专题03 巧构等腰三角形的基本模型（专项训练）数学人教版五四制八年级上册

专题03 巧构等腰三角形的基本模型 目录 A题型建模・专项突破 题型一、等腰三角形中过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 1 题型二、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 8 题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 12 题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 18 B综合攻坚・能力跃升 题型一、等腰三角形中过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形. 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DE//BC. 结论：△ADE是等腰三角形. 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DE//AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 1.如图，是的角平分线，，交于点． (1)求证：是等腰三角形． (2)当时，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【知识点】角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定及性质，角平分线定义，熟练掌握等腰三角形的判定及性质是解题的关键． （1）由角平分线得．再根据平行线的性质得，进而．即可证明结论成立； （2）由等边对等角及平行线的性质得，，从而．由（）得，，从而． 【详解】（1）证明：证明：∵是的角平分线， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 由（）得， ∴， ∴． 2．综合与探究 如图，在中，，为延长线上的一动点，且，交于点． (1)如图1，求证：是等腰三角形． (2)如图2，当为的中点时，与有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)，理由见解析． 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的性质以及垂线的定义．解题的关键是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性质． （1）通过已知条件证明和相等就能证明是等腰三角形； （2）由，F是的中点可得，再根据勾股定理求出，过A点作，再通过证明三角形全等得出． 【详解】（1）证明：， ． ， ，， ． 又， ， ， 是等腰三角形； （2）解：，理由如下： 过点作于点， 由（1）得， ∵， ． ，， ． 又为的中点， ． 在和中， ， ， ． 3．【问题初探】 （1）数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在中，，点F是上一点，点E是延长线上的一点，连接，交于点D，若，求证：． ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段上截取，使，连接，利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作交的延长线于点M，利用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； 【类比分析】 （2）李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了新的问题，请你解答， 如图4，在中，点E在线段上，D是的中点，连接，，与相交于点N，若，求证：； 【学以致用】 （3）如图5，在中，，，平分，点E在线段的延长线上运动，过点E作，交于点N，交于点D，且，请直接写出线段，和之间的数量关系． 【答案】（1）①选择小乐同学的做法：证明见解析；②选择小亮同学的做法：证明见解析；（2）证明见解析；（3） 【知识点】全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定、根据平行线判定与性质证明、含30度角的直角三角形 【分析】（1）①证明，得出，，证明，得出，证明，得出，即可证明结论； ②证明，得出，根据等腰三角形的判定证明，即可证明结论； （2）延长，取，连接，证明，得出，，根据等腰三角形判定得出，即可证明结论； （3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，根据直角三角形性质得出，根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）延长，取，连接，如图所示： ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）延长，使，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 题型二、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。 （简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。    图1 图2 图3 条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON. 结论：△OPQ是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是 ∠ ABC的角平分线，DE ∥ BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 1.