第13章 三角形 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 贵州专版）

第十三章综合评价 （时间：120分钟满分：150分) 害 一、选择题（本大题共12题，每题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个 爵 选项，其中只有一个选项正确) = 1.下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是 救 B 2.下列结构不是利用三角形的稳定性的是 A.自行车的三角形车架 B.三角形房架 C.伸缩门 D.矩形门框的斜拉条 !3.在△ABC中，∠A=60°，∠C=70°，则∠B的度数是 A.509 B.60° C.70° D.90° 4.如图，三角形的个数为 A.2 B.3 C.5 D.6 翠 (第4题图) (第5题图) 封5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是边AB上的高.那么图中与∠A 相等的角是 ( ) A.∠B B.∠ACD C.∠BCD D.∠BDC 6.如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是 A.2 B.4 C.6 D.8 7.如图，AM是△ABC的中线，△ABC的面积为4cm,则△ABM的面积 为 A.8 cm2 B.4 cm2 线 C.2 cm2 D.以上答案都不对 M (第7题图) (第8题图) 8.如图，在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C= 70°，∠ABC=48°，那么∠BFD的度数为 ) A.59° B.60° C.56 D.22° 9.如图，△ABC的角平分线BD与中线CE相交于点O.有下列两个结论： ①BO是△CBE的角平分线；②CO是△CBD的中线.下列说法正确的 是 第1页（共6页） A.只有①正确 B.只有②正确 C.①和②都正确 D.①和②都不正确 B ----1--L-- (第9题图) (第10题图) 10.如图，在5×4的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点O,A,B在方 格纸的交点（格点）上，在第四象限内的格点上找点C,使△ABC的面积 为3，则这样的点C共有 ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 11.将一副直角三角尺按如图所示方式放置，使含30°角的三角尺的一 条直角边和含45°角的三角尺的一条直角边重合，则∠1的度数 为 A.45 B.65 C.70° D.75° (第11题图) (第12题图) 12.如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB的平分线交于点O,∠ACB的邻补 角的平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D,与∠ABC的邻补角 的平分线交于点E.下列结论中，错误的是 A.∠B0C=90+号∠A B.∠D=2∠A C.∠E=90°- <A 1 D∠A-号∠E 二、填空题（本大题共4题，每题4分，共16分） 13.如果一个三角形的两边长分别为2cm,7cm,且第三边长为奇数，则该 三角形的周长是 14.如图，直线a∥b,直线c与直线a,b分别相交于点A,B,AM⊥b,垂足为 M.若∠1=58°，则∠2的度数为 R (第14题图) (第15题图) （第16题图) 15.如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，E是AC的中点.已知 △DEC的面积是4cm,则△ABC的面积是 cm. 16.在△ABC中，将∠B,∠C按如图所示的方式折叠，点B,C均落于边BC 上一点G处，线段MN,EF为折痕.若∠A=82°，则∠MGE的度数为 第2页（共6页） 三、解答题（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程 或演算步骤) 17.(10分)在△ABC中，∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，求△ABC的各 内角的度数 18.(10分)如图，在△ABC中. (1)画出边BC上的高AD和中线AE; (2)若∠B=40°，∠ACB=120°，求∠BAD和∠CAD的度数. 19.