数学（北师大版）-2025-2026学年九年级上学期阶段性练习（一）

姓名 准考证号 2025-2026学年第一学期阶段评估（一） 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上。 3.答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5.本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！ 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在 答题卡相应位置涂黑. 1.一元二次方程x2+2x-5=0的一次项系数是 A.1 B.2 C.-5 D.0 2.菱形、矩形、正方形具有的共同性质是 A.邻边相等 B.对角相等 C.对角线互相垂直D.对角线相等 3.将一元二次方程x2-6x-9=0化成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式，则a,b的值分别是 A.-3,-18 B.3,18 C.3,-18 D.-3,18 4.如图，将矩形ABCD放置在刻度尺上，顶点A,C对应的刻度（单位：cm)分别为1和5，则BD的 长为 A.2cm B.3 cm A W 0cm C.4 cm D.5cm 5.若m,n是一元二次方程x2+3x-9=0的两个根，则m2+4m+n的值是 A.6 B.12 C.0 D.18 九年级数学（北师大）（一）第1页（共6页） 6.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1=∠2，则∠BPC= A.1259 B.130° C.135° D.145 7.在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正 式上映.上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收人达12.93亿元，如果第二周、第三 周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x,则可列方程为 A.8.98(1+x)=12.93 B.8.98(1+x)2=12.93 C.8.98+8.98(1+x)2=12.93 聪相馆 D.8.98+8.98(1+x)+8.98(1+x)2=12.93 永型 8.某花木场有一块等腰梯形ABCD的空地（如图），各边的中点分别是E,F,G,H,用篱笆围成的 四边形EFGH场地的周长为40cm,则对角线AC的长度为 A.20 cm B.15 cm C.10cm D.5cm 9.关于x的一元二次方程的新定义：关于x的一元二次方程：ax2+bx+c=0与bx2+ax+c=0称 为“交换二次方程”.如x2+2x+5=0与2x2+x+5=0就是“交换二次方程”.现有关于x的一 元二次方程：(m-2)x2-4x+1=0与(n+6)x2+3x+1=0是“交换二次方程”.那么代数式 mx2+nx+2031能取到的最小值是 A.2036 B.2030 C.2032 D.2026 九年级数学（北师大）（一）第2页（共6页） 10.如图，在平面直角坐标系中，0是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴，AD=4,∠A=60°. 将菱形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则旋转后点C对应点的坐标是 A.(0,W3) B.(0,-√3) C.(0,23) D.(0,-2√3) 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.方程x2=9的解是 12.如图所示，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,F, AB=6,BC=8,则图中阴影部分的面积为 (第12小题图) (第15小题图) 13.对于实数a,b定义运算“※”如下：a※b=a2-ab,例如，5※3=52-5×3=10.若(x+1)※ (x-2)=6,则x的值为 14.在□ABCD中，给出下列条件：①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AB⊥BC.其中能使 口ABCD成为菱形的是 15.如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，连接BE,沿BE折叠矩形得到△BEF,EF的延长线 刚好经过点C,若BC=3,AB=2,则AE的长是 九年级数学（北师大）（一）第3页（共6页） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 16.(本题2个小题，每小题5分，共10分)解方程： (1)x2-4x-32=0; (2)(x-3)2=2x(x-3) 17.