专题4.3 三角恒等变换 讲义+巩固提升训练-2026届高三数学一轮复习

专题4.3 三角恒等变换 题型1 两角和与差的正弦余弦和正切公式 4 题型2 两角和与差的正弦余弦和正切公式的逆用 5 题型3 辅助角公式的应用 6 题型4 二倍角公式的应用 6 题型5 三角函数式的求值 7 考点1 给角求值 7 考点2 给值求值 8 考点3 给值求角 9 题型6 三角恒等变换的综合应用 9 高考真题演练 11 知识点一 两角和与差的余弦公式 1．公式 ，简记为，称为和角的余弦公式. ，简记作，称为差角的余弦公式. 2．两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反. 知识点二 两角和与差的正弦公式 1．公式 ，简记为，称为和角的正弦公式. ，简记为称为差角的正弦公式. 2．两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同. 知识点三 两角和与差的正切公式 1．公式 ，简记为，称为和角的正切公式. ，简记为，称为差角的正切公式. 2．两角和与差的正切公式的记忆技巧 两角和与差的正切公式可以记忆为“分子同，分母反”. ①“分子同”表示展开后的分式中，分子中两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同； ②“分母反”表示展开后的分式中，分母中两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反. 3．变形结论 ； ； ； ； 知识点四 三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式(收缩代换) 1．角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出. 常用的角的代换形式： ①； ②； ③； ④；⑤；⑥. 2．常值代换 用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换.如等.再如，，，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数值使用. 例如， 3．辅助角公式 形如(，不同时为零)的式子，引入辅助角可以变形为的形式，也可以变形为的形式.推导过程如下： 令 则 其中角的值由确定，或由和共同确定，的终边所在位置由，来确定. 同理，设出角，使 则. 知识点五 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 简记符号 正弦 余弦 正切 2．二倍角公式的变换 (1)倍角公式的逆用 ：，， ： ：， (2)配方变换: (3)因式分解变换： (4)降幂公式：，,， (5)升幂公式：， 知识点六 半角的正弦、余弦和正切公式 1．半角的正弦、余弦和正切公式 函数 公式 简记符号 正弦 余弦 正切 知识点七 积化和差公式与和差化积公式 1．积化和差公式 ； ； ； . 2．和差化积公式 ； ； ； . 题型1 两角和与差的正弦余弦和正切公式 1．（2025·陕西延安·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·三模）已知都是锐角，，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江大庆·一模）已知，则（    ） A．-3 B．-5 C．5 D．3 题型2 两角和与差的正弦余弦和正切公式的逆用 6．（2025·湖北黄冈·一模）若，则（　　） A． B． C． D． 7．（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2025·江西·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 9．（2025·陕西安康·模拟预测）计算：（    ） A． B．1 C． D． 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 题型3 辅助角公式的应用 11．（2025·吉林·模拟预测）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 12．（2025·河北邢台·二模）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 13．设函数，若当时，函数取得最大值，则（   ） A． B． C． D． 14．（2024�四川南充�二模）已知函数．设时，取得最大值．则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高三下·重庆·阶段练习）设，若恒成立，则（   ） A． B． C． D． 题型4 二倍角公式的应用 16．（2025·陕西西安·模拟预测）若，，则 . 17．（2025·山西·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 18．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 19．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．或-2 D．或 20．（2025高三�全国�专题练习）（1）化简：. （2）. 21．（25-26高三上·河北·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 22．（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）若，则 . 23．（2025�陕西咸阳�模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型5 三角函数式的求值 考点1 给角求值 24．（多选）（24-25高三上·辽宁大连·期中）下列式子的运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 25．（多选）下列各式中，值为的是 A． B． C． D． 26．（多选）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 27．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若， . 28．（24-25高三上·河北石家庄·期末）（    ） A． B． C． D． 29．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 考点2 给值求值 30．