(10分)如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东30°方 向，C处在B处的北偏东60°方向，求∠C的度数. 20.(10分)下面是多媒体上展示的一道习题，请你将下面的解题过程补充 完整. 试题：如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠ACB=40°，AP平分∠BAC 交BC于点P,BN⊥AP于点M,交AC于点N,求∠CBN的度数. 解：根据三角形的内角和定理可知： ∠ABC+∠ACB+∠BAC=°. 又，∠BAC=60°，∠ACB=40°， .∠ABC= .BN⊥AP,∴∠AMB=90° 又.AP平分∠BAC, .∠BAP= ∠BAC= ∴.∠ABM=90°-∠BAP= ∴.∠CBN=∠ -∠ 第3页（共6页） 21.(10分)如图，在△ABC中，BD是AC边上的高，∠A=70°. (1)求∠ABD的度数； (2)若CE平分∠ACB,交BD于点E,∠BEC=118°，求∠ABC的度数. 22.(10分)已知a,b,c为△ABC的三边长，b,c满足(b-2)2+|c-3=0,且a 为方程|x一4|=2的解，求△ABC的周长，并判断△ABC的形状. 23.(12分)如图①，在△ABC中，CD是AB边上的高，∠A=∠DCB. (1)求证：∠ACB=90°； (2)如图②，如果AE是角平分线，AE,CD相交于点F,那么∠CFE与 ∠CEF的大小相等吗？请说明理由. 图① 图② 第4页（共6页） 24.(12分)已知，直线PQ∥MN,△ABC的顶点A与B分别在直线MN与 PQ上，点C在直线AB的右侧，且∠C=45°，设∠CBQ=∠a,∠CAN= ∠3 (1)如图①，当点C落在PQ的上方时，AC与PQ相交于点D,求证： ∠3=∠a+45. 请将下列推理过程补充完整： 证明：，∠CDQ是△CBD的一个外角（三角形外角的定义）， ∴.∠CDQ=∠a+∠C( .PQ∥MN(已知)， .∠CDQ=∠B( ∴∠B= (等量代换). .∠C=45°（已知）， .∠B=∠a十45（等量代换）： (2)如图②，当点C落在直线MN的下方时，BC与MN交于点F,请判 断∠α与∠3的数量关系，并说明理由 名师测 图① 图② 第5页（共6页） 25.(14分)综合实践 【知识发现】古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯(Thales)最早从拼图实 践中发现了“三角形内角和等于180°”，但这种发现完全是经验性的，泰 勒斯并没有给出严格的证明.之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、 普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明.其中欧几里得 利用平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理.请同学 们帮助欧几里得将证明过程补充完整 (1)已知：如图①，在△ABC中. 求证：∠A+∠B+∠BCA=180°. 证明：延长线段BC至点F,并过点C作CE∥AB. CE∥AB, =∠1， =∠2. ,∠ACB+∠1+∠2=180°( .∠ACB+∠A+∠B=180°； (2)【结论运用】如图②，已知∠AOB,点H,Q分别在OA,OB上，连接 HQ,作∠OQH的平分线MQ交OA于点M,过点M作MN∥HQ交 OB于点N.若∠OQH=100°，∠OMN=48°，求∠AOB的度数； (3)【拓展延伸】如图③，在(2)的条件下，若OA绕点O逆时针旋转，交直 线FN于点E,作∠OEF的平分线ED交射线QM于点D,则在旋转 的过程中，器的值是否变化？若不变，请求出其值：若变化，请 说明理由。 图① 图② 图③ 第6页（共6页）分类强化专题分式方程的应用 1,解：(1)设(1)班单独完成此项劳动任务需要xh根据恶意，得子十2（十子）=1，解得 x=6.经检验，x=6是原分式方程的解，且符合题意.答：(1)班单独完成此项劳动任务需要 6h:(2)设两个班从一开始就合作需要yh根据题意，得（十）y=1,解得y=2.4答： 若两个班从一开始就合作完成此项劳动任务，需要2.4h完成劳动任务，2.解：设方案二 需要的时间为1min,则方案-需要的时间为(：十30)mim根据题意：得，0×1.8=19解 t 得t=78.经检验，t=78是原分式方程的解，且符合题意.答：方案二需要的时间为78min. 3.解：(1)设A饰品每件的进价为x元，则B饰品每件的进价为(2x-5)元.