第1章 一元二次方程 复习课-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版2012）

盖纸盒高度相等，故底面积大的方案的纸盒的体积就大.由任 务1可知，方案1的底面积为(40一2x)2cm2;由任务2可知， 方案2的底面积为20(40-2x)cm;根据题意，得{X02>0 解得0<x<20.当(40一2x)2>20(40-2x)时，解得0<x 10,当(40-2x)2=20(40-2x)时，解得x=10,当(40-2x)2< 20(40-2x)时，解得10<x<20;故当0<x<10时，方案1的 纸盒体积大；当x=10时，方案1与方案2的纸盒体积一样 大；当10<x<20时，方案2的纸盒体积大.任务4：方案2 中纸盒的体积为20(40-2x)x=-40x2+800x=-40(x 10)2+4000;当x=10时，纸盒体积有最大值，为4000cm3. 复习课 知识梳理 1.(1)1 2 (2)ax2+bx+c=0 ax2 bx c a b 2.(3)①a.x2+bx+c=0②a、b、c③b-4ac④-4ac≥ 0说明：(I)两个不相等（Ⅱ）两个相等（Ⅲ）没有 (4)②a2-=(a+b)(a-b)a2±2ab+=(a±b)2 3- 。4.(3)利润=售价一进价总利润=单件商 品的利润×销售量(4)等量检验 题组提优训练 考点一：1.B解析：2x一2=0是一元一次方程，故A选项不 符合题意；x2一x十1=0是一元二次方程，故B选项符合题 意；工-2x=1是分式方程，故C选项不符合题意；2zy=0是 二元二次方程，故D选项不符合题意.2.C解析：把x -1代入方程a.x2十bx-1=0,得a-b-1=0,.a一b=1, ∴.2025-a+b=2025-(a-b)=2025-1=2024.3.-2 解析：把x=0代入(k一2)x2十x十-4=0，得2-4=0， 解得k1=一2，k2=2.又，k一2≠0，.k=一2.4.一1 解析：，关于x的一元二次方程的常数项为0，∴m2十3m十 2=0,解得m1=-1,2=-2.又.m+2≠0，..m≠-2， m=-1.5.-号 解析：.m是方程4x2一2x一7=0的 7 -个根，4m2-2m-7=0,…2m2-m=2,m-2m2+3= -(2m-m+3=-子+3=- 考点二：1.B2.C3.D解析：3x2-11x-1=0,其中a= 3,b=-11,c=-1,.b-4ac=(-11)2-4×3×(-1)= 133>0,x=13=1±13：一元二次方程 2×3 3x2-11x-1=0的两个解分别为a、b,且a>b,∴.a= 11+√133 6 .4.(1)x1=√3，x2=-√3(2)x1=x2=-2 5.(1)1(2)(x十2)2十1(3)4解析：设a2十b=k,则原方 程变形为2一2k一8=0，因式分解，得(k一4)(k十2)=0 ∴k1=4,k2=-2.a2+≥0，k≥0，.k=4,即a2+b= 4.6.(1)12解析：将x2一13x十40=0因式分解，得(x一 8)(x一5)=0，=8，x2=5.①三边的长分别为3、4、8，无法 构成三角形，舍去；②三边的长分别为3、4、5，可以构成三角 形，周长为3十4+5=12.综上所述，这个三角形的周长为12. (2)19或21或23解析：将x2一8x+15=0因式分解，得 (x一3)(x一5)=0，.x1=3,x2=5,∴.等腰三角形两边的长分 别为9、3或9、5，不能构成三角形的有3、3、9，能构成三角形 的有9、5、5,9、9、3,9、9、5，.这个等腰三角形的周长为19或 21或23.7.(1)原方程可变形为(y十2)2=12，开方，得y十 2=±2√3，∴M=23-2,2=-2√3-2.(2)移项，得x2+ 4x=1,配方，得x2十4x十4=1十4，即(x十2)2=5，开方，得 x十2=士√5，.x1=一2十√5，x2=一2一√5.(3)移项，得 课时提优计划作业本·数 3x2一6x一1=0，这里a=3,b=-6,c=一1，，.b一4ac= (一6)2一4×3×（一1）=48>0，.方程有两个不相等的实数 根，x=6±45，=3+2 ,2=3-23 3 ，(4)方程可 变形为2(x一4)2-(x+4)(x一4)=0，提公因式，得(x 4)[2(x-4)(x+4)]=0,即(x-4)(x-12)=0,.x一4=0 或x-12=0,.x1=4,x2=12. 