元二次不等式在某区间上有解问题 【例8】．（24-25高一上·河南驻马店·期中）“，”的一个充分条件可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】转化为，而是或（把看成的一次函数），所以只需满足或即可. 【详解】若函数在上恒成立， 则只需， 解得，即的取值范围是， 故“，”的一个充分条件可以是“”. 故选：B 【跟踪训练1】．（24-25高一上·广东佛山·阶段练习）若存在，使不等式成立，则实数a取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，将问题等价转化为，然后讨论的最大值，从而求出的取值范围. 【详解】令，对称轴方程为， 若存在，使不等式成立， 等价于， 当时，即时，，解得， 因为，所以； 当时，即时，，解得， 因为，所以； 因为，所以. 故选:C. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·湖北荆州）若存在，使，则的取值集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出命题的否定为真时，的范围，再求其补集即可. 【详解】命题存在，使的否定为，使， 若，使为真， 则，所以， 故若存在，使则， 所以的取值集合是. 故选：A. 题型九、一元二次不等式的实际应用 【例9】．（24-25高一上·广东广州·期末）某地区上年度电价为0.8元/（），年用电量为，本年度计划将电价下降到0.55元/（）至0.7元/（）之间，而用户期望电价为0.4元/（）.经测算，下调电价后新增用电量和实际电价与用户的期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区的电力成本价为0.3元/（）. (1)写出本年度电价下调后电力部门的收益（单价：元）关于实际电价（单位：元/（））的函数解析式；（收益=实际电量（实际电价-成本价）） (2)设，当电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长？ 【答案】(1)， (2)当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长 【分析】（1）设下调电价后新增用电量为，可得出，进而得出收益关于实际电价的函数解析式； （2）根据题意列不等式组，解一元二次不等式即可得出结论. 【详解】（1）设下调电价后新增用电量为， 因为下调电价后新增用电量和实际电价与用户期望电价的差成反比（比例系数为）， 则，所以本年度的用电量为， 所以本年度电力部门的收益关于实际电价的函数解析式为：，. （2）依题意有：， 整理得：，解得：， 所以当电价最低定为元/（）时，可保证电力部门的收益比上年至少增长． 【跟踪训练1】．（24-25高一上·全国·课后作业）某网店销售一批新款削笔器，进价为10元/个.经统计，该削笔器的日销售量（单位：个）与售价（单位：元）满足如图所示的函数关系. (1)为了使这批削笔器的日利润最大，应怎样定制这批削笔器的销售价格？ (2)为了使这批削笔器的日利润不低于售价为15元时的日利润，求售价的取值范围. 【答案】(1)20元 (2) 【分析】（1）根据图象可设，求出其表达式，结合二次函数性质即可求答案； （2）由题意可列出不等式，解一元二次不等式，即可得答案. 【详解】（1）根据图象可设， 将和代入解得，故， 设日利润为元，则， 所以当时，日利润最大. 为了使这批削笔器的日利润最大，这批削笔器的销售价格应定为20元. （2）由（1）可知，当时，， 要使这批削笔器的日利润不低于售价为15元时的日利润， 则，即， 对于方程， 方程的两个实数根为， 为了使这批削笔器的日利润不低于售价为15元时的日利润， 则售价的取值范围是. 【跟踪训练2】．（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）2022年新冠肺炎仍在世界好多国家肆虐，并且出现了传染性更强的“德尔塔”变异毒株、“拉姆达”变异毒株，尽管我国疫情得到了很好的遏制，但由于整个国际环境的影响，时而也会出现一些散发病例，故而抗疫形势依然严峻，日常防护依然不能有丝毫放松．在日常防护中，医用防护用品必不可少，某公司一年购买某种医用防护用品600吨，每次都购买x吨，运费为6万元/次，一年的存储费用为万元.一年的总费用y（万元）包含运费与存储费用. (1)要使总费用不超过公司年预算260万元，求x的取值范围. (2)要使总费用最小，求x的值. 【答案】(1) (2)30 【分析】（1）由题得购买货物的次数为，于是依据题目所给的数据即可得一年的总费用y，再由即可求解的取值范围. （2）先由（1）得一年的总费用y，再直接利用基本不等式即可求出最小时x的值. 【详解】（1）因为公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨， 所以购买货物的次数为， 故， 化简得，解得， 所以x的取值范围为. （2）由（1）可知， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以当时，一年的总费用最小， 故x的值为30. 题型十：一元二次不等式的综合问题 【例10】．（23-24高一上·湖南衡阳·阶段练习）已知函数． (1)若关于的不等式的解集是，求的值． (2)若，求关于的不等式的解集． 【答案】(1)； (2)答案见详解. 【分析】（1）根据二次函数解集的区间端点值为二次方程的根可得的值，再求解二次不等式可得的值； （2）将二次不等式因式分解，对的情况分类讨论解不等式即可. 【详解】（1）因为不等式的解集是， 所以是方程的两个实数根，且， 将代入方程中得：， 则原不等式为：， 即， 所以不等式的解集为， 从而得出， 所以. （2）由不等式得：， 因为，所以不等式变形得到：， 所以对应方程的根为：或， ①当时，即，不等式为， 此时不等式解集为：； ②当时，即， 此时不等式解集为：或； ③当时，即， 此时不等式解集为：或； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：或； 当时，不等式解集为：或. 【跟踪训练1】．（25-26高一上·湖北孝感·开学考试）设函数（） (1)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）将问题转化为，恒成立，进而结合二次不等式恒成立问题求解即可； （2）不等式化简为，进而根据含参一元二次不等式的解法，分类讨论即可求解. 【详解】（1）恒成立等价于，恒成立. 当时，不等式可化为，满足题意. 当时，有，即，解得， 综上，a的取值范围是. （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 此时，所以不等式的解集为； 当时，不等式化为， 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为或； 当时，，不等式的解集为或 ； 综上，当时，原不等式的解集为或 ； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【跟踪训练2】．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数． (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据不等式的解集，利用韦达定理即可解； （2）讨论和时，恒成立的条件，然后求解即可. 【详解】（1）因为不等式的解集为， 所以方程的两根为， 则，解得． （2）当时，， 若，不等式转化为对一切实数恒成立，显然满足题意； 若，不等式转化为对一切实数恒成立，易知不满足题意； 当时，由题意可知， 解得或． 综上，实数的取值范围为． 【高分演练】 一、单选题 1．（25-26高一上·辽宁·期中）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】整理可得，根据一元二次不等式的解法，即可得答案. 【详解】由，可得：， 解得：或 ，即 故选：D 2．（24-25高一上·福建莆田·阶段练习）关于的一元二次不等式的解集为，则下列不正确的是（   ） A． B． C．关于的一元二次不等式的解集为 D．关于的一元二次不等式的解集为或 【答案】D 【分析】由题可得的解为或，，然后由韦达定理可得关系，可判断各选项正误. 【详解】因的解集为，则，故A正确； 对于B，由题可得的解为或，由韦达定理：，，则，故B正确； 对于C，关于的一元二次不等式可化为：，故C正确； 对于D，关于的一元二次不等式可化为： 或，故D错误. 故选：D. 3．（25-26高一上·浙江·期中）若，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】由不等式的性质化简，然后由相应二次方程根的大小得出不等式的解． 【详解】因为，， 所以， 又不等式对应方程的根为：，且， 所以不等式的解为或， 故选：C． 4．（25-26高一上·全国·单元测试）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方法一：分、、讨论去绝对值可得答案；方法二：利用绝对值的几何意义求解数形结合可得答案. 【详解】方法一 ：零点分段法 当时，原不等式可以化为，解得； 当时，原不等式可以化为，即，无解； 当时，原不等式可以化为，解得， 综上所述，原不等式的解集为； 方法二：  数形结合法 如图，设数轴上与，1对应的点分别为， 那么点之间的点到两点的距离和为2， 因此区间上的数都不是不等式的解． 设在点左侧有一点到两点的距离之和为3，则对应数轴上的． 由，得．设点右侧有一点到两点的距离之和为3， 则对应数轴上的，由，得． 从数轴上可看到，点之间（不包含）的点到的距离之和都小于3， 点的左侧或点的右侧的任何点到的距离之和都大于3， 所以原不等式的解集为． 故选：D. 【点睛】方法点睛：形如和型不等式的两种求解方法 （1）令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根，把这些根由小到大排序，它们把数轴分为若干个区间，然后利用区间分段讨论法去绝对值符号求解，这种方法体现了分类讨论的思想，是解绝对值不等式最常用的方法．（2）利用绝对值的几何意义求解，这种方法体现了数形结合的思想，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题的关键． 5．（24-25高一下·广东揭阳·期末）已知命题，为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】对实数的取值进行分类讨论，当或时，直接验证即可；当时，结合二次不等式能成立可得出关于实数的不等式，解之即可. 