已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】两直线平行内错角相等、根据等角对等边证明边相等 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义等． （1）首先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，可得，据此即可证得； （2）同理（1）可得，根据的周长，求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ， 平分， ， ， ， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ， 平分， ， ， ， ∵，， ∴的周长为： ． 2.如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．    (1)求的度数； (2)求证：是等腰三角形； (3)若，求的长（用含m，n的式子表示）． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）根据和平分，可以求出和，然后利用三角形外角即可求解； （2）根据条件证明，再根据等角对等边即可证明； （3）根据题意和（1）（2）问的结论证明，，是等腰三角形即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）证明：由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∴； 3.（1）如图1，中，，，的平分线交于O点，过O点作交，于点E，F．图中有 个等腰三角形．猜想：与，之间有怎样的关系，并说明理由； （2）如图2，若，其他条件不变，图中有 个等腰三角形；与，间的关系是 ； （3）如图3，，若的角平分线与外角的角平分线交于点O，过点O作交于E，交于F．图中有 个等腰三角形．与，间的数量关系是 ． 【答案】（1）2， ，理由见解析．（2）5，（3）2， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、等腰三角形的性质和判定 【分析】（1）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质得到角相等，再进行等量代换得到，，再利用等角对等边，得到，，即可解题． （2）本题考查平行线性质、角平分线性质、等腰三角形的性质和判定，根据角平分线性质和平行线性质，再进行等量代换得到、、、，再利用等角对等边，得到对应线段相等，即可解题． （3）本题解法与（1）类似． 【详解】（1）解： ，理由如下： ，的平分线交于O点， ，，     ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2． （2）解：，即为等腰三角形， ， ，的平分线交于O点， ， ，即为等腰三角形， ， ，，， ，，，即为等腰三角形， ，， 和为等腰三角形， ． 综上所述，共有5个等腰三角形， 故答案为：5，． （3）解：的角平分线与外角的角平分线交于点O， ，， ， ，， ，， ，， 和为等腰三角形，即图中有2个等腰三角形． ． 故答案为：2，． 题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型解析：如图， 中,AD平分 由“ASA”易得 从而得 即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. 1.如图，在中，的平分线交于D，过C作交于II，交于N． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形内角和定理的应用、全等三角形综合问题、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查了三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识点． （1）由平分交于，可得；由交于可得；两者结合由三角形内角和定理可得，即可得，从而得到是等腰三角形； （2）连接，先证，得到，，从而可得，由此即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵在和中， ， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）证明：， 理由如下：如图：连接， ∵和中： ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵中，， ∴， ∴， ∴． 2.如图1：在中，平分，且， (1)若，求的长； (2)如图2，若交于，交于，且为等腰三角形，求的长． 【答案】(1)10 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质． （1）延长交于点．证明，由即可得出结论； （2）根据题意得到，由为等腰直角三角形，证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，延长交于点． 平分， ， ， 又， ， ，即， 在中， ， ， ； （2）解：如图，（对顶角）， ， ， 又为等腰直角三角形， ，， 在与中， ， ， ，即． 3.利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①平分．点A 为 上一点，过点A作,  垂足为C，延 长交于点B，可证得，则，． 【问题提出】 （1）如图②，在中，平分，于点E，若，， 通过上述构造全等的办法，求∠的度数； 【问题探究】 （2）如图③，在中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系； 【问题解决】 （3）如图④是一块肥沃的土地，其中边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形土地 进行水稻试验，他进行了如下操作： ①作的平分线； ②再过点A作交于点D． 