考点三：1.B解析：x2+2x十1=0中，-4ac=22-4×1X 1=0,方程有两个相等的实数根，故A选项不符合题意；x2十 x+2=0中，b一4ac=12一4×1×2=一7<0，方程没有实数 根，故B选项符合题意；x2-1=0中，一4ac=02-4×1× (一1)=4>0，方程有两个不相等的实数根，故C选项不符合 题意；x2-2x-1=0中，-4ac=(-2)2-4X1×(-1)= 8>0,方程有两个不相等的实数根，故D选项不符合题意， 2.B解析：方程有两个相等的实数根，∴.b一4αc=42 4X1X=0,.=4.3.B解析：(a-c)2>a2+c2, ∴.-2ac>0,∴.-4ac>0.又.b≥0，.b-4ac>0,.∴.关于 x的方程a.x2十bx十c=0有两个不相等的实数根.4.C 解析：一元二次方程有实数根，.≠0且22一4×k× (-1)≥0，解得k≥一1且≠0.5.C解析：.一元二次方 程x2一8x十m=0的两根分别为0、2，∴.十2=8.= 3,.=6,2=2,∴.m=02=6X2=12.6.a≥-2且 a≠0解析：根据题意，得a≠0且42一4a×(-2)≥0，解得 a≥一2且a≠0.7.(1)43解析：由根与系数的关系，得 x1+x2=4,x1x2=m.",'x1+x2-x1x2=1,∴.4-m=1,'.m= 3.(2)号解析：：方程x十x一2=0的两根分别为1、 2小十=-1，x12=-2,1+1=西十型=-1 71 ℃2 T1x2 -2 (3)4解析：.方程x2一2x一2=0的两根分别为、 x2,∴.x=201十2，x=2x2十2,01十x2=2,x-x+4x2= (2m+2)-(2x+2)+4x=2(a十x)=2X2=4.8.号 解析：根据题意，得[3(m一2)]2一4×1X(2c一1)=0，.(m 2)-8c。4>0,解得c≥7，c的最小值为立92 3 9 解析：：a、b分别满足a2-3a+2=0,一3b+2=0,∴.可将 a、b看作一元二次方程x2-3x+2=0的两个实数根，.a十 b3,ab=2,.a +6=b=2· 1=a十b=3 10.（1)根据题意，得 B-4ac=(-4)2-4X1×(-2m十5)>0，解得m>2 (2)设 0、2是方程的两根根据题意，得十x2=4>0,x1x2=一2m十 5>0,解得m<号，m的取值范围为2<m<号，∴m=1或 5 5 m=2,当m=1时，方程的两根为整数；当m=2时，方程的两 根不是整数，不符合题意，舍去，.整数m的值为1.11.(1)证 明：，一4ac=(-6)2一4×1×(-k2)=36十4k2>0,.方程有 两个不相等的实数根.(2)由根与系数的关系，得x十x2 6.又知十2x2=14,∴x1=一2，x2=8.把x1=一2代人原方 程，得(-2)2-6×（一2）一2=0，∴.=士4.12.(1)原方 程有两个实数根，.∴.b一4ac=(一4)2一4×1X(m十3)=16 4m一12=4一4m≥0，解得m≤1，.'.m的取值范围是m≤1. (2)根据一元二次方程根与系数的关系，得①十x2=4,xx2 m十3.当x2≥0时，根据题意可得3十=2解得=5 则m+3=一1X5,.m=一8；当x2<0时，根据题意可得 3 1十x2=4,解得 x1=2 (不符合题意，舍去).综上所述， 3x-x2=2, x22 学·九年级上册(SK版) m的值为-8.13.(1).-4ac=[-(4m+2)]2-4m(3m十 6)=16m2+16m+4-12m2-24m=4m2-8m+4=4(m 1)2≥0，∴.关于x的一元二次方程mx2-(4m+2)x+(3m十 6)=0有实数根.(2)原方程可化为m(x2一4x+3)一2x十6= 0.无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，.x2一4x十 3=0且一2x十6=0，解得x=3,∴.无论m为何值，该方程都有 一个固定的实数根，这个根为x=3. 考点四：1.C解析：，四边形AIFH是面积为64的正方形， ∴.(x十5)2=64，整理，得x2十10x=39.2.50%解析：设 平均亩产量的增长率为x,则种植面积的增长率为2x.根据题 意，得51+2)×10000(1+x)=30000,整理，得2x2+3x- 2=0,解得x1=0.5=50%,x2=一2（不符合题意，舍去），∴.平 均亩产量的增长率为50%.3.14解析：设A组共有x个 班级.根据题意，得2x(x一1)=21，解得x=7,x2=一6（不 符合题意，舍去)，.九年级共有7×2=14（个）班.4.10 解析：设每件降价x元，则每件的销售利润为(65一x一45)元 每天可售出(30十5x)件.根据题意，得(65一x一45)(30十 5x)=800,解得1=4，x2=10.,要尽快减少库存，∴.x=10. 故每件应降价10元.5.