数学思想专题 方程思想在勾股定理中的运用&问题解决策略：反思——利用勾股定理解决最短路径问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（北师大版2024 贵州专版）

数学思想专题方程思 类型1 利用勾股定理解决古代问题 1.数学文化九章算术《九章算术》卷九“勾股”中 记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不 出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几 何.（注：横放，竿比门宽长出四尺；竖放，竿 比门高长出二尺，斜放恰好能出去) 解答下列问题： (1)示意图中，线段CE的长为 尺，线 段DF的长为 尺； (2)设户斜长x,则可列方程为 类型2 利用勾股定理求边长（或距离） 方法指导 (1)作高，利用勾股定理构造方程. 已知△ABC的三边长. 作法：作AD⊥BC,垂足为D. 结论：AD2=AB2一BD=AC2-CD2; (2)有共边，利用勾股定理构造方程， 已知：∠ACB=90°，CD⊥AB于点D. 结论：(1)CD2=AC-AD2=BC-BD; (2)AC=AB2-BC2=AD2+CD2; (3)BC2=AB2-AC2=BD2+CD2 2.如图，在△ABC中，AB=12,AC=16,BC=20. (1)判断△ABC的形状，并说明理由； 想在勾股定理中的运用 (2)若P为线段AC上一点，连接BP,且BP= CP,求AP的长. 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB= 5cm,AC=3cm,动点P从点B出发，沿射 线BC以1cm/s的速度移动.设移动的时间 为ts,当△ABP为直角三角形时，求t 的值. 数学W八年级上册(BS)9 类型3利用勾股定理解决折叠问题 万法指得 解决折叠问题的关键是抓住对称性.求线段的长 时，可利用勾股定理直接计算，也可设未知数，由勾股 定理列出方程，运用方程思想解决问题」 4.如图，有一块直角三角形纸片，∠ACB=90°， AC=4cm,BC=3cm,将斜边AB翻折，使 点B落在直角边AC的延长线上的点E处， 折痕为AD,则CE的长为 A.1 cm B.1.5 cm C.2 cm D.3 cm D B (第4题图) (第5题图) 5.如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD= 8,折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点 B落在点F处，折痕为AE,且EF=3,则 AB的长为 6.如图，在Rt△ABC中，AB=9,BC=6, ∠B=90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中 点D重合，折痕为MN,求线段BN的长. M 10第-章勾股定理 7.如图，有一块直角三角形纸片ABC,两直角 边AC=6cm,BC=8cm,将纸片沿AD折 叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重 合，求△BDE的面积. 8.如图，正方形ABCD的边长为10cm,在距A 6cm处将正方形折叠后展开，折痕为MN, 再沿AE折叠纸片，使点B落在MN上的点 F处.求BE的长 ☆问题解决策略：反思— 利用勾股定理解决最短路径问题 类型1 平面内最短路径问题 模型归纳 长 从A到F 阶 1.已知△ABC,AB=5,BC=12,AC=13,点P 从A到B 是AC上的一个动点，则线段BP长的最小 值是 3.(2024·黔东南期中)如图，一圆 2.如图，某高速公路的同一侧有A,B两城镇， 柱体的底面周长为10cm,高AB 它们到高速公路所在直线MN的距离分别 为12cm,BC是直径，一只蚂蚁从 为AA'=2km,BB'=4km,且A'B'=8km. 点A出发沿着圆柱的表面爬行到点C的最 要在高速公路上的A',B'之间建一个出口 短路程为 ( P,使A,B两城镇到出口P的距离之和最 A.17 cm B.13 cm C.12 cm D.14 cm 短，求最短距离， 4.