第二十章 轴对称（复习讲义）数学人教版五四制八年级上册

第二十章 轴对称（复习讲义） 01 思维导图 02 知识速记 一、轴对称 1.轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 二、作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 三、等腰三角形 1.等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 3.直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 03 题型归纳 题型一　轴对称图形的识别 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24八年级上·天津·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）下列图片是几所名牌大学的校徽，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）下列图形中不是轴对称图形的是（    ） A．   B． C．  D．   题型二　根据成轴对称图形的特征进行判断 例题：（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 巩固训练 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和关于直线l对称，点P为直线l上一点，则下列说法中错误的是（ ）    A． B．l垂直平分 C． D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（，P，不共线），下列结论中不正确的是（   ） A． B．垂直平分线段 C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上 3．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 题型三　根据成轴对称图形的特征进行求解 例题：如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)线段与的关系是什么？ (2)求的度数； (3)求的周长 2．（23-24八年级上·新疆昌吉·期末）已知点在内．如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、，． (1)若，求的度数 (2)如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数． 3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 题型四　利用线段的垂直平分线性质求解 例题：（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接． (1)若，的周长为，求的长． (2)若，，求的度数． 巩固训练 1．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，连接．    (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 题型五　线段的垂直平分线的判定 例题：如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F (1)求证∶ (2)若，求证：点P在的垂直平分线上． 巩固训练 1．如图，为平分线上一点，于，于．    (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 2．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积是4，则 ． 题型六　利用等腰三角形的定义求解 例题：（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它的顶角是 ． 巩固训练 1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 2．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）在中，． (1)求长度的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 题型七　根据等腰三角形中三线合一求解 例题：如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知，点M，N在边上，．若，则的长为 ． 3．（23-24八年级上·四川泸州·开学考试）如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为 ． 题型八　含30°角的直角三角形 例题：（23-24八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，点D在线段上，且，，，则的长度为 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·青海西宁·开学考试）如图，在中，垂直平分，分别交于点，平分，则的长为 ． 2．（23-24九年级下·青海西宁·开学考试）如图，平分，，，于点，，则 ． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，点P是上一点，点Q与点P关于对称，于点M，若，则的长为 ． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，等边三角形中，D、E分别为边上的两动点，与交于点F，于点G，若，则 ． 题型九　等腰三角形的性质与判定 例题：如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E． (1)求证：BD＝BC； (2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 巩固训练 1．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE． (1)求证：AC＝CD； (2)若AC＝AE，求∠ACB的度数． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 3．（23-24七年级下·山东东营·开学考试）如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)当时，求的度数． 4．如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E． (1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °； (2)当∠BAD＝____°时，△ABD ≌△DCE？请说明理由； (3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由． 题型十　等边三角形的性质与判定 例题：如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，． (1)求证； (2)连接，若，，求的长． 巩固训练 1．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 3．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，且． (1)证明：是等边三角形； (2)请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，点在边上，，点在延长线上，连结，点在上，交于点，，． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)当，时，求的长． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十章 轴对称（复习讲义） 01 思维导图 02 知识速记 一、轴对称 1.轴对称图形和轴对称　　 （1）轴对称图形 　如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. （2）轴对称 定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.成轴对称的两个图形的性质： ①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形； ②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上. （3）轴对称图形与轴对称的区别和联系 区别: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形． 2.