根据题意，得400 25,解得x=20,经检验x=20是原分式方程的解，且符合题意，2x-5=2X20-5 700 =35.答：A饰品每件的进价为20元，B饰品每件的进价为35元：(2)设购买A饰品个， t20m+35(80-m)≤2365， 则购买B饰品(80一m)个.根据题意， {80-m≥号 解得29m32.,m 为正整数，m=29,30,31,32,∴.共有4种方案，方案一：购买A饰品29个，购买B饰品51 个；方案二：购买A饰品30个，购买B饰品50个：方案三：购买A饰品31个，购买B饰品 49个；方案四：购买A饰品32个，购买B饰品48个 数学活动 1,A2.B3.C4.解：任务一：等式的性质2等式的性质1分式的基本性质任务二： ①25410（答案不唯-）②-子一子（答案不唯-）③若号-京，则牛名号 a-b c-d ①证明：合=台ad=bc,“名-号-a+二出-名二D+出= C a-b c-d (a-b)(c-d)(a-b)(c-d) ac+bc-ad-bd-ac+bc-ad+bd 2bc-2ad (a-b)(c-d) =a物2=0∴名-告号 5.解：填表为： 942499日424片9号猜想：+≥2.证明如下： 当0时r+宁-8=(-）()≥02+是-2≥0，即r+≥2当 x=士1时，x2+】=2. 第十八章整合与提升 高频考点突破 1.B2.B3.x≠-14.A5.A6.A7.6a268.D9.A10.x-111.解：(1)原 2(x-y) 2 a(a十2)=a-1.a(a+2)=a-1 a-1=a2-4a-1=(a+2)(a-2)1 a(a+22=a x十1 a-=。二212.解：原式=—) 牛-·品六当-4时，原式占分183.x104 6 15.A16.m<-1且m≠-1017.解：1)当a=3时，原方程为3十1-，2=1.方程两 x-11-x 边乘(x一1)，得3x十1十2=x-1.解得x=一2.检验：当x=一2时，x一1≠0.所以，原分式 方程的解为x=-2:(2)方程两边乘(x-1),得ax十1十2=x-1,即(a-1)x=-4.:原方 程有增根，∴.x一1=0，解得x=1.将x=1代入整式方程，得a-1=一4，解得a=一3.综上， Q的值为一3.18.A19.解：(1)设每个“侗族”玩偶的售价为x元，则每个“苗族”玩偶的 售价为十4元，根据题意，得9-导，”，解得x=12,经检验，=12是原分式方程 的解，且符合题意，∴.x十4=12十4=16.答：每个“苗族”玩偶的售价为16元，每个“侗族”玩 偶的售价为12元：(2)设购买m个“侗族”玩偶，则购买(500一m)个“苗族”玩偶.根据题意， 得12m十16(500一m)≤7200，解得n≥200.答：至少要购买200个“侗族”玩偶. 易错易混专攻 1.A2.B3.C4.m<2且m≠0 常考题型演练 1.D2A3解：1AC(2)选解法-：200=60，解得=0，经检验，=50是 原分式方程的解，且符合题意，∴.x一10=50一10=40.答：甲种商品每件的进价为50元，乙 种商品每件的进价为40元：（或选解法二，过程略）(3)设甲种商品购进α件，则乙种商品购 进(45一a)件.根据题意，得50a十40(45一a)≤2000，解得a≤20.答：最多购进甲种商品20件. 第28页（共48页） 综合评价答案 第十三章综合评价 1.D2.C3.A4.C5.C6.B7.C8.A9.A10.B11.D12.D13.16cm 14.32°15.1616.82°17.解：：∠B=∠A+10°，∠C=∠B+10°，∠C=∠A+10°十 10°=∠A十20°.由三角形内角和定理，得∠A十∠B+∠C=180°，·∠A十∠A十10°+∠A 十20°=180°，∠A=50°.∴∠B=50°+10°=60°，∠C=50°+20°=70°.18.解：(1)如图， AD和AE即为所求；(2)：AD⊥BC,·∠ADB=90°，.∠BAD=90° E C ∠B=90°-40°=50°..∠ACB=∠CAD+∠ADB,.∠CAD=120°-90°=30°.19.解：由题 意，得∠BAE=45°，∠EAC=30°，∠DBC=60°，∴.∠BAC=∠BAE+∠EAC=45°+30°= 75°.AE∥BD,∴.∠DBA=∠BAE=45.:∠DBC=60°，∴.∠ABC=∠DBC-∠DBA= 60°-45°=15°，∠C=180°-∠ABC-∠BAC=180°-15°-75=90.20.180802 3060 ABC ABM2021.解：(1)在△ABC中，，BD是AC边上的高，.