已知 米，米，面积为平方米，求划出的的面积． 【答案】（）；（），理由见解析；（） 【知识点】三角形的外角的定义及性质、角平分线的有关计算、等边对等角、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS） 【分析】（）延长交于点，由已知可知，再由等腰三角形的在得 ，然后由三角形的外角性质即可得出结论； （）延长交于点，证，得，再由已知可知，即可得出结论； （）延长交于， 由已知可知，，则再由三角形面积关系得，即可得出结论． 【详解】（）解：如图， 延长交于点， 由已知可知， ∴， ∵， ∴； （）解：，证明如下： 如图，延长交于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由已知可知，， ∴； （）解：如图，延长交于， 由已知可知，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形． 条件：如图1，若∠ABC=2∠C,作BD平分∠ABC. 结论：△BDC是等腰三角形. 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形. 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 1.如图1，是的角平分线，，试探究线段，，之间的数量关系．小明的解题思路如下： ①如图2，在上取一点，使，连接． ②由，平分，是公共边， 可得（理由：________）， 则，． ③由， 则． 又因为， 所以，则________ 又由，得． ④根据上述的推理可知，，之间的数量关系为________． (1)请你补全小明的解题思路． (2)小明又想尝试其它方法：延长到点，使，连接．请你帮助小明，完成解答过程． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意作辅助线，根据等边对等角得到，根据三角形外角的性质得到，证得，得到，等量代换即可证明． 【详解】（1）解：①如图2，在上取一点，使，连接． ②由，平分，是公共边， 可得（理由：）， 则，． ③由， 则． 又因为， 所以，则 又由，得． ④根据上述的推理可知，，之间的数量关系为； （2）证明：延长到点，使，连接．如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ ∵平分， ∴， ∵是公共边， ∴， ∴． 2.问题背景：在中，，点为线段一动点，当满足某种条件时，探讨在线段、、、四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系． (1)在图1中，当时，则可得，请你给出证明过程． (2)当时，如图2，求证：； (3)当是的角平分线时，判断、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、等腰三角形的性质和判定、全等三角形综合问题 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质得到，证明结论； （2）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，根据三角形的外角的性质，等腰三角形的性质证明； （3）在上截取，连接，证明，仿照（2）的证明方法解答． 【详解】（1）， ， ， ， ， ， ， ； （2）在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ； （3）， 理由如下：在上截取，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 3．已知在中，满足．      (1)【问题解决】如图1，当，为的角平分线时，在上取一点E，使得，连接，请直接写出之间的数量关系_________； (2)【问题拓展】如图2，当，AD为的角平分线时，在上取一点E，使得，连接，（1）中的结论还成立吗?若成立，请你证明；若不成立，请说明理由． (3)【猜想结论】如图3，当为的外角平分线时，在的延长线上取一点E，使得，连接，请直接写出线段的数量关系_________． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3) 【分析】（1） 由 为 的角平分线，得到 ，通过 ≌，得到 ，，由于 ， 得到 ，，根据等腰三角形的性质得到 ，于是得到结论； （2）由 为 的角平分线时，得到 ，通过 ≌得到 ，由已知得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，即可得解； （3）由 为 的 角平分线时，得到 ，通过≌得到 ，，由已知得到 ，根据等腰三角形的性质得到 ，即可得解． 【详解】（1）解： ∵ 为 的角平分线 在和中 ≌， （2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下： ∵是的角平分线， ∴ 在和中 ∴≌ ∴，， 又∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即： （3）解： 证明： ∵ 平分 ∴ 在 与 中 ∴≌ 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 1．已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 过点作于点，利用平行线的性质得出，进而利用得出，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可． 【详解】证明：过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 2．