【详解】当时，成立； 当时，抛物线开口向上，成立； 当时，由，得或，所以． 综上所述，． 故选：A. 6．（24-25高一上·陕西西安·阶段练习）设，则关于的不等式有解的一个充分不必要条件是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】先求解二次不等式有解的充要条件，即找到对应的集合，然后根据充分不必要条件与集合之间的对应关系， 即所求的集合是的一个真子集，从而作出判断. 【详解】由有解，可知：，解得，记， 由关于的不等式有解的一个充分不必要条件是的真子集， 所以在四个选项中只有满足， 故选：A. 7．（25-26高一上·天津·期中）对满足的任意正实数、，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，利用基本不等式可算出，再将最小值代入，解一元二次不等式即可求解. 【详解】由不等式恒成立，即， ，，且， ， 当且仅当，即时取等号， ， ，即， 解得， 故实数的取值范围是. 故选：C 二、多选题 8．（25-26高一上·广东·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】BD 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或， ，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得， 则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即， 解得或， 故不等式的解集为或，D正确. 故选：BD. 9．（25-26高一上·全国·课后作业）关于的不等式的解集可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】二次项系数含有参数，应先讨论是否为0，容易遗漏时为一次不等式的情况． 【详解】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确． 当时，为一元二次不等式， 且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况． 当时，． 当，即时，不等式的解集为，故C正确． 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为． 当时，，此时显然， 不等式的解集为，故D正确． 故选：BCD 10．（25-26高一上·河南南阳·开学考试）关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据与2的大小，求得不等式的解，分析其中恰有2个整数的情形即可求解. 【详解】不等式化为， 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则； 当时，不等式无解，不符合； 当时，不等式解为， 不等式解集中恰有两个整数，则这两个整数为，则. 综上，满足题意的实数的取值范围可能是或. 故选：AB 11．（24-25高一上·广东江门·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（      ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】ACD 【分析】根据一元二次不等式的解集，确定的关系及符号，可判断AC的真假；解不等式可判断BD的真假. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以和是一元二次方程的两个实数根，且该一元二次函数的开口向下. 所以且，解得.A正确； ，解得，故的解集为，B错误； ，C正确；， 解得. 所以的解集为，D正确. 故选：ACD 12．（24-25高一上·山东德州·阶段练习）已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则关于的不等式的解集也为 C．若，则且 D．若，则关于的不等式的解集为或 【答案】ACD 【分析】对于A和D，根据条件，利用一元二次不等式的解法，得，且，即可求解；对于B，由题是可得，从而得不等式的解集，即的解集，即可求解；对于C，利用一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】对于A，因为，则，且和是方程的两根， 则，得到，所以，故A正确； 对于B，若，则， 此时等价于，即， 显然一元二次不等式与一元二次不等式解集不相等，所以B错误； 对于C，令，因为，则图象开口向下，且与轴有一个交点或无交点， 所以且，故C正确； 对于D，因为，由选项A知，，且， 由，得到，即，解得或，所以D正确， 故选：ACD. 三、填空题 13．（25-26高一上·全国·课堂例题）（1）不等式的解集为 ；（2）不等式的解集为 . 【答案】 或 【分析】（1）根据条件，两边平方得，即可求解； （2）将分式不等式转化为等价的整式不等式组求解. 【详解】（1）由，得到，所以， 所以，即， 解得，即不等式的解集为； （2）不等式，可化为， 等价于， 解得或，所以不等式的解集为或， 故答案为：；或 14．