(2024·贵阳期中)如图是一 个三级台阶，它的每一级的 长、宽、高分别为20dm,3dm B'N 和2dm,A和B是这个台阶的两个端点，点 A处有一只蚂蚁想到点B处去吃可口的食物， 则它所走的最短路线长度为 dm 5.(教材P22复习题T1变式)如图，一只蚂蚁在 长方体木块的顶点A处，食物在这个长方体 上和蚂蚁相对的顶点B处，蚂蚁急于吃到食 物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你根 据图中所示数据计算出它从A处爬到B处 的最短路线长为多少. 8 cm 类型2 立体图形中的最短路径问题 /3 cm 3 cm 模型归纳 圆 展开 从A到B 数学W八年级上册(BS)11参考答案 正文答案 第一章勾股定理 1探索勾股定理 第1课时认识勾股定理 新知梳理 0勾股弦②平方和平方a'十6=c 例题引路 【例1】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC2十BC,即AB=5+12=169,AB =13.Sx=号AC·BC=AB·CD,即2×5X12=号×13CD,CD-g 【例2】25或7 弥 基础过关 1.C2.C3.2.5m4.解：(1)c2=a2+b=52+122=169,.c=13;(2)62=c2-a2=25 -7=576,.b=24.5.B6.C7.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC2=AC2-AB =172-82=225,.BC=15cm.∴.Sm=15×3=45(cm2). 能力提升 8.B9.B10.169或11911.解：(1)在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=AC-AD= 152-92=144,.CD=12;(2)在Rt△BCD中，由勾股定理，得BD2=BC2-CD=202-12 =256,.BD=16,AB=AD十BD=9+16=25.12.解：过点A作AD⊥BC于点D.在 地 Rt△ABD中，由勾股定理，得AB一BD=AD,在Rt△ACD中，由勾股定理，得AC CD2=AD...AB2-BD=AC-CD2,252-BD =172-(28-BD)2,..BD=20..'.AD =A-BD=25-20=25AD=15.Sam=号BC·AD=合×28X15=210. 思维拓展 13.解：①当高AD在△ABC内部时，如答图①.在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AB -AD=202-12=256,.BD=16.在Rt△ACD中，由勾股定理，得CD=AC-AD= 152-12=81,.CD=9,.BC=BD+CD=16十9=25，.△ABC的周长为BC+AB+AC =25十20十15=60.②当高AD在△ABC外部时，如答图②.同理可得BD=16,CD=9, ∴.BC=BD-CD=16-9=7,∴.△ABC的周长为BC+AB+AC=7+20+15=42.综上所 述，△ABC的周长为60或42. 答图① 答图② 第2课时 勾股定理的验证及其简单应用 例题引路 【例1】B【例2】480 基础过关 1.(1)(a+b)c(2)(a+b)2 a6X4+e(3)a+b6=号a6X4+22=a+6 2.A3.x2+22=(x+0.5)24.10 能力提升 5.A6解：AD的长为=I0(m).在R△AED中，由勾股定理，得DE=AD-AE 10:-6=64DE=8m半圆形餐饮区的面积S=号x×(8÷2)2=8x(m).答：半圆形 餐饮区的面积为8πm2,7.解：根据题意，得MN=60m.在Rt△MNB中，BN=BM一 MN=75-602=2025,∴.BN=45m,.AV=AB-BN=125-45=80(m).在Rt△AMV 中，AM=AN2+MN2=802+602=10000,∴.AM=100m,∴.MA+BM=100+75=175(m. 答：供水点M到喷泉A,B需要铺设的管道总长为175m. 第1页（共54页） 思维拓展 8.解：(1)如图①，大正方形的面积可以表示为c,也可表示为4X号b+(b-a),“2=4 ×号ab6+6-a=a+6:(2)在R△ABC中，∠ACB=90,AC=4,BC=3AB= 3+4=25AB=5.:Sac=令AC,BC=AB·CD.CD=ACBC=3-是。 