常见的“角平分线+平行线→等腰三角形”模型有以下两种： (1)如图①，平分，，则； (2)如图②，，平分，则是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等角对等边． （1）由角平分线的定义求得，由平行线的性质求得，推出 ，再根据等角对等边即可证明； （2）由平行线的性质求得，，再由角平分线的定义求得，推出，即可证明是等腰三角形． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 3．如图，已知，平分，交于点E． (1)求证：是等腰三角形； (2)若于点D，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟记“两直线平行，内错角相等”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键． （1）由角平分线的定义得到，由可得，根据等量代换可得； （2）由垂直的定义得出，可得，由平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 4．（1）学完等腰三角形“三线合一”的性质，小明逆向思考提出了一个问题： 如图1，在中，是边上的一点，平分，且，求证：． （2）如图2，在中，平分，，，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质； （1）证明，即可得到； （2）延长与交于点，由（1）可知：，得到，，，再由得到，得到，最后根据即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ， ； （2）证明：延长与交于点，     由（1）可知：， ，，， ， ， 是的一个外角， ， ， ， ， ． 5．问题初探：（1）如图1，在等腰直角中，，，将沿着折叠得到，的对应边落在上，点的对应点为，折痕交于点．求证：； 方法迁移：（2）如图2，是的角平分线，．求证：； 问题拓展：（3）如图3，在中，，是的外角的平分线，交的延长线于点．请你直接写出线段，，之间的数量关系． 【答案】 （1）证明过程见解析； （2）证明过程见解析； （3）线段，，之间的数量关系为． 【分析】（1）由折叠的性质可证三角形全等，可得对应边相等，对应角相等，结合已知，可得等腰直角三角形，等量代换，即可证得结论； （2）在上截取，综合全等三角形的判定和性质，可得，结合已知和三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可证得结论； （3）在射线上截取，结合角平分线，可证三角形全等，对应边相等，对应角相等，由已知结合三角形外角的性质，可得等腰三角形，等量代换，即可得出线段，，之间的数量关系． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质可得，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （2）证明：如图，在上截取， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． （3）解：， 证明：如图，在射线截取，连接， ∵是的外角的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：线段，，之间的数量关系为． 【点睛】本题考查折叠的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线． 6．【基础探究】（ 1）如图1，平分，，是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形． 【经验应用】（ 2）如图2，，平分，平分，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由． 【拓展提升】（ 3）如图3，在四边形中，，为的中点，且平分，请直接写出线段、和之间的数量关系． 【答案】（1）是，理由见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，以及全等三角形的判定与性质，掌握等腰三角形的判定，平行线的性质是解题的关键． （1）由角平分线可得，由平行线的性质得，，从而，进而可证是等腰三角形； （2）同理（1）分别证明和，从而可证； （3）延长、交于点F．先根据等角对等边证明，再根据证明得，进而可证． 【详解】解：（1）是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2），理由： 如图， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3），理由： 如图，延长、交于点F． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 7．综合与实践 问题提出： 如图1，在中，平分，交于点D，且，可以探究，，之间存在怎样的数量关系． 方法运用 （1）我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题．如图2，在上取一点E，使，连接．请你根据给出的辅助线判断，，之间的数量关系并写出解题过程； （2）以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段构造全等三角形来解题．如图3，延长线段到E，使得________，连接________．请补全空格，并在图3中画出辅助线． 延伸探究 （3）小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题．如图4，在四边形中，，，E，F分别是、上的点，且，判断线段，，有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】（1），过程见解析 （2），，图见解析 （3），理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，角平分线，等角对等边，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，得出，从而证得，所以，即可得出结论； （2）根据语言描述作出图形即可； （3）延长至M，使，连接，先证明 继而证明，可推导出，，则有，即可解答． 