第13章 三角形 整合与提升-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年新教材八年级上册数学（人教版2024 贵州专版）

第十三章整 高频考点突破。 考点1三角形的三边关系 1.(2024·遵义一模)下列每组数分别表示3 根小木棒的长度（单位：cm),其中能搭成三 角形的是 A.3,7,10 B.6,7,8 C.7,7,14 D.5,7,13 2.一个三边都不相等的三角形的两边长分别 为6和10，且第三边长为偶数，符合条件的 三角形有 A.2个 B.3个 C.4个D.5个 考点2三角形的稳定性 3.下列生活实物中，没有应用到三角形的稳定 性的是 A.太阳能热水器 B.篮球架 C.三脚架 D.活动衣架 4.如图，自行车的主框架采用了三角形结构， 这样设计的依据是三角形具有 考点3三角形的三条重要线段 5.如图，AD,BE,CF分别是△ABC的中线、高 和角平分线，∠ABC=90°，CF交AD于点 G,交BE于点H,则下列结论一定正确的 是 A.∠ABE=∠FCB 合与提升 B.∠GAC=∠GCA C.FG=GC D.∠BFC=∠BHF 6.如图，△ABC的边BC上的高为AF,中线为 AD,AC边上的高为BG.已知AF=6,BC= 10,BG=5. (1)求△ABC的面积； (2)求AC的长； (3)△ABD和△ACD的面积有何关系？ 考点4三角形的内角与外角 7.如图是一块三角形木板的残余部分，量得 ∠A=100°，∠B=40°，则这块三角形木板另 外一个角∠C的度数为 ( A.30° B.40°C.50°D.60° R (第7题图) (第8题图) 8.如图，图中三角形的个数为 ;以∠ADE 为外角的三角形是 ;在△ADC中， 边AD的对角是 ;在△ADE中， ∠ADE的对边是 9.(2024·四川凉山州)如图， 在△ABC中，∠BCD=30°， ∠ACB=80°，CD是边AB 上的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB 的度数是 数学Ⅱ八年级上册15 10.如图，在△ABC中，点E,F分别在AB,AC 边上，点M,N在BC边上，连接EN,FM 交于点D,∠1+∠2=180°，∠3=∠C,连 接EF (1)求证：EF∥BC: (2)若∠2=110°，∠DMN=35°，求∠C的 度数 ②易错易混专攻。 易错点在三角形的计算中因无图未分 类讨论导致漏解 1.在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在 AB边上，连接CD,若△ACD为直角三角 形，则∠BCD的度数为 2.在△ABC中，BC=6,BC边上的高AD=4, 且BD=2,则△ACD的面积为 冒常考题型演练。 1.(黔西南期末)将一副含30°，45的三角尺按图 中的方式放置，则∠α十∠3的度数为( A.30° B.40° C.45 D.60° B (第1题图) (第2题图)》 2.(2025·安顺一模)如图，Rt△ABC的直角顶 点A在直线a上，斜边BC在直线b上.若 a∥b,∠2=55°，则∠1的度数为() A.55% B.45 C.35° D.25° 16第十三章三角形 3.已知△ABC的三边分别为a,b,c. (1)若a=1,b=7,c为整数，求△ABC的 周长； (2)化简：a+b-c-|b-a-c+a+b+c. 4.现有一张△ABC纸片，点D,E分别是 △ABC边上两点，若沿直线DE折叠. (1)如果折成图①的形状，使点A落在CE 上，则∠1与∠A的数量关系是 (2)如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2与 ∠A的数量关系是 (3)如果折成图③的形状，猜想∠1，∠2和 ∠A的数量关系，并说明理由 图① 图② 图③参考答案 第十三章 三角形 13.1三角形的概念 正文答案 基础过关 1.C2.