练习1 根据一元二次方程的解求代数式的值&练习2 与一元二次方程的解有关的新定义阅读题-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版2012）

九年级上册 练习1根据一元二次方程的解求代数式的值 【方法提示】根据一元二次方程的解的定义得到相应代数式的值，再整体代入或变形后代人，从 而求出代数式的值， 1.已知n是方程x2-2x一1=0的一个根，则代数式3+2n一n2的值是 A.2 B.4 C.-2 D.-4 2.已知m为方程x2+3x-2024=0的一个根，则m3十2m-2027m+2024的值为 3.阅读下列材料： 1)关于x的方程x2-3x十1=0(x≠0)，方程两边同时乘2得x一3+是0，即x+上-3， (x+2)-+是+2·x…-2+2+2∴d2+是-(x+2)》-2-3-2=7. (2)a3+b3=(a十b)(a2-ab+b);a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2). 根据以上材料，解答下列问题： 1已知x-4z+1=0(x≠0，则x+-一，2+=一+是 (2)已知2x2-7x+2=0(x≠0)，求x2+的值 (3)已知a是方程x2+z-1=0的-个根，求代数式3a2+4a十a的值 《1 提分练习 练习2与一元二次方程的解有关的新定义阅读题 【方法提示】在正确理解新定义的基础上，根据一元二次方程的相关知识解答， 1.综合与探究：如果关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两个实数根，且其中一个 根比另一个根大1，那么称这样的方程是“邻根方程”，例如：一元二次方程x2十x=0的两个 根分别是x1=0,x2=一1，则方程x2十x=0是“邻根方程”. (1)通过计算判断方程x2十x一6=0是否是“邻根方程”. (2)已知关于x的一元二次方程x2一(m一2)x一2m=0(m是常数)是“邻根方程”，求m的值. (3)若关于x的一元二次方程ax2+bx十2=0(a、b是常数，且a<0)是“邻根方程”，令 t=2一b,求t的最大值 2.阅读下列材料，根据材料回答问题 问题：已知方程x2十x一1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍 解：设所求方程的根为y,则y=2x,所以x=之 把x=代人已知方程，得(3)'+多-1=0. 化简，得y2+2y一4=0，故所求方程为y2+2y一4=0. 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”， 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式） (1)已知方程x2十2x一1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数， 则所求方程为 (2)已知关于x的一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一个一 元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数： 2》参考答 练习1根据一元二次方程的解求代数式的值 1.A解析：：n是方程x2-2x一1=0的一个根，n2-2m 1=0,.n2-2m=1,∴.3+2m-=3-(n2-2n)=3-1=2. 2.0解析：.m是方程x2+3x一2024=0的一个根，∴.m2十 3m-2024=0,.∴.m3+22-2027m+2024=m(2+3m 2024)-m2-3m+2024=m(m2+3m-2024)-(m2+3m 2024)=0. 3.（1)414194解析：x2-4x+1=0,x-4+1=0, x+2=4(+)）=16d+2+是=16，r+2 14,(x+2）-196+是+2=196，d+是=194 (2:2-1x+2=0,x-+是=0，x+=号 2 +是-(z+2)》-2=(3）-2=婴2+是 (+)(x-1+2)=名×(4-)=2 8 .(3)a是 方程x2十x-1=0的一个根，a2十a-1=0,即a2-1=-a, 2+a=l,原式=3(+o)+a+=3+a-是=3+ 1 a2-1=3-1=2. 练习2与一元二次方程的解有关的新定义阅读题 1.(1)x2+x-6=0,.(x+3)(x-2)=0,.x1=-3,x2= 2.,2一（一3）=5≠1，.方程x2十x一6=0不是“邻根方程” (2)整理方程，得(x一m)(x十2)=0，∴.x1=m,x2=一2.