(1)2x(40一x)(2)设每件服装 降价x元，则每件服装的销售利润为(40一x)元，平均每天的 销售量为(20十2x)件.根据题意，得(40一x)(20十2x)= 1200,整理，得x2-30x+200=0,解得x1=10,x2=20.又 需要让利于顾客，.x=20.答：每件服装降价20元时，能让 利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元.(3)商家不能达 到平均每天盈利1500元.理由如下：设每件服装降价y元，则 每件的销售利润为(120一y一80)元，平均每天的销售量为 (20十2y)件.根据题意，得(40一y)(20+2y)=1500,整理，得 y2-30y+350=0..(-30)2一4×1×350=-500<0，，∴.此 方程无实数解，故商家不可能达到平均每天盈利1500元. 6.(1),点P、N重合，∴.2x十x2=20,.1=√/21-1，x2= 一√21一1（舍去）.即当x=√21一1时，点P、N重合.(2)，当 点N到达点A时，x=2√5，此时点M和点Q还未相遇，∴.点 Q只能在点M的左侧.①当点P在点N的左侧时，根据题意， 得20-(x十3x)=20-(2x十x2),解得1=0（舍去），x2=2, ∴，当x=2时，四边形PQMN是平行四边形；②当点P在点 N的右侧时，根据题意，得20一(x+3x)=(2x+x2)一20，解 得x1=一10（舍去），x2=4,∴.当x=4时，四边形NQMP是 平行四边形.综上所述，当x=2或x=4时，以P、Q、M、N为 顶点的四边形是平行四边形. 考点五：1.B解析：x2十4x十k=(x十2)2=x2十4x十4， k=4.2.A解析：x2-4x十a=(x-b)2-1,.x2 4x十a=x2-2bx十}-1，∴.-2b=一4，a=b-1,.b=2,a= 3,.a+b=3+2=5.3.A解析：M-N=(x2+x)- (3x-1)=x2+x-3x+1=x2-2x+1=(x-1)2≥0，∴.M N.4.3解析：x2-4x+1=x2-4x十4-3=(x-2)2-3. 5.16解析：x2-6x+25=x2-6x+9+16=(x-3)2+16. (x-3)2≥0，.(x一3)2+16≥16，.代数式x2-6x十25的 最小值是16.6.25解析：-x2+4x十1=-(x2-4x十 4-4)+1=-(x-2)2+5.又(x-2)2≥0，∴.-(x-2)2≤ 0,.一(x一2)2+5≤≤5，.当x=2时，代数式有最大值，其最 大值为5.7.(1)设每件服装应降价x元，根据题意，得(80一 60一x)(50+5x)=1080,整理，得x2-10x+16=0,即(x 2)(x一8)=0，解得x=2,x=8,·需要尽量减少库存，.= 2舍去，故每件服装应降价8元.(2)根据题意，得利润y (80-60-x)(50+5.x)=-5x2+50x+1000=-5(x-5)2+ 1125,.(x-5)2≥0，.-5(x-5)2十1125≤1125，.当x= 5时，利润y最大，即若想利润最多，每件服装销售价应定为 80-5=75(元).8.(1).'x2+3y2-2xy+4y+2=0,.∴.x2 课时提优计划作业本·数 2xy+y2+2y+4y+2=0,.(x-y)2+2(y+1)2=0,∴.x y=0且y+1=0,∴.x=-1,y=-1.(2)x2+2x+y-4y 1=x2+2x+1+y2-4y+4-6=(x+1)2+(y-2)2-6.(x+十 1)2≥0，(y-2)2≥0，.代数式x2+2x+y2-4y-1的最小值 为一6. 直击中考前沿 1.A解析：关于x的一元二次方程(a+2)x2十x十a2 4=0的一个根是x=0,∴.a2一4=0且a十2≠0，解得a=2. 2.C解析：，关于x的一元二次方程x2一4x十c=0有两个 相等的实数根，∴.（一4）2一4c=0,解得c=4.3.C解析： x2-10x十21=0，解得x1=3,x2=7,当等腰三角形的边长是 3、3、7时，3十3<7，不符合三角形的三边关系，舍去；当等腰三 角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是7+7+3=17. 4.B5.A解析：，关于x的一元二次方程x2十2x十p=0 两根为，十x2=一2，m2=p,“十=3， ℃1 2 ∴=3，即，2-3，解得力=-号.6B解析：设原 x1x2 的方程为ax+bx+c=0(a≠0)，由题知，名=6+1=1， =-2×(-5)=10,.b=-7a,c=10a,.原来的方程为 a ax2一7a.x十10a=0,,.