(1)5△ABE,△BEC,△ABC,△DCE,△BCD(2)∠DCD(3)BC(4)AB BE3.B4.D5.3 能力提升 6.C7.418.解：(1)图中共有5个三角形：(2)△ACE,△DCE,△BCE;(3)△DBE与 △CBE,△BAC与△CBE,△DBE与△BAC 13.2与三角形有关的线段 13.2.1三角形的边 基础过关 1.A 2.B 3.EF+EG>FG 4.A 5.A 弥能力提升 6.B7.D8.C9.解：：(b-5)2+1c-71=0,(b-5)2≥0,1c-7|≥0，.b-5=0,c-7= 0,解得b=5,c=7.:a为方程a-3|=2的解，.a=5,或a=1.当a=1,b=5,c=7时，1 十5<7，此时以a,b,c为边长不能组成三角形，∴a=1不合题意，舍去，∴a=5,.△ABC的 周长为5十5十7=17. 13.2.2三角形的中线、角平分线、高 新知梳理 ①三角形的重心②角平分线③三角形的高内部两条直角外部延长线上 例题引路 纶 【例】(1)35°(2)25°(3)3 基础过关 1.B2.BCBC SANCD S△Bc63.31°4.解：DE∥AC.理由如下：：CD是△ABC 的角平分线，∴∠ACD=∠1.：∠1=∠2，.∠ACD=∠2，DE∥AC.5.A6.AD⊥ BC ADC90:合BC·AD 能力提升 7.C8.号9.1[解析：点E为AD的中点，SE=SAE,SAm=S5 号Sac=之×4=2(cm).点F为CE的中点S%g=号s6m=号×2=1(cm] 10.解：1)：AD1BC,AD=6,△ABC的面积为24，SAe=号BC·AD=号BCX6= 24,BC=8.AE是边BC上的中线，∴CE=BE=号BC=4:(2):点F为AB的中点， .AF=BF,∴.CAAEF-C△F=(AE+AF+EF)-(BE十BF+EF)=AE-BE=7-4=3, 即△AEF与△BEF的周长差为3. 思维拓展 IL.解：(I)是.证明如下：：DE∥AB,DF∥AC,.∠EDA=∠DAB,∠EAD=∠ADF .'AD是∠CAB的平分线，.∠EAD=∠DAB,.∠EDA=∠ADF,.DO是∠EDF的平分 线：(2)正确.选择命题：若DO是∠EDF的平分线，DE∥AB,DF∥AC,则AD是∠CAB的 平分线.证明：DE∥AB,DF∥AC,∠EDA=∠DAB,∠EAD=∠ADF.DO是 ∠EDF的平分线，.∠EDA=∠ADF,.∠EAD=∠DAB,.AD是∠CAB的平分线.（命 题及其证明不唯一) 13.3三角形的内角与外角 13.3.1三角形的内角 第1课时三角形的内角 新知梳理 180 例题引路 【例1】解：设∠A=x°，则∠B=3x°，∠C=5x°.依题意，得x十3x十5x=180,解得x=20,则 3.x=60,5x=100,.∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°.【例2】解：：AD平分∠BAC, ∴.∠BAC=2∠BAD.:∠BAC+∠B+∠C=180°，∠B=3∠BAD,∠C=90°，∴.2∠BAD+ 3∠BAD+90°=180°，.∠BAD=18°，∴.∠B=3∠BAD=54° 基础过关 1.80°【变式】C2.D3.D4.70°5.C6.160 第1页（共48页） 能力提升 7.D8.55°9.280°10.解：(1)DE∥BC,∴∠ADE=∠B.CD⊥AB,EF⊥CD,∴.AB ∥EF,∴∠B=∠EFC,∴∠ADE=∠EFC;(2)'∠ACB=80°，∠A=60°，∠B=180° ∠A-∠ACB=180°-60°-80°=40.CD⊥AB,∠BDC=90°，∠DCB=180° ∠BDC-∠B=180°-90°-40°=50. 