AB 5 5 (3)大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，.c2=13,(b-a)2=1,.a2十6一2ab= 1.a2+b2=c2=13,.13-2ab=1,.2ab=12,∴.(a+b)2=a2+b2+2ab=13+12=-25,即 (a十b)的值为25. 2一定是直角三角形吗 新知梳理 ①a2十b2=c2②正整数 例题引路 【例1】解：(1)△ABD是直角三角形.理由如下：，BC=24cm,AD为中线，∴.BD=CD= 12cm.又：AB=13cm,AD=5cm,∴.AD十BD=AB,∴.△ABD为直角三角形，∠ADB =90°：(2)：∠ADB=90°，·∠ADC=90°，△ADC为直角三角形.由勾股定理，可得AC =AD+CD2=52+122=169,.AC=13cm【例2】D 基础过关 1.A2.垂直3.解：(1)不是.理由如下：.4+52=41≠62，.△ABC不是直角三角形； (2)是.∠B是直角.理由如下：：92十40=41，即a2十c2=b,∴.△ABC是直角三角形， ∠B=90°；(3)是.∠C是直角.理由如下：：(8k)2十(15k)2=(17k),即a2十b=c2, .△ABC是直角三角形，∠C=90°.4.B5.170 能力提升 6.A7.1148.解：在Rt△ABD中，由勾股定理，得BD=AD2-AB=92一62=45.在 △BCD中，BC2十CD=32十62=45，.BC2十CD=BD,.∠BCD=90°..BC⊥CD.故该 车符合安全标准。 思维拓展 9.解：(1)由题中等式的规律可得(2一1)2十(2n)2=(2十1)2，理由如下：等式左边=n 2n2+1十42=n十2m2十1=(n2十1)2=等式右边；(2)它的三边长能为勾股数.·35=36 1=62-1,把n=6代入上式，得(62-1)2+(2×6)2=(62+1)2，即352+12=37，.它的三 边长能为勾股数，为35,12,37：(3)不是表达所有勾股数的关系式，如9,12,15,92+122= 15,9,12,15是勾股数，但并不满足上面规律的等式，故(1)中得出的表示上面规律的等式 不是表达所有勾股数的关系式 3勾股定理的应用 例题引路 【例】解：设OA=OB=x尺..EC=BD=5尺，AC=1尺，∴.EA=EC-AC=5-1=4(尺)， OE=OA-AE=(x-4)尺.在Rt△OEB中，OE=(x-4)尺，OB=x尺，EB=10尺.根据勾 股定理，得x2=(x-4)2十102.解得x=14.5.则秋千绳索OB的长度为14.5尺 基础过关 1.B2.B3.解：(1)车速检测仪A处的正前方是C处，.AC⊥BC..AC=12m,AB= 20m,.BC=AB-AC=202-122=256,∴.BC=16m.答：BC的长为16m;(2)16÷1.5 =兰≈10.7(m/s.答：这辆小汽车在BC段的速度约是10.7m/s. 能力提升 4.C5.C6.解：(1)连接AC.,∠B=90°，AB=6m,BC=8m,.AC=AB2+BC=62十 82=100,AC=10m.CD=24m,AD=26m,102+242=26,.AC+CD=AD2, ÷△ACD是直角三角形，∠ACD=90,S题BD=SaM度十SAm=方AB·BC十 号ACCD=号×6X8十×10×24=14(m):即空地ABCD的面积为14m:(2)14 ×350=50400(元).答：总共需投入50400元. 第2页（共54页） 思维拓展 7.解：(1)村庄能听到宣传.理由如下：：村庄A到公路MN的距离AB为600m<1000m, .村庄能听到宣传：(2)如图， 假设当宣讲车行驶到点P时开始影响村 M P B ON 庄，行驶至点Q时结束对村庄的影响，则AP=AQ=1000m,AB=600m,在Rt△APB中， 由勾股定理，得PB2=AP2-AB2=10002-6002=640000,.BP=800m,.BP=BQ= 800m,则PQ=PB+BQ=800十800=1600(m),则1600÷200=8(min).答：村庄总共能听 到8min的宣传. 数学思想专题方程思想在勾股定理中的运用 1.