方程为x2一7x+10=0.7.2解析： 由题知，将x=1代人一元二次方程得，1一3+a=0,解得a= 2.8.2解析：：关于x的一元二次方程x2一4x十2k=0 有两个相等的实数根，∴.b2一4ac=16-8k=0,解得k=2. 9.c>1解析：·一元二次方程x2一2x十c=0无实数根， .(一2)2一4c<0,∴.c>1.10.一4解析：把x=m代人方 程，得m2+4m-1=0,∴.m2+4m=1,∴.(m+5)(m-1)= m2-m十5m-5=m2+4m-5=1-5=-4.11.14解析： ,01、2是一元二次方程x2一3x一5=0的两个实数根，…十 x2=3,m12=-5,.(一22)2+3m2=(0十x2)2-02= 32-(-5)=9+5=14.12.3解析：，y2-x=0,y2=x≥ 0,.x2-3y2+x-3=0,∴.x2-3x+x-3=0,即x2-2x-3= 0,解得x1=3,x2=一1（舍去），即x的值为3.13.6解析： .一元二次方程2x2-4x-1=0的两根为m、n,.22一4m= 1,m十n= 4=2,m=一7，.3m=4m+t=2t一4m+ 2 m+=1+(m+n)2-2mm=1+2-2×(-2）=6. 14.x2-2x=3,.x2-2x+1=3+1,.(x-1)2=4,x 1=2或x-1=-2,.x1=3,x2=-1.15.(1)x2-4x -3,∴x2-4x十4=-3+4，.(x-2)2=1,.x-2=1或x 2=一1，∴.=1，x2=3.(2)当3是直角三角形的斜边时， 第三边为√32一1？=2√2；当1和3是直角三角形的直角边 时，第三边为√/12+32=√10，∴.第三边的长为2W2或10. 16.(1).原方程有两个不相等的实数根，∴.一4ac (一2k)2一4×1×(k2-k+1)=4k2一4k2+4k一4=4k一4>0， 解得k>1.(2).1<k<5,.整数k的值为2、3、4，当=2 时，方程为x2一4x十3=0，解得x1=1,x2=3,当k=3或4 时，此时方程的根不为整数.综上所述，k的值为2.17.(1)根 据题意，设一次函数的关系式为y=kx十b,又，图像过(45， 5.(5,45(5十女5解得合0d:所求两致关系 式为y=-x十100.(2)根据题意，得x(-x十100)=一x2+ 100x=2600,.x2-100x+2600=0..-4ac=(-100)2 4×2600=10000一10400=一4000..'.方程没有实数根， 故该商品日销售额不能达到2600元.18.(1)证明：x2 (m十2)x+m-1=0,这里a=1,b=-(m+2),c=m一1， ∴.b-4ac=[-(m+2)]2-4×1×(m-1)=m2+4m+4 学·九年级上册(SK版) 0 4m十4=m2+8.m2≥0，.b2-4ac>0.∴.无论m取何值，方 程都有两个不相等的实数根.(2)根据题意，得x1十x2= m十2，x1x2=m一1.x1十x经一x1x2=9,即(x1十x2)- 3x1x2=9,.(m十2)2-3(m-1)=9.整理，得m2十m-2=0. .(m十2)(m-1)=0.解得m=-2,m2=1.∴.m的值为-2 或1. 第2章对称图形—一圆 2.1圆 第1课时圆的定义及点与圆的位置关系 课堂演练 1.A2.D3.D4.D5.B6.圆心7.上外内 8.以点O为圆心、4为半径的圆9.图略(1)以点A为圆 心、1cm为半径作圆即可.(2)以点B为圆心、2cm为半径 作圆即可.(3)上述两小题所作圆的交点即为所求点。 课后拓展 10.B解析：在△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,BC=8, ∴AC=√AB2-BC=6.又点C在⊙A内且点B在⊙A 外，.6<<10，.r的值可能是8.11.C解析：由所有到 已知点O的距离大于或等于1，并且小于或等于2的点组成 的图形的面积为以2为半径的圆与以1为半径的圆组成的圆 环的面积，即x×22一π×12=3元12.6解析：如图.P是 ⊙O内一点，Q是⊙O上任意一点，3≤PQ≤9，∴.⊙0的直径 为3十9=12，.⊙0的半径为6. 13.(1)2或10解析：①当点P在⊙0外时，如图1，由题意 可知，PA=12,PB=8,则直径AB=PA一PB=12-8=4,故 ⊙O的半径为2；②当点P在⊙O内时，如图2，由题意可知， PC=12,PD=8,则直径CD=PC+PD=12+8=20,故⊙O 的半径为10.综上所述，⊙0的半径为2或10.(2)2≤a≤6 解析：当点Q在⊙O外且O、P、Q三点共线时（如图3中的 点Q),线段OQ的长最大，最大值为4+2=6；当点Q在⊙O 内且O、Q、P三点共线时（如图3中的，点Q2),线段OQ的长最 小，最小值为4-2=2.