思维拓展 11.解：(1)90°40°(2)：（∠PBC+∠PCB)+(∠ABP+∠ACP)十∠A=180°，.90°+ (∠ABP+∠ACP)+∠A=180°，∴.∠ABP+∠ACP=90°-∠A;(3)设AB交PC于点O. :∠AOC=∠POB,∠ACO+∠A+∠AOC=∠P+∠PBO+∠POB=180°，∴.∠ACO+ ∠A=∠P+∠PBO,即∠ACP+∠A=90°+∠ABP,∴∠ACP-∠ABP=90°-∠A. 第2课时直角三角形中两个锐角的关系 新知梳理 ①互余②互余 例题引路 【例1】26°【例2】证明：：AD是BC边上的高，∠ADC=90°，∴∠DMC+∠DCM=90°. :∠DCM=∠MAE,∠DMC=∠AME,∴.∠AME十∠MAE=90°，∴△AEM是直角三角形. 基础过关 1.A2.C3.52°4.22.5°5.C6解：△ABC是直角三角形.理由如下：：ED⊥AB, ∠ADE=90°，∴∠1十∠A=90°.又∠1=∠B,∠B十∠A=90°，∴.△ABC是直角三 角形 能力提升 7.D8.B9.C10.22.5°11.解：：AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°.：EP为 ∠BEF的平分线，FP为∠EFD的平分线∠PEF=-∠BEF,∠PFE=∠DFE, ∠PEF+∠PFE=2（∠BEF+∠DFE)=90,∴△EPF为直角三角形. 思维拓展 12.解：(1)∠1=∠2.理由如下：.CE⊥AB,AD⊥BC,∴.∠CEB=∠ADB=90°，.∠2十 ∠B=90°，∠1十∠B=90°，∴.∠1=∠2；(2)(1)中的结论仍然成立.理由如下：，AD⊥BC, CE⊥AB,.∠D=∠E=90°，.∠2十∠ABD=90°，∠1+∠CBE=90°.又.∠ABD= ∠CBE,∴∠1=∠2. 13.3.2三角形的外角 新知梳理 ①三角形的外角②(1)与它不相邻 例题引路 【例1】D【例2】解：∠B=40°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°-∠B-∠ACB=180°-40 -60=80.:CE是∠ACD的平分线∠DCE=号∠ACD.:∠ACD=180-∠ACB= 180°-60°=120°，∴.∠DCE=60°，∴.∠E=∠DCE-∠B=60°-40°=20， 基础过关 1.∠ACD2.C【变式D3.604.85°5.解：AE∥BD,∠ADB=∠1=95°.又 ∠ADB=∠C+∠2，∴∠C=∠ADB-∠2=95°-28°=67°. 能力提升 6.C7.70°8.235°9.解：DF⊥AB,.∠BFD=∠AFE=90°，∴.∠B=90°-∠D= 35°，∴.∠ACD=∠B+∠A=35°+30°=65°，∠FEC=∠A+∠AFE=30°+90°=120°. 思维拓展 10.解：(1)，∠MAN=90°，∴∠ABC+∠ACB=90°.，∠ABC和∠ACB的平分线交于点 P,∠CBP=∠ABC,∠BCP=∠ACB,∠P=180-(∠CBP+∠BCP)=180 号（∠ABC+∠ACB)=180-号×90=135，(2）：∠ABC和∠ACB的平分线交于点P, ∠CBP=∠ABC,∠BCP=∠ACB,∠P=180-(∠CBP+∠BCP)=I80 2(∠ABC+∠ACB)=180-180-∠A0=90+合∠A.:∠A=7∠P,∠P=90 +号×号∠P,∠P=120,∠A=号∠P=60,(3)∠P+∠Q=180.[解析：∠ABC 和∠ACB的平分线交于点P,∠CBD=号∠ABC,∠BCP=子∠ACB.:点Q是△ABC 两外角平分线的交点，即∠CBM和∠BCN的平分线交于点Q,∠CBQ=号∠CBM, ∠BCQ-∠BCN.'