(1)42(2)(x-4)2十(x-2)2=x22.解：(1)△ABC是直角三角形.理由如下：在 △ABC中，AB=12,AC=16,BC=20,:122+162=400=202,∴.AB+AC=BC. ∴.△ABC是直角三角形；(2)由(1)，得△ABC是直角三角形，∠A=90°.设AP=x,则BP= CP=16-x,在Rt△ABP中，AB2+AP2=BP2,.122+x2=(16-x)2,解得x=3.5. .AP的长为3.5,3.解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC=AB-AC=5-32=16, ∴.BC=4cm.由题意，得BP=tcm.分两种情况进行讨论：①当∠APB为直角时，如答图①， 点P与点C重合，即BP=BC=4cm,∴.t=4;②当∠BAP为直角时，如答图②，BP=tcm, 则CP=(t-4)cm.在Rt△ACP中，由勾股定理，得AP=AC+CP2=3十(t-4).在 R△ABP中，由勾股定理，得AB十AP=BP,即5十3十(1-4=，解得1=空综上 所述，当△ABP为直角三角形时，：的值为4或织 C(P) P 答图① 答图② 4.A5.66.解：设BN=x,由折叠的性质，可得DN=AN=AB-BN=9-x,,D是BC 的中点，BD=号BC=号×6=3.在R△BND中，由勾股定理，得BN十BD=ND,即 x2十32=(9-x)2,解得x=4.线段BN的长为4.7.解：在Rt△ABC中，AC=6cm,BC =8cm,由勾股定理，得AB2=AC+BC=62+82=100,.AB=10cm.:将纸片沿AD折 叠，直角边AC恰好落在斜边上，且与AE重合，∴.AE=AC=6cm,DE=CD,∠DEB=90°， ..BE=AB-AE=10-6=4(cm).设CD=DE=xcm,则BD=(8-x)cm.在Rt△DEB中， 由勾股定理，得BE+十DE=BD,即4十x2=(8-x)2,解得x=3,即DE=3cm,.△BDE 的面积为号×4X3=6(em).8.解：由折叠的性质可知：BN=AM=6cm,MN=AF=AB =10cm.在Rt△AMF中，由勾股定理，得MF2=AF-AM=10-6=64,.MF=8cm, .NF=MN-MF=10-8=2(cm).设BE=xcm,则EF=BE=xcm,EV=(6-x)cm.在 R△EFN中，由勾股定理，得EF=EN十FN,即=(6-)2十2，解得x=号.BE 10 的长为3cm. ☆问题解决策略：反思—利用勾股定理解决最短路径问题 60 1.13 2.解：如图， 作点A关于直线MN的对称点C,连接CB,交直线 MN于点P,连接AP,则此时由“两点之间线段最短”可知AP十PB的长度最短.·点C为 点A关于直线MN的对称点，.CP=AP.∴AP+PB=CP+PB=CB.过点B作BD⊥ CA,交CA的延长线于点D.:AA'=2km,BB=4km,A'B'=8km,A'C=2km,DB= 8km,则CD=6km.在Rt△CDB中，由勾股定理，得CB=CD十BD2=62十82=100， .CB=10km.即AP+PB=10km.故最短距离为10km.3.B4.255.解：如图①所 第3页（共54页） 示，AB=(3十3)2+82=100，如图②所示，AB=32十(8十3)2=130,100<130,100= 10,.它从A处爬到B处的最短路线长为10cm. 8 cm cm 3 cm m 图① 图② 第一章整合与提升 高频考点突破 1.A2.A3.244.解：设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x.依题意，得x =(6十6)2十52=169，解得x=13(负值已舍去)..“数学风车”的外围周长是(13十6)×4= 76.5.解：：CD是AB边上的高，∴.∠BDC=∠ADC=90°.在Rt△ADC中，AC=20,CD =12,由勾股定理，得AD=AC2-CD2=202-12=256,.AD=16.在Rt△BCD中，BC= 15,CD=12,由勾股定理，得BD2=BC-CD=152-122=81,.BD=9.:AE=AC=20, AD=16,.DE=AE-AD=20-16=4..BF=BC=15,BD=9,.DF=BF-BD=15-9 =6,.EF=DE+DF=4+6=10.6.B7.D8.249.