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知角，的终边不重合，且，则 . 31．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若，则 . 32．（多选）（25-26高三上·福建泉州·阶段练习）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 33．（2025·江苏南京·模拟预测）若，，且都为锐角，则（   ） A． B． C． D．1 考点3 给值求角 34．（25-26高三上·湖南常德·开学考试）已知，，，则β= . 35．（2025高一·全国·专题练习）已知，，且，则 ． 36．（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（   ） A． B． C． D． 题型6 三角恒等变换的综合应用 37．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若，，求的值. 38．（2025·河北邯郸·一模）在锐角中，内角满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)证明：. 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．（2021·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 8．（2021·全国乙卷·高考真题）（    ） A． B． C． D． 9．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 10．（2020·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（    ） A．3 B． C．3或 D．-3或 二、填空题 11．（2023·上海·高考真题）已知，则= . 12．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ． 13．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 14．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 三角恒等变换 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 2．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知，，，，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 3．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C．2 D． 5．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知，且是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列式子中正确的是（    ）. A． B． C． D． 10．（25-26高二上·安徽淮南·开学考试）已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知的面积为，若，，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·四川内江·开学考试）已知，则 13．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知，则 . 14．已知为三角形的两个内角，，则＝ ． 四、解答题 15．已知，． (1)证明：； (2)计算：的值． 16．化简下列各式 (1) (2); (3)； (4). 17．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调递增区间及在上的值域； (2)若为锐角且，求的值. 18．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知函数的部分图象如图所示 (1)求的解析式； (2)已知，求的值. 19．（25-26高三上·天津河西·开学考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，的面积为，． (1)求A的值； (2)求b的值； (3)求的值． 能力提升 1．（24-25高三上�全国�阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下�重庆北碚�阶段练习）1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角的斜边与邻边的比，叫做的正割，用表示；其斜边与对边的比，叫做的余割，用表示；其邻边与对边的比，叫做的余切，用表示，则（   ） A．1 B． C．2 D． 3．若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上�河南�阶段练习）在中，，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．16 5．（多选）（23-24高三上�山西大同�期末）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（    ） A． B． C．点的坐标为 D．点的坐标为 7．在平面直角坐标系中，、、，当时.写出的一个值为 . 8．中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志．每个五角星的一个内角都是，利用三倍角公式等恒等变换可以求得的值．先利用可求得 （用单角的正弦值表示）；再求得 ． 9．（24-25高三上�上海�期中）某商场零食区改造，如图，原零食区是区域ODBC ，改造时可利用部分为扇形区域OAD，已知，米，米， 区域OBC为三角形， 区域OAB是以OA为半径的扇形，且 .    (1)若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度； (2)在区域OAD中，设置矩形区域HGIF 作为促销展示区，若设，求当取何值时，促销展示区的面积取到最大值，并求出的最大值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 三角恒等变换 题型1 两角和与差的正弦余弦和正切公式 4 题型2 两角和与差的正弦余弦和正切公式的逆用 7 题型3 辅助角公式的应用 9 题型4 二倍角公式的应用 12 题型5 三角函数式的求值 16 考点1 给角求值 16 考点2 给值求值 19 考点3 给值求角 22 题型6 三角恒等变换的综合应用 23 高考真题演练 26 知识点一 两角和与差的余弦公式 1．