（25-26高一上·广东广州）已知命题“，”是真命题，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由恒成立的等价条件为求解即可. 【详解】命题“，”是真命题， 又，则，解得． 故答案为：. 15．（2025高一上·全国·专题练习）关于的方程至少有一个负根的充要条件是 ． 【答案】 【分析】根据题意，分和，结合一元一次方程和一元二次方程的性质，结合韦达定理，列出不等式组，即可求解. 【详解】当时，方程为，此时方程的根为负根， 当时，方程， 至少有一个负实根包含方程有两个负根和一正一负两个实根两种情况： 当方程有两个负根（含重根）时，则有，解得； 当方程有一个负根一个正根时，则有，解得． 综上所述，当关于的方程至少有一个负根时，有， 即关于的方程至少有一个负根的充要条件是． 故答案为：． 16．（2025高三·天津·专题练习）设实数满足条件：关于的方程至多一个实数根. （1）则的取值范围是 ； （2）在此条件下，使有解，则的取值范围为 . 【答案】 ． 【分析】（1）根据题意，只需满足求解即可； （2）将分离，得到关于的不等式，令进行换元，得到关于的函数，求出该函数的单调性，根据题中条件可知，函数有解，求得该函数的最大值即可. 【详解】（1）由方程至多一个实数根需满足，其中判别式： ， 解得 即的取值范围为; （2）对于，使有解， 即在上能成立，令，则， 则， 因为对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 即实数的取值范围. 故答案为：（1），（2） 四、解答题 17．（24-25高一上·辽宁大连·期中）已知是一元二次方程的两个不等实数根． (1)若均为正根，求实数的取值范围； (2)求使的值为整数的的整数值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题可得，判别式和，运算得解； （2）利用韦达定理化简，结合题意求解. 【详解】（1）由题意，一元二次方程有两个正根， 故，得， 且，解得：. （2）由题意，， 又当，即时，且， 故， 由于为整数，故只能取，又， 故整数的值为. 18．（22-23高一上·四川广安·阶段练习）（1）若对于任意实数x都有恒成立，求实数a的取值范围； （2）已知，求关于x的不等式的解集. 【答案】（1） （2）答案见解析 【分析】（1）根据题意得，求解即可； （2）不等式等价于，对分类讨论求不等式解集. 【详解】（1）根据题意，恒成立， 显然当时，不成立， 则，解得； （2）， 当时，，则， 当时，令，则，或，此时，∴或， 当时，即时，， 当，即时，， 当时，即时，， 综上所述:当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为；当时，； 当时，解集为. 19．（24-25高三上·安徽铜陵·阶段练习）美国国家海洋和大气管理局最近发布的一则预测引发全球关注：预计在年月，拉尼娜现象极有可能卷土重来；但尽管其可能带来短暂冷却，却不足以逆转全球变暖的趋势.某企业欲生产一款防暑降温套装，其每月的成本(单位：万元)由两部分构成： ①固定成本(与生产产品的数量无关)：万元； ②生产所需材料成本：万元，(单位：万套)为每月生产产品的套数． (1)该企业每月产量为何值时，平均每万套的成本最低？每万套的最低成本为多少？ (2)若每月生产万套产品，每万套售价为：万元，假设每套产品都能够售出，则该企业应如何制定计划，才能确保该套装每月的利润不低于万元． 【答案】(1)万套时，每万套的最低成本为12万元； (2)该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 【分析】（1）根据已知有平均每万套的成本，应用基本不等式求最小值； （2）由题设得到，解一元二次不等式求解，即可得结论. 【详解】（1）由题设，平均每万套的成本， 当且仅当万套时取等号，平均每万套的成本最低为12万元/万套； （2）由题设，该套装每月的利润为， 所以，可得， 所以，即该企业至少要生产30万套，才能确保该套装每月的利润不低于万元. 20．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数． (1)当时，求不等式的解集； (2)求不等式的解集； (3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）求出方程的根后可得不等式的解； （2）就、、分类讨论后可得不等式的解； （3）根据二次函数的对称轴可得不等式的三个不同的整数解，从而可得实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， 所以方程的根为或－3， 所以不等式的解集为． （2）若，即，此时二次函数的图象在轴上方， 不等式的解集为； ②若，即，此时方程为， 只有一个根，不等式的解集为； ③若，即， 此时方程的两根分别为，， 不等式的解集为． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）因为，故抛物线的对称轴为且开口向上， 而不等式的解集中恰有三个整数解， 故且，在不等式的解集中（、关于对称）， ，不在不等式的解集中（、关于对称）， 故， 故. 1 学科网（北京）股份有限公司 $