精品解析：广西南宁市第八中学2025-2026学年高二上学期开学考试数学试题

2025～2026学年秋季学期高二开学考 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知平面向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】由与共线，则，解得. 故选：C. 2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义结合复数的概念判断可得出合适的选项. 【详解】，则， 故的虚部为. 故选：D. 3. 高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由长方形的面积和为1求出，再由第75百分位数的定义求解； 【详解】因为，所以. 参赛成绩位于内的频率为， 第75百分位数在内， 设为，则， 解得5，即第75百分位数为85， 故选：C. 4. 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长得，求得，进而由可求得圆锥的高. 【详解】由图知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为， 设扇形半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为， 所以圆锥的高. 故选：D 5. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（ ）. A. 4 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点到直线的距离的向量求法计算可得结果. 【详解】，故， 所以， 设直线与直线所成角为， 则，可得， 因此点到直线的距离为． 故选：B. 6. 若直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或-1 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行直线的性质进行求解即可. 【详解】因为直线与直线互相平行， 所以有且， 解得， 故选：A 7. 已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据恒过定点化简直线方程求出，再根据垂直关系求出所求直线的斜率，列点斜式方程化简即可. 【详解】由，得， 直线恒过点． 因为的斜率为， 所以所求直线的斜率为，其方程为，即， 故选：A． 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】可以看作是点到点的距离的平方；已知，那么点在直线上，所以求的最小值，就是求点到直线的距离的平方. 【详解】因为， 所以问题可转化为求直线上的点到点的距离的最小值， 故求点到直线的距离即可，因为距离， 所以． 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线，则（ ） A. 的倾斜角为 B. 在轴上的截距为 C. 原点到的距离为1 D. 与坐标轴围成的三角形的面积为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A，利用直线的倾斜角与斜率的关系求解；选项B，利用直线的截距求解即；选项C，利用点到直线的距离公式求解；选项D，利用直线与坐标轴的围成面积求解即可. 【详解】选项A：直线的倾斜角为，斜率，则，由得，故选项A正确； 选项B：令则则在轴上的截距为，故选项B正确； 选项C：原点到的距离为，故选项C正确； 选项D：与坐标轴围成的三角形的面积为，故选项D错误. 故选：ABC. 10. 一个盒子中装有支圆珠笔，其中支一等品，支二等品，大小质地完全相同，若从中随机取出支，则与事件“取出支一等品和支二等品”互斥的事件有 （ ） A. 取出的支笔中，至少支一等品 B. 取出的支笔中，至多支二等品 C. 取出的支笔中，既有一等品也有二等品 D. 取出的支笔中，没有二等品 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义逐项检验即可求解 【详解】对于A，事件“取出的支笔中，至少支一等品”包括支一等品和1支二等品，支一等品两种结果，与事件“取出支一等品和支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故A正确； 对于B，事件“取出的支笔中，至多支二等品”包括支一等品和1支二等品，支一等品两种结果，与事件“取出支一等品和支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故B正确； 对于C，事件“取出的支笔中，既有一等品也有二等品”包括支一等品和支二等品，支一等品和支二等品两种结果，与事件“取出支一等品和支二等品”可能同时发生，它们不是互斥事件，故C不正确； 对于D，事件“取出的支笔中，没有二等品”指支一等品，与事件“取出支一等品和支二等品”不能同时发生，它们是互斥事件，故D正确； 故选：ABD. 11. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出，再结合模的坐标表示求解判断A；先求出，再根据空间向量数量积的坐标表示判断B；根据空间向量数量积的坐标表示判断D；结合，即可判断C. 【详解】对于A，因为，所以，选项A错误； 对于B，因为，所以， 则，选项B正确； 对于D，因为，所以，选项D正确． 对于C，因为，，，且平面， 所以是平面的一个法向量，选项C正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点且倾斜角为的直线方程为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角及其所过点的坐标求出直线的方程. 【详解】由于过的直线倾斜角为，即直线垂直于轴，所以其直线方程为. 故答案为：. 13. 已知复数，且为纯虚数，则实数___________． 【答案】1 【解析】 【分析】由已知计算得，结合已知可得，求解即可. 【详解】因为复数，所以， 又为纯虚数，所以，解得. 故答案为：. 14. 小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为，甲和乙两本书都买的概率为，则小王买乙书的概率为__________. 【答案】##0.75 【解析】 【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式列出方程组即可. 【详解】设购买甲书的概率为，购买乙书的概率为， 则由题意可得解得. 故答案为:. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应在答题卡上写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）过点B做直线的垂线，求垂足D的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得AB的中点，再利用两点式求解； （2）根据直线AC与直线BD垂直，求得直线BD的方程，然后联立方程组求解. 