专题4.4 三角函数的图象与性质 讲义+巩固提升训练-2026届高三数学一轮复习

专题4.4 三角函数的图象与性质 基础巩固 一、单选题 1．函数定义域为（　　） A． B． C． D． 2．函数在区间上的最大值为（    ） A．-1 B． C． D．0 3．（2025�陕西汉中�三模）函数的一个单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 4．已知函数是奇函数，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 5．（24-25高三上�湖南永州�开学考试）已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上�安徽�阶段练习）当时，曲线与的交点个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．已知函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 8．已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，下列说法错误的是（    ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递减 D．是奇函数 二、多选题 9．（2025·四川巴中·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是的对称轴 B．是的周期 C．在区间上单调递减 D．的最大值为2 10．（25-26高三上·青海西宁·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．是的图象的一个对称中心 C．在区间上的值域为 D．将的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数 11．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数，则（    ） A．在定义域内是增函数 B．的最小正周期为 C．直线是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 三、填空题 12．（2025·上海·三模）函数，的零点是 ． 13．（25-26高三上·湖南·开学考试）函数的图象的一条对称轴方程是 ． 14．函数的值域是 ． 四、解答题 15．（25-26高三上·广东梅州·开学考试）已知函数. (1)求的最小正周期和对称轴方程； (2)求在区间上的最大值，并求出此时对应的的值. 16．已知，． (1)若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值； (2)若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值． 17．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)把的图象向左平移个单位长度，得到的图象．若的图象关于直线对称，求的最小值． 18．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）已知函数，直线和点是图象的一组相邻的对称轴和对称中心. (1)求； (2)设函数，求的最小正周期、最值和单调区间. 19．（25-26高二上�辽宁�阶段练习）已知向量，（，），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)若，且函数在区间上单调，求的取值范围； (3)当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，求的取值范围. 能力提升 一、单选题 1．已知函数，则下列结论错误的是（    ） A．为偶函数 B．的最小正周期为π C．的最小值为 D．的最大值为2 2．（23-24高三下�河南郑州�阶段练习）已知函数，且，则（    ） A． B．在区间上有3个零点 C．在上单调递减，在上单调递增 D． 3．（23-24高三上�安徽六安�阶段练习）已知函数在区间恰有两条对称轴，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上�江西南昌�阶段练习）已知，则下列选项中正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．关于直线对称 D．的值域为 二、多选题 5．（24-25高三上�湖北�开学考试）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为 C．函数的所有零点构成的集合为 D．函数在上是增函数 6．（24-25高三上�湖北�阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数．当时，，则下列结论正确的有（     ） A．在上单调递减 B． C．点是函数的一个对称中心 D．方程有5个实数解 三、填空题 7．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ；已知函数满足：①；②；③函数在上单调递减； 四、解答题 8．已知函数的最小正周期为. (1)求值； (2)再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定的解析式.设函数，求的单调增区间.条件①：是偶函数；条件②：图象过点；条件③：图象的一个对称中心为.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分. 9．定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 三角函数的图象与性质 题型1 三角函数的定义域 3 题型2 三角函数的值域及最值 4 考点1 求三角函数的值域 4 考点2 由正余弦函数的值域求参数 5 题型3 三角函数的周期性 5 考点2 由正余弦型函数的周期性求值 6 题型4 三角函数的奇偶性 6 题型5 三角函数的对称性 7 考点1 三角函数轴对称问题 7 考点2 三角函数中心对称问题 8 题型6 三角函数的单调性 9 考点1 求三角函数的单调区间 9 考点2 三角函数单调性的应用 9 高考真题演练 10 知识点一 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 1．在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． 2．在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 知识点二 周期函数 1．周期函数的定义 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2．最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 3．正弦函数、余弦函数的周期 (1)正弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是. (2)类似地，余弦函数也是周期函数，都是它的周期，最小正周期是. 4．函数及的周期 一般地，函数，及函数，，其中，，为常数，且，的周期 5．抽象函数的周期性 (1)若函数满足，则函数是周期函数，为它的一个周期. (2)若函数满足，则函数是周期函数，为它的一个周期.若，则的一个周期为. 知识点三 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 知识点四 正弦型函数及余弦型函数的性质 1．函数和的性质 函数 定义域 值域 单调性 当，时,将视为整体，代入或相应的单调区间求解；当或时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当时为奇函数， 当时为偶函数. 当时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象对称性 将视为整体,代入或相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 题型1 三角函数的定义域 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D．. 4．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是 ． 题型2 三角函数的值域及最值 考点1 求三角函数的值域 5．已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 6．