公式 ，简记为，称为和角的余弦公式. ，简记作，称为差角的余弦公式. 2．两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. ①“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； ②“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反. 知识点二 两角和与差的正弦公式 1．公式 ，简记为，称为和角的正弦公式. ，简记为称为差角的正弦公式. 2．两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同. 知识点三 两角和与差的正切公式 1．公式 ，简记为，称为和角的正切公式. ，简记为，称为差角的正切公式. 2．两角和与差的正切公式的记忆技巧 两角和与差的正切公式可以记忆为“分子同，分母反”. ①“分子同”表示展开后的分式中，分子中两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同； ②“分母反”表示展开后的分式中，分母中两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反. 3．变形结论 ； ； ； ； 知识点四 三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式(收缩代换) 1．角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出. 常用的角的代换形式： ①； ②； ③； ④；⑤；⑥. 2．常值代换 用某些三角函数值代替某些常数，使之代换后能运用相关的公式，把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换.如等.再如，，，，，等均可视为某个特殊角的三角函数值，从而将常数换为三角函数值使用. 例如， 3．辅助角公式 形如(，不同时为零)的式子，引入辅助角可以变形为的形式，也可以变形为的形式.推导过程如下： 令 则 其中角的值由确定，或由和共同确定，的终边所在位置由，来确定. 同理，设出角，使 则. 知识点五 二倍角的正弦、余弦、正切公式 1．二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 简记符号 正弦 余弦 正切 2．二倍角公式的变换 (1)倍角公式的逆用 ：，， ： ：， (2)配方变换: (3)因式分解变换： (4)降幂公式：，,， (5)升幂公式：， 知识点六 半角的正弦、余弦和正切公式 1．半角的正弦、余弦和正切公式 函数 公式 简记符号 正弦 余弦 正切 知识点七 积化和差公式与和差化积公式 1．积化和差公式 ； ； ； . 2．和差化积公式 ； ； ； . 题型1 两角和与差的正弦余弦和正切公式 1．（2025·陕西延安·模拟预测）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】通过两角和差的余弦公式求得，即可求解. 【详解】， ， 两式相加可得： 两式相减可得：， 所以， 故选：B 2．（2025·广东广州·三模）已知都是锐角，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的余弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】法一：先利用平方关系求出，，再根据，利用两角差的余弦公式展开计算即可.法二：，可得，进而利用可求值. 【详解】法一：由是锐角，得. 因为是锐角，所以. 又因为，所以， 所以. 法二：由已知可得，所以， ∴. 故选：C. 3．（2025·江苏徐州·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由，展开即可求解. 【详解】， ， 两式联立可得， 故选：A 4．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知为锐角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】由同角三角函数的基本关系结合角的范围求出，再由角的变换及两角和的正余弦公式求解即可. 【详解】已知为锐角，， 根据，可算出， 因为为锐角，且， 又， ， ， 所以． 故选：C． 5．（2025·黑龙江大庆·一模）已知，则（    ） A．-3 B．-5 C．5 D．3 【答案】A 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用化弦为切及和差公式即可求解. 【详解】，可得， 所以. 故答案为：. 题型2 两角和与差的正弦余弦和正切公式的逆用 6．（2025·湖北黄冈·一模）若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】根据条件，利用平方关系得到，进而得，再代入，利用和差角的余弦公式，计算即得. 【详解】由两边取平方，可得①， 由，两边取平方，可得②， 由①②得到，整理得到， 又，解得，即， 将其代入，可得，即， 即，所以， 故得. 故选：A. 7．（2025·四川成都·模拟预测）已知，是第三象限角，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】首先根据两角差的正弦公式得，再根据同角三角函数关系式以及两角和的正弦公式，即可求解. 【详解】， ，又是第三象限角，． 从而. 故选：B 8．（2025·江西·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、逆用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】由有，由有，由①+②即可求解. 【详解】由有，，即， 由有，，即②， ①+②得，， 即，则，解得. 故选：B. 9．（2025·陕西安康·模拟预测）计算：（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据两角和的正切公式化简即可． 【详解】因为， 所以， 所以 ， 故选：D． 10．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】利用和角的正切公式可得，结合角的范围即得答案. 【详解】由已知可得：， 所以， 又，则，故. 故选：C. 题型3 辅助角公式的应用 11．（2025·吉林·模拟预测）函数的最小正周期为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】由余弦二倍角公式及辅助角公式化简，再由周期公式即可求解. 【详解】 ， ，， 故选：C． 12．（2025·河北邢台·二模）已知，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】诱导公式五、六、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式和诱导公式可得，结合角的范围，可得，可求解. 【详解】因为， ，， 所以，，所以，则． 故选：D． 13．设函数，若当时，函数取得最大值，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式五、六、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式及诱导公式计算可得. 【详解】因为，其中，， 又当时，函数取得最大值，所以， 所以， 则 ，. 故选：B 14．（2024�四川南充�二模）已知函数．设时，取得最大值．则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、辅助角公式 【分析】利用辅助角公式求出，再利用诱导公式以及正弦的和差角公式可得答案. 【详解】，其中； 所以当时，，取得最大值， 由题意，即. . 故选：C 15．（24-25高三下·重庆·阶段练习）设，若恒成立，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、由正弦（型）函数的值域（最值）求参数、辅助角公式 【分析】利用诱导公式和辅助角公式化简函数，得到辅助角，根据正弦型函数的性质求出，再代入化简求值即可. 【详解】因为， 所以，其中， 因为恒成立，所以，即， 则. 故选：B. 题型4 二倍角公式的应用 16．（2025·陕西西安·模拟预测）若，，则 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】利用两角差的正切公式求出，再结合二倍角的正弦公式求解即可. 【详解】因为，， 所以， 由二倍角的正弦公式得 故答案为： 17．（2025·山西·模拟预测）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】由同角三角函数的商数关系得到，由及两角和的余弦公式得到，由二倍角公式求得. 【详解】由得， 由， 得， ， 所以， 故选：A. 18．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用二倍角公式，代入题干中的分式，并在分子分母中提取公式，进行约简可得出结果． 【详解】 ，故选B． 【点睛】本题考查利用二倍角公式进行化简，在化简时注意通分、因式分解等基本步骤的应用，考查计算能力，属于中等题． 19．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）已知，则（    ） A． B． C．或-2 D．或 【答案】B 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正切公式 【分析】把所给条件进行平方并除以“1”，再把“1”化为“”，分子分母同时除以，可得关于的方程，先求出，再代入二倍角公式求出. 【详解】由题意， 可得， 解得或， 代入得到， 故选：B. 20．（2025高三�全国�专题练习）（1）化简：. （2）. 【答案】（1）（2） 【知识点】半角公式、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】利用三角函数的二倍角公式、半角公式以及三角函数在不同象限的正负性，通过这些公式对原式进行化简即可. 【详解】（1）原式＝＝ ，，， 原式＝. （2）原式 ，，， 原式＝＝－＝. 21．（25-26高三上·河北·开学考试）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式 【分析】由二倍角正弦公式及同角三角函数关系，将目标式化为，即求值. 【详解】由 . 故选：C 22．（25-26高三上·江苏无锡·阶段练习）若，则 . 【答案】 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】首先正切化为正弦和余弦，再利用辅助角和二倍角公式化简得到，再利用角的变换表示，最后利用三角函数二倍角公式，即可求解. 【详解】根据题意， ， . 故答案为： 23．（2025�陕西咸阳�模拟预测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的余弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】先对已知条件化简变形可得，然后由结合余弦的二倍角公式可求得结果. 【详解】由，得， 即，所以， 所以. 故选：C. 题型5 三角函数式的求值 考点1 给角求值 24．（多选）（24-25高三上·辽宁大连·期中）下列式子的运算结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、辅助角公式、给角求值型问题 【分析】利用两角和的正切公式判断A、B、D；根据同角三角函数的基本关系及诱导公式、二倍角公式判断C. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：， 所以，故B正确； 对于C： ，故C正确； 对于D：，故D错误. 故选：ABC 25．（多选）下列各式中，值为的是 A． B． C． D． 【答案】A D 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、二倍角的正切公式 【解析】利用二倍角的正弦、余弦、正切公式对五个选项进行化简求值，所得结果是的选项即为正确选项. 【详解】A符合，原式； B不符合，原式； C不符合，原式； D符合，原式． 故选：AD． 【点睛】本题主要考查的是二倍角的正弦、余弦、正切公式的应用，要求熟练掌握并灵活运用这些公式，考查学生的计算能力. 26．（多选）下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】应用诱导公式及和角正弦公式化简求值判断A；由和角正切公式得，即可求值判断B；由诱导公式、二倍角正弦公式化简求值判断C；二倍角余弦公式化简求值判断D. 【详解】A：，对； B：由，则， 所以，对； C：，错； D：，错. 故选：AB 27．公元前6世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为0.618，这一数值也可以表示为，若， . 【答案】2 【知识点】给角求值型问题 【分析】由平方关系结合倍角公式得出答案. 【详解】因为，，所以， 故答案为： 28．（24-25高三上·河北石家庄·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】诱导公式五、六、用和、差角的正弦公式化简、求值、给角求值型问题 【分析】利用诱导公式和两角差的正弦公式化简计算即得. 【详解】因为，同理可得， . 故选：D. 29．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、给角求值型问题 【分析】利用两角和的正切公式，可以得到和的关系，再将所求表达式展开并代入该关系进行计算，即可求解. 【详解】根据题意，由，可得，即， 化简整理得， 又 ， 将代入， 得 . 故选：A 考点2 给值求值 30．（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知角，的终边不重合，且，则 . 【答案】 【知识点】诱导公式二、三、四、二倍角的正弦公式、辅助角公式 【分析】先根据辅助角公式化简，再结合特殊角函数值应用二倍角正弦值计算求解. 【详解】由题知，则， 即，其中，. 因为角，的终边不重合，所以，， 则，， 所以. 故答案为：. 31．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）若，则 . 【答案】 【知识点】三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、给值求值型问题 【分析】将已知条件化为，再由诱导公式、二倍角余弦公式求值即可. 【详解】由，即， 所以，则， 所以，而 . 故答案为： 32．（多选）（25-26高三上·福建泉州·阶段练习）已知为锐角，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式 【分析】由为锐角，求出的范围，根据，由同角三角关系式分别求得.再依据二倍角正弦公式，两角差的正弦公式，两角和的正切公式及同角三角函数关系式分别求各选项对应的三角函数值，即可选出正确选项. 【详解】因为为锐角，所以,所以,所以 因为所以, 因为，所以. 选项A:,所以选项A正确. 选项B:,所以选项B错误.或直接根据锐角的正余值大于零，判断选项B错误. 选项CD:因为,所以,所以.所以C正确，D错误. 故选：AC. 33．（2025·江苏南京·模拟预测）若，，且都为锐角，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】先利用同角的正余弦的平方关系可求得，，再根据，利用两角差的正弦公式求值即可. 【详解】因为都为锐角，所以，所以，， 所以， 因为。，所以， 因为，， 所以， 所以 . 故选：D. 考点3 给值求角 34．（25-26高三上·湖南常德·开学考试）已知，，，则β= . 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】利用两角差的公式结合即可计算求解. 【详解】因为，， 所以，， 又因为，所以， 所以 ， 因为，所以. 故答案为： 35．（2025高一·全国·专题练习）已知，，且，则 ． 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】根据二倍角公式对进行恒等变形，得到，结合， ，得到. 【详解】根据二倍角公式：，. 又因为， 所以， 所以， 整理得，所以， 又因为，，则，所以． 故答案为：. 36．（2025·广东珠海·模拟预测）设，，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】诱导公式五、六、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】根据已知得，结合角的范围及诱导公式得到或，即可得. 【详解】由题设， 所以， 因为，，则，又， 所以或，即或（舍）， 故． 故选：D 题型6 三角恒等变换的综合应用 37．（25-26高三上·四川绵阳·开学考试）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、求正弦（型）函数的最小正周期、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）借助三角恒等变换公式可将原函数化为正弦型函数，再利用正弦型函数周期性计算即可得； （2）由题意可得，再利用范围结合同角三角函数基本关系计算即可得. 【详解】（1）由题意得 ， 而，故的最小正周期为. （2）由（1）可知， 又，所以， 由，得， 从而． 38．（2025·河北邯郸·一模）在锐角中，内角满足. (1)求角； (2)若，求面积的取值范围； (3)证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、求三角形面积的最值或范围 【分析】（1）结合三角恒等变换公式化简求解即可； （2）由正弦定理可得，由锐角可得，再表示出，进而求解即可； （3）结合分析法利用三角恒等变换公式求证即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 即，所以， 因为，所以，即. （2）由正弦定理， 所以， 因为，则， 又为锐角三角形，则，即， 所以 ， 因为，所以，则， 所以面积的取值范围是. （3）证明：由（1）可知，， 要证， 即证， 而 ， 即证， 即证， 即证， 而，显然满足上式，原式得证. 一、单选题 1．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 2．（2025·全国二卷·高考真题）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】利用二倍角余弦公式得，则，最后再根据两角差的正弦公式即可得到答案. 【详解】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 3．（2021·全国甲卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解. 【详解】 ， ，，，解得， ，. 故选：A. 【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的化简问题，解题的关键是利用二倍角公式化简求出. 4．（2024·全国甲卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】先将弦化切求得，再根据两角和的正切公式即可求解. 【详解】因为， 所以，， 所以， 故选：B. 5．