(本题8分)如图，△ABD中，∠ABD=∠ADB. (1)作点A关于BD的对称点C;(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，连接BC,CD,AC,AC与BD交于点O,若AB=13,BD=10,求点B到AD 的距离. B -25m (第17小题图) (第18小题图) (第19小题图) 18.(本题8分)近年来，山西在广州、北京、杭州等城市成功举办多场“山西之夜”活动.活动通 过文艺演出、非遗技艺表演、特色展品陈列等形式，展现山西的历史文化、传统工艺和地域 特色.如图，现准备利用活动场地一面墙MN(MN最长可用25m),用总长为40m的可拼接 展台（靠墙一面不用展台）围成一个矩形ABCD展示区.当AB长度为多少时，矩形展示区的 面积为150m2? 19.(本题8分)如图，在口ABCD中，点E在AD边上，BE和CE分别是∠ABC和LBCD的角平分 线，以BC为对角线向外作四边形BECF,使∠BCF=∠AEB,∠CBF=∠DEC. (1)求证：四边形BECF是矩形； (2)已知AD=4,∠A=120°，求CF的长， 九年级数学（北师大）（一）第4页（共6页） 20.(本题8分)已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+3m-12=0. （1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； (2)矩形ABCD的两条边AB,BC恰好是这个方程的两个根： ①当m= 时，矩形ABCD是正方形，此时正方形的边长是 ②当矩形ABCD的对角线长为√13时，求矩形的面积. 21.(本题8分)山西老陈醋是中国四大名醋之一，以其独特的风味、悠久的历史和精湛的酿造 工艺闻名.某超市销售一批精装山西老陈醋，平均每天能售出20瓶，每瓶盈利15元.为了扩 大销售、增加盈利及尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，当每瓶醋 每降价1元时，平均每天可多售出4瓶.超市要想使这批老陈醋的销售利润平均每天达到 396元，每瓶醋应降价多少元？ 22.（本题12分)综合与实践 在学习了《特殊平行四边形》这一章后，老师布置了一项课后作业：利用所学知识在一张 长8cm,宽6cm的矩形纸片ABCD上作出一个菱形 ①小明的方案，如图1： ②小彤的方案，如图2： 1.连接BD; 1.利用刻度尺找到四条边的中点E,F,G,H; 2.作BD的垂直平分线，交AD,BC,BD于 2.顺次连接E,F,G,H; 点E,F,O; 3.四边形EFGH即为所作的菱形 3.连接BE,DF; 4.四边形BFDE即为所作的菱形. 图2 图1 【解答问题】 (1)方案设计正确的是 (写出序号即可)； (2)请选择一种正确的方案进行证明； (3)直接写出哪种方案构成的四边形面积大，且最大面积是多少 九年级数学（北师大）（一）第5页（共6页） 23.(本题13分)综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中 点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四 边形”。 E 图1 图2 图3 概念理解： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 性质探究： (2)如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的结论： ① ;② 问题解决： (3)如图2，以锐角△ABC的两边AB,AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形 ACFG,连接BE,EG,GC,EC,BG,问EC,BG有什么位置关系和数量关系？直接写出结果， 拓展应用： (4)如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M,N分别是AB,CD的中点. ①试探索BD与MN的数量关系，并说明理由. ②若AB+CD的最小值是4√2，则BD的长度为】 九年级数学（北师大）（一）第6页（共6页） 2025-2026学年第一学期阶段评估（一） 九年级数学（北师大版）参考答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1-5 B BD CA 610 CBA DD 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11、x1=3,x2=-3 12、24 13、1 14、①③ 15、3-√5 三、解答题（本大题共8个小题，共75分) 16、解：(1)x1=-4,x2=8; …5分 (2)x1=3,x2=-3. …10分 17、解：(1)如图：点C即为所求； …2分 (2).'