模型构建专题 探究与三角形角平分线相关的结论&重点突破专题 三角形的重要线段之间的夹角问题-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 贵州专版）

模型构建专题 探究与三 类型1两内角平分线的夹角 模型归纳 条件：如图，在△ABC中，BO,CO分 别平分∠ABC和∠ACB. 结论：∠B0C=90+号∠A 1.如图，P是△ABC内一点，∠C=70° (1)若∠PAC=20°，∠PBC=40°，求∠APB 的度数； (2)若PA,PB分别为∠CAB,∠CBA的平 分线，求∠APB的度数 类型2一内角平分线与一外角平分线 的夹角 模型归纳 条件：如图，BD,CD分别是△ABC的 内角∠ABC和外角∠ACE的平分线， 结论：∠D-∠A, 2.如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线， CE是外角∠ACM的平分 线，BE与CE相交于点E.若 ∠A=60°，则∠E的度数B 为 角形角平分线相关的结论 3.如图，点P是△ABC的内角∠ABC和外角 ∠ACD的平分线的交点，试探究∠P与∠A 之间的数量关系. 类型3两外角平分线的夹角 模型归纳 条件：如图，BD,CD分别是△ABC 的外角∠EBC和∠BCF的平分线. 结论：∠BDC=90°- 3∠A, 4.如图，点P是△ABC的两个外角∠EBC, ∠FCB的平分线的交点，试探究∠P与∠A 之间的数量关系. 数学Ⅱ八年级上册11 重点突破专题三角形的 类型1三角形中两条高的夹角 1.如图，在△ABC中，CD,BE分别是AB,AC 边上的高，BE,CD相交于点O. (1)若∠ABC=50°，∠ACB=60°，求∠BOC 的度数： (2)求证：∠BOC+∠A=180°， 类型2三角形同一条边上的高与角平 分线的夹角 2.(2024·遵义开学)如图，在△ABC中，AD 是高线，AE,BF是角平分线，它们相交于点 O,∠BAC=50°，∠C=70°，求∠EAD与 ∠BOA的度数. ED 12第十三章三角形 重要线段之间的夹角问题 3.如图，已知在△ABC中，∠B<∠C,AD平分 ∠BAC,E为线段AD(除去端，点A,D)上一 动点，EF⊥BC于点F (1)若∠B=40°，∠DEF=10°，则∠C的度数 为 (2)当E在AD上移动时，∠B,∠C,∠DEF 之间存在怎样的数量关系？请写出这个 数量关系，并说明理由. 【变式】如图，在△ABC中，∠1=∠2，∠C> ∠B,E为AD延长线上一点，且EF⊥BC于 点F (1)若∠B=40°，∠C=60°，则∠DEF的度数 为 (2)由解答(1)的过程，试探索∠DEF与 ∠B,∠C的数量关系，并说明理由.参考答案 第十三章 三角形 13.1三角形的概念 正文答案 基础过关 1.C2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠DCD(3)BC(4)AB BE3.B4.D5.3 能力提升 6.C7.418.解：(1)图中共有5个三角形：(2)△ACE,△DCE,△BCE;(3)△DBE与 △CBE,△BAC与△CBE,△DBE与△BAC 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 基础过关 1.A 2.B 3.EF+EG>FG 4.A 5.A 弥能力提升 6.B7.D8.C9.解：：(b-5)2+1c-71=0,(b-5)2≥0,1c-7|≥0，.b-5=0,c-7= 0,解得b=5,c=7.:a为方程a-3|=2的解，.a=5,或a=1.当a=1,b=5,c=7时，1 十5<7，此时以a,b,c为边长不能组成三角形，∴a=1不合题意，舍去，∴a=5,.△ABC的 周长为5十5十7=17. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 新知梳理 ①三角形的重心②角平分线③三角形的高内部两条直角外部延长线上 例题引路 纶 【例】(1)35°(2)25°(3)3 基础过关 1.B2.BCBC SANCD S△Bc63.31°4.解：DE∥AC.理由如下：：CD是△ABC 的角平分线，∴∠ACD=∠1.：∠1=∠2，.∠ACD=∠2，DE∥AC.5.A6.AD⊥ BC ADC90:合BC·AD 能力提升 7.C8.号9.1[解析：点E为AD的中点，SE=SAE,SAm=S5 号Sac=之×4=2(cm).点F为CE的中点S%g=号s6m=号×2=1(cm] 10.解：1)：AD1BC,AD=6,△ABC的面积为24，SAe=号BC·AD=号BCX6= 24,BC=8.AE是边BC上的中线，∴CE=BE=号BC=4:(2):点F为AB的中点， .AF=BF,∴.CAAEF-C△F=(AE+AF+EF)-(BE十BF+EF)=AE-BE=7-4=3, 即△AEF与△BEF的周长差为3. 思维拓展 IL.解：(I)是.证明如下：：DE∥AB,DF∥AC,.∠EDA=∠DAB,∠EAD=∠ADF .'AD是∠CAB的平分线，.∠EAD=∠DAB,.∠EDA=∠ADF,.DO是∠EDF的平分 线：(2)正确.选择命题：若DO是∠EDF的平分线，DE∥AB,DF∥AC,则AD是∠CAB的 平分线.证明：DE∥AB,DF∥AC,∠EDA=∠DAB,∠EAD=∠ADF.DO是 ∠EDF的平分线，.