线段的垂直平分线 线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 二、作轴对称图形 （1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形； （2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形. 三、等腰三角形 1.等腰三角形 （1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质 ①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”； ②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 2.等边三角形 （1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定： ①三条边都相等的三角形是等边三角形； ②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 3.直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半. 03 题型归纳 题型一　轴对称图形的识别 例题：（23-24七年级下·山西临汾·期末）全民阅读有助于提升一个国家、一个民族的精神力量，图书馆是开展全民阅读的重要场所．以下是四个省市的图书馆标志，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查轴对称图形识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A，文字上方的图案不是轴对称图形，不合题意； B，文字上方的图案不是轴对称图形，不合题意； C，文字上方的图案是轴对称图形，符合题意； D，文字上方的图案不是轴对称图形，不合题意； 故选C． 巩固训练 1．（23-24八年级上·天津·期末）下列图形中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】此题考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C 2．（23-24八年级下·辽宁鞍山·开学考试）下列图片是几所名牌大学的校徽，其中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题考查了轴对称图形的知识，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； B、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； C、沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故符合题意； D、沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意； 故选：C． 3．（22-23九年级下·四川内江·阶段练习）下列图形中不是轴对称图形的是（    ） A．   B． C．  D．   【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别 【分析】本题主要考查轴对称图形，掌握轴对称图形的概念是解题的关键．根据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是这个轴对称图形的对称轴，据此即可解答． 【详解】解：A．是轴对称图形，不符合题意； B．是轴对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不符合题意； 故选：C 题型二　根据成轴对称图形的特征进行判断 例题：（23-24八年级上·四川南充·期末）如图，与关于直线l对称，连接，，，其中分别交，于点D，，下列结论：①；②；③直线l垂直平分；④直线与的交点不一定在直线l上．其中正确的是（ ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键． 根据轴对称的性质对各结论进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ∴，故①正确， 和关于直线对称，点D与点关于直线对称的对称点， ∴，故②正确； 和关于直线对称， 线段、、被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， ∴正确的有①②③， 故选：A． 巩固训练 1．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，和关于直线l对称，点P为直线l上一点，则下列说法中错误的是（ ）    A． B．l垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称的性质．熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 根据轴对称的性质对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由轴对称的性质可知，，l垂直平分，，， ∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求； 故选：D． 2．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，与关于直线对称，P为上任一点（，P，不共线），下列结论中不正确的是（   ） A． B．垂直平分线段 C．与面积相等 D．直线，的交点不一定在直线上 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，掌握轴对称的性质：轴对称图形的对应角相等，对应边相等，轴对称的三角形全等由此面积相等是解题的关键． 【详解】解：与关于直线对称，为上任意一点， 垂直平分， ∴，与面积相等，故A，B，C选项不符合题意； 直线，关于直线对称，因此交点一定在上，故D选项符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级下·山西晋中·期末）如图是一款运输机的平面示意图，它是一个轴对称图形，直线是其对称轴．下列结论不正确的是（    ） A． B． C．平分 D．垂直平分 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握轴对称的性质：①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或对应线段的延长线相交，那么交点在对称轴上．据此分析即可． 【详解】解：如图是一个轴对称图形，直线是其对称轴， A． ∵与是一组对应边， ∴，故此选项不符合题意； B．∵与是一组对应角， ∴，故此选项不符合题意； C．∵与是一组对应角， ∴平分，故此选项不符合题意； D．∵直线是对称轴， ∴垂直平分，故此选项符合题意． 故选：D． 题型三　根据成轴对称图形的特征进行求解 例题：如图，和关于直线对称，与的交点在直线上． (1)图中点的对应点是点 ，的对应角是 ； (2)若，，则的长为 ； (3)若，，求的度数． 【答案】(1)E， (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了轴对称，成轴对称的两个图形的全等性： （1）观察图形可直接得出答案； （2）根据成轴对称的两个图形的全等性可得，根据全等三角形对应边相等即可求解； （3）根据，，推出，根据对称性得到，推出． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴图中点C的对应点是点E，的对应角是； 故答案为：E，． （2）解：∵和关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：3． （3）解：∵，， ∴， 根据对称性知，， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东东营·期末）如图，与关于直线对称，其中，，，． (1)线段与的关系是什么？ (2)求的度数； (3)求的周长 【答案】(1)垂直平分 (2) (3) 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，掌握关于某条直线对称的两个图形全等是解题的关键． （1）利用关于某条直线对称的两个图形的对称点的连线被对称轴垂直平分，得出答案即可； （2）利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到对应角相等，得出答案即可； （3）利用关于某条直线对称的三角形全等，对应边相等，计算的周长即可． 【详解】（1）解：∵与关于直线对称， ∴垂直平分； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴； （3）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 2．