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】根据给定条件，利用和角、差角的正弦公式求出，再利用二倍角的余弦公式计算作答. 【详解】因为，而，因此， 则， 所以. 故选：B 【点睛】方法点睛：三角函数求值的类型及方法 （1）“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数． （2）“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． （3）“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 6．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为锐角，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】半角公式、二倍角的余弦公式 【分析】根据二倍角公式（或者半角公式）即可求出． 【详解】因为，而为锐角， 解得：． 故选：D． 7．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解. 【详解】[方法一]：直接法 由已知得：, 即：， 即： 所以 故选：C [方法二]：特殊值排除法 解法一:设β=0则sinα +cosα =0，取，排除A, B； 再取α=0则sinβ +cosβ= 2sinβ，取β，排除D；选C. [方法三]：三角恒等变换 所以 即 故选：C. 8．（2021·全国乙卷·高考真题）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式 【分析】由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解. 【详解】由题意， . 故选：D. 9．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、给值求值型问题 【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母()，进行齐次化处理，化为正切的表达式，代入即可得到结果． 【详解】将式子进行齐次化处理得： ． 故选：C． 【点睛】易错点睛：本题如果利用，求出的值，可能还需要分象限讨论其正负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论． 10．（2020·山东·高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（    ） A．3 B． C．3或 D．-3或 【答案】A 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案； 【详解】，， ， ， ，， ， ， 故选：A. 二、填空题 11．（2023·上海·高考真题）已知，则= . 【答案】/ 【知识点】二倍角的正切公式 【分析】由正切的倍角公式求解 【详解】已知，则. 故答案为： 12．（2022·浙江·高考真题）若，则 ， ． 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、辅助角公式 【分析】先通过诱导公式变形，得到的同角等式关系，再利用辅助角公式化简成正弦型函数方程，可求出，接下来再求． 【详解】[方法一]：利用辅助角公式处理 ∵，∴，即， 即，令，， 则，∴，即， ∴ ， 则. 故答案为：；. [方法二]：直接用同角三角函数关系式解方程 ∵，∴，即， 又，将代入得，解得， 则. 故答案为：；. 13．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则 . 【答案】 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得，再缩小的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案. 【详解】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 故答案为：. 三、解答题 14．（2022·天津·高考真题）在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c.已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据余弦定理以及解方程组即可求出； （2）由（1）可求出，再根据正弦定理即可解出； （3）先根据二倍角公式求出，再根据两角差的正弦公式即可求出． 【详解】（1）因为，即，而，代入得，解得：． （2）由（1）可求出，而，所以，又，所以． （3）因为，所以，故，又， 所以，，而，所以， 故． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.3 三角恒等变换 基础巩固 一、单选题 1．（25-26高三上·江苏苏州·开学考试）已知，，则（   ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】根据和差的正切函数进行化简求解即可. 【详解】因为， 所以，化简得. ①+②得，①-②得. 所以. 故选：C. 2．（25-26高三上·湖北·阶段练习）已知，，，，则的值为（   ） A．或 B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【分析】由题意得，，进一步得的值为. 【详解】因为，，所以， 因为，，所以， 因为，所以， 所以 ， 所以的值为. 故选：B. 3．（25-26高三上·湖南·开学考试）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】诱导公式五、六、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】根据三角恒等变换以及诱导公式计算即可． 【详解】因为， 所以，故． 故选：B. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】先根据已知条件确定的范围，求出，再用两角差的余弦公式求出，最后借助商数关系和两角差的正弦公式对所求式子化简即得所求. 【详解】因为，所以，所以， 又，故． 因为，， 所以． 故． 故选：D． 5．（25-26高三上·山西长治·开学考试）已知，且是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】由的象限，求得和的值，然后利用二倍角公式化简代数式，即可求得答案. 