函数的值域是 . 7．（1）函数，的值域为 ； （2）函数的最大值是 . 8．求下列函数的值域. (1)； (2). 9．函数的值域为 . 考点2 由正余弦函数的值域求参数 10．（2024�陕西安康�模拟预测）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 11．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．设函数.已知，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型3 三角函数的周期性 13．（2025·河南·三模）函数的最小正周期为 ． 14．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 15．（多选）在下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 16．函数的最小正周期和最小值分别为（    ） A．，1 B．， C．，1 D．，1 17．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D．不能确定 考点2 由正余弦型函数的周期性求值 18．（2025·北京大兴·三模）已知函数（），，，且的最小值为，则 ， ． 19．（2025·浙江嘉兴·一模）已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 20．（2023�湖南长沙�一模）已知函数，若存在，当时，，则函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 题型4 三角函数的奇偶性 21．（2025·河北邯郸·一模）若函数为偶函数，则取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 22．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 23．已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 24．若函数是奇函数，则的一个可能的值为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·湖南湘潭·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则实数φ的值为（    ） A． B． C． D． 26．已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 27．（2024�浙江杭州�三模）已知函数，则“”是“为奇函数且为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 28．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为 ． 题型5 三角函数的对称性 考点1 三角函数轴对称问题 29．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则的取值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 30．（2025·河北·一模）将函数 的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 31．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 32．（2025·北京·三模）已知函数，其中.如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 考点2 三角函数中心对称问题 33．（2025·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25高二上�湖南�开学考试）已知函数图象的两个相邻对称中心为，，则（    ） A． B． C． D． 35．（2025·四川巴中·模拟预测）设函数，对都有，则（    ） A． B． C． D． 36．（24-25高三上�浙江�开学考试）函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 37．（2024�安徽�三模）“”是“函数的图象关于对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 38．（2024�天津河西�二模）若函数满足对于， ，，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 题型6 三角函数的单调性 考点1 求三角函数的单调区间 39．（2025·山东·三模）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 40．已知函数，则在上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 41．函数在上的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 42．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 考点2 三角函数单调性的应用 43．下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 44．已知函数，设，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 45．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是 . 46．（2025·山西·三模）已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 47．（24-25高三上�广东广州�阶段练习）若函数在区间上是减函数，且，，，则（    ） A． B．1 C． D．2 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 2．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 7．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 三、填空题 11．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 12．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 13．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    14．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 四、解答题 15．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 16．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 三角函数的图象与性质 基础巩固 一、单选题 1．函数定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求含cosx型的函数的定义域 【分析】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域. 【详解】由题意，函数有意义，则满足，即 解得， 所以函数的定义域. 故选：A. 2．函数在区间上的最大值为（    ） A．-1 B． C． D．0 【答案】C 【知识点】求cosx（型）函数的最值 【分析】结合图像和整体代换法即可. 【详解】的图像如图所示， 因为 所以 所以当时，取得最大值， 即 故答案为： 3．（2025�陕西汉中�三模）函数的一个单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【分析】利用整体代入法结合余弦函数的性质可求单调减区间. 【详解】由，得， 故的单调减区间为， 对比各选项，只有C符合. 故选：C. 4．已知函数是奇函数，则的值可以是（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据三角函数的奇偶性可得，，求解得答案. 【详解】由为奇函数，可得，， 当时，. 故选：C. 5．（24-25高三上�湖南永州�开学考试）已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】由的最小正周期为，求得，再令，即可求解． 