2.4.1 圆周角的概念与性质-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版2012）

课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版))))》 2.4圆周角 第1课时圆周角的概念与性质 课堂演练 1.(教材习题变式)下列图形中的角是圆周角的是 ① ② ③ ④ ⑤ A.①②③ B.②④ C.②⑤ D.② 2.(2024·湖南)如图，AB、AC为⊙O的两条弦，连接OB、OC.若∠BAC=45°，则∠BOC的度 数为 () A.60° B.75 C.90° D.135° (第2题) (第3题) (第4题) (第5题) 3.(2023·杭州)如图，在⊙O中，半径OA、OB互相垂直，点C在劣弧AB上.若∠ABC=19°， 则∠BAC的度数为 ) A.23° B.24° C.25° D.26° 4.如图，点A、B、C均在⊙O上，当∠OAC=50时，∠ABC的度数为 5.如图，正方形ABCD内接于⊙O,E是AD的中点，连接BE、CE,则∠ABE的度数 为 6.如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P,且AB=CD,求证：PA=PC. 01 D 58》 第2章对称图形—圆 课后拓展 7.(2023·吉林)如图，AB、AC是⊙O的弦，OB、OC是⊙O的半径，P为OB上任意一点（点 P不与点B重合)，连接CP.若∠BAC=70°，则∠BPC的度数可能是 () A.70° B.105 C.1259 D.155° A D 0 (第7题) (第9题) (第10题) 8.已知点A、B、C在圆上，若弦AB的长等于圆半径的√2倍，则∠ACB的度数为 9.如图，矩形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，点D在OA的延长线上，若点 A的坐标为(2,0)，点D的坐标为(4,0)，以点O为圆心、OD的长为半径的弧经过点B,交 y轴正半轴于点E,连接DE、BE,则∠BED的度数为 10.如图，在扇形AOB中，点C、D在AB上，连接AD、BC交于点E.若∠AOB=120°，CD的度 数为50°，则∠AEB的度数为 11.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E,连接DO并延长交⊙O于点F,连接AF, ∠AFD=∠CDF, (1)求证：AC=CF】 (2)连接AC,若AB=12,求AC的长. 12.如图是一个6×6的正方形网格，A、B、O均为格点，∠AOB是AB所对圆心角.请按要求画 图：①仅用无刻度的直尺，且不能用直尺的直角；②保留必要的画图痕迹；③标注相关字母。 (1)在图1中画出一个AB所对的圆周角∠ACB,且C是格点 (2)在图2中画出-个AB所在圆的圆周角∠DEP,且∠DEF=号∠ACB,其中C为(1)中 所画的点. 图1 图2 594,点P在⊙O的内部.2.C解析：OB⊥AC,∴AB BC,故A选项不符合题意；：AB=BC,∠AOB=∠COB, ,'BC=CD,∴∠BOC=∠DOC,.∠AOD=3∠BOC,故B选 项不符合题意；：∠AOB=∠BOC=∠DOC,∴.∠AOC= ∠BOD,.AC=BD,,BDBC+CD=2CD,.AC<2CD,故 C选项符合题意；OB=OD,BC=DC,∴.OCLBD,故D选 项不符合题意.3.A解析：，△ABC的外心是三角形三 边垂直平分线的交点，∴EF与MN的交点O即为所求 △ABC外接圆的圆心，.△ABC外接圆圆心的坐标是（一2， -1). D (第3题) (第4题) 4.A解析：如图，连接OC、OA,过点O分别作OH⊥AB于 点H,OQ⊥CD于点Q.:AB=CD=8,∴CQ=号CD=4, AH=2AB=4.0C=0A=5,0Q=V0C-CQ=3, OH=√OA2-A平=3，.OQ=OH.,AB⊥CD,OQ⊥CD, OH⊥AB,∴.四边形OQEH是正方形，∴.OH=EH=3,∴.OE √32+32=3√2.5.206.5或3解析：当点P在⊙A内 时，最大距离为8，最小距离为2，则直径是10，因而半径是5； 当点P在⊙A外时，最大距离为8，最小距离为2，则直径是6， 因而半径是3.7.25π解析：由题意，得斜边的长为 √62十82=10(cm),….外接圆的半径为5cm,∴.S外接圆=25πcm2. 8.90°解析：如图，连接OA、OB.OA=OB=1,AB=√2， ∴.OA2+OB2=AB2,∴.