第1章 一元二次方程 综合与实践-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版2012）

2AB=6m根据题意，得2×12×24-号×4X(12-2) 号×(24-40×6-号×2×12=40，整理，得2-6+8=0， 1 解得=2，t2=4,即当t=2或4时，△PBQ的面积是40cm. D E- B C (第5题) (第6题) 6.(1)设P、Q两点从开始出发到xs时，四边形PBCQ的面 积为33cm,则PB=(16一3x)cm,CQ=2xcm.根据梯形的 面积公式，得号×(16-3z+2)×6=33,解得x=5,∴P、Q 两点从开始出发到5s时，四边形PBCQ的面积为33cm. (2)设P、Q两点从开始出发到ts时，点P、Q间的距离是 10cm.如图，过点Q作QE⊥AB,垂足为E,则QE=AD= 6 cm,PQ=10 cm.'.AP=3t cm,BE=CQ=2t cm,.'.PE= AB-AP-BE=|16-5t|cm由勾股定理得PE+QE= PQ,即(16-5t)2+62=102,解得=1.6，t2=4.8,.P、Q两 点从出发开始到1.6s或4.8s时，点P和点Q的距离是 10cm.7.(1).4÷2=2(s),.当点P在边BC上时，0≤≤ t≤2，由题意，得AQ=tcm,BQ=(4-t)cm,BP=2tcm,PC= (4-2L)cm,·S△OD=S正方形ABCD-S△AQ-S△BrQS△CPD, 16-号×4X1-号×(4-0×21-号×4×(4-2)=11，整 理，得-2t一3=0，解得=一1，t2=3,都不符合题意，舍 去；当点P在边CD上时，2<t≤4，由题意，得AQ=tcm, DP-(8-2t)cm,SAD-BC.DP,:X4X(8- 2)=11,解得=号（不符合题意，舍去).综上所述，不存在t 的值，使△PQD的面积为11cm.(2)存在.理由如下：由题 意，得AQ=tcm,BQ=(4-t)cm,BP=2tcm,PC=(4 2t)cm(0≤t≤2).当DP=DQ时，：DC=DA,∠A=∠C= 90°，..Rt△DCP≌Rt△DAQ(HL),.PC=AQ,即4-2t=t, 解得=专；当PD=PQ时，在Rt△PBQ中，PQ=PB十 BQ=(2t)2+(4一t)2,在Rt△PCD中，PD=PC+CD2= (4-2t)2十42，.∴.(2t)2十(4一t)2=(4-2t)2十42，整理，得t十 8t-16=0,解得1=一4V2一4（舍去），t2=4V2-4.综上所 述，当1=号或42-4时，△PQD是以PD为一腰的等腰三 角形 周练（三） 1.C解析：根据题意，阔为x步，则长为(x十12)步，根据题 意可列方程为x(x十12)=864.2.A解析：设框的长为 xcm,则宽为100,2Z=(50一x）cm,根据题意，得x(50 2 x)=600,解得x1=30,x2=20,x>50-x,即x>25,.框的 长为30cm,则宽为20cm3.B解析：设该群共有x人，根 据题意，得x(x-1)=90,解得x1=一9（舍去），x2=10,即这 个群共有10人.4.C解析：根据题意，得a2-2a=1,解得 a=1土√2，，a>0,.a=√2+1.5.10%解析：设该商品 每次降价的百分率为x,根据题意，得(1一x)2=81%,解得 x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去)，即该商品每次 降价的百分率为10%.6.8解析：设每个枝干长出x个小 课时提优计划作业本·委 分支，则1十x十x2=73,解得x1=8,x2=一9（舍去），∴.每个 枝干长出8个小分支：7.9 解析：当物体落回地面时高 度为0，即7x一4.92=0，解得五=0（含去），2=9，即物体 经过9s回落地面。8.1m解析：根据题意，得(18 2x)(15-x)=224,整理，得x2-24x+23=0,解得=1， x2=23(不符合题意，舍去)，即图中x的值为1m9.4或6 解析：如图，过点E作EH⊥AC于点H,设运动时间为ts(t 10).在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=5cm,∴.AC=2BC= l0cm.根据题意，得AE=2tcm,CF=tcm,∴.AF=(10 )cm,EH=之AE=tcm,”△AEF的面积恰为12cm, 2(10-)=12,解得有=4，=6，经过4s或6s后， △AEF的面积恰为12cm 10.设该城区绿化面积的年平均增长率为x.,该市某城区 2023年底时绿化面积约为10万亩，计划到2025年底时绿化 面积达到14.4万亩，.10(1十x)2=14.4,解得x1=0.2,x2= 一2.2（不符合题意，舍去），答：该城区绿化面积的年平均增长 率为20%.11.(1)95解析：99-50,42=99一4= 95(元/件)，∴.当销售量为50件时，产品售价为95元/件. (2)根据题意，得y=42十2(99-x)=一2x十240，该产品的 进价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远 不会超过99元/件，∴.日销售量y(件)与售价x(元/件)的函 数关系式为y=一2x+240(70<x≤≤99).(3)根据题意，得 (x-70)(-2x+240)=1200,整理，得x2-190x十9000=0， 解得=90，x2=100(不符合题意，舍去).答：该产品的售价 应定为每件90元.12.(1)设AB的长为xm,则x(37+1 2x)=120,解得01=4，x2=15..0≤38-2x≤10，.14≤x 19,∴.x=15.答：矩形种植园一边AB的长为15m(2)设 AB的长为xm,则x(37+101-2延)=180，化简，得-x+ 2 24x-180=0,,-4ac=242一4×180=一144<0，此方程无 实数根，.不能围成面积为180m的矩形种植园！ 综合与实践 1.任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的 月平均增长率为x,根据题意，得3(1十x)2=5.07,解得x1= 0.3=30%,x2=一2.3（不符合题意，舍去）.答：从1月份到 3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%. 任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销 售利润为(y一15)万元，平均每周可售出8+25二义×1= 0.5 (58-2)辆，根据题意，得(y一15)(58-2y)=96,整理，得 y2-44y十483=0，解得1=21,2=23，又，要尽量让利于顾 客，y=21.答：下调后每辆汽车的售价为21万元.2.任 务1：(40一2x)2令(40-2x)2=900,解得x1=5,x2=35(不 符合题意，舍去)，∴底面积能达到900cm2.任务2：根据题 意，得AB=号[80-2x-(40-2x)]=2×(80-2x-40+ 2x)=号×40=20(cm。任务3：两个方案制作的两种无 学·九年级上册(SK版) 盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大.由任 务1可知，方案1的底面积为(40一2x)2cm2;由任务2可知， 方案2的底面积为20(40-2x)cm;根据题意，得{X02>0 解得0<x<20.当(40一2x)2>20(40-2x)时，解得0<x 10,当(40-2x)2=20(40-2x)时，解得x=10,当(40-2x)2< 20(40-2x)时，解得10<x<20;故当0<x<10时，方案1的 纸盒体积大；当x=10时，方案1与方案2的纸盒体积一样 大；当10<x<20时，方案2的纸盒体积大.任务4：方案2 中纸盒的体积为20(40-2x)x=-40x2+800x=-40(x 10)2+4000;当x=10时，纸盒体积有最大值，为4000cm3. 复习课 知识梳理 1.(1)1 2 (2)ax2+bx+c=0 ax2 bx c a b 2.(3)①a.x2+bx+c=0②a、b、c③b-4ac④-4ac≥ 0说明：(I)两个不相等（Ⅱ）两个相等（Ⅲ）没有 (4)②a2-=(a+b)(a-b)a2±2ab+=(a±b)2 3- 。4.(3)利润=售价一进价总利润=单件商 品的利润×销售量(4)等量检验 题组提优训练 考点一：1.B解析：2x一2=0是一元一次方程，故A选项不 符合题意；x2一x十1=0是一元二次方程，故B选项符合题 意；工-2x=1是分式方程，故C选项不符合题意；2zy=0是 二元二次方程，故D选项不符合题意.2.C解析：把x -1代入方程a.x2十bx-1=0,得a-b-1=0,.a一b=1, ∴.2025-a+b=2025-(a-b)=2025-1=2024.3.