【详解】因为函数的最小正周期为， 所以，则， 令，则， 对比选项可知，只有当时，，符合题意，故D正确； 故选：D． 6．（24-25高三上�安徽�阶段练习）当时，曲线与的交点个数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【知识点】y=Acosx+B的图象、余弦函数图象的应用 【分析】作出函数与的图象，结合图象，即可求解. 【详解】作出函数与的图象，如图所示， 观察在上的两个函数的图象，共有5个交点. 故选：C. 7．已知函数在区间上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】根据题意确定，结合正弦函数的单调性列不等式组，即可求得得表达式，结合，即可确定答案. 【详解】当时，, 由于函数在区间上单调递增， 故，即， 即， 又，则， 故选：D 8．已知函数图象的一个对称中心是，点在的图象上，下列说法错误的是（    ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．在上单调递减 D．是奇函数 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的奇偶性、求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】由可得，由对称中心可求得，从而知函数的解析式，再根据余弦函数的图象与性质，逐一分析选项即可. 【详解】因为点在的图象上， 所以.又，所以. 因为图象的一个对称中心是，所以，， 则，.又，所以，则，A正确. ，则直线不是图象的一条对称轴，B不正确. 当时，，单调递减，C正确. ，是奇函数，D正确. 故选：B. 二、多选题 9．（2025·四川巴中·模拟预测）已知函数，则（    ） A．是的对称轴 B．是的周期 C．在区间上单调递减 D．的最大值为2 【答案】BC 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】通过辅助角公式将化简，再通过正弦函数的周期性、单调性、对称性以及最值，即可求解. 【详解】因为，通过辅助角公式可以得到， 对于选项A，的对称轴条件：，解得，不含，所以选项A错误； 对于选项B，，所以，所以是的周期，所以选项B正确； 对于选项C，令，解得，所以在区间上单调递减，所以选项C正确； 对于选项D，函数的最大值为1，因此的最大值为，所以选项D错误. 故选：BC. 10．（25-26高三上·青海西宁·开学考试）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．的最小正周期为 B．是的图象的一个对称中心 C．在区间上的值域为 D．将的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数是偶函数 【答案】ABD 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式 【分析】分析函数的图象和性质可得正确答案. 【详解】选项A：函数，最小正周期为，故选项A正确； 选项B：令，解得， 所以的图象的对称中心为.令，得， 所以是的图象的一个对称中心，故选项B正确； 选项C：当时，， 所以，即的值域为，故选项C错误； 选项D：设将的图象向左平移个单位长度得到的图象对应的函数为， 则. 因为的定义域为，所以的定义域为，且， 所以是偶函数，故选项D正确． 故选：ABD． 11．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数，则（    ） A．在定义域内是增函数 B．的最小正周期为 C．直线是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心 【答案】BD 【知识点】求正切型三角函数的单调性、求正切（型）函数的周期、求正切（型）函数的对称中心 【分析】举反例判断A；由正切函数最小正周期公式求解判断B；根据函数的对称性求解判断C；根据正切函数的对称中心求解判断D. 【详解】对于A，，错误； 对于B，中，则最小正周期为，正确； 对于C，函数的对称轴为， 令，解得， 则函数图象的对称轴为，令得，错误； 对于D，令，解得， 则函数图象的对称中心为， 令得，所以是图象的一个对称中心，正确． 故选：BD 三、填空题 12．（2025·上海·三模）函数，的零点是 ． 【答案】， 【知识点】求函数的零点、余弦函数图象的应用 【分析】令即可求出函数的零点. 【详解】令，则，， 当时，；当时，. 函数，的零点是，. 故答案为： 13．（25-26高三上·湖南·开学考试）函数的图象的一条对称轴方程是 ． 【答案】（答案不唯一） 【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式将化成正弦型函数，根据正弦函数的对称轴即可求出其对称轴. 【详解】， 由，，解得， 即图象的对称轴为． 所以为图象的一条对称轴. 故答案为：（答案不唯一） 14．函数的值域是 ． 【答案】 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、辅助角公式、求含sinx（型）的二次式的最值 【分析】利用，将原函数化简为，再令，转化为二次函数即可求解值域． 【详解】因为，所以，令，可知，则，， 二次函数图象开口向下，对称轴为，所以在对称轴处取得最大值，由于离对称轴更远，所以最小值在处取得，最小值为，即原函数的值域为． 四、解答题 15．（25-26高三上·广东梅州·开学考试）已知函数. (1)求的最小正周期和对称轴方程； (2)求在区间上的最大值，并求出此时对应的的值. 【答案】(1)； (2)， 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）由三角恒等变形化简得，根据，令求解即可； （2）由，，所以当时取得最大值. 【详解】（1） ， 令，解得， 所以的最小正周期，对称轴方程为. （2），， 当，即时，，取得最大值， 所以在区间上的最大值为，此时. 16．已知，． (1)若函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为，求的值； (2)若函数的图象关于对称，且函数在上单调，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式 【分析】（1）利用辅助角公式将函数化简，依题意，即可求出，从而得到函数解析式，再代入计算可得； （2）由对称性得到，，再由函数在区间上的单调性求出的范围，即可得解. 【详解】（1）因为， 因为函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为， 所以，则，所以，解得， 所以，所以. （2）由，函数的图象关于对称， 所以，，所以，， 由，，则， 又函数在上单调，所以，解得， 所以当时. 17．（25-26高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）已知函数． (1)求的单调递增区间； (2)把的图象向左平移个单位长度，得到的图象．若的图象关于直线对称，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）先根据诱导公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再采用整体替换的方法，结合正弦函数的单调递增区间即可求出的单调递增区间； （2）先结合（1），根据图象平移即可得到的解析式，再根据正弦函数的对称性即可求出的最小值． 【详解】（1）由     ， 又，，解得，， 所以的单调递增区间为． （2）由(1)知，又的图象关于直线对称， 则，，解得，，   因为，则取，得的最小值为． 18．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）已知函数，直线和点是图象的一组相邻的对称轴和对称中心. (1)求； (2)设函数，求的最小正周期、最值和单调区间. 【答案】(1) (2)最小正周期；最小值，最大值；单调增区间，，单调减区间，. 【知识点】由正弦（型）函数的周期性求值、求含cosx的函数的单调性、求cosx（型）函数的最值 【分析】（1）根据正弦函数图象的性质，先计算的最小正周期，再用整体代入法求解；（2）用积化和差公式先将的解析式进行化简，再根据余弦函数图象的性质求解. 【详解】（1）因为直线和点是图象的一组相邻的对称轴和对称中心，所以函数的最小正周期，故. 又因，故 因为点是函数的对称中心，所以，故，其中. 又因，故，即. 故 （2） 由积化和差公式得，. 化简得，. 所以函数的最小正周期为. 函数的最大值为，最小值为. 当，，即时，单调递增，则单调递减； 当，，即时，单调递减，则单调递增. 综上，最小正周期；最小值，最大值；单调增区间，，单调减区间，. 19．（25-26高二上�辽宁�阶段练习）已知向量，（，），，且的图象上相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数的解析式； (2)若，且函数在区间上单调，求的取值范围； (3)当时，关于的方程恰有三个不同的实数根，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、数量积的坐标表示 【分析】（1）结合数量积的坐标运算化简函数的解析式，由条件确定的周期，结合周期公式求，由此可得结论， （2）方法一：由（1），由条件可得，，结合正弦函数的单调性列不等式求结论， 方法二：由（1）知，求函数的单调区间，由条件列不等式可求结论， （3）原方程可化为或，确定函数的单调性及各区间的函数值的范围，分情况确定方程的解的个数，由此确定的取值范围. 【详解】（1）由向量，，得， 因为的图象上相邻两条对称轴之间的距离为， 可得，所以，即， 所以. （2）解法一：由（1）知， 因为，所以， 又因为，可得， 所以，， 则或， 解得或， 所以的取值范围为. 解法二：由（1）知， 令，，解得，， 所以函数的单调区间为，， 因为函数在区间上单调， 则满足，， 可得，解得，， 因为，，所以或， 当时，，当时，， 所以的取值范围为. （3）等价于， 解得或. 因为，所以，， 当时，是增函数，， 当时，是减函数，， 当时，是增函数，， 方程有三个不同的实数根等价于有一个实数解且有两个不同的实数解或有两个不同的实数解且有一个实数解. ①当或时，不符合题意； ②当时，则，有一个实数解，有一个实数解，不符合题意； ③当时，则，有两个不同的实数解，有一个实数解，符合题意； ④当时，则，有两个不同的实数解；有两个不同的实数解，不符合题意； ⑤当时，，有一个实数解，有两个不同的实数解，符合题意； ⑥当时，，有一个实数解，有一个实数解，不符合题意. 综上，的取值范围为. 能力提升 一、单选题 1．已知函数，则下列结论错误的是（    ） A．为偶函数 B．的最小正周期为π C．的最小值为 D．的最大值为2 【答案】B 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求含sinx的函数的奇偶性、求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】根据奇偶性的判断即可求解A,根据周期满足的条件即可判断B,根据对称性以及二次函数的性质即可判断CD. 【详解】因为，所以是偶函数，则A正确； 若的最小正周期为π，则恒成立，即，亦即恒成立. 令，得，显然存在不成立情况，所以“的最小正周期为π”是错误的，则B错误； 由是偶函数，只需考虑时的最值即可. 当时，， 因为，所以，即值域为，则C和D正确. 故选:B. 2．（23-24高三下�河南郑州�阶段练习）已知函数，且，则（    ） A． B．在区间上有3个零点 C．在上单调递减，在上单调递增 D． 【答案】C 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、简单复合函数的导数、求含sinx(型)函数的值域和最值、求sinx型三角函数的单调性 【分析】由题意对函数求导，可得的值，从而判定A选项；利用零点的定义求零点可判定B选项；利用二次函数的最值和复合函数的单调性判定C、D. 【详解】由函数， 得，又， 所以，解得，故A错误； ，令， 则或， 区间上有两个零点，故B错误； ， 令，，则， 当时，单调递减，且， 此时为增函数，所以在上单调递减， 当时，单调递减，且， 此时为减函数，所以在上单调递增，故C正确； 又在单调递减，单调递增， 所以当时，取最小值为，当时，取最大值为， 故，故D错误. 故选：C. 3．（23-24高三上�安徽六安�阶段练习）已知函数在区间恰有两条对称轴，则的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据题意得到，从而得到，再解不等式即可. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间恰有两条对称轴， 所以，解得. 故选：B 4．（24-25高三上�江西南昌�阶段练习）已知，则下列选项中正确的是（   ） A． B．是奇函数 C．关于直线对称 D．的值域为 【答案】C 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、判断或证明函数的对称性、求cosx(型)函数的值域 【分析】根据函数解析式，结合函数的周期性，奇偶性，对称性以及值域的求解方法，逐项求解即可. 【详解】对A：，故A错误； 对B：的定义域为，又， 故为偶函数，B错误； 对C：， 故关于直线对称，C正确； 对D：，令，故， 又在单调递增，在单调递减，又， 故，也即的值域为，故D错误. 故选：C. 二、多选题 5．（24-25高三上�湖北�开学考试）已知函数，则下列结论正确的有（    ） A．函数的最小正周期为 B．函数的最大值为 C．函数的所有零点构成的集合为 D．函数在上是增函数 【答案】BC 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用倍角公式求出，再求其周期判断A的真假；利用辅助角公式化简与，分析函数的性质，判断B，C，D的真假. 【详解】对A：，所以.故A错误； 对B：因为， 当即时，函数有最大值，故B正确； 对C：由，故C正确； 对D：， 由，故D错误. 故选：BC 6．（24-25高三上�湖北�阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数．当时，，则下列结论正确的有（     ） A．在上单调递减 B． C．点是函数的一个对称中心 D．方程有5个实数解 【答案】BCD 【知识点】函数奇偶性的应用、求cosx型三角函数的单调性、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求函数零点或方程根的个数 【分析】利用奇偶函数的定义分析、探讨函数的性质，并判断选项ABC；作出函数的部分图象，数形结合即可判断D． 【详解】因为为奇函数，所以，即， 因为为偶函数，所以， 所以，即，则周期为， 由得，的一条对称轴为直线， 因为当时，，所以当时，， 对于A，在上单调递增，所以在上单调递增，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，由得，点是函数的一个对称中心，故C正确； 对于D，在同一直角坐标系中作出的图象，如图所示， 因为与有5个交点，所以方程有5个实数解，故D正确； 故选：BCD． 三、填空题 7．写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ；已知函数满足：①；②；③函数在上单调递减； 【答案】（答案不唯一） 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】由条件得函数性质后求解 【详解】对于①，若，则的图象关于中心对称， 对于②，若，则的图象关于对称， 设，则，， 又的图象关于对称，且函数在上单调递减， 则，得 故答案为：（答案不唯一） 四、解答题 8．已知函数的最小正周期为. (1)求值； (2)再从条件①.条件②、条件③三个条件中选择一个作为已知.确定的解析式.设函数，求的单调增区间.条件①：是偶函数；条件②：图象过点；条件③：图象的一个对称中心为.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答给分. 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、求正弦（型）函数的最小正周期、求cosx型三角函数的单调性、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）根据周期公式，即可求解； （2）分别选择条件，根据三角函数的性质，求，再根据三角函数的单调性，代入公式，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，，解得：； （2）由（1）可知，， 若选择条件①：是偶函数， 所以，即， 所以， ， 令, 解得：, 所以函数的递增区间是， 若选择条件②：图象过点，，， 则，即，所以， 所以， 所以 令， 解得：， 所以的单调递增区间是. 如选择条件③：图象的一个对称中心为， 所以，，，， 所以， 所以 令， 解得：， 所以的单调递增区间是. 9．定义函数为“正余弦”函数.结合学过的知识，可以得到该函数的一些性质：容易证明为该函数的周期，但是否是最小正周期呢？我们继续探究：.可得：也为函数的周期.但是否为该函数的最小正周期呢？我们可以分区间研究的单调性：函数在是严格减函数，在上严格增函数，再结合，可以确定：的最小正周期为.进一步我们可以求出该函数的值域了.定义函数为“余正弦”函数，根据阅读材料的内容，解决下列问题： (1)求“余正弦”函数的定义域； (2)判断“余正弦”函数的奇偶性，并说明理由； (3)探究“余正弦”函数的单调性及最小正周期，说明理由，并求其值域. 【答案】(1) (2)偶函数，理由见解析 (3)在是严格减函数，在上严格增函数；最小正周期为；理由见解析.值域为. 【知识点】求含sinx(型)函数的定义域、求正弦（型）函数的奇偶性、求sinx型三角函数的单调性、三角函数新定义 【分析】（1）根据函数定义域的求法，求得的定义域. （2）根据函数奇偶性的定义，求得的奇偶性. （3）结合题目所给的解题思路，求得的单调区间、最小正周期、值域. 【详解】（1）的定义域为. （2）对于函数， ，所以是偶函数. （3）， 在区间上递减，在区间上递增，所以在上递减. 在区间上递增，在区间上递增，所以在上递增. 所以的最小正周期为， 在上是严格减函数，在上是严格增函数. 结合的单调性可知，的值域为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 三角函数的图象与性质 题型1 三角函数的定义域 2 题型2 三角函数的值域及最值 4 考点1 求三角函数的值域 4 考点2 由正余弦函数的值域求参数 7 题型3 三角函数的周期性 9 考点2 由正余弦型函数的周期性求值 11 题型4 三角函数的奇偶性 13 题型5 三角函数的对称性 17 考点1 三角函数轴对称问题 17 考点2 三角函数中心对称问题 20 题型6 三角函数的单调性 23 考点1 求三角函数的单调区间 23 考点2 三角函数单调性的应用 26 高考真题演练 29 知识点一 用五点法作正弦函数和余弦函数的简图 1．在正弦函数，的图象中，五个关键点是：． 2．在余弦函数，的图象中，五个关键点是：． 知识点二 周期函数 1．周期函数的定义 一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期. 2．最小正周期：如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期. 3．正弦函数、余弦函数的周期 (1)正弦函数是周期函数，都是它的周期，最小正周期是. (2)类似地，余弦函数也是周期函数，都是它的周期，最小正周期是. 4．函数及的周期 一般地，函数，及函数，，其中，，为常数，且，的周期 5．抽象函数的周期性 (1)若函数满足，则函数是周期函数，为它的一个周期. (2)若函数满足，则函数是周期函数，为它的一个周期.若，则的一个周期为. 知识点三 正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 图象 定义域 值域 周期性 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 递增区间 递减区间 无 对称中心 对称轴方程 无 知识点四 正弦型函数及余弦型函数的性质 1．函数和的性质 函数 定义域 值域 单调性 当，时,将视为整体，代入或相应的单调区间求解；当或时，注意单调区间的变化. 奇偶性 当时为奇函数， 当时为偶函数. 当时为偶函数， 当时为奇函数. 周期性 图象对称性 将视为整体,代入或相应的对称轴方程或对称中心的横坐标满足的方程求解. 题型1 三角函数的定义域 1．函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】解正弦不等式、求含sinx(型)函数的定义域、辅助角公式 【分析】化简得出，然后解不等式，可得出函数的定义域. 【详解】因为， 对于函数有，可得， 解得， 故函数的定义域为. 故选：D. 2．在内，函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求含cosx型的函数的定义域、具体函数的定义域、求含sinx(型)函数的定义域 【分析】由题直接求函数定义域即可. 【详解】由题意得，解得，所以， 即在内，函数的定义域为． 故选：C. 3．函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正切函数的定义 【分析】由正切函数的定义域，令，，解不等式，即可求出结果. 【详解】由正切函数的定义域，令，，即，所以函数的定义域为. 故选:D． 4．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域是 ． 【答案】 【知识点】求含cosx型的函数的定义域、求正切（型）函数的定义域、具体函数的定义域 【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，解不等式组即可. 【详解】由，可得，解得， 所以或， 所以函数的定义域是. 故答案为：. 题型2 三角函数的值域及最值 考点1 求三角函数的值域 5．已知函数，则函数在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】应用整体法，结合余弦函数的性质求函数值域. 【详解】因为，所以，则， 所以. 故选：B 6．函数的值域是 . 【答案】 【知识点】求正切（型）函数的值域及最值 【分析】由题意，令，再根据正切函数的单调性，即可求出结果. 【详解】函数. ，令. 函数在上单调递增， ，即， ， 函数的值域为. 故答案为： 7．（1）函数，的值域为 ； （2）函数的最大值是 . 【答案】 【知识点】求含cosx的二次式的最值、求cosx(型)函数的值域 【分析】（1）由的范围可得的范围，结合余弦函数性质可求得结果； （2）令，将问题转化为关于的二次函数最大值的求解问题，结合的范围可求得结果. 【详解】（1）当时，，， ，即的值域为； （2），； 令，则，， 则当时，，即的最大值为. 故答案为：；. 8．求下列函数的值域. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求cosx（型）函数的最值 【分析】（1）方法一  分离常数，得，再由三角函数及反比例函数的性质求解即可； 方法二  利用三角函数的有界性，由题意可得，且，再由求解即可； （2）化简得，令，结合基本不等式及反比例函数的性质求解即可. 【详解】（1）方法一  分离常数法 ， ， ， ， 的值域为. 方法二  利用三角函数的有界性 由，得， 所以， 由， 得， 当，即时，不等式无解； 当，即时，解得. 故的值域为. （2）利用分离参数结合换元求解. . 令，则. 当时，. 当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当 ，即时，等号成立， 所以， 所以或 此时函数的值域为. 故函数的值域为. 9．函数的值域为 . 【答案】 【知识点】求含sinx（型）的二次式的最值、二倍角的正弦公式、sinα±cosα和sinα·cosα的关系、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由正弦的二倍角公式、两角和的正弦公式变形后，令换元，化为的二次函数，求得的范围后，由二次函数性质得结论． 【详解】； 令，则 故答案为：． 考点2 由正余弦函数的值域求参数 10．（2024�陕西安康�模拟预测）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用余弦函数的单调性求参数 【分析】借助余弦函数的单调性与值域的关系计算即可得. 【详解】时，， 由函数在区间上的值域为， 故函数在区间上的值域为， 则有，即. 故选：A. 11．（2025·安徽芜湖·模拟预测）已知函数，既有最小值也有最大值，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】根据题意得到或，计算得到答案. 【详解】由题意，函数，既有最小值也有最大值， ①当函数最值取得1，最小值为时， 结合函数图象可得，即； ②当取得最大值为，最小值为－1时， 结合函数图象可得， 解得， 综上所述，实数的取值范围为或． 故选：D. 12．设函数.已知，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数 【分析】由题意可得三角函数取得最值的点，根据三角函数的性质可得周期，利用周期公式，可得答案. 【详解】由题意，为的最小值点，为的最大值点. 则，即，且，所以. 故选：B. 题型3 三角函数的周期性 13．（2025·河南·三模）函数的最小正周期为 ． 【答案】 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题 【分析】由诱导公式、二倍角公式化简函数表达式，结合周期公式即可求解. 【详解】的定义域为， ，所以的最小正周期． 故答案为：. 14．