解：(1)在Rt△ACD中，由勾股 定理，得AC2=CD十AD=32十4=25，AC=5m:(2)在△ABC中，AC十BC=5+ 122=132=AB,∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，.四边形ABCD的面积为SAA- Saw=号AC.BC-2CD·AD=号X5X12-号×3×4=24(m).10.A山.15 12.解：(1)海港C受台风影响.理由如下：如图， 过点C作CD⊥AB于D, EDE .AC=300km,BC=400km,AB=500km,300+4002=5002,.AC2+BC=AB2, △ABC是直角三角形，∠ACB=90.Sae=子AB·CD=号AC·BC,CD AC,BC_-300X400=240(km).:以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域， AB 500 .海港C受到台风影响：(2)如图，当台风中心移动到E,F处时正好影响C港口，即EC= 250km,FC=250km..在Rt△ECD中，由勾股定理，得ED2=EC2一CD=2502-2402= 4900∴.ED=70km,.EF=2ED=2X70=140(km).:台风中心移动的速度为20km/h, .140÷20=7(h).答：台风影响该海港持续的时间为7h. 易错易混专攻 1.225或632.150或42 常考题型演练 1.D2.解：(1)△BDC是直角三角形.理由如下：.BC=17cm,BD=15cm,CD=8cm, BD十CD=15+8=289,BC=172=289.∴.BD+CD=BC,∴.△BDC是直角三角形， 且∠D=90°；(2)设AB=AC=xcm,则AD=BD-AB=(15-x)cm.在Rt△ADC中，由勾 股定理，得AD十DC=AC,即(15-)+8=，解得r=95AB=AC=cm, ∴△ABC的周长为AB+AC+BC-8+器+17-沿(am.3解：1过点B作BC1 AD于点C.由题意，易得BC=ED=15m,BE=CD=1.6m.在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 由勾股定理，得AC2=AB-BC2=172-15=64,.AC=8m,则AD=AC十CD=8十1.6 =9.6(m):(2)风筝沿DA方向再上升12m后，风筝距手的竖直距离为8十12=20(m),20 十152=625，易得此时风筝线的长为25m,25-17=8(m).答：小明同学应该再放出8m线. 第二章实数 1认识实数 第1课时无理数的产生 基础过关 1.D2.29不是3.D4.解：1)阴影正方形的面积是3×3-×1×2×4=5：(2)阴影 第4页（共54页） 正方形的边长不是有理数.理由如下：，没有任何一个有理数的平方等于5，∴.该阴影正方 形的边长不是有理数；(3)：2<5<3，∴阴影正方形的边长介于2和3之间. 能力提升 5.D6.(1)①3②16③0.64(2)②③①7.解：该长方体的长、宽、高都不是有理 数.理由如下：设该长方体的长、宽、高分别为5xcm,4xcm,3xcm.根据题意，得5x·4x· 3x=1800,则x3=30.不存在一个有理数的立方为30，x不是有理数.故5x,4x,3x均 不是有理数，即该长方体的长、宽、高都不是有理数，8.解：(1)所拼成的正方形的面积是 5;(2)a2=5且a>0;(3)a不是整数，不是分数，不是有理数；(4)如图，虚线部分即为所求 (答案不唯一). 第2课时实数 基础过关 1.D2.C3.AB,BC4.D5.-7,0.32,号3.14,0-受，0.101001001…（相邻两 个1之间0的个数逐次加)0.32，号，0.10101001…（相邻两个1之间0的个数逐次 加1)，3.146.B7.B8.3π3π9.D 能力提升 10.D11.解：(1)、(2)、(3)如图（答案均不唯一）. 图① 图② 图③ 2 平方根与立方根 第1课时算术平方根 基础过关 1.C2.43.解：(1)0的算术平方根是0：(2)20=400，.400的算术平方根是20，即 丽-20(3()=品∴品的算术平方根是音即V眉=骨4A536.B 7.20m 能力提升 8.D9.2(答案不唯-)10.