综上所述，线段OQ的长a的取值范围 是2≤a≤6. D 图1 图2 图3 14.(2,3)或(6,3)15.5<r<13解析：由题意得AC √/AB2+BC=√52+122=13.当点B在圆上时，r=5;当点 C在圆上时，r=13.当∴.B、C、D三点中至少有一点在圆内，且 至少有一点在圆外时，5<r<13.16.（1)0<r3解析： ,AC=4cm,BC=3cm<4cm,∴.当点B不在⊙C内时，点 A也不在⊙C内，∴.当A、B两点都不在⊙C内时，0<r≤3. 课时提优计划作业本·数 。1 (2)r>4解析：.A、B两点都在⊙C内，.r>4.(3)3< ≤4解析：由题意可知，点A不在⊙C内，点B在⊙C内.当 点B在⊙C内时，r>3;当点A不在⊙C内时，≤4，.3<≤≤4. 17.证明：如图，取AC的中点O,连接OB、OD.,∠ABC ∠ADC=90°，.OA=OB=OD=OC,∴.A、B、C、D四个点在 同一个圆上 0 B F （第17题) (第18题) 18.如图，连接CD,过点A作AE⊥BC于点E,过点D作 DF⊥BC于点F,则DF∥AE.,'AB=AC=2√5，BC=4, BE=2BC=2,∴AE=VAB-BE=4.D是AB的中 点，DF是△ABE的中位线，DF=号AE-2,BF-号BE 1,∴.CF=BC-BF=3,.CD=√DF2+CF=√13.又DB= 合AB=5,r的取值范围是5<<V正. 第2课时圆的有关概念 课堂演练 1.B解析：以M为端点的弦有无数条，故①错误；以M为端 点的半径只有一条，故②正确；以M为端点的直径只有一条， 故③正确；以M为端点的弧有无数条，故④错误.2.B 3.B解析：圆的直径为圆中最长的弦，∴⊙O中最长的弦 的长度为2×3=6(cm).4.D解析：，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠A=50°，∠B=40°.点D在以点B为圆 心、BC的长为半径的弧上，.BD=BC,.∠BCD=∠BDC= 2180-∠B)=70,∠ACD=∠ACB-∠BCD=20: 5.AB、BE AB OA、OB、OCAC、BC、BE、AE、CE AEC、EBC、EBA、BCE、CAB6.47.10解析：如图，连接 OC.:CD⊥AB,∠CDO=90°.在Rt△OCD中，OC= √OD+DC=√32+4=5，∴.AB=20C=10,即⊙0的直 径为10. D 8.证明：连接OA、OB.OA=OB,∴.∠A=∠B.,OC=OD, ∴∠OCD=∠ODC.:∠OCD+∠OCA=180°，∠ODC+ ∠ODB=180°，∴.∠OCA=∠ODB,.△ACO2△BDO (AAS),.'.AC-BD. 课后拓展 9.C解析：如图，连接OP.在Rt△PAB中，AB=PA2+ PB.又在矩形PAOB中，OP=AB,∴.PA2+PB=AB= OP2.OP的大小不变，∴PA2+PB的值不变. N D 学·九年级上册(SK版) 1.课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版))》 复习课 知识梳理 1.一元二次方程的概念 (1)只含有 个未知数，且未知数的最高次数是 的整式方程叫作一元二次方程. (2)关于x的一元二次方程的一般形式是 (a、b、c是常数，a0),其 中 叫作二次项， 叫作一次项， 叫作常数项， 叫作二次 项系数， 叫作一次项系数， 2.一元二次方程的解法 (1)直接开平方法：形如ax2=p(a、p同号或p=0)、a(mx十n)2=p(a、p同号或p=0)或 (ax十b)2=(mx十n)2的一元二次方程可以用直接开平方法求解。 (2)用配方法解一元二次方程的一般步骤：①移项：把常数项移到方程的另一边；②系数化为 1:方程两边同时除以二次项系数；③配方：两边同时加上一次项系数的一半的平方；④求 解：利用直接开平方法求解. (3)用公式法解一元二次方程的一般步骤： ①把一元二次方程化成一般形式 ②确定 的值； ③求出 的值； ④若 ,则把a、b、c及b2-4ac的值代入求根公式，求出x1、x2;若b一4ac<0, 则方程没有实数根 说明：一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的根的情况：(I)当b-4ac>0时，方程 有 的实数根；（Ⅱ）当b一4ac=0时，方程有 的实数根；（Ⅲ）当 b2-4ac<0时，方程 实数根. (4)因式分解法： ①提公因式法； 平方差公式： ②公式法 完全平方公式： ③十字相乘法. 3.