（2025·甘肃酒泉·模拟预测）函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正切（型）函数的周期 【分析】根据正切型函数的周期公式即可求解. 【详解】函数的最小正周期， 故选：C． 15．（多选）在下列函数中，最小正周期为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期 【分析】本题首先可以根据函数的性质判断出A正确，然后根据函数的性质判断出B错误，最后根据周期的计算公式即可判断出C正确以及D错误. 【详解】A项：因为函数的最小正周期为， 所以函数的最小正周期为，A正确； B项：函数的图像关于轴对称，在上不是周期函数，B错误； C项：，最小正周期为，C正确； D项：，最小正周期为，D错误， 故选：AC. 【点睛】本题考查三角函数周期的计算，考查对函数以及函数性质的理解，考查根据三角函数解析式计算最小正周期，体现了基础性，是简单题. 16．函数的最小正周期和最小值分别为（    ） A．，1 B．， C．，1 D．，1 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】根据正余弦函数的性质及辅助角公式写出的分段形式，进而画出函数图象，即可知答案. 【详解】由题设，，， 所以的部分图象如下： 所以最小正周期和最小值分别为，1. 故选：C 17．函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、含绝对值的正弦函数的图象 【分析】作出函数的图象得到函数的最小正周期，再证明即得解. 【详解】作出函数的图象如图所示，得到函数的最小正周期为. 证明： 所以函数的最小正周期为. 故选：A    考点2 由正余弦型函数的周期性求值 18．（2025·北京大兴·三模）已知函数（），，，且的最小值为，则 ， ． 【答案】 /1.5 【知识点】三角恒等变换的化简问题、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据两角和的正弦公式化简，求出，根据零点与极值点求出周期得出. 【详解】 ， 所以， 因为，，且的最小值为， 所以，即，解得. 故答案为：； 19．（2025·浙江嘉兴·一模）已知函数的最小正周期为，若，则的最小值为（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【知识点】正、余弦型三角函数图象的应用、二倍角的余弦公式、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】由正弦函数的最小正周期可得的值，利用诱导公式与二倍角公式将转化为，结合正弦函数的性质即可得所求最值. 【详解】由已知， 所以， 又， 所以， 所以 ， 又，则当时，有最小值. 故选：B. 20．（2023�湖南长沙�一模）已知函数，若存在，当时，，则函数的最小正周期为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期 【分析】由题意可得出，结合，可得，再由三角函数最小正周期的公式即可得出答案. 【详解】因为存在，当时，， 所以，即， 又因为，则，所以， 所以函数的最小正周期为：， 故选：B. 题型4 三角函数的奇偶性 21．（2025·河北邯郸·一模）若函数为偶函数，则取得最小值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】根据正弦型函数的图象和性质，结合已知条件推出的取值范围，再求出取得最小值时的值，从而求解. 【详解】根据正弦函数的图象和性质，若为偶函数，则， 已知函数为偶函数，则需满足，所以. 当时，，；当时，，， 所以取得最小值. 所以. 故选：C. 22．（2025·四川广安·模拟预测）已知函数为偶函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】由正弦（型）函数的奇偶性求参数、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式化简函数，利用偶函数性质，可得，或，结合即可求解. 【详解】函数为偶函数，需满足. 将函数化简：. 由偶函数性质得： 即 利用正弦函数的性质，可得： （舍去，因为不恒成立）， 或 解得：，即 结合，得. 故选：B. 23．已知函数是奇函数，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】利用三角函数奇偶性可得，据此可得答案. 【详解】因为奇函数， 则，则. 故选：D 24．若函数是奇函数，则的一个可能的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、由正弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】解法一：由题知，进而得，再根据选项即可得答案； 解法二：由奇函数定义，并结合和差角公式得，即，故，再根据选项即可得答案. 【详解】解：方法一：由于为奇函数，且定义域为， 因此必有， 即，结合选项知D项正确． 故选：D. 方法二：由于是奇函数，所以对恒成立， 即，整理得 ， 因此，，结合选项知的一个可能值为， 故选：D. 25．（2025·湖南湘潭·一模）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若为奇函数，则实数φ的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、由余弦（型）函数的奇偶性求参数 【分析】先化简函数解析式，接着由平移变换得到解析式，再由奇偶性列出关于的方程，即可计算求解. 【详解】由题意可知，函数， 所以， 又为奇函数，所以， 又，所以. 故选：C 26．已知函数，且，则（    ） A．11 B．14 C．17 D．20 【答案】B 【知识点】求函数值、函数奇偶性的应用、由正弦函数的奇偶性求函数值 【分析】根据可求的值. 【详解】因为，故， 而，故， 故选：B. 27．（2024�浙江杭州�三模）已知函数，则“”是“为奇函数且为偶函数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、三角函数的化简、求值——诱导公式、求正弦（型）函数的奇偶性、求余弦（型）函数的奇偶性 【分析】由三角函数奇偶性、诱导公式以及充分不必要条件的定义即可判断. 【详解】一方面，当，时，是奇函数， 是偶函数，故充分性成立， 另一方面，当时，有是奇函数， 是偶函数， 但此时关于的方程没有解，故必要性不成立， 综上所述，在已知 的情况下， “”是“为奇函数且为偶函数”的充分而不必要条件. 故选：A. 28．（2025·湖北黄冈·一模）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则的最大值为 ． 【答案】 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由奇偶性求函数解析式、辅助角公式 【分析】利用奇、偶函数的定义，列出方程组，求解即得函数解析式，结合辅助角公式和正弦函数的性质即可求得函数最大值. 【详解】因为偶函数，则①， 又为奇函数，则②， 由①－②，整理得，则，其中， 故当时，即时，的最大值为. 故答案为：. 题型5 三角函数的对称性 考点1 三角函数轴对称问题 29．（2025·湖南益阳·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则的取值可以是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数 【分析】由正弦型函数的对称性知，即可求解. 【详解】由题意，，得， 当时，， 故选：B. 30．（2025·河北·一模）将函数 的图象向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、利用正弦函数的对称性求参数、辅助角公式 【分析】化简，由三角函数的图象变换，得到，结合的图象关于轴对称，求得，进而得到答案. 【详解】由函数， 将函数的图象向右平移个单位长度， 得到， 因为的图象关于轴对称，可得， 解得， 又因为，所以的最小值为. 故选：B. 31．（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数的图像向左平移个单位后，得到的图像，若，的图像关于轴对称，则的最小值为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】A 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、利用cosx（型）函数的对称性求参数、由余弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据函数的平移变换和对称性可得，再利用余弦函数的周期性列式求解即可. 