∠EDA=∠ADF,.∠EAD=∠DAB,.AD是∠CAB的平分线.（命 题及其证明不唯一) 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 新知梳理 180 例题引路 【例1】解：设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°.依题意，得x十3x十5x=180,解得x=20,则 3.x=60,5x=100,.∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°.【例2】解：：AD平分∠BAC, ∴.∠BAC=2∠BAD.:∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=3∠BAD,∠C=90°，∴.2∠BAD+ 3∠BAD+90°=180°，.∠BAD=18°，∴.∠B=3∠BAD=54° 基础过关 1.80°【变式】C2.D3.D4.70°5.C6.160 第1页（共48页） 能力提升 7.D8.55°9.280°10.解：(1)DE∥BC,∴∠ADE=∠B.CD⊥AB,EF⊥CD,∴.AB ∥EF,∴∠B=∠EFC,∴∠ADE=∠EFC;(2)'∠ACB=80°，∠A=60°，∠B=180° ∠A-∠ACB=180°-60°-80°=40.CD⊥AB,∠BDC=90°，∠DCB=180° ∠BDC-∠B=180°-90°-40°=50. 思维拓展 11.解：(1)90°40°(2)：（∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)十∠A=180°，.90°+ (∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，∴.∠ABP+∠ACP=90°-∠A;(3)设AB交PC于点O. :∠AOC=∠POB,∠ACO+∠A+∠AOC=∠P+∠PBO+∠POB=180°，∴.∠ACO+ ∠A=∠P+∠PBO,即∠ACP+∠A=90°+∠ABP,∴∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 新知梳理 ①互余②互余 例题引路 【例1】26°【例2】证明：：AD是BC边上的高，∠ADC=90°，∴∠DMC+∠DCM=90°. :∠DCM=∠MAE,∠DMC=∠AME,∴.∠AME十∠MAE=90°，∴△AEM是直角三角形. 基础过关 1.A2.C3.52°4.22.5°5.C6解：△ABC是直角三角形.理由如下：：ED⊥AB, ∠ADE=90°，∴∠1十∠A=90°.又∠1=∠B,∠B十∠A=90°，∴.△ABC是直角三 角形 能力提升 7.D8.B9.C10.22.5°11.解：：AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.：EP为 ∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线∠PEF=-∠BEF,∠PFE=∠DFE, ∠PEF+∠PFE=2（∠BEF+∠DFE)=90,∴△EPF为直角三角形. 思维拓展 12.解：(1)∠1=∠2.理由如下：.CE⊥AB,AD⊥BC,∴.∠CEB=∠ADB=90°，.∠2十 ∠B=90°，∠1十∠B=90°，∴.∠1=∠2；(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：，AD⊥BC, CE⊥AB,.∠D=∠E=90°，.∠2十∠ABD=90°，∠1+∠CBE=90°.又.∠ABD= ∠CBE,∴∠1=∠2. 13.3.2三角形的外角 新知梳理 ①三角形的外角②(1)与它不相邻 例题引路 【例1】D【例2】解：∠B=40°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-40 -60=80.:CE是∠ACD的平分线∠DCE=号∠ACD.:∠ACD=180-∠ACB= 180°-60°=120°，∴.∠DCE=60°，∴.∠E=∠DCE-∠B=60°-40°=20， 基础过关 1.∠ACD2.C【变式D3.604.85°5.解：AE∥BD,∠ADB=∠1=95°.又 ∠ADB=∠C+∠2，∴∠C=∠ADB-∠2=95°-28°=67°. 能力提升 6.C7.70°8.235°9.解：DF⊥AB,.∠BFD=∠AFE=90°，∴.∠B=90°-∠D= 35°，∴.∠ACD=∠B+∠A=35°+30°=65°，∠FEC=∠A+∠AFE=30°+90°=120°. 思维拓展 10.解：(1)，∠MAN=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°.，∠ABC和∠ACB的平分线交于点 P,∠CBP=∠ABC,∠BCP=∠ACB,∠P=180-(∠CBP+∠BCP)=180 号（∠ABC+∠ACB)=180-号×90=135，(2）：∠ABC和∠ACB的平分线交于点P, ∠CBP=∠ABC,∠BCP=∠ACB,∠P=180-(∠CBP+∠BCP)=I80 2(∠ABC+∠ACB)=180-180-∠A0=90+合∠A.:∠A=7∠P,∠P=90 +号×号∠P,∠P=120,∠A=号∠P=60,(3)∠P+∠Q=180.