∠ABC+∠CBM=∠ACB+∠BCN=180,∠PBQ=∠PBC+ ∠CBQ=号∠ABC+2∠CBM=号（∠ABC+∠CBM)=子×1S0:=90,同理：∠PCQ- 90°，.∠P+∠Q=360°-90×2=180] 第2页（共48页） 模型构建专题探究与三角形角平分线相关的结论 1.解：(1)：∠C=70°，∴.∠CAB+∠CBA=180°-70°=110°.：∠PAC=20°，∠PBC=40°， .∠PAB+∠PBA=110°-20°-40°=50°，∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=180° 50°=130°；(2)由(1)知，∠CAB十∠CBA=110°.：PA,PB分别为∠CAB,∠CBA的平分 线·∠PAB=∠CAB,∠PBA=号∠CBA,∠PAB+∠PBA=号∠CAB+∠CBA =(∠CAB+∠CBA)=×110=5,∠APB=180°-（∠PAB+∠PBA)=180- 55=125,2.303解：BP平分∠ABC,∠PBC=号∠ABC.CP平分∠ACD, ∴∠PCD=∠ACD.:∠ACD=∠ABC+∠A,∠PCD=∠PBC+∠P,∠P=∠PCD -∠PBC=∠ACD-合∠ABC=(∠ACD-∠AC)=∠A,即∠P=合∠A. 4.解：∠EBC=∠ACB+∠A,∠FCB=∠ABC+∠A,∴∠EBC+∠FCB=∠ACB+∠A 十∠ABC+∠A=180°+∠A.:BP,CP分别是∠EBC,∠FCB的平分线，∴·∠PBC= ∠EBC,∠PCB=合∠FCB,&∠PBC+∠PCB=(∠EBC+∠FCB) 2180+∠A)=90+号∠A,∠P=180-(∠PBC+∠PCB)=180-(90+7∠A) =90°-∠A,即∠P=90-∠A 重点突破专题三角形的重要线段之间的夹角问题 1.解：(1)：CD⊥AB,BE⊥AC,.∠BDC=∠BEC=90°.：∠ABC=50°，∠ACB=60°， ..∠BCD=90°-∠ABC=90°-50°=40°，∠CBE=90°-∠ACB=90°-60°=30°，.∠BOC =180°-∠BCD-∠CBE=180°-40°-30°=110°：(2)∠BDC=∠BEC=90°，∠ABE =90°-∠A,∴.∠BOC=∠ABE+∠BDC=90°-∠A+90°=180°-∠A,∴.∠BOC+∠A= 180°.2.解：AD⊥BC,.∠ADC=90°.∠C=70°，∠DAC=90°-70°=20°.AE平 分∠BAC.∠BA0=∠CAE=∠BAC=方X50=25,∠EAD=∠EAC-∠DAC= 25°-20°=5°.：∠BAC=50°，∠C=70°，.∠ABC=180°-∠BAC-∠C=180°-50°-70° =60,:BF是∠ABC的平分线∠AB0=号∠ABC=子×60=30，÷∠B0A=180 ∠BA0-∠AB0=180-25°-30=125.3.解：1)60°(2)∠DEF=合（∠C-∠B.理 由如下：EF⊥BC,∠DEF=90°-∠EDE.:AD平分∠BAC,∠BAD=令∠BAC, ∴∠EDF=∠B+∠BAD=∠B+合∠BAC又：∠BAC=18O-∠B-∠C∠EDF= ∠B+2(180°-∠B-∠C)=90°+2∠B-7∠C.∠DEF=90-(90°+∠B 方∠C)=（∠C-∠B.【变式】解：1D10(2)∠DEF=合（∠C-∠B.理由如下： :∠BAC=180-∠B-∠C,∠1=∠2，∠2=3∠BAC=(180-∠B-∠C. ∠ADB=∠2+∠C=2(180-∠B-∠C+∠C=90-∠B+∠C:EFBC, ·∠EFD=90,∴.∠DEF=∠ADB-∠EFD=(90°-7∠B+7∠C)-90=Z(∠C ∠B). 