-2 解析：把x=0代入(k一2)x2十x十-4=0，得2-4=0， 解得k1=一2，k2=2.又，k一2≠0，.k=一2.4.一1 解析：，关于x的一元二次方程的常数项为0，∴m2十3m十 2=0,解得m1=-1,2=-2.又.m+2≠0，..m≠-2， m=-1.5.-号 解析：.m是方程4x2一2x一7=0的 7 -个根，4m2-2m-7=0,…2m2-m=2,m-2m2+3= -(2m-m+3=-子+3=- 考点二：1.B2.C3.D解析：3x2-11x-1=0,其中a= 3,b=-11,c=-1,.b-4ac=(-11)2-4×3×(-1)= 133>0,x=13=1±13：一元二次方程 2×3 3x2-11x-1=0的两个解分别为a、b,且a>b,∴.a= 11+√133 6 .4.(1)x1=√3，x2=-√3(2)x1=x2=-2 5.(1)1(2)(x十2)2十1(3)4解析：设a2十b=k,则原方 程变形为2一2k一8=0，因式分解，得(k一4)(k十2)=0 ∴k1=4,k2=-2.a2+≥0，k≥0，.k=4,即a2+b= 4.6.(1)12解析：将x2一13x十40=0因式分解，得(x一 8)(x一5)=0，=8，x2=5.①三边的长分别为3、4、8，无法 构成三角形，舍去；②三边的长分别为3、4、5，可以构成三角 形，周长为3十4+5=12.综上所述，这个三角形的周长为12. (2)19或21或23解析：将x2一8x+15=0因式分解，得 (x一3)(x一5)=0，.x1=3,x2=5,∴.等腰三角形两边的长分 别为9、3或9、5，不能构成三角形的有3、3、9，能构成三角形 的有9、5、5,9、9、3,9、9、5，.这个等腰三角形的周长为19或 21或23.7.(1)原方程可变形为(y十2)2=12，开方，得y十 2=±2√3，∴M=23-2,2=-2√3-2.(2)移项，得x2+ 4x=1,配方，得x2十4x十4=1十4，即(x十2)2=5，开方，得 x十2=士√5，.x1=一2十√5，x2=一2一√5.(3)移项，得 课时提优计划作业本·数 3x2一6x一1=0，这里a=3,b=-6,c=一1，，.b一4ac= (一6)2一4×3×（一1）=48>0，.方程有两个不相等的实数 根，x=6±45，=3+2 ,2=3-23 3 ，(4)方程可 变形为2(x一4)2-(x+4)(x一4)=0，提公因式，得(x 4)[2(x-4)(x+4)]=0,即(x-4)(x-12)=0,.x一4=0 或x-12=0,.x1=4,x2=12. 考点三：1.B解析：x2+2x十1=0中，-4ac=22-4×1X 1=0,方程有两个相等的实数根，故A选项不符合题意；x2十 x+2=0中，b一4ac=12一4×1×2=一7<0，方程没有实数 根，故B选项符合题意；x2-1=0中，一4ac=02-4×1× (一1)=4>0，方程有两个不相等的实数根，故C选项不符合 题意；x2-2x-1=0中，-4ac=(-2)2-4X1×(-1)= 8>0,方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意， 2.B解析：方程有两个相等的实数根，∴.b一4αc=42 4X1X=0,.=4.3.B解析：(a-c)2>a2+c2, ∴.-2ac>0,∴.-4ac>0.又.b≥0，.b-4ac>0,.∴.关于 x的方程a.x2十bx十c=0有两个不相等的实数根.4.C 解析：一元二次方程有实数根，.≠0且22一4×k× (-1)≥0，解得k≥一1且≠0.5.C解析：.一元二次方 程x2一8x十m=0的两根分别为0、2，∴.十2=8.= 3,.=6,2=2,∴.m=02=6X2=12.6.a≥-2且 a≠0解析：根据题意，得a≠0且42一4a×(-2)≥0，解得 a≥一2且a≠0.7.(1)43解析：由根与系数的关系，得 x1+x2=4,x1x2=m.",'x1+x2-x1x2=1,∴.4-m=1,'.m= 3.(2)号解析：：方程x十x一2=0的两根分别为1、 2小十=-1，x12=-2,1+1=西十型=-1 71 ℃2 T1x2 -2 (3)4解析：.方程x2一2x一2=0的两根分别为、 x2,∴.x=201十2，x=2x2十2,01十x2=2,x-x+4x2= (2m+2)-(2x+2)+4x=2(a十x)=2X2=4.8.号 解析：根据题意，得[3(m一2)]2一4×1X(2c一1)=0，.