【详解】因为，且是第二象限的角，则． 所以. 故选： B． 6．（25-26高三上·河北邢台·开学考试）已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二倍角的余弦公式 【分析】根据三角恒等变换的二倍角公式，由求出，将原式根据二倍角公式转换为的二次式，代入即可求出结果. 【详解】由二倍角公式，， 由二倍角公式，， 将代入得. 故选：C. 7．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据同角三角函数关系和和角的余弦公式得到方程组，联立求出，，再由差角的余弦公式得到答案. 【详解】因为，则（1）， 由，可得，所以（2）， 将（1）代入上式，，即， 代入（2），可得， 故. 故选：B 8．（23-24高三上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、和差化积公式 【分析】由题及两角差的余弦公式可得的值，再由和差化积公式可得的值，即可求解. 【详解】由题知. ∵， ∴， 即. ∴. 故选：C. 二、多选题 9．下列式子中正确的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、二倍角的正切公式、辅助角公式 【分析】对A，利用正切的二倍角公式化简；对B，利用两角和的正切公式化简；对C和D，利用二倍角公式和辅助角公式化简. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD. 10．（25-26高二上·安徽淮南·开学考试）已知，为锐角，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、给值求值型问题 【分析】由，为锐角，求出的范围，根据，，由同角三角关系式分别求得，，，再依据二倍角正弦公式，两角差的正弦公式，两角和的正切公式及同角三角函数关系式分别求各选项对应的三角函数值，即可选出正确选项. 【详解】因为，为锐角，所以，，所以， 所以， 因为，所以，， 因为，所以， 选项A：，所以选项A正确； 选项B：，所以选项B正确； 选项CD：因为，所以，所以；，所以C正确，D错误. 故选：ABC. 11．（25-26高三上·山东泰安·开学考试）已知的面积为，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦、二倍角的余弦公式、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】根据已知条件，结合和差公式、诱导公式、倍角公式求出角，再结合余弦定理及三角形面积公式得出边角关系，对选项逐一分析即可判断. 【详解】对于：由， 由，， 得， 结合，化简得， 即， 所以，故正确. 对于：，即， 由余弦定理得，化简得. 所以，，因为， 所以，， 所以，故错误； 对于：，， 所以，故正确； 对于：， 所以， 即，故正确. 故选：. 三、填空题 12．（25-26高二上·四川内江·开学考试）已知，则 【答案】 【知识点】诱导公式五、六、二倍角的余弦公式、给值求值型问题 【分析】根据二倍角公式和诱导公式，对已知条件进行变换，进而求出结果. 【详解】根据二倍角公式，由得， 即， 根据诱导公式， 所以. 故答案为： 13．（25-26高三上·江苏镇江·开学考试）已知，则 . 【答案】 【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式、给值求值型问题 【分析】由已知及和角正切公式可得，再由，即可求值. 【详解】由题设，则， 所以，则. 故答案为： 14．已知为三角形的两个内角，，则＝ ． 【答案】 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求角型问题 【分析】由已知数据可得和的值，而，代入值计算可得． 【详解】∵为三角形的两个内角，且， ∴，， ∵，， ， ， ，，∴． 故答案为：． 四、解答题 15．已知，． (1)证明：； (2)计算：的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值 【分析】（1）由已知可得，然后利用两角和与差的正弦公式化简后，整理，再根据同角三角函数的关系化为正切即可得结论，或对已知式子利用两角和与差的正弦公式展开，可求出，，两式相除可得结论， （2）结合两角差的正切公式的变形公式化简，再将（1）中的结论代入可求得结果 【详解】（1）方法一： 由条件， 则 即 整理得 也即，得证． 方法二： 由条件， 即， 得， 从而可得 得证． （2）由于 所以原式 16．化简下列各式 (1) (2); (3)； (4). 【答案】(1); (2); (3); (4) 【知识点】二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）利用切化弦、辅助角公式、诱导公式来求解即可； （2）利用切化弦，再利用二倍角公式和诱导公式求解即可； （3）利用二角的降次升倍公式，再利用两角和差公式求解即可； （4）利用二倍角公式和半角公式求解即可. 【详解】（1） ; （2） ; （3） ; （4） , 因为，所以，即， 即上式. 17．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数. (1)求函数的单调递增区间及在上的值域； (2)若为锐角且，求的值. 【答案】(1)单调递增区间为，值域为 (2) 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、用和、差角的余弦公式化简、求值、辅助角公式、求sinx型三角函数的单调性 【分析】（1）利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，再利用正弦函数的性质求解. （2）由（1）的信息，利用同角公式及差角余弦公式求解. 【详解】（1）依题意，函数 由，解得， 所以函数的单调递增区间为； 由，得，， 所以当的值域为. （2）由（1）知，，由，得， 由，得，所以，， 所以 . 18．（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知函数的部分图象如图所示 (1)求的解析式； (2)已知，求的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、由图象确定正（余）弦型函数解析式、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】（1）由图像最值得到的值，由相邻最大值与最小值点得到函数周期，从而得到，将已知点坐标代入解析式，求得，即得到函数解析式； （2）代入（1）中函数解析式得到等式，结合取值范围得到的取值范围，由同角三角函数求得，然后利用和差角公式求得的值. 