∠ADB= ∠BDC=90°，又：∠A=70°，∠ABD=180°-∠ADB-∠A=20°：(2)：∠BEC=∠BDC +∠DCE,∠BEC=118°，∠BDC=90°，∴.∠DCE=28°.又：CE平分∠ACB,∴∠DCB= 2∠DCE=56°，.∠ABC=180°-∠A-∠DCB=54°.22.解：：(b-2)2+1c-3|=0,(b -2)2≥0，c-3≥0，.(b-2)2=0,c-3=0,.b-2=0,c-3=0,解得b=2,c=3.a 为方程|x-4|=2的解，∴a-4=士2，解得a=6或2.：a,b,c为△ABC的三边长，b十c< 6,∴a=6不符合题意，舍去，a=2,.△ABC的周长为a十b+c=2十2+3=7.：a=b= 2,∴.△ABC是等腰三角形.23.解：(1)CD是AB边上的高，.∠CDA=90°，∴.∠A十 ∠ACD=90°.：∠A=∠DCB,∴.∠DCB+∠ACD=90°，即∠ACB=90°；(2)∠CFE= ∠CEF,理由如下：，AE平分∠CAB,.∠CAE=∠BAE.:CD是AB边上的高，∠CDA =90°.又：∠DFA=180°-∠CDA-∠BAE=180°-90°-∠BAE=90°-∠BAE,∠CEA =180°-∠BCA-∠CAE=180°-90°-∠CAE=90°-∠CAE,∴∠DFA=∠CEA,即 ∠DFA=∠CEF.:∠DFA=∠CFE,∴∠CFE=∠CEF.24.解：(1)三角形的外角等于 与它不相邻的两个内角的和两直线平行，同位角相等∠α十∠C(2)·∠CFV是 △ACF的一个外角（三角形外角的定义），∴∠CFN=∠B十∠C(三角形的外角等于与它不 相邻的两个内角的和).PQ∥MN(已知)，.∠CFV=∠α（两直线平行，同位角相等）， .∠α=∠3+∠C(等量代换)..'∠C=45(已知)，.∠α=∠B十45（等量代换）.25.解：(1)∠A ∠B平角的定义(2)，MN∥HQ,.∠OMN=∠OHQ=48°，又：∠OQH=100°，∴.根据 三角形内角和为180得∠A0B=180-10-48=2:(3)界器的值不变，为宁由三 角形外角的性质，得∠OEF=∠A'OB+∠ONE,∠ONE=∠NQM+∠NMQ.MQ平分 ∠OQH,.∠OQM=∠MQH.又.MN∥HQ,∴.∠NMQ=∠MQH,.∠NQM=∠NMQ, .∠ONE=2∠OQM..∠OEF=∠A'OB+2∠OQM.又·DE平分∠OEF,∴.∠OEF= 2∠DEO..2∠DEO=∠A'OB+2∠OQM,.∠A'OB=2(∠DEO-∠OQM).设DQ与 OA'交于点K,∴∠DKE=∠OKQ.由三角形内角和为180°，得∠EDQ十∠DEO=∠A'OB +∠0QM,即∠BDQ+∠A0B-=∠AoB,∴器- 2 第十四章综合评价 1.D2.D3.B4.C5.C6.B7.B8.C9.B10.A[解析：△AEO≌△ADO, △BEO≌△CDO,△AOB2△AOC,△AEC≌△ADB,△BEC≌△CDB,共5对]11.C 12.D13.214.315.8m16.95°17.证明：AE⊥AB,.∠BAE=90°..△ACE≌ △AFB,.∠B=∠E.又∠BDM=∠EDA,.180°-∠B-∠BDM=180°-∠E ∠EDA,即∠DMB=-∠BAE=90°，.CE⊥BF.18.解：(1)：∠ACB+∠ACE+∠ECD= 180°，∠B+∠A十∠ACB=180°，∠ACE=∠B,.∠A=∠ECD.在△ABC和△CDE中， ∠A=∠ECD, ∠B=∠D,.△ABC≌△CDE(AAS);(2)△ABC≌△CDE,.CD=AB=3..BD= BC=DE, BC+CD=2+3=5.19.解：(1).BE平分∠ABC,∴.∠ABE=∠DBE.在△ABE和△DBE AB=DB, 中，∠ABE=∠DBE,.△ABE≌△DBE(SAS):(2).∠A=100°，∠C=50,.∠ABC=180° BE=BE, ∠A-∠C=180°-100°-50°=30.BE平分∠ABC,∠DBE=2∠ABC=7X30= 15°，∴.∠AEB=∠DBE+∠C=15°+50°=65°.20.解：∠C=100°，∠ADC=65°， t∠A=∠E, .∠CAD=15°，，.∠CAD=∠BEC.在△ACD和△ECB中，∠C=∠C,.△ACD≌ CD=CB, △ECB(AAS).AC=CE.又CB=CD,.AB=DE=30m.21,解：(1)∠EAD= ∠EDA=45°，∠BAC=90°，∴.∠BAE=∠CDE=135°.：点D是AC的中点，∴.AC=2CD. 第29页（共48页） AB=DC, 又：AC=2AB,∴.CD=AB.在△ABE和△DCE中，∠BAE=∠CDE,∴△ABE≌△DCE AE-DE. (SAS):(2)BE=EC,BE⊥EC,理由如下：由(1)知，△ABE≌△DCE,.BE=EC,∠AEB= ∠DEC.