△OAB为直角三角形且∠AOB=90°， 劣弧AB的度数为90° (第8题) (第9题) 9.10解析：如图，连接OA.设OA=OD=rcm.:ODLAB, AC=CB=号AB=号×6=3(cm).在Rt△OCA中，OA2- AC2十OC,即2=32+(r-1)2,解得r=5,∴.⊙0的直径为 10cm10.2√5解析：根据题意可知，AB=BC=2,CF= CH=HG=4,取CH的中点O,则OC=OH=2,OB=4,连接 OA、OF,OG,由勾股定理得OA=√AB+OB=2√5，OF= OG=2√5，.OA=OF=OG,即O为过A、F、G三点所作圆的 圆心，.该圆的半径为25. 11.证明：连接OE.,CE∥AB,∴.∠DOB=∠C,∠BOE ∠E.OC=OE,∴∠C=∠E,∴∠DOB=∠BOE,∴.BD= 课时提优计划作业本·赞 1 BE.12.(1)如图，分别作AC、BC的垂直平分线，两直线交 于点O,则点O为△ABC的外接圆的圆心，⊙O即为所求. (2)如图，设BC的垂直平分线交BC于点D,连接OC.,AB AC,∴.点A在BC的垂直平分线上，即点A在直线OD上， .OALBC.CD-X168.AC-4/5,AD- √AC-CD=4.设OA=OC=r,则OD=r-4.在Rt△ODC 中，OC=CD+OD,即2=82+(r-4)2,解得r=10, ∴.△ABC外接圆的半径为10. (第12题) (第13题) 13.(1)如图，过点A作AD⊥BC,垂足为D,连接OB、OC AB=AC,AD⊥BC,.AD垂直平分BC.OB=OC,点 O在BC的垂直平分线上，即点O在AD上.，BC=4,.BD= C=2.在Rt△ABD中，∠ADB=90,AB=2√O .AD=√AB-BD=6.设OA=OB=r,则OD=6-x.在 Rt△OBD中，OD2+BD=OB,即(6-r)2+22=2,解得r= 3,⊙0的半径为9 10 ,(2)若⊙P也经过B、C两点，则点 P在直线AD上，PA=2,则PD=6-2=4或6十2=8，BD= 2,∴.PB=√4+2=25或PB=√82+22=2v√17.综上所 述，⊙P的半径的长为2√5或2√17.14.(1)如图1，设圆弧 AED所在圆的圆心为O,半径为r,连接OE交AD于点F,连 接OA,则OF垂直平分AD.,四边形ABCD是矩形，BC=12m, AB=3m,点E到BC的距离为7m,∴.AD=BC=12m,EF=4m, ∴AF=2AD=6m,OF=OE-EF=(r-4)m.在Rt△OAF 中，AF2+OF2=OA2,即62+(r-4)2=r2,解得r=6.5,.圆 弧AED所在圆的半径为6.5m(2)这辆货运卡车能通过 该隧道.理由如下：如图2，在OE上取点G,且使OG=5.5m, 过点G作HG⊥OE交ED于点H,连接OH,根据题意，得点O 到BC的距离为0.5m,∴.点G到BC的距离为OG+0.5= 6(m).在Rt△OHG中，GH=√O-O=√6.5-5.52= 2√3(m).,2√3>3.3，∴.这辆货运卡车能通过该隧道. E E H GP 0 图1 图2 2.4圆周角 第1课时圆周角的概念与性质 课堂演练 1.D2.C3.D解析：如图，连接OC.∠ABC=19°， .∠AOC=2∠ABC=38°.：半径OA、OB互相垂直， ∠AOB=90°，∴.∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-38°=52°， 学·九年级上册(SK版) ∴ZBAC-∠B0C-×52=26 2 (第3题) (第5题) 4.40°解析：.∠OAC=50°，OA=OC,∴.∠OCA=∠OAC= 50°，∴.∠A0C=180°-∠OAC-∠0CA=180°-50°-50°= 80,∠ABC=号∠A0C=合×80=40. 5.22.5 解析：如图，连接OA、OD、OE.,四边形ABCD是圆内接正方 形，.∠AOD=90°.E是AD的中点，.∠AOE=45°， ∠ABE=22.5.6.证明：连接AC.AB=CD,AB= CD,.AB+BiD=BD+CD,即AD=CB,∴∠C-∠A,∴PA=PC 课后拓展 7.D解析：如图，连接BC.,∠BAC=70°，∴.∠BOC= 2∠BAC=140°.0B=0C,.∠0BC=∠0CB=号(180°- ∠BOC=20°.：P为OB上任意一点（点P不与点B重合）， ∴.0°≤∠OCP<20°.