【详解】（1）由最值可确定， 周期 又， 所以 （2）， ∵，∴ ，又 ∴ ∴ 19．（25-26高三上·天津河西·开学考试）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，的面积为，． (1)求A的值； (2)求b的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理边角互化及三角恒等变形化简得，结合三角形内角即可求A的值； （2）由面积公式可得，利用余弦定理得，结合即可求b的值； （3）由（2）知，利用余弦定理的推论可求，根据倍角公式求出，最后用和差公式求值即可． 【详解】（1）由正弦定理得， ， ，， 又，所以． （2），即①， 又，即②， 由①②解得或， 又， 所以b的值为8． （3）由（2）知， 所以， ， 又，所以，， 则， 所以 ， 即的值为． 能力提升 一、单选题 1．（24-25高三上�全国�阶段练习）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】单位圆与周期性、三角恒等变换的化简问题 【分析】由倍角公式可得，即，分和两种情况，求的值，运算求解即可. 【详解】因为， 由可得， 又因为， 若，则， 可得， 所以； 若，则， 可得， 所以； 综上所述：. 故选：B. 2．（24-25高三下�重庆北碚�阶段练习）1551年奥地利数学家、天文学家雷蒂库斯在《三角学准则》中首次用直角三角形的边长之比定义正割，余割和余切.在某直角三角形中，一个锐角的斜边与邻边的比，叫做的正割，用表示；其斜边与对边的比，叫做的余割，用表示；其邻边与对边的比，叫做的余切，用表示，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【知识点】二倍角的正弦公式、给角求值型问题 【分析】依题意可得，，，将切化弦，再由诱导公式、两角差的正弦公式、二倍角公式计算可得. 【详解】依题意可得，，， 所以 . 故选：B 3．若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、用和、差角的正弦公式化简、求值、用和、差角的正切公式化简、求值、基本不等式求和的最小值 【分析】由知，由两角和的正弦公式展开并整理得到，再利用得到，由基本不等式得. 【详解】若，则， 所以， 所以，即， ， 若使得取得最大值，不妨设， 则， 当且仅当，即时取等号. 故选：D. 【点睛】方法点睛：三角函数中的凑角技巧 ； ； . 4．（23-24高三上�河南�阶段练习）在中，，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D．16 【答案】C 【知识点】正、余弦齐次式的计算、二倍角的正弦公式、基本不等式求和的最小值 【分析】利用二倍角公式化简得到，然后利用基本不等式求最值即可. 【详解】因为，设，则，显然，即，所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为． 故选：C． 二、多选题 5．（23-24高三上�山西大同�期末）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【知识点】用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求值型问题 【分析】根据同角的三角函数关系式，结合两角和（差）的正弦余弦公式逐一判断即可. 【详解】由题意可得， 所以，故A错误； ， 因为， 所以，所以，故B正确； 因为，所以， 所以 ，故C错误： 即， 因为，所以， 故，所以，故D正确. 故选：BD 6．如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为，为线段的中点，射线与单位圆交于点，则（    ）    A． B． C．点的坐标为 D．点的坐标为 【答案】ABC 【知识点】任意角的概念、由单位圆求三角函数值、用和、差角的余弦公式化简、求值、用和、差角的正弦公式化简、求值 【分析】由角的定义求解可判断A；由圆的性质及角的定义求解可判断B；由三角函数定义求解可判断C；由中点坐标公式及三角函数定义，结合角的变换、两角和与差的余弦公式求解可判断D. 【详解】对于A：因为，，所以，正确； 对于B：依题意为线段的中点，则，则， 又，所以，正确； 对于C：为线段的中点，射线与单位圆交于点，则为的中点， 所以， 又，所以点的坐标为，正确； 对于D： ， ， 所以点的坐标为，错误. 故选：ABC 三、填空题 7．在平面直角坐标系中，、、，当时.写出的一个值为 . 【答案】（满足或的其中一值） 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、给值求角型问题、向量夹角的坐标表示 【分析】利用平面向量数量的坐标运算结合两角和的正弦公式可得出，求出的值，即可得解. 【详解】由题意可得，， 所以，，同理可得， 则 ， 所以，或， 解得或， 故答案为：（满足或的其中一值）. 8．中华人民共和国国旗是五星红旗，为中华人民共和国的象征和标志．每个五角星的一个内角都是，利用三倍角公式等恒等变换可以求得的值．先利用可求得 （用单角的正弦值表示）；再求得 ． 【答案】 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的余弦公式 【分析】 先根据两角和差公式结合二倍角公式得出，再结合诱导公式结合二倍角公式解方程可得. 【详解】 因为，从而， 即，令，则，解得舍. 故答案为：；. 四、解答题 9．（24-25高三上�上海�期中）某商场零食区改造，如图，原零食区是区域ODBC ，改造时可利用部分为扇形区域OAD，已知，米，米， 区域OBC为三角形， 区域OAB是以OA为半径的扇形，且 .    (1)若需在区域OABC外轮廓地面贴广告带，求广告带的总长度； (2)在区域OAD中，设置矩形区域HGIF 作为促销展示区，若设，求当取何值时，促销展示区的面积取到最大值，并求出的最大值. 【答案】(1)米 (2)时，平方米 【知识点】弧长的有关计算、求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题 【分析】（1）根据弧长公式及直角三角形的边角关系求解即可； （2）根据锐角三角函数可得，，利用面积公式，结合三角函数恒等变换以及三角函数的性质即可求解最值. 【详解】（1）因为，，， 所以，， 则，， 所以弧长， 所以广告带的总长度为 米； （2）    如图，连接，， 因为，所以，， 因为，所以， 所以， 所以 ， 因为，当，即时取得最大值， 所以， 所以的最大值为平方米. 2 学科网（北京）股份有限公司 $