【详解】由题意可得， 因为，的图像关于轴对称， 则， 所以，，解得，， 又，所以的最小值为4， 故选：A 32．（2025·北京·三模）已知函数，其中.如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】特殊角的三角函数值、利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、辅助角公式 【分析】利用和角公式化简函数，结合设，确定，再由确定的值，利用确定的值，求出函数解析式，代值计算即可. 【详解】由，设， 由可得，由可得或，， 由题意，可知，故得， 又，所以，，即，， 故，即或， 又因为，故，故. 故选：A. 考点2 三角函数中心对称问题 33．（2025·全国·模拟预测）将函数的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于原点对称，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求图象变化前（后）的解析式、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】先得到平移后的解析式，再令，求得值，确定其中的最小值即可. 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数， 因为该函数图象关于原点对称，所以, 所以，又， 所以当时，取得最小值. 故选：B. 34．（24-25高二上�湖南�开学考试）已知函数图象的两个相邻对称中心为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、正弦函数对称性的其他应用、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据两相邻对称中心的距离为周期的一半及周期公式求得，再代入正弦函数的中心对称结论列式，根据求解即可. 【详解】由图象的两个相邻对称中心为，， 可得，所以，故， 又，则，结合，得. 故选：A. 35．（2025·四川巴中·模拟预测）设函数，对都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】由已知条件可得函数图象的对称中心，结合余弦曲线对称中心的性质求解即可. 【详解】由题意都有，可知函数的图象的对称中心为， 由函数可得， 解得，又， ，. 故选：A 36．（24-25高三上�浙江�开学考试）函数的图象在区间上恰有一个对称中心，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用cosx（型）函数的对称性求参数 【分析】求出相位的范围，结合余弦函数的性质列出不等式求解即得. 【详解】由，得， 由的图象在区间上恰有一个对称中心，得， 所以. 故选：C 37．（2024�安徽�三模）“”是“函数的图象关于对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、正切函数对称性的应用 【分析】若函数的图象关于对称，根据正切函数的对称性可得，再根据充分、必要条件结合包含关系分析求解. 【详解】若函数的图象关于对称， 则，解得， 因为是的真子集， 所以“”是“函数的图象关于对称”的充分不必要条件. 故选：A. 38．（2024�天津河西�二模）若函数满足对于， ，，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求cosx（型）函数的对称轴及对称中心 【分析】依题意可得关于对称，且是以为周期的周期函数，再根据各选项一一判断即可. 【详解】因为，所以关于对称， 又，则， 所以是以为周期的周期函数； 对于A：若，则最小正周期， 又，所以不关于对称，故A错误； 对于B：若，则最小正周期， 又，所以不关于对称，故B错误； 对于C：若，则最小正周期， 则，又不恒成立，所以不恒成立，故C错误； 对于D：若，则最小正周期， 又，满足关于对称，故D正确. 故选：D 题型6 三角函数的单调性 考点1 求三角函数的单调区间 39．（2025·山东·三模）已知函数，则（    ） A．在上单调递减 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】C 【知识点】二倍角的余弦公式、求cosx型三角函数的单调性 【分析】利用二倍角的余弦公式，结合余弦函数的单调性逐项分析判断. 【详解】依题意，函数， 对于A，因为，，则， 所以在上不是单调递减函数，A错误； 对于B，因为，，则， 所以在上不是单调递减函数，B错误； 对于C，当时，，余弦函数在上单调递减， 因此在上单调递增，C正确； 对于D，因为，，则， 所以在上不是单调递减函数，D错误. 故选：C. 40．已知函数，则在上（    ） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 【答案】D 【知识点】求cosx型三角函数的单调性 【分析】根据余弦型函数单调性的求法得出函数的单调区间，即可得出在上的单调性. 【详解】令，得， 令，得， 则的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以在上单调递减，在上单调递增， 即在上先减后增. 故选：D 41．函数在上的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 【答案】C 【知识点】求sinx型三角函数的单调性 【分析】利用整体代换法求解即可. 【详解】由， 得， 即单减区间为， 又，所以单减区间为. 故选：C 42．下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、求正切（型）函数的周期、求sinx型三角函数的单调性、求cosx型三角函数的单调性 【分析】根据三角函数的性质及函数图象的变换一一判断即可. 【详解】对于A：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变， 其函数图象如下所示：    则的最小正周期为，但是在上单调递增，故A错误； 对于B：的最小正周期为，但是在上单调递增，故B错误； 对于C：的最小正周期，故C错误； 对于D：的图象是由的图象将轴下方的图象关于轴对称上去，轴及轴上方部分不变， 其函数图象如下所示：    则的最小正周期为，且在上单调递减，故D正确. 故选：D 考点2 三角函数单调性的应用 43．下列不等式中不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较正弦值的大小、比较正切值的大小、比较余弦值的大小 【分析】运用三角函数的单调性进行判断即可. 【详解】因为余弦函数是偶函数，比较与即可， 因为，所以，即，A正确； ，正弦函数，在（，）上单调递减，且， 所以，即，B正确； 因为，且在内单调递增，所以，C错误； 因为，则，D正确. 故选：C 44．已知函数，设，，，则，，的大小关系是　　 A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】比较余弦值的大小 【分析】根据余弦函数的单调性比较大小即可； 【详解】解：因为 令 解得 ∴函数在上是减函数， 因为 ∴，即 故选：A 【点睛】本题主要考查余弦函数的单调性，属于基础题． 45．已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若在上是增函数，则正数m的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数 【分析】根据正弦型函数对称轴与周期的关系，结合正弦型函数的单调性进行求解即可. 【详解】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以，解得，即， 因为在上是增函数，则， 所以函数的增区间包含， 令，得， 所以，所以故的取值范围为. 故答案为： 46．（2025·山西·三模）已知函数在上单调递减，则正数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】利用函数图象的特征，可得，，求解即可. 【详解】原函数为， 相当于把位于轴下方的图象翻折到上方， 则有，， 当时，. 故选：D． 47．（24-25高三上�广东广州�阶段练习）若函数在区间上是减函数，且，，，则（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数 【分析】化简，由题意求得和，两式相减，得到，进而求得的值. 【详解】由函数， 因为，所以， 又因为在区间上是减函数， 所以，， 两式相减，可得，因为，所以. 故选：C. 