∠ABD=∠ADB, ∴.AB=AD 点C是点A关于BD的对称点， ∴.CB=AB,CD=AD ∴.AB=BC=CD=AD .四边形ABCD是菱形. 又AB=13,BD=10, .AC LBD,OB=7BD=5,AD=AB=13. 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA=√BA2-OB2=12. …6分 如图，过B点作BE⊥AD于点E, Sm=×BDXA0=2×AD,. .10×12=13×BE. ·BE=120 13 ·点B到AD的距离是120 …8分 13 九年级数学（北师大）（一）参考答案第1页（共4页） 18、解：设AB=x米，则BC=(40-2x)米， 根据题意得：x(40-2x)=150, …2分 整理得：x2-20x+75=0, 解得：x1=5,x2=15, …3分 当x=5时，40-2x=40-2×5=30>25,不符合题意，舍去； …5分 当x=15时，40-2x=40-2×15=10<25,符合题意. …7分 答：当AB长度为15米时，矩形展示区的面积为150m2. …8分 19、（1)证明：.四边形ABCD是平行四边形， .∴.AD∥BC,AB∥DC. .,∠AEB=∠CBE,∠DEC=∠BCE,∠ABC+∠BCD=180°. .'∠BCF=∠AEB,∠CBF=∠DEC, .∠BCF=∠CBE,∠CBF=∠BCE. ∴.CF∥BE,BF∥CE. .四边形BECF是平行四边形 ,BE和CE分别是∠ABC和LBCD的角平分线， LCBE-/ABC,LBCE-BCD. ∴∠CBE+∠BCE=LABC+∠BCD)=90. ∴.∠BEC=180°-（∠CBE+∠BCE)=90°. .四边形BECF是矩形； …4分 (2)解：四边形ABCD是平行四边形， .∠BCD=∠A,BC=AD. ,∠A=120°，AD=4, .∴∠BCD=120°，BC=4. ∴LBCE=2BCD=60. ∴.∠CBE=90°-∠BCE=90°-60°=30° CR-8G-7 ×4=2. .BE=NBC-CE2=N42-22=2W3. 由(1)知四边形BECF是矩形， ∴.CF=BE=2√3. …8分 九年级数学（北师大）（一）参考答案第2页（共4页） 20、（1)证明：关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+3m-12=0, .△=[-(m-1)]2-4×1×(3m-12)=(m-7)2≥0. .无论m取何值，方程总有两个实数根； …2分 (2)解：①7 3 …4分 ②当矩形ABCD的对角线长为√13时，AB2+BC=(√13)2， 设方程的两个根为x1,x2,则x2+x22=13. x1+x2=m-1,x1x2=3m-12,x12+x2=(x1+x2)2-2x1x2, ∴.(m-1)2-2(3m-12)=13,整理得，m2-8m+12=0, 解得：m1=2,m2=6. :AB和BC是矩形的边长， ∴.x1>0,x2>0. .x1+x2=m-1>0,xx2=3m-12>0. ∴.m>4. ∴.m1=2不合题意，舍去. .∴.m=6. .矩形的面积为AB·BC=xx2=3m-12=3×6-12=6. …8分 21、解：设每瓶醋应降价x元，可使超市销售利润平均每天达到396元， 根据题意得：(15-x)(20+4x)=396, …3分 整理得：x2-10x+24=0, 解得：x1=4,x2=6, …6分 因尽快减少库存，故x=6. …7分 答：每瓶醋应降价6元. …8分 22、解：(1)①② …2分 (2)方案①： 四边形BEDF为菱形，理由如下： ·EF是BD的垂直平分线， ∴.EF⊥BD,OB=OD,EB=ED,FB=FD. .∠BEO=∠DEO .四边形ABCD是一张矩形纸片， ∴.AD∥BC, ∴.∠BFO=∠DEO. 图1 .∴.∠BFO=∠BEO. .BF BE. 九年级数学（北师大）（一）参考答案第3页（共4页） .BF BE ED DF. .四边形BEDF为菱形. …10分 方案②： 四边形EFGH为菱形，理由如下： 连接AC,BD, 矩形ABCD四条边的中点分别为E,F,G,H, .·AC=BD,EH,FG,EF,HG都是三角形的中位线 图2 .EH=BD=FG,EF-ZAC=HG. .EH=FG=EF=HG. ·.四边形EFGH为菱形 …10分 (3)方案①面积最大.最大面积为37.5cm2. …12分 23、解：(1)D …2分 (2)①AC=BD ②AC⊥BD …4分 (3)EC=BG,EC⊥BG; …6分 (4)①MN=2BD. …7分 2 理由如下： 如图3，记AD,BC的中点分别为E,F,连接EM,EN,FN,FM, 四边形ABCD是“中方四边形”，M,N分别是AB,CD的中点， .四边形ENFM是正方形 ∴.FM=FN,∠MFN=90°. .MN=√FM2+FN2=2FN. ,N,F分别是DC,BC的中点， 图3 .FN-TBD. MN-2BD: …11分 ②4. …13分 九年级数学（北师大）（一）参考答案第4页（共4页）姓名 准考证号 2025-2026学年第一学期阶段评估（一） 九年级数学（北师大版） 注意事项： 1.