一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两根分别为x、x2,那么十x2= x1x2= 4.一元二次方程的实际应用 (1)传染病问题； (2)增长率问题：变化前的量为a,两次变化，变化后的量为b,平均变化率为x,则α(1士x)2=b,增 长取“十”，下降取“一”； (3)利润问题：在市场销售中，单件商品的利润、进价与售价之间存在的等量关系 为 ；总利润、单件商品的利润与销售量之间的等量关系为 (4)图形面积问题：根据图形的相关性质灵活建立 关系，从而建立适当的方程解决 问题.特别要注意的是，对于求得的方程的解要能够根据实际意义进行 ,选择符 合实际意义的正确答案， 38 第章一元二次方程 题组提优训练 目/考点一/一元二次方程与一元二次方程根的定义 1.下列方程属于一元二次方程的是 () A.2x-2=0 B.x2-x+1=0 C.1-2x=1 D.2xy=0 2.如果关于x的一元二次方程ax2十bx一1=0的一个解是x=一1，那么代数式2025一a+b 的值为 A.-2023 B.-2025 C.2024 D.2025 3.若关于x的一元二次方程(k一2)x2十x十一4=0有一个根是0，则= 4.若关于x的一元二次方程(m十2)x2+5x十m2十3m十2=0的常数项为0，则m= 5.若m是方程4x2一2x一7=0的一个根，则代数式m一2m2+3的值是 目/考点二/解一元二次方程 1.用配方法解一元二次方程x2十4x一3=0时，原方程可变形为 ( A.(x+2)2=1 B.(x+2)2=7 C.(x+2)2=13 D.(x+2)2=19 2.一元二次方程x2一2x=0的根为 () A.x1=x2=0 B.x1=x2=2 C.x1=0,x2=2 D.x1=0,x2=-2 3.利用公式法解得一元二次方程3x2一11x一1=0的两个解分别为a、b,且a>b,则a的值为 () A.-11+109 B.-11+V133 C.11+109 D.11+133 6 6 6 6 4.(1)方程x2-3=0的根是 (2)方程(x十2)(x+3)=x十2的根是 5.(1)若x2-4x十5=(x-2)2+m,则m= (2)将二次三项式x2+4x十5化成(x+p)2+g的形式应为 (3)已知实数a、b满足(a2十b)2-2(a2+b)=8,则a2+b= 6.(1)若三角形的两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x2一13x十40=0的根，则这个三 角形的周长为 (2)若等腰三角形一边的长为9，另一边的长为方程x2一8x十15=0的根，则这个等腰三角 形的周长为 39 一课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版))))》 7.用适当的方法解下列方程： (1020+2)2-6=0: (2)x2+4x-1=0; (3)3x2-1=6.x; (4)2(x-4)2=x2-16. 目/考点三/根的判别式和根与系数的关系 1.下列一元二次方程没有实数根的是 A.x2十2x十1=0 B.x2十x+2=0 C.x2-1=0 D.x2-2x-1=0 2.若关于x的一元二次方程x2十4x+k=0有两个相等的实数根，则 A.k=-4 B.k=4 C.k≥-4 D.k≥4 3.若常数a、b、c满足(a一c)2>a2十c2,则关于x的方程ax2十bx十c=0的根的情况是() A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.有一根为0 4.若关于x的一元二次方程x2十2x一1=0有实数根，则实数k的取值范围是 () A.k≥-1 B.k>-1 C.k≥-1且k≠0 D.k>-1且k≠0 5.(2023·乐山)若关于x的一元二次方程x2一8x十m=0的两根分别为x1、x2,且x1=3x2,则 m的值为 () A.4 B.8 C.12 D.16 6.若关于x的一元二次方程ax2十4x一2=0有实数根，则a的取值范围为 7.（1)设x1、x2是方程x2一4x十m=0的两个根，且十x2一x1x2=1,则x1十x2= m- (2)(2024·眉山)已知方程x2十x一2=0的两根分别为1、x2,则1十1的值为 (3)已知方程x2一2x一2=0的两根分别为x1、x2,则x1一x吃十4x2= 8.若关于x的一元二次方程x2十3(m一2)x+2c一1=0有两个相等的实数根，则c的最小 值是 9(2023·鄂州)若实数a,b分别满足a2-3a+2=0,-3b+2=0,且a≠b,则日+合- 40》 第章一元二次方程 10.