：∠BPC=∠BOC+∠OCP=140°+ ∠OCP,∴.140°≤∠BPC<160°，只有D选项符合题意 (第7题) (第8题) 8.45或135°解析：如图，，弦AB的长等于圆半径的2倍，即 AB=√2OA=√2OB,∴.OA2+OB2=AB2,∴.∠AOB=90°.当 点C在优孤AB上时，∠ACB=号∠A0B=45:当点C在劣 弧AB上时，∠ACB+∠ACB=180°，.∠ACB=180° 45°=135°.综上所述，∠ACB的度数是45°或135°.9.30° 解析：连接OB、BD.点A(2,0)、D(4,0),四边形OABC是矩 形，∴.OA=2,OD=4,BA⊥OD,.OA=AD,.OB=BD. ,OB=OD,.OB=BD=OD,△OBD是等边三角形， ∠B0D=60,∠BED=∠B0D=号×60=30 10.145°解析：作AB所对的圆周角∠APB,连接OC、OD、 BD:∠APB=合∠A0B=号×12w=60,∠ADB=180- ∠APB=180°-60°=120°.CD的度数为50°，∴∠C0D= 50,∠CBD=合∠COD=2S,∠AEB=∠ADB+∠EBD 120°+25°=145°.11.(1)证明：AB为⊙0的直径， CDLAB,∴.AC=AD.∠AFD=∠CDF,∴.AD=CF, .AC=CR.(2)连接OC.AD=AC=CF,.∠AOD= ∠AOC=∠COF.,'DF是直径，∴.∠AOD=∠AOC=∠COF= 60°.又OA=OC,.△AOC是等边三角形，，.AC=OA= 号AB=合×12=62.(I)如图1，∠ACB即为所求 (2)如图2，∠DEF即为所求. 课时提优计划作业本·数 1 图1 图2 第2课时 圆周角与直径的关系 课堂演练 1.B解析：，AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∠BAC+ ∠B=90°.∠BAC=50°，∠B=40°，∠D=∠B=40°. 2.A解析：∠A0D=50,∠ABD=2∠A0D=25又 BA平分∠CBD,.∠ABC=∠ABD=25°.AB是⊙O的 直径，.∠C=90°，.∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°- 90°-25°=65°.3.35°解析：连接BC.AB为直径， ∴.∠BCA=90°.，∠1=55°，.∠BCE=35°，∴.∠2=∠BCE= 35°.4.20°解析：连接BD.AB是半圆O的直径， .∠ACB=90°.：∠BAC=50°，∴.∠ABC=180°-∠ACB ∠BAC=180°-90°-50°=40°.又AD=CD,.AD=CD, ∴·∠CAD=∠CBD=∠ABD=2∠ABC=2X40°=20， 5.2/13解析：：AB为直径，.∠ACB=90°，.BC= √AB-AC=√I0-8=6.:OD⊥AC,∴.CD=AD= 名AC-合×8=4在R△DCB中，BD=√BC+CD- √62+4=2√/13.6.(1)证明：如图，连接AD.AB是⊙O 的直径，∴∠ADB=90°，.AD⊥BC.AB=AC,∠BAD= ∠CAD,.BD=DE.(2)如图，连接OE.OA=OE, ∴.∠OEA=∠BAC=50°，∴.∠AOE=180°-∠BAC-∠OEA= 180°一50°一50°=80°，∴.AE的度数为80° D B (第6题) (第7题) 7.如图，延长EO交⊙O于点F,连接AF,则AF是∠BAC的 平分线.理由如下：，EF是⊙O的直径，∠EAF=90°，即 ∠EAB+∠BAF=90°，∴.∠DAE+∠CAF=90°.又.AE平分 ∠BAD,.∠DAE=∠EAB,∴.∠CAF=∠BAF,.AF是 ∠BAC的平分线. 课后拓展 8.B解析：，AD是⊙O的直径，∴∠ACD=90°.，∠ADC= ∠B,∠CAD=∠B,·∴.∠ADC=∠CAD,∴.AC=CD.在Rt△ACD 中，AC十CD=AD,即2AC=82,.AC=4√2（负值舍去）， 9.75°解析：如图，连接OA、OB、OC、OD.:OA=OB OC=OD=1 cm,AB=2 cm,CD=1 cm,.'.OA2+OB2= AB,OC=OD=CD,'.△AOB是等腰直角三角形，△COD是 等边三角形，∴.∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD= 60°.∠CDB=∠CAB,∠ODB=∠OBD,∴.a=180°- ∠CAB-∠OBA-∠OBD=180°-∠OBA-(∠CDB+ ∠ODB)=180°-45°-60°=75° 学·九年级上册(SK版) 6.