[解析：∠ABC 和∠ACB的平分线交于点P,∠CBD=号∠ABC,∠BCP=子∠ACB.:点Q是△ABC 两外角平分线的交点，即∠CBM和∠BCN的平分线交于点Q,∠CBQ=号∠CBM, ∠BCQ-∠BCN.'∠ABC+∠CBM=∠ACB+∠BCN=180,∠PBQ=∠PBC+ ∠CBQ=号∠ABC+2∠CBM=号（∠ABC+∠CBM)=子×1S0:=90,同理：∠PCQ- 90°，.∠P+∠Q=360°-90×2=180] 第2页（共48页） 模型构建专题探究与三角形角平分线相关的结论 1.解：(1)：∠C=70°，∴.∠CAB+∠CBA=180°-70°=110°.：∠PAC=20°，∠PBC=40°， .∠PAB+∠PBA=110°-20°-40°=50°，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=180° 50°=130°；(2)由(1)知，∠CAB十∠CBA=110°.：PA,PB分别为∠CAB,∠CBA的平分 线·∠PAB=∠CAB,∠PBA=号∠CBA,∠PAB+∠PBA=号∠CAB+∠CBA =(∠CAB+∠CBA)=×110=5,∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=180- 55=125,2.303解：BP平分∠ABC,∠PBC=号∠ABC.CP平分∠ACD, ∴∠PCD=∠ACD.:∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+∠P,∠P=∠PCD -∠PBC=∠ACD-合∠ABC=(∠ACD-∠AC)=∠A,即∠P=合∠A. 4.解：∠EBC=∠ACB+∠A,∠FCB=∠ABC+∠A,∴∠EBC+∠FCB=∠ACB+∠A 十∠ABC+∠A=180°+∠A.:BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分线，∴·∠PBC= ∠EBC,∠PCB=合∠FCB,&∠PBC+∠PCB=(∠EBC+∠FCB) 2180+∠A)=90+号∠A,∠P=180-(∠PBC+∠PCB)=180-(90+7∠A) =90°-∠A,即∠P=90-∠A 重点突破专题三角形的重要线段之间的夹角问题 1.解：(1)：CD⊥AB,BE⊥AC,.∠BDC=∠BEC=90°.：∠ABC=50°，∠ACB=60°， ..∠BCD=90°-∠ABC=90°-50°=40°，∠CBE=90°-∠ACB=90°-60°=30°，.∠BOC =180°-∠BCD-∠CBE=180°-40°-30°=110°：(2)∠BDC=∠BEC=90°，∠ABE =90°-∠A,∴.∠BOC=∠ABE+∠BDC=90°-∠A+90°=180°-∠A,∴.∠BOC+∠A= 180°.2.解：AD⊥BC,.∠ADC=90°.∠C=70°，∠DAC=90°-70°=20°.AE平 分∠BAC.∠BA0=∠CAE=∠BAC=方X50=25,∠EAD=∠EAC-∠DAC= 25°-20°=5°.：∠BAC=50°，∠C=70°，.∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-50°-70° =60,:BF是∠ABC的平分线∠AB0=号∠ABC=子×60=30，÷∠B0A=180 ∠BA0-∠AB0=180-25°-30=125.3.解：1)60°(2)∠DEF=合（∠C-∠B.理 由如下：EF⊥BC,∠DEF=90°-∠EDE.:AD平分∠BAC,∠BAD=令∠BAC, ∴∠EDF=∠B+∠BAD=∠B+合∠BAC又：∠BAC=18O-∠B-∠C∠EDF= ∠B+2(180°-∠B-∠C)=90°+2∠B-7∠C.∠DEF=90-(90°+∠B 方∠C)=（∠C-∠B.【变式】解：1D10(2)∠DEF=合（∠C-∠B.理由如下： :∠BAC=180-∠B-∠C,∠1=∠2，∠2=3∠BAC=(180-∠B-∠C. ∠ADB=∠2+∠C=2(180-∠B-∠C+∠C=90-∠B+∠C:EFBC, ·∠EFD=90,∴.∠DEF=∠ADB-∠EFD=(90°-7∠B+7∠C)-90=Z(∠C ∠B). 数学活动 1.82.93.(1)转化思想(2)类比思想(3)(n-3)(n-2)180°×(n-2)从特殊 到一般4解：探究四：1842【结论】由题意知，P=只P,P,=兰P,B长P… P.一4红0r,1:【位用】根据结论，得P,=X8少p,=号×42=132 n-1 8-1 第十三章整合与提升 高频考点突破 1.B2B3D4稳定性5D6,解：1DS5m=号BC·AF=合×10X6=30:(2:Sm -号AC·BGAC-2-2X30=18:(3):AD为△ABC的中线，SaD=SAm BG 5 7.B8.6△ABD∠CAE9.100°10.解：(1)：∠1+∠2=180°，∠2=∠FDN, ∴∠1+∠FDN=180°，.CF∥NE,∴∠C=∠ENB.又∠3=∠C,∴∠3=∠ENB,∴.EF ∥BC:(2):∠2为△DMN的外角，∴.∠DNM=∠2-∠DMN=110°-35°=75°.，CF∥ NE,∴.∠C=∠DNM=75°. 第3页（共48页）