本试卷共6页，满分120分，考试时间120分钟。 2.答卷前，考生务必将自已的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置上。 3.答卷全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效。 4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 5.本试卷任何人不能以任何形式外传，翻印！如若发现，必追究法律责任！ 第I卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 在每小题列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，请将正确选项的字母标号在 答题卡相应位置涂黑. 1.一元二次方程x2+2x-5=0的一次项系数是 A.1 B.2 C.-5 D.0 2.菱形、矩形、正方形具有的共同性质是 A.邻边相等 B.对角相等 C.对角线互相垂直D.对角线相等 3.将一元二次方程x2-6x-9=0化成(x+a)2=b(a,b为常数)的形式，则a,b的值分别是 A.-3,-18 B.3,18 C.3,-18 D.-3,18 4.如图，将矩形ABCD放置在刻度尺上，顶点A,C对应的刻度（单位：cm)分别为1和5，则BD的 长为 A.2cm B.3cm A mpmqmmmmpmymmpipmm C.4cm 0cm 1 D.5cm 5.若m,n是一元二次方程x2+3x-9=0的两个根，则m2+4m+n的值是 A.6 B.12 C.0 D.18 九年级数学（北师大）（一）第1页（共6页） 6.如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1=∠2，则∠BPC= A.1259 B.130° C.135° D.145 7.在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年之际，电影《南京照相馆》暑期正 式上映.上映第一周票房收入达8.98亿元，第三周票房收入达12.93亿元，如果第二周、第三 周票房收入按相同的增长率增长，设增长率为x,则可列方程为 A.8.98(1+x)=12.93 B.8.98(1+x)2=12.93 C.8.98+8.98(1+x)2=12.93 相 D.8.98+8.98(1+x)+8.98(1+x)2=12.93 8.某花木场有一块等腰梯形ABCD的空地（如图），各边的中点分别是E,F,G,H,用篱笆围成的 四边形EFGH场地的周长为40cm,则对角线AC的长度为 A.20cm B.15 cm C.10cm D.5cm 9.关于x的一元二次方程的新定义：关于x的一元二次方程：ax2+bx+c=0与bx2+ax+c=0称 为“交换二次方程”.如x2+2x+5=0与2x2+x+5=0就是“交换二次方程”.现有关于x的一 元二次方程：(m-2)x2-4x+1=0与(n+6)x2+3x+1=0是“交换二次方程”.那么代数式 mx2+nx+2031能取到的最小值是 A.2036 B.2030 C.2032 D.2026 九年级数学（北师大）（一）第2页（共6页） 10.如图，在平面直角坐标系中，0是菱形ABCD对角线BD的中点，AD∥x轴，AD=4,∠A=60°. 将菱形ABCD绕点O顺时针旋转，使点D落在x轴的正半轴上，则旋转后点C对应点的坐标是 A.(0,√3) B.(0,-√3) C.(0,23) D.(0,-2W/3) 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11.方程x2=9的解是 12.如图所示，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,过点O的直线分别交AD和BC于点E,F, AB=6,BC=8,则图中阴影部分的面积为 (第12小题图) (第15小题图) 13.对于实数a,b定义运算“※”如下：a※b=a2-ab,例如，5※3=52-5×3=10.若(x+1)※ (x-2)=6,则x的值为 14.在□ABCD中，给出下列条件：①AB=BC;②AC=BD;③AC⊥BD;④AB⊥BC.其中能使 口ABCD成为菱形的是 15.如图，点E是矩形ABCD的边AD上一点，连接BE,沿BE折叠矩形得到△BEF,EF的延长线 刚好经过点C,若BC=3,AB=2,则AE的长是」 九年级数学（北师大）（一）第3页（共6页） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分) 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 16.(本题2个小题，每小题5分，共10分)解方程： (1)x2-4x-32=0; (2)(x-3)2=2x(x-3). 