∠AED=90°，.∠AEB+∠BED=90°，∴.∠DEC+∠BED=90°，即∠BEC= 90°，.BE⊥EC.22.解：(1)△ACD≌△CBE.证明如下：：∠ACB=90°，.∠ACD+ ∠BCE=90°.又AD⊥l,∠ADC=90°，.∠CAD+∠ACD=90°，.∠BCE=∠CAD. ∠CAD=∠BCE, BE⊥I,.∠ADC=∠CEB=90°.在△ACD和△CBE中，∠ADC=∠CEB,∴.△ACD≌ AC=CB, △CBE(AAS);(2)由(1)可知△ACD≌△CBE,∴.AD=CE,CD=BE=3.·CE=CD+DE =3十5=8，∴.AD=8.23.解：(1)②①③(2)①(3)过点D作DF⊥BC于点F.:DE ⊥AB于点E,BD平分∠ABC.DE=DR:BC=12.SaDm=号DF·BC=30,DE= DF=5.:AB=18,Sa=合AB·DE=合X18X5=45,24.解：1)：OB10C, .∠BOD+∠COE=90°.又.'CE⊥OA,BD⊥OA,.∠CEO=∠ODB=90°，.∠BOD+ ∠B=90°，∴∠COE=∠B;(2)由题意，得OC=OB=OA=17cm.由(1)，得∠COE=∠B, ∠CEO=∠ODB, ∠CEO=∠ODB=90.在△COE和△OBD中，J∠COE=∠B,∴·△COE≌△OBD(AAS), OC=BO, .OE=BD=8cmOA=17cm,∴AE=OA-OE=17-8=9(cm).25.解：(1)在△ACE (AC=BC, 和△BCD中，∠ACE=∠BCD,.△ACE≌△BCD(SAS).∴.∠EAC=∠EBF,AE=BD. EC=DC, ∠AEC=∠BEF,.180°-∠EAC-∠AEC=180°-∠EBF-∠BEF,即∠BFE=∠ACE =90°，∴AE⊥BD;(2)(1)中结论仍然成立.证明如下：设AC与BD相交于点O.:∠ACB =∠ECD,∴·∠ACB+∠ACD=∠ECD+∠ACD,即∠BCD=∠ACE.在△ACE和△BCD AC=BC, 中，∠ACE=∠BCD,∴.△ACE≌△BCD(SAS).∠CAE=∠CBD,AE=BD.:∠AOD EC=DC, =∠BOC,∴.180°-∠CAE-∠AOD=180°-∠CBD-∠BOC,即∠BFA=∠BCA=90°. .AE⊥BD:(3)∠AFG的大小确定，∠AFG=45°，过点C作CM⊥BD,CN⊥AE,垂足分别 为M,N.△ACE≌△BCD,.SaCE=SaRD,AE=BD.SANCE=2AE·CN,SAD= 号BD.CMCM=CN.CMLBD,.CNLAE..CF平分∠BFE.AELBD,.∠BFE =90°，∴.∠EFC=45°，∴.∠AFG=45°. 阶段综合评价（一） 1.B2.B3.C4.C5.C6.C7.C8.A9.B10.D11.C12.C13.1214.19 15.25°16.2[解析：过点P作PE⊥AC于点E,则∠PED=∠A=90°.由题意，得AD= 2,∠PDP'=90°，DP'=DP,易证△PED≌△DAP(AAS),∴.PE=AD=2,∴当点E与点C AB=CD, 重合时，线段CP的值最小，为2]17.证明：在△ABC和△CDA中，BC=DA,∴△ABC≌ AC=CA, △CDA(SsS)∠B=∠D.18.解：SaAx=BC·AE=12m2,AE=3cm,BC= 8cm又：AD是中线，DC=合BC=合×8=4(em),即BC=8cm,DC=4em. 19.解：(1)a=4,b=6,.b-a=2,a十b=10.a,b,c是△ABC的三边，.2<c<10.又 三角形的周长是小于18的偶数，c=4或6：(2)当c=4或6时，△ABC的形状都是等腰 三角形.20.解：DF⊥AB,∠DFA=90.又：∠A=35°，.∠AEF=180°-∠EFA- ∠A=55°，.∠DEC=∠AEF=55°.又：∠D=42°，∠ACD=180°-∠DEC-∠D=83. 21.解：(1)：∠C=∠D=90°，∴△ACB和△BDA是直角三角形.在Rt△ACB和Rt△BDA 中，(BC二AD,R△ACB2Rt△BDA(FHL):(2)20°22.证明：如图， 长BA,CE相交于点F.CE⊥BD,.∠BEC=∠BEF=90°.在△BCE和△BFE中， ∠1=∠2， BE=BE, ..△BCE≌△BFE(ASA),..CE=EF,.CF=CE十EF=2CE. ∠BEC=∠BEF, :∠BAC=90°，CE⊥BD,∴.∠BAD=∠CAF=90°，∠1+∠ADB=90°，∠1+∠F=90°， 第30页（共48页）