【详解】（1） 证明：如图2， 平分， ， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， ． （2）， 辅助线如图3 （3） 证明：如图4中，延长至M，使，连接， ，， ， 在与中， ， ，， ， ， ， 即， 在与中， ， ， ， ， ． 8．阅读下面材料并完成相应学习任务：利用轴对称研究边与角之间的数量关系． 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 如图1，在中，如果，那么我们可以将折叠，使边落在上，点C落在上的D点，折痕交于点E，则． （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和） ．． 这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，大边所对的角较大，小边所对的角较小． 类似地，应用这种方法还可以说明，在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的边较大，小角所对的边较小． 如图2，在中，如果，那么可以将沿折叠，使点B与点C重合，则，（依据1）． 在中，（依据2），，即． 归纳总结：从上面的过程可以看出，我们可以利用轴对称的性质来研究边与角之间的数量关系． 任务一：上述材料中依据1，依据2分别指什么？ 依据1：_________；依据2：_________； 任务二： 如图3，在中，若， （1）请直接写出，，之间的等量关系_________； （2）如图4，中，于点D，．求证：． 【答案】依据1：等角对等边；依据2：三角形中两边之和大于第三边； （1）；（2）见解析 【分析】本题考查了折叠的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角知识，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键． 任务一：依据1根据等角对等边解答即可；依据2根据三角形三条边的关系解答即可； 任务二：（1）利用翻折的性质得到，，，利用三角形外角的性质和等腰三角形的判定证明，进而可得出结论； （2）在上截取，证明，推出，，利用三角形外角的性质和等腰三角形的判定证明，进而可得出结论． 【详解】任务一： 依据1：等角对等边； 依据2：三角形中两边之和大于第三边； 任务二： （1）按照图3的操作可得，，，， 又，， ， ， ， 即； （2）如图5，在上截取， ， ， 又， ，， 又，， ， ， ， 即． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03巧构等腰三角形的基本模型 月录 A题型建模·专项突破 题型一、等腰三角形中过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形… 题型二、利用平行线+角平分线构造等腰三角形… .8 题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 12 题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形… ..18 B综合攻坚·能力跃升 A 题型建模·专项突破 题型一、等腰三角形中过腰或底作平行线构造等腰（边）三角形 模型分析：在等腰三角形内部或外部作任意一边的平行线均可构造出新的等腰三角形， 色 图①.（作腰的平行线）图②.（作底的平行线） 条件：如图1，若AC=BC,过点D作D作DEBC.结论：△ADE是等腰三角形 条件：如图2，若AC=BC,过点D作D作DEAB.结论：△CDE是等腰三角形 1.如图，BD是ABC的角平分线，DE∥BC,交AB于点E, B E (1)求证：△DEB是等腰三角形. (2)当AB=AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由. 2.综合与探究 如图，在ABC中，AB=AC,D为CA延长线上的一动点，且DE⊥BC,交AB于点F. 1/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B E 图1 图2 (1)如图1，求证：△ADF是等腰三角形， (2)如图2，当F为AB的中点时，DF与EF有怎样的数量关系？请写出结论，并说明理由. 3.【问题初探】 (1)数学课上，李老师出示了这样一个问题：如图1，在ABC中，AB=AC,点F是AC上一点，点E 是AB延长线上的一点，连接EF,交BC于点D,若ED=DF,求证：BE=CF, B D B 图1 ①如图2，小乐同学从中点的角度，给出了如下解题思路：在线段DC上截取DM,使DM=BD,连接 FM,利用两个三角形全等和已知条件，得出结论； B D M 图2 ②如图3，小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路：过点E作EM∥AC交CB的延长线于点M,利 用两个三角形全等和已知条件，得出了结论； 请你选择一位同学的解题思路，写出证明过程； B D E 图3 【类比分析】 2/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)李老师发现两位同学的做法非常巧妙，为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法，李老师提出了 新的问题，请你解答， 如图4，在ABC中，点E在线段AB上，D是BC的中点，连接CE,AD,CE与AD相交于点N,若 ∠EAD+∠ANC=180°，求证：AB=CN; N B D 图4 【学以致用】 (3)如图5，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AF平分∠BAC,点E在线段BA的延长线上运动， 过点E作ED//AF,交AC于点N,交BC于点D,且BD=CD,请直接写出线段AE,CN和BC之间的数 量关系 D 图5 题型二、利用平行线+角平分线构造等腰三角形 模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题.