数学活动 1.82.93.(1)转化思想(2)类比思想(3)(n-3)(n-2)180°×(n-2)从特殊 到一般4解：探究四：1842【结论】由题意知，P=只P,P,=兰P,B长P… P.一4红0r,1:【位用】根据结论，得P,=X8少p,=号×42=132 n-1 8-1 第十三章整合与提升 高频考点突破 1.B2B3D4稳定性5D6,解：1DS5m=号BC·AF=合×10X6=30:(2:Sm -号AC·BGAC-2-2X30=18:(3):AD为△ABC的中线，SaD=SAm BG 5 7.B8.6△ABD∠CAE9.100°10.解：(1)：∠1+∠2=180°，∠2=∠FDN, ∴∠1+∠FDN=180°，.CF∥NE,∴∠C=∠ENB.又∠3=∠C,∴∠3=∠ENB,∴.EF ∥BC:(2):∠2为△DMN的外角，∴.∠DNM=∠2-∠DMN=110°-35°=75°.，CF∥ NE,∴.∠C=∠DNM=75°. 第3页（共48页） 易错易混专攻 1.60°或10°2.8或16 常考题型演练 1.C2.C3.解：(1)：△ABC的三边分别为a,b,c,a=1,b=7,.b-a<c<b+a..6<c <8.,c为整数，.c=7,.△ABC的周长=a十b十c=1十7十7=15：(2)△ABC的三边分 别为a,b,c,.a十b>c,a十c>b,a十b十c>0,.a十b-c>0,b-a-c<0,.a十b-c| |b-a-c+|a+b+c=a十b-c-[-(b-a-c)]+a+b+c=a十b-c十b-a-c+a+b+c =a十3b-c. 4.解：(1)∠1=2∠A(2)∠1十∠2=2∠A(3)∠2-∠1=2∠A.理由如 下：如图， 设AE与BD交于点F.∠2=∠AFE+∠A,∠AFE=∠A'十∠1， ∠2=∠A'+∠A+∠1.∠A=∠A',∴∠2=2∠A十∠1，∠2-∠1=2∠A. 第十四章全等三角形 14.1全等三角形及其性质 新知梳理 ①全等形 全等三角形②对应顶点对应边对应角③相等相等 例题引路 【例1】△CBD CB BD∠CDB【例2】解：AD⊥BC.理由如下：：△ABD≌△ACD, ∠ADB=∠ADC.又∠ADB+∠ADC=180°，∴.∠ADB=∠ADC=90°，AD⊥BC. 基础过关 1.A2.C3.≌∠A'∠ABC'∠CAB与A'B',BC与B'C,AC与A'C4.C 5.100°【变式】13 能力提升 6.B7.C865°9解：△ABC≌△ADE,∠BAC=∠DAE=合（∠EAB-∠CAD) =合XI20°-10)=55：∠DFB是△FAB的外角，i∠DFB=∠FAB+∠B=∠FAC +∠CAB+∠B=10°+55°+25°=90°.：∠DFB是△GDF的外角，∴.∠DGB=∠DFB一 ∠D=90°-25°=65°.10.解：(1)四边形ABCD≌四边形AEFG,△AFG≌△FAE≌ △ACD≌△CAB;(2):△FAE≌△ACD,∴.AF=AC,∠FAE=∠ACD.四边形ABCD 是长方形，∴∠ADC=90°，∴∠ACD十∠CAD=90°，∠FAE+∠CAD=90°，即∠FAC= 90°，.△AFC是等腰直角三角形. 思维拓展 11.解：(1)BD=DE十CE.理由如下：△BAD≌△ACE,BD=AE,AD=CE.∴.BD=AE =AD+DE=CE+DE,即BD=DE十CE:(2)△ABD满足∠ADB=90°时，BD∥CE.理由 如下：：BD∥CE,∴.∠E=∠BDE.:△BAD≌△ACE,.∠ADB=∠E,.∠ADB= ∠BDE.∠ADB+∠BDE=180°，即2∠ADB=180°，.∠ADB=90°. 14.2三角形全等的判定 第1课时 用“SAS”判定三角形全等 新知梳理 ①全等边角边SAS②不一定 例题引路 AO=CO, 【例1】证明：在△AOD和△COB中，∠AOD=∠COB,∴.