17.(本题8分)如图，△ABD中，∠ABD=∠ADB. (1)作点A关于BD的对称点C;(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)的条件下，连接BC,CD,AC,AC与BD交于点O,若AB=13,BD=10,求点B到AD 的距离. 25m (第17小题图) (第18小题图) (第19小题图) 18.(本题8分)近年来，山西在广州、北京、杭州等城市成功举办多场“山西之夜”活动.活动通 过文艺演出、非遗技艺表演、特色展品陈列等形式，展现山西的历史文化、传统工艺和地域 特色.如图，现准备利用活动场地一面墙MN(MW最长可用25m),用总长为40m的可拼接 展台（靠墙一面不用展台）围成一个矩形ABCD展示区.当AB长度为多少时，矩形展示区的 面积为150m2? 19.(本题8分)如图，在口ABCD中，点E在AD边上，BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的角平分 线，以BC为对角线向外作四边形BECF,使∠BCF=∠AEB,∠CBF=∠DEC. (1)求证：四边形BECF是矩形； (2)已知AD=4,∠A=120°，求CF的长， 九年级数学（北师大）（一）第4页（共6页）》 20.（本题8分)已知关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+3m-12=0. （1)求证：无论m取何值，方程总有两个实数根； (2)矩形ABCD的两条边AB,BC恰好是这个方程的两个根： ①当m= 时，矩形ABCD是正方形，此时正方形的边长是 ②当矩形ABCD的对角线长为√13时，求矩形的面积. 21.(本题8分)山西老陈醋是中国四大名醋之一，以其独特的风味、悠久的历史和精湛的酿造 工艺闻名.某超市销售一批精装山西老陈醋，平均每天能售出20瓶，每瓶盈利15元.为了扩 大销售、增加盈利及尽快减少库存，超市决定采取适当的降价措施，经调查发现，当每瓶醋 每降价1元时，平均每天可多售出4瓶.超市要想使这批老陈醋的销售利润平均每天达到 396元，每瓶醋应降价多少元？ 22.(本题12分)综合与实践 在学习了《特殊平行四边形》这一章后，老师布置了一项课后作业：利用所学知识在一张 长8cm,宽6cm的矩形纸片ABCD上作出一个菱形 ①小明的方案，如图1： ②小彤的方案，如图2： 1.连接BD; 1.利用刻度尺找到四条边的中点E,F,G,H; 2.作BD的垂直平分线，交AD,BC,BD于 2.顺次连接E,F,G,H; 点E,F,0; 3.四边形EFGH即为所作的菱形， 3.连接BE,DF; 4.四边形BFDE即为所作的菱形. 图2 图1 【解答问题】 (1)方案设计正确的是 (写出序号即可)； (2)请选择一种正确的方案进行证明； (3)直接写出哪种方案构成的四边形面积大，且最大面积是多少」 九年级数学（北师大）（一）第5页（共6页） 23.(本题13分)综合与探究 定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中 点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们就把这个原四边形叫做“中方四 边形” 图1 图2 图3 概念理解： (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是 A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 性质探究： (2)如图1，四边形ABCD是“中方四边形”，观察图形，写出关于四边形ABCD的结论： ① ;② 问题解决： (3)如图2，以锐角△ABC的两边AB,AC为边长，分别向外侧作正方形ABDE和正方形 ACFG,连接BE,EG,GC,EC,BG,问EC,BG有什么位置关系和数量关系？直接写出结果. 拓展应用： (4)如图3，已知四边形ABCD是“中方四边形”，M,N分别是AB,CD的中点. ①试探索BD与MN的数量关系，并说明理由. ②若AB+CD的最小值是4v2,则BD的长度为 九年级数学（北师大）（一）第6页（共6页）》 2025-2026学年第一学期阶段评估（一） 九年级数学（北师大版）参考答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1-5 BB DCA 6-10 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分) 11、x1=3,x2=-3 12、24 13、1 14、①③ 15、3-5 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16、解：（1)x1=-4,x2=8; …5分 (2)x1=3,x2=-3. …10分 17、解：(1)如图：点C即为所求； …2分 (2).