解：1)①4160号a②3512-a1a= a(a≥0)， (2)由有理数a,b在数轴上的位置可知，-2<a<-1,0<b<1,∴.a-b<0,b -a(a<0) -a>0,∴.√a2+|b-a-√(a-b)'=la|+lb-a|-|a-bl=-a+b-a-b+a=-a. 第2课时平方根 基础过关 1.B2.D3.D4.解：(1)（士10）2=100，∴.100的平方根是士10，即士√100=士10： (2):(±0.09)2=0.0081，.0.0081的平方根是士0.09，即±√0.008I=±0.09； (3):(仕名)-第“窝的平方根是±号，即±√儒=士号：(0：7号-，（±号） 号7号的平方根是士号，即士√行=士号.5D6士号一号号 7.解：(1)原 式=士号(2)原式=5：(3)原式=十（④）原式=1.3 能力提升 8.D9.D10.2或-1211.解：：2m十2的平方根是±4，.21十2=16，解得m=7. 3m十n+1的平方根是士5，.∴.3m十n十1=25，即21十n十1=25，解得n=3.,.m十3n=7十 3×3=16.:士√/16=士4，.m十3n的平方根是士4. 第5页（共54页） 第3课时立方根 基础过关 1.D2.D3.B4.(1)-2(2)35.-20256.解：(1)03=0，.0的立方根是0，即 0=0:(2):(0.9)3=0.729,∴0.729的立方根是0.9，即0.729=0.9；(3)-11的立方根 是可.7解原式=(-=-642原式-离-是 能力提升 8.D9.-210.解：(1)根据题意，得5a-1十a-5=0,解得a=1.:2b-4的立方根为 -2,.2b-4=-8,解得b=-2:(2)由(1)，得a=1,b=-2,5a-2b=5×1-2×(-2)= 5-(-4)=5十4=9.9的算术平方根是3，∴.5a-2b的算术平方根是3.11.解：(1)设该 魔方的棱长为xcm.根据题意，得x3=216.解得x=6.答：该魔方的棱长是6cm:(2)设该长 方体纸盒的长为ycm.根据题意，得6y=600.解得y=10(负值已舍去).答：该长方体纸盒 的长是10cm. 第4课时估算与用计算器开方 基础过关 1.C2.A3.74.(1)>(2)>(3)<5.解：由题意，得AC=10m,BC=8m.在 Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=AC十BC=102十82=164，.AB=√164m. 12.52=156.25<164,.√164>12.5，工人准备12.5m的铁索不够.6.B 7.解：(1)原式≈25.46；(2)原式≈0.58：(3)原式≈一0.68：(4)原式≈士13.39. 能力提升 8.W5(答案不唯一)9.(1)3(2)210.解：(1)13-√6(2)：√16<2I<√/25， .4<√2I<5.√2I的整数部分是4，小数部分是√2I-4.a=4,b=√2I-4..(-a) +(b+4)=-4十（√2I-4+4)=-4+/2I. 3二次根式 第1课时二次根式的乘除法 新知梳理 ①a(a≥0) g瓜√侣 例题引路 【例1】x≥0【例2】解：(1)原式=6×(-2)×√27×3=-12×√8I=-12×9=-108: (2)原式=49-48+4-2√3=5-2√3 基础过关 1.A2D3D4反25解：1)原式=√号×24=-4：(2)原式=√写× 后.6A7.(102)7-458解：()原武=√写×6+6×6-√合×6+ √6x6=E+6:(2)原式=厘-5=/6-2=4-2. 能力提升 9.C10.C11.512.√/1413.解：(1)由题意可得c-3≥0,3-c≥0，解得c=3. ∴.la-√21+√b-2=0.|a-√2|≥0，√b-2≥0，.|a-√21=0，√b-2=0,.a-√2 0,b-2=0,a=√2，b=2;(2)①当a是腰长，c是底边长时，等腰三角形的三边长为√2，W2, 3.:√2+√2=2√2<3，∴此三边长不符合三角形三边关系，舍去；②当c是腰长，a是底边 长时，三边长分别为√2,3,3.√2十3>3，∴.此三边长符合三角形三边关系.此时等腰三角 形底边上的商为√：-（号）√，面积为××√=四综上所述，这个等腰 三角形的面积为了， 21 第6页（共54页）