平行线、角平分线 及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。 平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。 0 图1 图2 图3 条件：如图1，OO平分∠MON,过OO的一点P作PQ/ON结论：△OP2是等腰三角形。 条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE‖BC。结论：△BDE是等腰三角形。 条件：如图3，在△ABC中，BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,过点O作BC的平行线与AB,AC分别相 交于点M,N.结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。 1.己知如图ABC中AC=6cm,AB=8cm,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过D作直线平行于BC, 3/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 交AB,AC于E,F. A 0 ⊙ (1)求证：△DFC是等腰三角形； (2)求△AEF的周长 2.如图，在ABC中，AB=AC,LBAC=36°，BD平分∠ABC交AC于点D.过点A作AE∥BC,交BD的 延长线于点E. E D B C (I)求∠ADB的度数； (2)求证：ADE是等腰三角形： (3)若BC=m,CD=n,求BE的长（用含m,n的式子表示） 3.(1)如图1，ABC中，AB≠AC,∠ABC,∠ACB的平分线交于O点，过O点作EF∥BC交AB, AC于点E,F.图中有_个等腰三角形.猜想：EF与BE,CF之间有怎样的关系，并说明理由； (2)如图2，若AB=AC,其他条件不变，图中有_个等腰三角形；EF与BE,CF间的关系是-： (3)如图3，AB≠AC,若∠ABC的角平分线与ABC外角∠ACD的角平分线交于点O,过点O作 OE∥BC交AB于E,交AC于F.图中有_个等腰三角形.EF与BE,CF间的数量关系是- D 图 图2 图3 题型三、巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形 模型解析：如图，△ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥BC由“ASA”易得△ABD兰△ACD,从而得 AB=AC,BD=CD.即一边上的高与这边所对的角平分线重合，易得这个三角形是等腰三角形. 4/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 B D 1.如图，在ABC中，LACB=2LB,LBAC的平分线AD交BC于D,过C作CN⊥AD交AD于II,交AB 于N. B (1)求证：△ANC为等腰三角形； (2)求证：BN=CD 2.如图1：在ABC中，BD平分∠ABC,AD⊥DB,且AB=6,AD=2, B B E 图1 图2 (I)若∠CAD=∠ACB,求BC的长： (2)如图2，若AE⊥BC交BC于E,交BD于F,且△ABE为等腰三角形，求BF的长 3.利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图①OP平分∠MON.点A为OM上一点，过点A作 AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可证得△A0C≌△B0C,则AO=B0,AC=BC. N B A 图1 【问题提出】 (1)如图②，在ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于点E,若∠EAC=63°，∠B=37°，通过上述构 造全等的办法，求∠∠DAE的度数： 5/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B 图2 【问题探究】 (2)如图③，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线 上，试探究BE和CD的数量关系； A F D B 图3 【问题解决】 (3)如图④是一块肥沃的土地ABC，其中AC边与灌渠相邻，李伯伯想在这块地中划出一块直角三角形 土地△ADC进行水稻试验，他进行了如下操作： B 图4 ①作∠ACB的平分线CD; ②再过点A作AD⊥CD交CD于点D. 己知BC=13米，AC=10米，ABC面积为20平方米，求划出的△ACD的面积. 题型四、利用倍角关系构造新等腰三角形 模型分析：当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，一般通过转化倍角寻找等腰三角形. B B 图① 图② 图③ 条件：如图I,若∠ABC-2∠C,作BD平分∠ABC.结论：△BDC是等腰三角形 6/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 条件：如图2，若∠ABC=2∠C,延长CB到D,使BD=BA,连接AD.结论：△ADC是等腰三角形 条件：如图3，若∠B=2∠ACB,以C为角的顶点，CA为角的一边，在三角形外作∠ACD=∠ACB,交BA的 延长线于点D.结论：△DBC是等腰三角形 1.如图1，AD是ABC的角平分线，∠B=2LC,试探究线段AB,BD,AC之间的数量关系.