∠ABD=∠ADB, ∴.AB=AD ,点C是点A关于BD的对称点， ∴.CB=AB,CD=AD ∴.AB=BC=CD=AD. .四边形ABCD是菱形. 又AB=13,BD=10, ..AC L BD,OB=BD=5,AD=AB=13. 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA=√BA?-OB2=12. …6分 如图，过B点作BE⊥AD于点E, Sm=×BDxA0=×AD×BE, .10×12=13×BE. BE=120 13 点B到AD的距离是120 131 …8分 九年级数学（北师大）（一）参考答案第1页（共4页） 18、解：设AB=x米，则BC=(40-2x)米， 根据题意得：x(40-2x)=150, …2分 整理得：x2-20x+75=0, 解得：x1=5,x2=15, …3分 当x=5时，40-2x=40-2×5=30>25,不符合题意，舍去； …5分 当x=15时，40-2x=40-2×15=10<25,符合题意. …7分 答：当AB长度为15米时，矩形展示区的面积为150m2. …8分 19、（1)证明：.四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AB∥DC. ∴.∠AEB=∠CBE,∠DEC=∠BCE,∠ABC+∠BCD=180°. ,'∠BCF=∠AEB,∠CBF=∠DEC, .∠BCF=∠CBE,∠CBF=∠BCE. ∴.CF∥BE,BF∥CE. ·.四边形BECF是平行四边形 ·,BE和CE分别是∠ABC和∠BCD的角平分线， LCBE=ABC,∠BCE=BCD, ∠CBE+LBCE=2ABC+∠BCD)=90. ·.∠BEC=180°-（∠CBE+∠BCE)=90°. .四边形BECF是矩形； …4分 (2)解：·四边形ABCD是平行四边形， ∴.∠BCD=∠A,BC=AD .∠A=120°，AD=4, ∴.∠BCD=120°，BC=4. ∴ZBCE=3BCD=60. ∴.∠CBE=90°-∠BCE=90°-60°=30°. :0B=3Bc-2x4=2 21 .BE=√BC2-CE2=√42-22=2W3 由(1)知四边形BECF是矩形， .CF=BE =23 …8分 九年级数学（北师大）（一）参考答案第2页（共4页） 20、（1)证明：关于x的一元二次方程x2-(m-1)x+3m-12=0, ∴.△=[-(m-1)]2-4×1×(3m-12)=(m-7)2≥0. 无论m取何值，方程总有两个实数根； …2分 (2)解：①7 3 …4分 ②当矩形ABCD的对角线长为√13时，AB2+BC2=(√13)2， 设方程的两个根为x1,x2,则x2+x22=13. .x1+x2=m-1,x1x2=3m-12,x12+x2=(x1+x2)2-2x1x2, ∴.(m-1)2-2(3m-12)=13,整理得，m2-8m+12=0, 解得：m1=2,m2=6. AB和BC是矩形的边长， .x1>0,x2>0. ∴.x1+x2=m-1>0,x1x2=3m-12>0. .m>4 ∴m1=2不合题意，舍去. ∴.m=6. ∴.矩形的面积为AB·BC=xx2=3m-12=3×6-12=6. …8分 21、解：设每瓶醋应降价x元，可使超市销售利润平均每天达到396元， 根据题意得：(15-x)(20+4x)=396, …3分 整理得：x2-10x+24=0, 解得：x1=4,x2=6, …6分 因尽快减少库存，故x=6. …7分 答：每瓶醋应降价6元. …8分 22、解：(1)①② …2分 (2)方案①： 四边形BEDF为菱形，理由如下： ,EF是BD的垂直平分线， .EF L BD,OB=OD,EB=ED,FB=FD. 0 .∴.∠BE0=∠DEO ,四边形ABCD是一张矩形纸片， .AD∥BC, ∴.∠BFO=∠DEO 图1 .∴.∠BFO=∠BEO. ..BF=BE. 九年级数学（北师大）（一）参考答案第3页（共4页） .∴BF=BE=ED=DF. ·.四边形BEDF为菱形 …10分 方案②： 四边形EFGH为菱形，理由如下： 连接AC,BD .矩形ABCD四条边的中点分别为E,F,G,H, .·AC=BD,EH,FG,EF,HG都是三角形的中位线 图2 .EH=BD=FC,EF-7AC=HG. ·.EH=FG=EF=HG. ·.四边形EFCH为菱形 …10分 (3)方案①面积最大.最大面积为37.5cm2. …12分 23、解：(1)D …2分 (2)①AC=BD ②AC⊥BD …4分 (3)EC=BG,EC⊥BG: .…6分 (4)①MN=2BD. …7分 2 理由如下： 如图3，记AD,BC的中点分别为E,F,连接EM,EN,FN,FM, 四边形ABCD是“中方四边形”，M,N分别是AB,CD的中点， .四边形ENFM是正方形 .·.FM=FN,∠MFN=90°. .MN=√FM2+FN2=√2FN. :N,F分别是DC,BC的中点， 图3 *.FN-BD :MN=2BD: …11分 2 ②4. …13分 九年级数学（北师大）（一）参考答案第4页（共4页）