，方 程x2-(m一2)x-2=0(m是常数)是“邻根方程”，∴.m= -1或m=一3.(3)解方程ax2十bx十2=0，得x1 -b+F-8a,a=b-F=8a.:关于x的方程a2+ 2a 2a bx+2=0(a,b是常数，a<0)是“邻根方程”，.一b+y=&西十 2a 1=一b=80,√-8a=一4，等号两边同时平方，得 2a b-8a=a2,∴.b=a2+8a≥0，.a≥0或a≤-8.a<0, .a≤-8.t=2-b,∴.t=2-(a2+8a)=-(a+4)2+18, ∴.当a=一8时，t取得最大值，最大值为2. 2.(1)y-2y一1=0解析：设所求方程的根为y,则y -x,.x=-y,把x=一y代入方程x2十2x-1=0,得y2 2y-1=0.(2)设所求方程的根为y则y=2(x≠0)， ∴x=(y≠0)，把x=代人方程ax2+x十c=0,得 y a(号）'+6()+c=0,去分母，得cy+6y十a=0,若c=0, 有ax2+bx=0,则方程ax2+bx十c=0有一个根为0，不符合 题意，∴.c≠0，故所求方程为cy2+by十a=0(c≠0). 练习3配方法的应用 1.C解析：.a-2-2=0,∴.=a-2>0,∴.a≥2.2a2- 4-c=0,.2a2-4(a-2)-c=0,.c=2a2-4a+8=2(a 1)2+6,当a=2时，c取最小值，最小值是2×(2-1)2+6= 2+6=8. 案与详解 2.-号号解析：3x2+2x+1=3(x+号x)+1 [(x+号)广-日]+1=3(+3)广+号…当x=-号时， 多项式3x+2x十1有最小值号。 3.12解析：：a2+b-4a-10b+29=0,.(a2-4a十4)+ (b-10b+25)=0,∴.(a-2)2+(b-5)2=0..(a-2)2≥0， (b-5)2≥0，.a-2=0,b-5=0,解得a=2,b=5.长为2 2、5的三条线段不能组成三角形，，∴.这个等腰三角形三边的长 分别为5、5、2，这个等腰三角形的周长为5十5+2=12. 4.-2解析：W=5x2-4xy十y2-2y+8x十3=x2+4x2 4xy十y-2y+8x+3=4x2-4xy+y2-2y十x2+8x+3= (4x2-4xy+y)-2y+x2+8x+3=(2x-y)2-2y+x2+ 4x+4x+3=(2x-y)2+4x-2y+x2+4x+3=(2x-y)2+ 2(2x-y)+1-1+x2+4x+4-4+3=[(2x-y)2+2(2x y)+1]+(x2+4x+4)-2=(2x-y十1)2+(x+2)2-2.,x、 y均为实数，.(2x一y十1)2≥0，(x十2)≥0，.W≥一2，即 W的最小值为一2. 5.(1)8解析：2x2+4x十10=2(x2+2x)+10=2(x2+2.x十 1-1)+10=2(x+1)2+8.无论x取何实数，都有2(x+ 1)2≥0，∴.2(x+1)2+8≥8，即2x2+4x+10的最小值为8. (22+x2=(+）'+(x+2）)'≥0,2+z+ 2>0,.无论x取何实数，二次根式√2+x十2都有意义. (3:ACLBD,.四边形ABCD的面积为？AC·BD. ,AC+BD=10,.BD=10-AC,∴.四边形ABCD的面积为 合AC.I0-A0=-7AC+5AC=-合AC-5P+空， ∴当AC=5时，四边形ABCD的面积最大，最大值为空 练习4一元二次方程的解法拓展 1.(1)x2+2x一3=(x+3)(x一1).(2)x2一4x+3=0,原方 程转化为(x-3)(x-1)=0,.x-3=0或x-1=0,.=3, x2=1.(3)5.x2+7x-6=0,原方程转化为(5x-3)(x十2)= 0,5x-3=0或x+2=0,=号，m=-2 2.(1)降次转化(2)①因式分解，得x(x十2)(x一2)=0， ∴x=0或x十2=0或x-2=0,解得x1=0,x2=-2,x3=2. ②设x2+x=y,则原方程转化为y2一4y-12=0,∴.(y 6)(y十2)=0，解得y1=6,2=-2.当y=6时，x2十x=6, .=2,x2=一3；当1=一2时，x2十x=一2，此方程无实数 解..原方程的解为x=2,x2=一3. 练习5一元二次方程的有理根问题 1.2或6或12解析：若方程有有理根，则[一(2m一1)]2 4m(m一2)=4m+1为完全平方数.又.整数m满足0m< 13,且根据题意，得m≠0，.m=2时，4m十1=9=32；m=6 时，4m十1=25=52；m=12时，4m+1=49=72.故m的值为2 或6或12. 2.(1)根据题意，得22+4m>0且m≠0，解得m>-1且m≠ 0.(2)·方程的两个根都是有理数，.√4十4是有理数且 不等于0，∴.满足条件的m的最小整数值为3.当m=3时，方 《41