△AOD≌△COB(SAS),∴.∠D OD=OB, AD=BC. =∠B.【例2】证明：在△ADB和△BCA中，∠DAB=∠CBA,∴.△ADB≌△BCA AB=BA, (SAS),.'.AC=BD. 基础过关 1.D2.∠FCA=∠EBD3.证明：：'∠BAE=∠CAD,∴.∠BAE+∠CAE=∠CAD+ (AB=AE, ∠CAE,即∠BAC=∠EAD.在△ABC和△AED中，∠BAC=∠EAD,.△ABC≌ AC-AD. △AED(SAS).4.解：(1)·∠BAC=∠BAE+∠CAE,∠EAD=∠1+∠CAE,∠BAC= AB-AC. ∠EAD,∴∠BAE=∠1.在△ABE和△ACD中，J∠BAE=∠1，∴.△ABE≌△ACD AE-AD (SAS):(2).△ABE≌△ACD,.∠ABE=∠2，.∠3=∠BAE+∠ABE=∠1+∠2=25 +30°=55.5.B 能力提升 6.B7.D8.解：(1)一(2).BD=CE,AB=AC,∴.AB-BD=AC-CE,∴.AD=AE.在 AB=AC, △ABE和△ACD中， ∠A=∠A,.△ABE≌△ACD(SAS),.∠B=∠C AE=AD, 第4页（共48页） 思维拓展 9.解：(1)BD=CE,BD LCE;(2)BD=CE,BD⊥CE理由如下：·∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE.在△ABD和△ACE中， AB=AC, ∠BAD=∠CAE,.△ABD≌△ACE(SAS)...∠ABD=∠ACE,BD=CE.延长BD交 AD-AE. AC于点F,交CE于点H.在△ABF和△HCF中，：∠ABF=∠HCF,∠AFB=∠HFC, .由三角形内角和定理易得∠CHF=∠BAF=90°，∴.BD⊥CE. 第2课时用“ASA”或“AAS”判定三角形全等 新知梳理 ①夹边角边角ASA②对边角角边AAS 例题引路 【例1】证明：MQ⊥PN,.∠MQP=∠MQN=90°，.∠PMQ+∠P=90°..NR⊥MP, ∴∠NRP=90°，∴.∠HNQ+∠P=90°，∴.∠PMQ=∠HNQ.在△PMQ和△HNQ中， r∠MQP=∠NQH, MQ=NQ, .△PMQ≌△HNQ(ASA),.HN=PM.【例2】证明：'AD∥BC, ∠PMQ=∠HNQ, ∴∠A=∠C.:AE=CF,∴.AE十EF=CF+EF,即AF=CE.在△ADF和△CBE中， r∠A=∠C, ∠D=∠B,△ADF≌△CBE(AAS),∴.AD=CB. AF=CE, 基础过关 ∠A=∠D, 1.∠AOC∠BOD ASA2.AO=CO3.证明：在△ABC和△DEC中，AB=DE, ∠B=∠E, (∠A=∠D, △ABC≌△DEC(ASA).4.B5.46.证明：在△ABC和△DEF中，∠B=∠E,∴.△ABC AC-DF, ≌△DEF(AAS)..BC=EF,.EF-CF=BC-CF,.CE=BF 能力提升 7.③8.249.解：由题意，得AB⊥BD,DE⊥BD,BC=CD=15m,∠ACB=∠ECD, ∠ABC=∠EDC, ·∠ABC=∠EDC=90°.在△ABC和△EDC中，JBC=DC, .△ABC≌ ∠ACB=∠ECD, △EDC(ASA),∴.BA=DE.:DE的长为10m,BA=DE=l0m.答：河的宽度为10m. 思维拓展 10.解：ID:∠ABC=35∠BAC=60,AD平分∠BAC.∠BAD-∠BAC=×60 =30°，·∠ADC=∠ABC十∠BAD=35°+30°=65°，∴.∠ADC的度数为65°；(2)如图， M过点A作AM∥BC,交BE的延长线于点M,·∠M= D ∠CBE,∠MAE=∠BCE.:点E为AC的中点，∴.AE=CE.