【小问1详解】 中点为，由直线两点式方程， 故边上的中线所在直线的一般式方程为． 【小问2详解】 由题意知，，则垂线的斜率， 故直线的方程为，即， 直线的方程为，即， 联立和方程，，解得垂足． 16. 已知空间中三点，，． （1）设，且，求的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）或． （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件可知，，结合向量共线的性质，结合模的公式，即可求解； （2）根据三角形的顶点坐标，利用模长公式求边长以及夹角，最后代入三角形面积公式，即可求解. 【小问1详解】 由已知得． 因为，所以可设， 所以，解得， 所以或． 【小问2详解】 由题可得，， 所以，， 所以， 又，所以， 所以的面积． 17. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，. （1）记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求，的概率； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】 直接利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值． 【详解】解：（1）由题意可知，. （2）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数， 则所求事件的概率为 ， 所以这2辆车共遇到1个红灯的概率为． 【点睛】本题主要考查了相互独立事件的概率乘法公式，考查计算能力，属于中档题． 18. 如图，平面平面，是边长为的等边三角形，为直角三角形，，， （1）当M为AB的中点时，求三棱锥的体积； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）连接SM，MC，作AC的中点N，连接SN，根据面面垂直的性质定理得SN是三棱锥的高，再应用棱锥的体积公式求三棱锥的体积； （2）连接MN，根据已知构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，求相关平面的法向量，再应用向量法求夹角余弦值，进而得到其正弦值. 【小问1详解】 如图，连接SM，MC，作AC的中点N，连接SN， 是边长为的等边三角形，N是AC的中点，所以，， 平面平面ACB，平面平面，平面， 根据面面垂直的性质定理知平面ABC，所以SN是三棱锥的高， 由题意知：， 故三棱锥的体积为. 【小问2详解】 连接MN，在中，，，所以， 结合（1）易知SN，MN，AC两两垂直，建立空间直角坐标系，如图， ∴，，，， ∴，，， 设，分别是面ASB、面CSB的法向量， 则，令，则， ，令，则， 所以，，， ∴与所成的角的余弦值为，正弦值为， 故二面角的正弦值为. 19. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. （1）求A； （2）若，周长为6，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及辅助角公式求解. （2）由余弦定理得，结合的周长，求得,再求出三角形的面积． （3）由正弦定理得，结合锐角三角形的条件及三角函数性质求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 整理得，即， 而，即，于是, 所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得， 由周长为6，得，解得， 所以的面积. 【小问3详解】 在锐角中，由，得，，则， ，则，， 由正弦定理得 ， 所以的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年秋季学期高二开学考 数学试题 （考试时间120分钟，满分150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 已知平面向量与共线，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为直线的一个方向向量，点，，则点P到直线的距离为（ ）. A. 4 B. C. D. 6. 若直线与直线互相平行，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 0或-1 7. 已知直线恒过点P，则过点P并与直线垂直的直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分． 9. 已知直线，则（ ） A. 的倾斜角为 B. 在轴上的截距为 C. 原点到的距离为1 D. 与坐标轴围成的三角形的面积为2 10. 一个盒子中装有支圆珠笔，其中支一等品，支二等品，大小质地完全相同，若从中随机取出支，则与事件“取出支一等品和支二等品”互斥的事件有 （ ） A. 取出的支笔中，至少支一等品 B. 取出的支笔中，至多支二等品 C. 取出的支笔中，既有一等品也有二等品 D. 取出的支笔中，没有二等品 11. 已知向量，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. 是平面的一个法向量 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 过点且倾斜角为的直线方程为___________. 13. 已知复数，且为纯虚数，则实数___________． 14. 小王逛书店，他买甲书和买乙书相互独立，若小王买甲书不买乙书的概率为，甲和乙两本书都买的概率为，则小王买乙书的概率为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应在答题卡上写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点是，，． （1）求边上的中线所在直线的一般式方程； （2）过点B做直线的垂线，求垂足D的坐标． 16. 已知空间中三点，，． （1）设，且，求的坐标； （2）求的面积． 17. 从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，，. （1）记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求，的概率； （2）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 18. 如图，平面平面，是边长为的等边三角形，为直角三角形，，， （1）当M为AB的中点时，求三棱锥的体积； （2）求二面角的正弦值. 19. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. （1）求A； （2）若，周长为6，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $