河北省沧州市泊头市交河中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

绝密★启用前 2025一2026高三省级联测考试 数学试卷 班级 姓名 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名及考号填写在答题卡上， 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试 卷上无效 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1,已知复数z=1+21,则其虚部为 i A.-1 B.-i C.1 D.i 2.已知全集U={x|x是小于10的质数}，A={3},则CA的元素个数为 A.2 B.3 C.4 D.5 y2 若双曲线10>b>0两条浙近线的夹角为60，则该双曲线的离心率 A.√2 B.2 C23 D.3 3 4,若点（行，0）是函数f(x)=an(x一9)的图象的-个对称中心，则9的最小正值为 A晋 B c D 5.已知函数f(x)=十上为奇函数，则f(2)的值为 x-a A.1 C.2 D. 6.已知等比数列{am}的前n项和为Sn,若S4=7,S12=511,则S8= A.56 B.-56 C.63 D.-63 省级联测考试|数学·摸底卷第1页（共4页） 霸巴情 7.已知圆C:(x-2)2+(y-3)2=16,直线1：mx一y十2+1=0(m≠0)，若直线l与圆C交于 A,B两点，且满足CA·CB=一8，则实数m的值为 A- B-号 c 8.已知a=log影燃2026，b=ln5,c=sin子7+cos子誓，则a,b,c的大小关系为 A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求， 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下面说法正确的是 A.A,C1平面ABCD B.AC1⊥BD C.平面A1BD⊥平面ABCD D.直线A1B与直线AD1所成角为60° 10.已知正实数a,b满足a+b=1,则下面说法正确的是 A子+名的最小值为4 a B占-3的最小值为2,5-3 C.√1+a+√I+b的最大值为√6 Da+日儿6+号)的最小值为翠 11.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点，过焦点F的直线L与抛物线C交于A,B 两点，同时过焦点F作与直线L垂直的直线'与抛物线C交于D,E两点，则下面说法正确 的是 A.|AB|的取值范围为[4，十∞) B若直线L的倾斜角为60，则AB1= 3 C.若在x轴上存在一点M,使得∠AMO=∠BMO,则点M的坐标为（一1,0） D,当直线1的斜率为号时，四边形ADBE的面积为36 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.已知函数f(x)=xlnx+2,则曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 13.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=7,B=60°，S△ABc=6√3，则 △ABC的周长是 14.某个科技小作品是由红、黄、蓝三个颜色的灯组成，每次闪烁时只有一个颜色的灯亮，其余两 个颜色的灯不亮，每种颜色的灯不会连续在两次闪烁中亮起，若第1次闪烁，红灯亮起，则第 6次闪烁时，黄灯亮的概率为 省级联测考试|数学·摸底卷第2页（共4页） 回生 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤」 15.（本小题满分13分) 某学校为了研究学生的数学成绩与物理成绩是否有关系，随机抽取了500名学生的成绩数 据，得到如下2×2列联表： 单位：人 数学成绩 物理成绩 合计 优秀 不优秀 优秀 90 60 150 不优秀 160 190 350 合计 250 250 500 (1)记数学成绩优秀者中物理成绩不优秀的概率为P,求P的值； (2)依据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为学生的数学成绩与物理成绩有关系？ 参考公式：X2= n (ad-bc)? a+b)(c+d)(a+c)(6+d其中n=a十b+c+d. 临界值表： a 0.05 0.01 0.001 x。 3.841 6.635 10.828 16.（本小题满分15分) 记等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a3=5,S,=49. (1)求数列{an}的通项公式； 2)若数列c)满足c二a,a→ 一，记数列{cn)的前n项和为Tn,求Tn; (3)若am+1>man恒成立，求实数m的取值范围. 17.(本小题满分15分) 如图，在三棱柱ABC-A1B,C1中，底面ABC是边长为4的正三角形，侧棱AA1⊥平面 ABC,AA1=4√3，点D是BC的中点，点F是A1B,的中点，点E在AC上，且AE=3EC (1)证明：BF/平面B1DE 省级联测考试|数学·摸底卷第3页（共4页） 器国年 (2)求平面B,DE与平面BB,D夹角的余弦值， (3)在线段A1C上是否存在一点P,使得直线PF与平面A,B,BA所成角的正弦值为3 若存在，求出A,P的长；若不存在，请说明理由. 18.（本小题满分17分) 尼知椭圆C斧+ 片=1a>6>0)的高心率。=，短轴长为2，P(o30)是椭圆外-点 2 (1)求椭圆C的标准方程； (2)若P(2,2),过点P作直线1与椭圆C相切，求直线1的方程； (3)若过点P作椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程. 19.（本小题满分17分) 已知函数f(x)=xsin x,g(x)=x2一ax3,a∈R (1)讨论函数fx)在区间（一，2)上的单调性. (2)已知xh(x)=g(x)-f(x). (i)若函数h(x)在区间(0，π)上只有一个极值点，求a的取值范围； (i当a=时，若x1x2是函数h(z)=k的两个根，x1<x2且x1x∈(-，)，证 明：x1>一x2 省级联测考试丨数学·摸底卷第4页（共4页） 器®侧 2025一2026高三省级联测考试 数学参考答案 ◆命卷意图 本套试卷考查高中数学的基础知识与技能，考查学生的空间想象能力和逻辑推理能 力，强调知识的应用与创新，注重考查学生思维过程的表达能力和发散性思维，有利于 区分不同层次学生的数学水平。 一、立足数学核心素养 本套试卷考查了高中数学的核心内容，对学生的数学能力进行了一次全方面的考 查。例如，第7题考查了直线与圆的位置关系问题，考查了学生直观想象和数学运算的 核心素养：第13题考查了解三角形的问题，考查了学生逻辑推理和数学运算的核心素 养：第17题考查了有关立体几何的综合应用，涉及立体几何中的线面平行、面面角和线 面角的问题，考查了学生直观想象、数学运算和数据分析的核心素养。 二、考查基本方法和基本知识点 本套试卷主要考查了学生的基本数学能力和基本数学技能的掌握情况。例如，第 3题考查了双曲线的离心率问题：第5题考查了函数的奇偶性问题；第9题考查了平行、 垂直和异面直线所成的角的问题：第12题考查了导数的几何意义问题。其解题方法都 是高中阶段的基本方法。 三、命制试题亮点 本套试卷中的第11,19题是整套试题的亮点题目。其中，第11题考查抛物线的综 合问题，很好地考查了学生的数学建模和数据分析等核心素养；第19题采用了三角函数 与导数综合的形式，考查学生的学习能力和分析能力，此题对学生的要求较高，能够很 好地体现选拔作用。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B B D C D A ABD ACD BCD 1.A解析：z= 1+21 =2一i.则其虚部为一1，故选A, 2.B解析：根据题意，U=(2,3,5,7},所以CA=(2,5,7),故选B. 8C解析：根据题意，该双曲线的渐近线方程为y=士2x分析可得么，即a=36,所以a'3弘2.廊 a a=3c-a,即=a.所以e2=专e=2 ,故选C 4.B解析：点行o)是函数f)=mG-9)的图象的一个对称中心，则晋-g=经k∈乙.所以g= 翼巴赶 C⑤扫描全能王 经+了∈乙当长=0时，9取得最小正值为号故选B 5D解折：由函数)=士为奇函数，可得a=0,所以f)中则f2)=号故选D x-a 6.C解析：因为等比数列{am}的前n项和为Sn,所以S,S8一S,S12一Sg成等比数列，公比为正数，设 Sg=x,所以7，x-7,511一x成等比数列，所以(x-7)2=7(511-x),即x2一7x一3528=0，解得x= 一56或x=63,因为S,Sg一S,S12一Sg三者同号，所以Sg=63,故选C 7.D解析：根据题意，圆C的圆心为(2,3)，半径为4，直线1：mx一y+2m十1=0，因为C·C3=一8，其 中1==4，所以11·1Ccos∠ACB=-8,解得cos∠ACB=-号可得∠ACB=120, 所以点C到直线1的距离为2，则2m一3+2+1=2，计算可得m=0(舍)或m=专，故选D √m2+1 8.A解析：根据题意，分析可得a=1ogs2026>1ogs2025=1,b=1n5=号1n3,又因为1<1n3<2,所 以号<6<号，再次分析6=n5<ne=1,所以a>6c=m要+o子=（号）+（图》-2× (图）-(》号所以，故选A 9.ABD 解析：如图所示，因为直线A,C1在平面A,B,CD1上，又平面 A,B,C,D1平面ABCD,所以A,C1平面ABCD,故A正确；直线AC1在平面 B ABCD上的投影为AC,因为AC⊥BD,所以AC1⊥BD,故B正确；观察可得平面 A,BD与平面ABCD不垂直，故C不正确；连接BC1,A,C1,因为BC1∥AD1,所以 ∠A,BC1即为直线A,B与直线AD1所成的角或其补角，因为BC1=A,C1= B A,B,所以直线AB与直线AD1所成角为60°，故D正确.故选ABD 10ACD解析：根据题意，}+名-（侣+分》a+b)=2+名+号≥4，当且仅当a=b=时等号成立故 b a b A正确：因为a十6=1≥2a而，所以0<ab≤，所以-3≥4-3=1>25-3，故B不正确： (W/1+a+√/1+b)=1+a+1+b+2√1+a/1+b≤3+1+a+1+b=6,所以1+a+√1+b的最大 值为6，当且仅当a=b=号时等号成立，故C正确：(a+)6+分》=b+台+号+ =ab+ 2+b+ ab ab =ab+2. -2，由B选项分析知0<ab≤，所以(@+)儿b+)的最小值为5，当且仅当 a=b=?时等号成立，故D正确.故选ACD 11.BCD解析：根据题意，因为直线l的斜率一定存在且不为0，所以|AB的长度不能取到4，故A错误： 设A（x1,y1),B(x2,y2),因为F(1,0),所以直线1的方程为y一0=3(x一1)，联立 10 少-0=5-1》”整理得3x-10x+3=0,可得十=了所以1AB1=十+p9故B正 y2=4x, x1x2=1, (x=my+1, 确；设点M(t,0),设直线1的方程为x=my十1(m≠0)，联立 整理得y2-4my一4=0，可得 y2=4x, 翼巴金毛 y1+y2=4m `因为∠AMO=∠BMO,所以kM十k=0,即yL十y2,=0,即y1my2-1+1)十 y1y2=-4. x,一tx2一t y2(my1一t+1)=0,即2y1y2+(1一t)(y1+y2)=0,计算可得t=一1，故C正确：设直线L的方程为 x=my十1(m≠0)，则直线1'的方程为x= my+1,联立 x=my+1, 整理得y2-4my一4=0，可得 y2=4x, y1+y2=4m 根据弦长公式可得|AB=√1+m2·√(y,+y2)2-4y1y2=√1+m·√6+16m= y1y2=-4, 41+m),同理可得DE=41+),故S=号AB1DE=号×41+m)×41+) 82+m+),当直线1的斜率为号时m=反，所以S=36,故D正确.故选BCD 12.y=x十1解析：因为f(x)=xlnx+2,所以f(1)=2,f'(x)=lnx+1,计算可得f'(1)=1,所以切线 方程为y一2=1(x一1)，即y=x+1. 13.18解析：根据题意，因为△ABC的面积SAr=63,所以2 acsin60°=63，所以a=24,由余弦定理 可得o860=a2+c-公.即a2+c2-49=ac,所以a十c)=49十3ac=121,可得a十c=11,所以 2ac △ABC的周长为a+b+c=18. 14 解析：设事件A。=“第n次闪烁红灯亮”，B=“第n次闪烁黄灯亮”，C=“第n次闪烁蓝灯亮”，那 么由题意可知，PA)=PB,)+P(C,)又PA,)+P(B,)+PC,)=1.所以PA) 合PA.可构造等比数列：PA)-吉=名-合PA.)-吉=(PM.)》.因为 P,)=1,所以PA,)-}是以PA,)日号为首项，公比为-的等比数列故P4,)号 (-2),所以PA,)=专+号(-》，PB,)=P(C.),故第6次闪烁时，黄灯亮的概率为 PB,)=21-PA,)= 321 15.解：(1)由题可知，数学成绩优秀者有250人， 在这250人中物理成绩不优秀的有160人，…(2分) 所以P=16016 …(4分) 25025 (2)零假设为H。:学生的数学成绩与物理成绩无关联， 根据列联表中的数据，经计算得到 X:=500X(90X190-60X160)y2_500×7500×X7500 150×350×250×250150×350×250×250 ≈8.571>6.635=x0.1,…(10分) 根据小概率值a=0.01的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为学生的数学成绩与物理成绩有关联， 此推断犯错误的概率不大于0.01.…（们3分） a3=a1+2d=5. 16.解：(1)设等差数列{a.}的首项为a1,公差为d,则 s,=72a,+6d) …(1分) =49. 鬢巴全年 计算可得 a1=1, ……………………(3分） d=2, 所以数列{am)的通项公式为am=1十2(n一1)=2n一1. …(5分) （2)由a.=2m-1可得.6，=2m-D2n+D=2×(2n与2中）》 …(7分) 所以T=4,+:+…+6.=号×-)+号×（传君》++号×(）=名× 1-2n）=2 …(10分） 2 ®)因为a≥ma所以m<=1十2司 …(12分) a 2n-1 分折可得2昌单拥适减，所以可得€1.。 故实数m的取值范围为（一0∞，1门.…（们5分） 17.解：(1)证明：如图，取A1C1的中点M,连接B,M,EM, 因为点D是BC的中点，且AE=3EC, 所以DEB1M,所以B1,D,E,M四点共面，…(2分) 连接DM,FM,因为点F,M分别为A,B1,A,C的中点，所以FMB,C且FM=2B,C 所以FM∥BD,FM=BD, 故四边形FMDB为平行四边形，所以BFDM,…(3分) 因为DMC平面B,DE,所以BF∥平面B,DE. (4分) (2)以D为坐标原点，分别以DA,DC所在直线为x,y轴，过点D作垂直于平面 ABC的直线为：轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为底面ABC是边长为4的正三角形，点D是BC中，点，所以AD=2√3，又 AA1=43, f4D0.0-,0A230-0,B0,-2.0,B0,=2,43,E,号.0 …(6分） 可得DE=0,-245).D成-（停是d小 设平面B1DE的法向量为n=(x,y,z), n·Di1=-2y+43x=0, 则 -9+2y=0 令之=1，则y=2√5，x=-6,所以n=(-6,25,1),…(8分) 分析可得平面B,BD的一个法向量为DA=(2√3,0,0) …(9分) 设平面B,DE与平面BB,D夹角为0，则cOs0= n·DA -123 6 DA 7×235 6 所以平面B,DE与平面BB,D夹角的余弦值为 …(10分) (3)分析可得A1=(23,0,4V3),C(0,2,0),F(W3,-1,43). 