在△AEM和△CEB中， ∠M=∠CBE, ∠MAE=∠BCE,∴.△AEM≌△CEB(AAS),∴.AM=CB=15,ME=BE.在△ABM中， AE-CE, AB-AM<BM<AB+AM..AB=18,AM=15,BM=2BE,..18-15<2BE<18+15, ∴线段BE的取值范围是受<BE<受 第3课时用“SSS”判定三角形全等 新知梳理 相等边边边SSS 例题引路 AB=AD, 【例1】A【例2】解：∠B=∠D.理由如下：连接AC.在△ABC和△ADC中，JAC=AC, BC=DC, .△ABC≌△ADC(SSS),.∠B=∠D. 基础过关 AB=ED, 1.C2.证明：：C是BD的中点，.BC=DC.在△ABC和△EDC中，AC=EC,∴.△ABC BC=DC, (AB=AC, ≌△EDC(SSS).3.D4.证明：在△ABD和△ACE中，AD=AE,.△ABD≌△ACE BD=CE, 第5页（共48页） (SSS).∠BAD=∠1，∠ABD=∠2.：∠3是△ABD的外角，∴∠3=∠BAD+∠ABD, ∠3=∠1+∠2. 能力提升 5.C6.C7.证明：(1).AD=BC,.AD十CD=BC+CD,.AC=BD.在△BFD和 BD=AC, △AEC中，BF=AE,∴.△BFD≌△AEC(SSS):(2),△BFD≌△AEC,.∠B=∠A.在 DF=CE. (AD=BC. △ADE和△BCF中，∠A=∠B,∴△ADE≌△BCF(SAS),.DE=CF. AE=BF, 思维拓展 PA=PB, 8.解：(1)连接PC.在△APC和△BPC中，CA=CB,△APC≌△BPC(SSS)..∠A= PC=PC. ∠B:(2)延长PC到点E.'∠ACB=∠ACE+∠BCE,∠ACE=∠A+∠APC,∠BCE= ∠B+∠BPC,∴·∠ACB=∠A+∠APC+∠B+∠BPC=∠A+∠B+(∠APC+∠BPC) =∠A+∠B+∠APB:(3):∠AOB=115°，∴.∠AOE=∠BOD=180°-∠AOB=65°， ∴∠A十∠C+∠E=∠AOE=65°，∠B+∠D+∠F=∠BOD=65°，∴.∠A+∠B+∠C+ ∠D+∠E+∠F=65°+65°=130°. 第4课时尺规作图 基础过关 1.B2.D3.解：(1)如图，∠DEF即为所求作的角； (2)两直线平行，同位角 B 相等AF-AD ∠BAC=∠DFE同位角相等，两直线平行4.解：(1)如图； D (2)如图，点F即为所求；点E,F到直线AB的距离相等.理由如 下：过点E作EH⊥AB于点H,过点F作FG⊥AB于点G,∴∠AGF=∠BHE=90 (∠AGF=∠BHE, :AD∥BC,.∠FAG=∠EBH.在△AFG与△BEH中，∠FAG=∠EBH,.△AFG≌ AF=BE, △BEH(AAS),∴FG=EH,点E,F到直线AB的距离相等.5.B6,A 能力提升 7.D8.解：如图，△ABC即为所求 M 9.解：(1)如图，线段AB即为所求； B(2)如图，∠MON即为所求. 第5课时用“HL”判定直角三角形全等 新知梳理 ①斜边一直角边斜边、直角边HL②HL,SSS,ASA,AAS,SAS 例题引路 【例1】证明：DE⊥AC,BF⊥AC,.∠AFB=∠CED=90°.AE=CF,.AE十EF=CF FEE,即AF=CE.在R△APB和RI△CED中，ACE,二R△AFB≌R△CED (HL),∴.BF=DE.【例2】证明：连接CD.:AD⊥AC,BC⊥BD,∴∠A=∠B=90°.在 Rt△ADC和Rt△BCD中， AC_D,R△ADC②Rt△BCD(H),AD=BC. 基础过关 1.C2.证明：AC⊥OA,CB⊥OB,.∠A=∠B=90°.在Rt△ACO和Rt△BCO中， 第6页（共48页）