小明的解题 思路如下： B B D 图1 图2 图3 ①如图2，在AC上取一点E,使AE=AB,连接DE· ②由AB=AE,AD平分∠BAE,AD是公共边， 可得△ABD≌△AED(理由：)， 则∠B=∠AED,BD=DE. ③由∠B=2LC, 则∠AED=2LC. 又因为LAED=∠EDC+∠C, 所以∠EDC=∠C,则DE=_ 又由BD=DE,得BD=EC, ④根据上述的推理可知AB,BD,AC之间的数量关系为】 (1)请你补全小明的解题思路 (2)小明又想尝试其它方法：延长AB到点E,使BE=BD,连接DE·请你帮助小明，完成解答过程， 2.问题背景：在ABC中，∠B=2LC,点D为线段BC一动点，当AD满足某种条件时，探讨在线段AB、 BD、CD、AC四条线段中，某两条或某三条线段之间存在的数量关系 ■ D D 图1 图2 D 图3 (1)在图1中，当AB=AD时，则可得AB=CD,请你给出证明过程. (2)当AD1BC时，如图2，求证：AB+BD=DC; 7/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)当AD是∠BAC的角平分线时，判断AB、BD、AC的数量关系，并证明你的结论 3.己知在ABC中，满足∠ACB=2LB. A A E A E E B D B 0 图1 图2 图3 (I)【问题解决】如图1，当∠C=90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上取一点E,使得AE=AC,连 接DE,请直接写出AB,AC,CD之间的数量关系 (2)【问题拓展】如图2，当LC≠90°，AD为∠BAC的角平分线时，在AB上取一点E,使得AE=AC,连 接DE,(1)中的结论还成立吗？若成立，请你证明；若不成立，请说明理由. (3)【猜想结论】如图3，当AD为∠BAC的外角平分线时，在BA的延长线上取一点E,使得AE=AC,连 接DE,请直接写出线段AB,AC,CD的数量关系 B 综合攻坚·能力跃升 1.已知如图，点D在AB上，点E在AC的延长线上，且BD=CE,FD=FE,求证：△ABC是等腰三角形. E 2.常见的“角平分线+平行线一等腰三角形”模型有以下两种： 图① 图② (I)如图①，BC平分∠ABD,AC∥BD,则AB=AC; 8/11 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)如图②，AE∥BC,AE平分∠DAC,则ABC是等腰三角形. 3.如图，已知AB∥CD,BC平分∠ABD,交AD于点E. (I)求证：△BCD是等腰三角形： (2)若AD⊥BD于点D,∠CDA=28°，求∠3的度数. 4.(1)学完等腰三角形“三线合一”的性质，小明逆向思考提出了一个问题： D D B 图1 图2 如图1，在ABC中，D是边BC上的一点，AD平分∠BAC,且AD⊥BC,求证：AB=AC· (2)如图2，在ABC中，AD平分∠BAC,AD⊥CD,∠ACD=2LB,求证：AB=AC+2CD. 5.问题初探：(1)如图1，在等腰直角△ABC中，∠B=90°，AB=BC,将△ABD沿着AD折叠得到△AED ,AB的对应边AE落在AC上，点B的对应点为E,折痕AD交BC于点D,求证：AC=AB+BD; 方法迁移：(2)如图2，AD是△ABC的角平分线，∠C=2∠B.求证：AB=AC+DC; 问题拓展：(3)如图3，在△ABC中，∠ABC=2∠C,AD是△ABC的外角的平分线，交CB的延长线于点D. 请你直接写出线段AC,AB,BD之间的数量关系. A D 图1 图2 图3 6.【基础探究】(1)如图1，AD平分∠EAC,AD∥BC,ABC是等腰三角形吗？为什么？ 【形成经验】当角平分线遇上平行线时一般会产生等腰三角形 【经验应用】(2)如图2，AD∥BC,AD平分∠EAC,CD平分∠ACF,试探究线段AB与线段AD的数 量关系，并说明理由 【拓展提升】(3)如图3，在四边形ABCD中，AD∥BC,E为CD的中点，且AE平分∠BAD,请直接 9/11 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 写出线段AD、BC和AB之间的数量关系。 E 图1 图2 图3 7.综合与实践 问题提出： 如图1，在ABC中，AD平分∠BAC,交BC于点D,且LACB=2LB,可以探究AB,CD,AC之间存 在怎样的数量关系。 E D B D B 图1 图2 图3 图4 方法运用 (1)我们可以通过作辅助线，构造全等三角形来解题.如图2，在AB上取一点E,使AE=AC,，连接DE 请你根据给出的辅助线判断AB,CD,AC之间的数量关系并写出解题过程： (2)以上方法叫做“截长法”：我们还可以采用“补短法”，即通过延长线段AC构造全等三角形来解题.如 图3，延长线段AC到E,使得AE=，连接 ·请补全空格，并在图3中画出辅助线： 延伸探究 (3)小明发现“截长法”或“补短法”还可以帮助我们解决其他多边形中的问题.如图4，在四边形ABCD中， AB=AD,∠B+LADF=I80,E,F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=∠B4D,判断线段BE,EF, FD有怎样的数量关系，并说明理由 8.阅读下面材料并完成相应学习任务：利用轴对称研究边与角之间的数量关系. 学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等.那么， 不相等的边（或角）所对的角（或边）之间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？ 如图1，在ABC中，如果AB>AC,那么我们可以将ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上 的D点，折痕交BC于点E,则LC=∠ADE. :∠ADE=∠B+∠DEB(三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和) ∠ADE>LB.LC>∠B. 10/11