（23-24八年级上·新疆昌吉·期末）已知点在内．如图1，点关于射线的对称点是，点关于射线的对称点是，连接、，． (1)若，求的度数 (2)如图2，若，当的周长最小值为6时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了轴对称的性质： （1）利用轴对称的性质得，，进而可求解； （2）作点关于对称点，作点关于对称点，连接，，，，根据轴对称的性质得，，，，，，则的周长为，当共线时，的周长有最小值，进而可得，进而可得，进而可求解； 熟练掌握轴对称的性质及准确找到的周长的最小值时的位置是解题的关键． 【详解】（1）解：点关于射线的对称点是， ， 点关于射线的对称点是， ， ， ． （2）作点关于对称点，作点关于对称点，连接，，，，如图： 根据轴对称的性质得：，，，，，， 的周长为， 当共线时，的周长有最小值， ，的周长最小值为6， ， 为等边三角形， ， ． 3．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析 (2)的最小值为5． 【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系； （2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值． 【详解】（1）解：①是等边三角形， ∵点P关于对称的点为G， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ②， 当时，， ∴G、O、H在同一直线上，． ∵， ∴； （2）解：过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，    ∴ 最小值为． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵点Q与关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为5． 【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键． 题型四　利用线段的垂直平分线性质求解 例题：（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，边的垂直平分线交边于点，连接． (1)若，的周长为，求的长． (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查垂直平分线和三角形内角和等知识点． （1）根据垂直平分线的性质，则，，再根据的周长为，则，即可； （2）根据题意，对顶角相等，则，根据垂直平分线的性质，则，根据三角形的内角和，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，即可． 【详解】（1）解：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 巩固训练 1．（23-24八年级下·重庆·开学考试）如图，中，的角平分线与的中垂线交于点，过点分别作所在直线的垂线，垂足分别为，若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】角平分线性质定理及证明、全等的性质和HL综合（HL）、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．根据题意，连接，由垂直平分得到平分，，则，即可证明，则，即可得到的长． ，通过等边代换计算即可． 【详解】连接，如图： ∵垂直平分， ∴ 又∵平分，， ∴， ∴， ∴， ， 故答案为： 2．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，垂直平分，交于点，交于点，，垂足为，且，连接． (1)求证：； (2)若的周长为，，则的长为多少？ 【答案】(1)见解析； (2)． 【知识点】线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． （1）根据线段垂直平分线的性质得到，，等量代换证明结论； （2）根据三角形的周长公式得到，根据，计算，得到答案． 【详解】（1）证明：垂直平分， ， ，， ， ； （2）解：的周长为， ， ， ， ，， ， ． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，中，的垂直平分线分别交于点的垂直平分线分别交于点，连接．    (1)若的周长为，求线段的长； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形内角和定理的应用、线段垂直平分线的性质 【分析】本题主要考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理的运用，图形结合分析，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质可得，再根据的周长为，即可求解； （2）根据三角形内角和定理可得，由（1）可得，再根据即可求解． 【详解】（1）解：∵垂直平分垂直平分， ∴， ∵的周长为， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型五　线段的垂直平分线的判定 例题：如图，已知，点P为的平分线上一点，，，垂足分别为E、F (1)求证∶ (2)若，求证：点P在的垂直平分线上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）连接、，通过证明，得到，即可求证． 【详解】（1）证明：∵点P为的平分线上一点 ∴ ∵， ∴ 在和中 ∴ ∴ （2）证明：连接、，如下图： 由（1）可得： 又∵， ∴ ∴ ∴点P在的垂直平分线上 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法与性质． 巩固训练 1．如图，为平分线上一点，于，于．    (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质得到，进而利用证明，即可证明； （2）根据，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵为平分线上一点，，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， ∴垂直平分． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的性质与判定等等，灵活运用所学知识是解题的关键． 2．如图，是的角平分线，分别是和的高． (1)求证：垂直平分； (2)若的面积是4，则 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由角平分线的性质得，再由，得，从而证明结论； （2）根据三角形的面积公式，代入计算即可． 【详解】（1）∵是的角平分线，分别是和的高， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定等知识，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 题型六　利用等腰三角形的定义求解 例题：（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它的顶角是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 分两种情况讨论：①当角为顶角；②当为底角，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当角为顶角时，顶角度数为； ②当为底角时，顶角：， 故答案为：或． 巩固训练 1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 2．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】 32 13或14 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，解答出即可． （2）根据等腰三角形的性质，分为当腰长为时，腰长为时，解答出即可． 【详解】解：（1）由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，三角形三边长为，不能构成三角形； 当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，能构成三角形，周长． 故答案为：32． （2）∵三角形是等腰三角形，两条边长分别为和， ∴三角形三边可以是、或、， ∴三角形的周长为或， 故答案为：13或14． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：如图， ∵，平分， ∴， ①当E在时，， ∵， ∴， ； ②当E在点时，， 则 ； ③当E在时，， 则 ； 故答案为：或或． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）在中，． (1)求长度的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 【答案】(1) (2)的周长为16，是等腰三角形 【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类： （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据（1）中的范围，结合的周长为偶数，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中， ∴， ∴； （2）∵的周长为偶数，为奇数， ∴的长为奇数， ∵， ∴， ∴的周长为，是等腰三角形． 题型七　根据等腰三角形中三线合一求解 例题：如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】 如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点A作于点E，可证，即可求出的度数． 【详解】 解：如图，过点A作于点E， ∵AB=AC， ∴E是BC的中点，且AE平分． ∵， ∴BD=BE． 在和中， ， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是解题的关键． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三线合一的性质，以及三角形内角和问题，由等腰三角形的性质和三角形三角和定理分别求出，，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知，点M，N在边上，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形． 首先过点P作于点D，利用直角三角形中所对边等于斜边的一半得出的长，再利用等腰三角形的性质求出的长． 【详解】如图，过点P作于点D， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·四川泸州·开学考试）如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过点作于，先根据含的直角三角形的性质求出，再根据等腰三角形的三线合一性质求出，即可得出．本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于；如图所示： 则， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ； 故答案为：3． 题型八　含30°角的直角三角形 例题：（23-24八年级下·辽宁盘锦·开学考试）如图，在中，，点D在线段上，且，，，则的长度为 ． 【答案】9 【知识点】根据等角对等边求边长、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，根据三角形外角的性质可得，从而得到，再求出，然后根据直角三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 巩固训练 1．（23-24八年级下·青海西宁·开学考试）如图，在中，垂直平分，分别交于点，平分，则的长为 ． 【答案】6 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理、等边对等角 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，含的直角三角形的性质，先线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，利用角平分线的定义得出，利用三角形内角和定理求出，利用角平分线的性质得出，利用含的直角三角形的性质求出，进而即可求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴， 故答案为：6． 2．（23-24九年级下·青海西宁·开学考试）如图，平分，，，于点，，则 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查角平分线的性质及含的直角三角形的性质，能够熟练运用性质是解题关键．过作于，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，由直角三角形中的角所对的直角边等于斜边的一半，可求得，即可求得． 【详解】 解：如图，过作于， ∵，，， ∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，（在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半）， ∴， 故答案是：． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，点P是上一点，点Q与点P关于对称，于点M，若，则的长为 ． 【答案】3 【知识点】含30度角的直角三角形、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称的性质，直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题． 如图，连接．构造特殊直角三角形解决问题即可． 【详解】解：如图，连接． ∵点Q与点P关于对称， ， ， ， ， ， 故答案为：3． 4．（23-24八年级上·浙江杭州·开学考试）如图，等边三角形中，D、E分别为边上的两动点，与交于点F，于点G，若，则 ． 【答案】/0.5 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、三角形的外角的定义及性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，证得是解答的关键．先根据题意推出，可知，因此，所以，即可推出结论． 【详解】解：∵等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 题型九　等腰三角形的性质与判定 例题：如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E． (1)求证：BD＝BC； (2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 【答案】(1)见解析； (2)25° 【解析】 【分析】 （1）由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBE，∠A＝90°，CE⊥BD，则∠BEC＝∠A＝90°，又由已知AD＝BE，根据ASA可证明△ABD≌△ECB，可得结论； （2）由（1）知BD＝BC，根据等边对等角可求得∠BDC的度数，再根据外角的性质求得∠DCE的度数． (1) 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBE， ∵∠A＝90°，CE⊥BD， ∴∠BEC＝∠A＝90°， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（ASA）， ∴BD＝CB； (2) 解：∵BD＝CB， ∴△BCD是等腰三角形， ∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠DBC）＝（180°﹣50°）＝65°， ∵∠BEC＝∠BDC＋∠DCE＝90°， ∴∠DCE＝90°－∠BDC ＝90°﹣65°＝25°． 【点睛】 此题主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，证明△ABD≌△ECB是解题的关键． 巩固训练 1．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE． (1)求证：AC＝CD； (2)若AC＝AE，求∠ACB的度数． 【答案】(1)见解析 (2)∠ACB的度数为22.5° 【解析】 【分析】 （1）利用同角的余角相等得∠ACB＝∠DCE，再根据AAS证明△ABC≌△DEC，即可证明结论； （2）由AC＝CD，知△ACD是等腰直角三角形，得∠CAD＝45°，再根据AC＝AE，得∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，从而得出答案． (1) 证明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝∠DCE， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（AAS）， ∴AC＝CD； (2) 解：由（1）知，AC＝CD， ∵∠ACD＝90°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴∠CAD＝45°， ∵AC＝AE， ∴∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠ACB的度数为22.5°． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明△ABC≌△DEC是解题的关键． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)15° 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的性质，牢记等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得． （2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案． 【详解】（1）证明：为线段的垂直平分线， ． ，点为的中点， 为线段的垂直平分线． ． ． 为等腰三角形． （2）解：，点为的中点， 为的平分线． ． ． ． 为等腰三角形， ． ． 3．（23-24七年级下·山东东营·开学考试）如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边对等角 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键． （1）首先根据条件证明，根据全等三角形的性质可得，进而可得到是等腰三角形； （2）根据，可知，即可得出结论； （3）由（2）知，再根据等腰三角形的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）知， ∵， ∴． 4．如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E． (1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °； (2)当∠BAD＝____°时，△ABD ≌△DCE？请说明理由； (3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)20 (2)15，理由见解析 (3)能，∠BAD＝15°或∠BAD＝30°，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）先利用平角的意义求出∠CDE，再用三角形外角的性质求出∠AED，最后用三角形的内角和定理求出∠DAE； （2）利用三角形内角和定理得出∠BAC＝80°，再由三角形外角的性质及等量代换确定∠AED＝∠DAE＝65°，AD＝DE，结合图形利用全等三角形的判定即可证明； （3）先求出∠BAC＝80°，再分三种情况，利用等腰三角形的性质求出∠DAE，即可得出结论． (1) ∵∠BAD＝20°，∠B＝50°， ∴∠ADC＝70°， ∵∠ADE＝50°， ∴∠EDC＝70°﹣50°＝20°， 故答案为：20； (2) 解：∠BAD＝15°时，△ABD ≌△DCE，理由如下： 在△ABC中，∠B＝∠C＝50°， ∴∠BAC＝80°， ∵∠BAD＝15°， ∴∠DAE＝65°， 又∵∠ADE＝50°， ∴∠AED＝∠DAE＝65°， ∴AD＝DE， 在△ABD中， ∠BAD＋∠ADB＝130°， ∵∠CDE＋∠ADB＝180°－∠ADE＝130°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵∠B＝∠CAD＝DE， ∴△ABD≌△DCE； (3) 能，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形． 理由：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°， ∴∠BAC＝80°， ①当DA＝DE时， ∵∠ADE＝50°， ∴∠CAD＝（180°﹣∠ADE）＝65°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°， ②当EA＝ED时， ∴∠DAC＝∠ADE＝50°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°， ③当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°， ∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，此时，点D与点B重合，不符合题意， 综上所述，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形． 【点睛】 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 题型十　等边三角形的性质与判定 例题：如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，． (1)求证； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）由平行线的性质，结合条件可证明，即可得出； （2）证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案． (1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)解： 由（1）知，， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴． ∴的长为． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质、平行线的性质．掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、含30度角的直角三角形、根据等边对等角证明、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，根据等边三角形的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，是等边三角形，求得，易得，得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：于点，于点， ， 为的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：由（1）知，是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等边三角形；理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定和性质； （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：； （2）利用得出，再运用平角定义得出进而得出因此． （3）由和根据有一个角是的三角形是等边三角形可得是等边三角形． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）， ． ， ． ， 在和中， ， ， ； （3），， 是等边三角形． 3．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，且． (1)证明：是等边三角形； (2)请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与判定，三角形全等的判定及性质． （1）由，得到，从而，，由得到，从而，根据三角形的内角和定理可求得，而可得，得证是等边三角形； （2）在线段上取点，使，由，，得到，从而是等边三角形，得到，通过“”证得，得到，从而． 【详解】（1）∵，， ∴点是的中点， ∴是的重直平分线， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）．理由如下： 在线段上取点，使， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，点在边上，，点在延长线上，连结，点在上，交于点，，． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）先由得，再由得，，进而得，据此可得出结论； （2）连接，设与交于点，先证，再证，进而可得，则，据此可得出结论； （3）在上取一点，是，连接，先证和全等得，，据此可证，，由此可得，则，进而可求出的长． 【详解】（1）证明：如图所示： ， ， ， ，， ， ； （2）证明：连接，设与交于点，如图2所示： 由（1）可知：； 又，， ， ，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 又， ， 在中，，则， 又， 为等边三角形． （3）解：在上取一点，是，连接，如图3所示： 在和中， ， ， ，， ，， ， 由（2）可知：为等边三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$