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、利用正弦函数的对称性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】利用正弦函数的对称性得出，根据单调性得出，从而确定，结合对称轴与对称中心再求出，得出函数解析式，利用整体思想及正弦函数的性质即可得解. 【详解】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 2．（2025·北京·高考真题）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【知识点】正弦函数图象的应用、由正弦（型）函数的周期性求值、辅助角公式 【分析】由辅助角公式化简函数解析式，再由正弦函数的最小正周期与零点即可求解. 【详解】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4. 故选：C. 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求正切（型）函数的对称中心、正切函数对称性的应用 【分析】根据正切函数的对称中心的结论求解. 【详解】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是， 即， 又，则时最小，最小值是， 即. 故选：B 4．（2024·北京·高考真题）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解. 【详解】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以. 故选：B. 5．（2024·天津·高考真题）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由正弦（型）函数的周期性求值 【分析】结合周期公式求出，得，再整体求出当时，的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解. 【详解】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 6．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【知识点】正弦函数图象的应用、求函数零点或方程根的个数 【分析】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【详解】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C 7．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 . 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 8．（2023·全国甲卷·高考真题）函数的图象由函数的图象向左平移个单位长度得到，则的图象与直线的交点个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】三角函数图象的综合应用、求图象变化前（后）的解析式 【分析】先利用三角函数平移的性质求得，再作出与的部分大致图像，考虑特殊点处与的大小关系，从而精确图像，由此得解. 【详解】因为向左平移个单位所得函数为，所以， 而显然过与两点， 作出与的部分大致图像如下，    考虑，即处与的大小关系， 当时，，； 当时，，； 当时，，； 所以由图可知，与的交点个数为. 故选：C. 9．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条相邻对称轴，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】特殊角的三角函数值、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、利用正弦函数的对称性求参数、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式） 【分析】根据题意分别求出其周期，再根据其最小值求出初相，代入即可得到答案. 【详解】因为在区间单调递增， 所以，且，则，， 当时，取得最小值，则，， 则，，不妨取，则， 则， 故选：D. 二、多选题 10．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求函数零点或方程根的个数 【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可. 【详解】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 三、填空题 11．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 【答案】 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】利用余弦函数的单调性可得. 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 12．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在上的最大值是 ． 【答案】2 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可. 【详解】，当时，， 当时，即时，. 故答案为：2 13．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知函数，如图A，B是直线与曲线的两个交点，若，则 ．    【答案】 【知识点】特殊角的三角函数值、由图象确定正（余）弦型函数解析式 【分析】设，依题可得，，结合的解可得，，从而得到的值，再根据以及，即可得，进而求得． 【详解】设，由可得， 由可知，或，，由图可知， ，即，． 因为，所以，即，． 所以， 所以或， 又因为，所以，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查根据图象求出以及函数的表达式，从而解出，熟练掌握三角函数的有关性质，以及特殊角的三角函数值是解题关键． 14．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、余弦函数图象的应用 【分析】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【详解】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 四、解答题 15．（2025·全国二卷·高考真题）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【知识点】求含cosx的函数的单调性、利用余弦函数的单调性求参数、求cosx(型)函数的值域 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【详解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 16．（2023·北京·高考真题）设函数． (1)若，求的值． (2)已知在区间上单调递增，，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求的值． 条件①：； 条件②：； 条件③：在区间上单调递减． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1). (2)条件①不能使函数存在；条件②或条件③可解得，. 【知识点】已知三角函数值求角、利用正弦型函数的单调性求参数、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）把代入的解析式求出，再由即可求出的值； （2）若选条件①不合题意；若选条件②，先把的解析式化简，根据在上的单调性及函数的最值可求出，从而求出的值；把的值代入的解析式，由和即可求出的值；若选条件③：由的单调性可知在处取得最小值，则与条件②所给的条件一样，解法与条件②相同． 【详解】（1）因为 所以， 因为，所以. （2）因为， 所以，所以的最大值为，最小值为. 若选条件①：因为的最大值为，最小值为，所以无解，故条件①不能使函数存在； 若选条件②：因为在上单调递增，且， 所以,所以,, 所以， 又因为，所以， 所以， 所以，因为，所以. 所以，； 若选条件③：因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，即. 以下与条件②相同． 2 学科网（北京）股份有限公司 $