(m 2)-8c。4>0,解得c≥7，c的最小值为立92 3 9 解析：：a、b分别满足a2-3a+2=0,一3b+2=0,∴.可将 a、b看作一元二次方程x2-3x+2=0的两个实数根，.a十 b3,ab=2,.a +6=b=2· 1=a十b=3 10.（1)根据题意，得 B-4ac=(-4)2-4X1×(-2m十5)>0，解得m>2 (2)设 0、2是方程的两根根据题意，得十x2=4>0,x1x2=一2m十 5>0,解得m<号，m的取值范围为2<m<号，∴m=1或 5 5 m=2,当m=1时，方程的两根为整数；当m=2时，方程的两 根不是整数，不符合题意，舍去，.整数m的值为1.11.(1)证 明：，一4ac=(-6)2一4×1×(-k2)=36十4k2>0,.方程有 两个不相等的实数根.(2)由根与系数的关系，得x十x2 6.又知十2x2=14,∴x1=一2，x2=8.把x1=一2代人原方 程，得(-2)2-6×（一2）一2=0，∴.=士4.12.(1)原方 程有两个实数根，.∴.b一4ac=(一4)2一4×1X(m十3)=16 4m一12=4一4m≥0，解得m≤1，.'.m的取值范围是m≤1. (2)根据一元二次方程根与系数的关系，得①十x2=4,xx2 m十3.当x2≥0时，根据题意可得3十=2解得=5 则m+3=一1X5,.m=一8；当x2<0时，根据题意可得 3 1十x2=4,解得 x1=2 (不符合题意，舍去).综上所述， 3x-x2=2, x22 学·九年级上册(SK版)课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版)>》 综合与实践 1.综合与实践： 制订某品牌新能源汽车的销售方案 随着“绿色出行，低碳生活”理念的普及，新能源汽车逐渐成为人们喜爱的交通工具.新能源 背景 汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳的排放，从而达 到保护环境的目的.在国家政策的鼓励下，新能源汽车的市场需求逐年上升 某品牌新能源汽车1月份销售量为3万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车 素材1 的销售量逐月递增，3月份的销售量达到5.07万辆. 素材2 新能源汽车在汽车市场占比越来越大，该品牌需要对新能源汽车的产量进行调研，因此需 要预估未来的销售量. 中国新能源汽车市场火爆，某汽车销售公司抢占先机，购进一批新能源汽车进行销售，该公 素材3 司选择一款进价为15万元/辆的新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为 25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低0.5万元，平均每周多售出1辆.若该店计划 下调售价使平均每周的销售利润为96万元. 问题解决 任务1 求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率 任务2 根据素材3，为了推广新能源汽车，此次销售尽量让利给顾客，求下调后每辆汽车的售价. 36》 第章一元二次方程 2.综合与实践： 用硬纸板制作无盖纸盒 在一次劳动课中，老师准备了一些长为80cm、宽为 背景 40cm的长方形硬纸板，准备利用每张纸板制作两个 大小完全相等的无盖长方体纸盒（接头处忽略不计）. 配方法是求解二次多项式最值的常用方法，例如：求一2x2+4x十3的最大值，过程如下： 素材 -2x2+4x+3=-2(x2-2x+1)+3+2=-2(x-1)2+5, .当x=1时，-2x2+4x十3有最大值5. 甲活动小组将纸板均分为左右两块，每一块都在四个 方案1 直角处裁掉四个边长为xcm的正方形，再沿虚线折 起来，其中一个纸盒的底面是正方形ABCD. 乙活动小组将纸板在四个直角处裁掉四个边长为 方案2 xcm的正方形，再在中间裁掉一块正方形BCFE,分 别沿着虚线折起来，其中一个纸盒的底面是矩形ABCD. 任务1 在方案1中，制作的每个无盖纸盒的底面积为 cm(用含x的代数式表示)，并判断 底面积能否达到900cm2. 任务2 在方案2中，求制作无盖纸盒的底面边AB的长 任务3 若利用两个方案制作的两种无盖纸盒高度相等，请比较两种纸盒体积的大小. 任务4 求方案2中制作的单个无盖纸盒体积的最大值. 37