设点P(xy2),A1户=A1C,0≤A≤1， 巴金手 则(x-25,y,2-45)=入(-2√3,2，-43)，计算可得P(23(1-入)，2λ，43(1-λ)，…(12分) FP=(W3-23x,2x+1,-431)取AB的中点G,则G(W3,-1,0), 分析可得平面A1B1BA的一个法向量为C心=(W5,一3,0)，…(13分) 1Fp.CG113-6x-6x-33 根据题意可得P11G64以-8+4X25 4 号AC4 18n解：（们）由题意得，b=1,……(们分) 因为e=C=3 a=2a2=b2+c2,所以a=2, …(3分) 故精圆C的标准方程为+y=1. …(4分） (2)当直线1的斜率不存在时，直线：x=2,易得x=2与椭圆C相切：…(5分) 当直线L的斜率存在时，设直线l:y一2=k(x一2)， y-2=k(x-2), 联立 程+w=1. 可得(1十4k2)x2+16k(1-k)x+16(1一k)2-4=0,…(6分) 由△=0可得，162k2(1-k)2-4(1+4k2)[16(1一k)2-4]=0, 即42+1-4(k-1)2=0,解得k=3 ……………………(9分） 此时直线1的方程为3x一8y十10=0. 综上所述，直线1的方程为x=2或3x一8y十10=0.…(10分) (3)设切点分别为A,B, 当直线PA斜率不存在或为0时，易得P(士2，士1)，…(11分) 当直线PA斜率存在且不为0时，此时x。≠士2，yo≠士1， 设直线PA方程为y一y。=k(x一x,), 联立+y 可得(1十4k2)x2十8k(y0-kx0)x十4(y0-kx0)2-4=0,…(12分) y-y。=k(x-x。), 由于直线PA与椭圆C相切，所以△=0， 化简得(y。一kx。)2-1一4k2=0, 即(x名-4)k2-2x0yok十y后-1=0，… …(14分) 由于直线PB斜率为一名 所以方程(x8-4)x2-2 Xoyox-十y-1=0的两个根分别为k和-1 所以×)=-1= .................. …(15分) x-4 化简得x+y=5. 此时点P的轨迹方程为x行十y=5(x0≠士2，y0≠士1).…(16分) 综上所述，点P的轨迹方程为x十y=5. …(17分） 19.解：(1)因为f(x)=rsin x,所以f'(x)=sinx十rcos x=cosx(tanx十x),…(1分) 田扫描全能王 冠主化人在用肉指桶A如 因为x∈（一受，），所以cosx>0,tanx十x单调递增， 当x=0时，f0)=0,所以当x<0时f(x)<0,当x>0时，f(x)>0,所以函数fx)在(-乏0)上 单调递减，在0，))上单调递增。…(4分) (2)(i)因为xh(x)=g(x)-f(x)=x2-ax3-xsin x, 所以h(x)=x-ax2-sinx,则h'(x)=1-cosx-2ax, 令m(x)=h'(x),则m'(x)=sinx-2a, 若a≥分当x∈0，x)时，m')0,h'u)单调递减， 所以h'(x)<h'(0)=0,h(x)单调递减，不符合题意；… (6分) 若a≤0，当x∈(0，π)时，m'(x)>0,h'(x)单调递增， 所以h'(x)>h'(0)=0,h(x)单调递增，不符合题意；… (7分) a2则sinx一2a=0在区间(0，)上有两个解，不妨设为x1x2(红 列表如下： 2 (0,x1) X1 (x1x2) X2 (x2,π) m'(x) 0 + 0 h'(x) 极小值 极大值 当0<x<x1时，h'(x)<h'(0)=0,则h'(x)在区间(0，x1)上没有零点. 要使h(x)在区间(0，π)上有且仅有1个极值，点， 则h'(x)在区间(x1,π)上有且仅有一个变号零点， 则需要M≥0，即()=2-2ú≥0，解得a<是 又因为0a<号所以0a<日 当0a≤时，h'r,)>h'(x)>≥0，h'x1)<0, 入 由零点存在定理知，存在唯一零点x。∈(x1,x2),使得h'(x)=0, 当x1<x<x。时，h'(x)<0,h(x)为单调递减 当xo<x<x时，h'(x)>0,h(x)为单调递增， 所以x。为h(x)的极小值，点。 综上所述a的取值范国为0， …(10分） (i)证明：当a=元时，hx)=x一sinx- x2,所以h'(x)=1-cosx 令gc)=h'),则)=mx一是故gu)在区间[受，引上单调适增. 又(-）=-1-是<0g(）=1->0. 根据零点存在定理，存在唯一的x,∈（一2，）使得9）=0. 馨巴金糕