已知关于x的一元二次方程x2一4x一2m十5=0有两个不相等的实数根 (1)求实数m的取值范围. (2)若该方程的两个根是符号相同的整数，求整数m的值. 11.已知关于x的一元二次方程x2一6x一k2=0(k为常数). (1)求证：方程有两个不相等的实数根. (2)设x1、x2为方程的两个实数根，且x1十2x2=14,求方程的两个实数根和k的值. 12.已知关于x的一元二次方程x2一4x十m十3=0有两个实数根1、x2. (1)求实数m的取值范围. (2)若c1、x2满足3c1+|x2=2,求m的值 13.已知关于x的一元二次方程mx2-(4m+2)x+(3m+6)=0. (1)试讨论该方程的根的情况并说明理由. (2)无论m为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根 《41 一、课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版)>>》号 目/考点四/一元二次方程的应用 1.阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一 A x p. 元二次方程的解法：先构造边长为x的正方形ABCD,再分别以BC、CD -G 为边作另一边长5的长方形，最后得到四边形AIFH是面积为64的正方 5 5 形，据此能列出关于x的一元二次方程是 () A.x2+10x=25B.x2+10x=64 C.x2+10x=39 D.x2+10x=89 2.某农场去年种植西瓜5亩，总产量为10000kg,今年该农场扩大了种植面积，并引进了新品 种，使总产量增长到30000kg.已知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的2倍，则平均 亩产量的增长率为 3.九年级举行班级足球赛，先把所有班通过抽签平均分成A、B两组，在每一组中进行单循环 的小组赛（每两个班之间比赛一场），再从每组中选出前4名进行比赛，最后进行决赛得出名 次.若A组共进行了21场小组赛，则九年级共有 个班. 4.某商场将进价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件.为了尽快减少库存，商 场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，每天可多售5件.如果每天要盈利 800元，那么每件应降价 元 5.一款服装每件进价为80元，当售价为120元时，每天可售出20件，为了扩大销售量，增加利 润，经市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件. (1)设每件服装降价x元，则每天销售量增加 件，每件服装盈利 元 (用含x的代数式表示) (2)在让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？ (3)商家能达到平均每天盈利1500元吗？请说明理由. 6.如图，在矩形ABCD中，BC=20cm,点P、Q、M、N分别从点A、B、C、D出发，沿AD、BC CB、DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点到达所在运动边的另一个端点时，所有点即 停止运动.已知在相同时间内，若BQ=xcm(x≠0)，则AP=2xcm,CM=3xcm,DN=x2cm (1)当x为何值时，点P、N重合？ (2)当x为何值时，以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形？ 42》 第章一元二次方程 目/考点五/配方法的运用 1.若x2+4x十k=(x十2)2，则常数k的值是 A.2 B.4 C.1 D.-4 2.若代数式x2-4x十a可化为(x-b)2-1,则a十b的值为 A.5 B.4 C.3 D.2 3.已知M=x2十x,N=3x一1，则M、N的大小关系是 A.M≥N B.MN C.M≤N D.M<N 4.x2-4x十1=(x-2)2 5.代数式x2一6x+25的最小值是 6.已知代数式-x2十4x+1,当x 时，代数式有最大值，其最大值为 7.某品牌服装进价为每件60元，当售价为80元时，平均每天可售出50件.为了增加销售量， 提高盈利，并尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经市场调查发现：如果每件服装 降价1元，那么平均每天就可多售出5件. (1)若想平均每天销售这种服装盈利1080元，则每件服装应降价多少元？ (2)用配方法证明：若想盈利最多，则每件服装销售价应定为多少元？ 8.先阅读下面的内容，再解决问题， 例题：若m2+2n2+2mn-6n十9=0，求m和n的值. 解：.m2+2m2+2mm-6n十9=0， ∴.m2+2mn+n2+n2-6n+9=0. ∴.(m十n)2+(n-3)2=0. ∴.m+n=0且n-3=0. .m=-3,n=3. 问题： (1)若x2十3y2-2xy十4y十2=0，求x和y的值. (2)求代数式x2+2x十y2-4y一1的最小值， 《43 课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版)) 直击中考前沿 1.(2024·凉山)若关于x的一元二次方程(a十2)x2+x十a2一4=0的一个根是x=0,则a的 值为 () A.2 B.-2 C.2或-2 2.(2024·北京)若关于x的一元二次方程x2一4x十c=0有两个相等的实数根，则实数c的 值为 () A.-16 B.-4 C.4 D.16 3.(2024·赤峰)若等腰三角形的两边长分别是方程x2一10x十21=0的两个根，则这个三角形 的周长为 () A.17或13 B.13或21 C.17 D.13 4.(2024·云南)两年前生产1kg甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产 1kg甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意，下列方程 正确的是 () A.80(1-x2)=60 B.80(1-x)2=60 C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60 5.(2024·乐山)若关于x的一元二次方程x2+2x十p=0两根为4、2，且+1=3，则p的 值为 A-号 C.-6 D.6 6.(2024·绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了 常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得 到方程的两个根是一2和一5.则原来的方程是 () A.x2+6.x+5=0 B.x2-7x+10=0 C.x2-5x+2=0 D.x2-6x-10=0 7.(2024·深圳)若一元二次方程x2一3x+a=0的一个解为x=1,则a 8.(2024·湖南)若关于x的一元二次方程x2一4x十2k=0有两个相等的实数根，则k的值 为 9.(2024·云南)若一元二次方程x2一2x十c=0无实数根，则实数c的取值范围为 10.(2024·南充)已知m是方程x2十4x一1=0的一个根，则(m十5)(m一1)的值为 11.(2024·泸州)已知x1、x2是一元二次方程x2一3x一5=0的两个实数根，则(x1一x2)2十 301x2的值是 12.(2024·凉山)已知y2-x=0,x2-3y2+x-3=0,则x的值为 13.(2024·烟台)若一元二次方程2x2一4x一1=0的两根分别为m、n,则3m2一4m十n2的值 为 44 第章一元二次方程 14.(2024·安徽)解方程：x2一2x=3. 15.(2024·青海)(1)解一元二次方程：x2-4x+3=0. (2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程的根，求第三边的长. 16.(2024·南充)已知x1、x2是关于x的方程x2一2kx十k2一十1=0的两个不相等的实数根. (1)求的取值范围. (2)若k<5,且、x1、x2都是整数，求k的值. 17.(2024·辽宁)某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y(件)与每件售价x(元)之 间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 每件售价x/元 45 55 65 日销售量y/件 55 45 35 (1)求y与x之间的函数关系式.（不要求写出自变量x的取值范围） (2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，请说明理由. 18.(2024·遂宁)已知关于x的一元二次方程x2-(m十2)x十m一1=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根， (2)如果方程的两个实数根为x1、x2,且x十x号一x1x2=9,求m的值. 《45