第1章 专题2 根的判别式和根与系数关系的综合应用-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版2012）

或-x一4=0∴a=号=-429.原方程可化为(2x 5=号开方，得2x-5=±号∴=吕a=9 30.移 项，得2x2-45x-8=0,a=2,b=-4V5,c=-8,-4ac= （-45)2-4×2×(-8》=14,x=45±12=5±3， .=5十3，x2=√5-3.31.原方程可化为x2-9x十2= 0,a=1,b=-9,c=2,b-4ac=(-9)2-4X1×2=73,.x= 9±压，9十，压，-9压.32.因式分解，得 2 (x-2一1)(x一2十5)=0，即(x一3)(x十3)=0，.x-3=0或 x+3=0,∴.01=3，x2=-3. 1.3一元二次方程的根与系数的关系 课堂演练 1.A解析：、x2是方程x2-6x一7=0的两个根，∴.x十 x2=6,122=-7.2.A解析：(-a)2-4X1X (一2)=a2十8>0，∴.方程有两个不相等的实数根，即x≠x2, 故A选项符合题意；根据根与系数的关系，得十x2=a, x1x2=一2<0，∴.方程的两个根异号，故C选项不符合题意： a的符号不能确定，故B、D选项不符合题意.3.C解析： ,x1x2=2,两根互为倒数，.k2=1,解得=士1.当=1 时，(2-)2-4k2=12-4×12=一3<0，不符合题意；当k= -1时，(2-k)2-42=32-4×(-1)2=5>0,符合题意.综 上所述，k的值为-14（D73(2号0③）-号 5.一2解析：设方程的另一个根为t,根据根与系数的关系， 得3t=一6，解得t=一2，即方程的另一个根为一2.6.5 解析：，'一元二次方程x2一5x十c=0的两个实数根分别是 x1、x2…x1+x2=5,xx2=c.x十x2=x1x2,∴.c=5. 7.根据题意，得x1十x2=2,x1x2=一5.(1)原式=（十 2)2-22=22-2×(-5)=14.(2)原式=(x1+x2)2 42=22-4×(-5)=24.(3)原式=西+2=2 5 2 ·(4)原式=x2-3(十x2)十9=-5-3×2+9= 一2.8.(1)：方程有两个实数根，.-4ac≥0，即42一4× 1×(m一1)=20一4m≥0，解得m≤≤5.故m的取值范围是m≤ 5.(2)由根与系数的关系，得x十x2=一4，x1x2=m一1.又 2(x+x2)+x2+10=0,.2×(-4)+(m-1)+10=0, 解得m=一1，经检验，m=一1符合题意.故m的值是一1. 课后拓展 9.C解析：x2一4x十4=0中，0十x2=4,故A选项不符合 题意；x2十2x一4=0中，x1十x2=一2，故B选项不符合题意； x2+4x一5=0中，十2=一4，故C选项符合题意；x2+4x十 10=0中，42一4×1×10=一-24<0，方程无实数根，故D选项 不符合题意.10.B解析：，m、n是一元二次方程x2十 4x-9=0的两个根，.m2+4-9=0,m十n=-4,∴.m2十 4m=9,∴.m2+5m+n=(m2+4m)+(m+n)=9+(-4)=5. 11.1解析：：方程x2一2x十k=0的两个根分别是x和x2, .(一2)2-4≥0，解得≤1.x12=,x2的最大值为1. 12.7解析：x1、x2是方程2x2十kx一2=0的两个实数根， 西十=-合k,=-1,(a-2)(0-2)= 2(x十)+4=-1-2×（-7)+4=10，解得=7. 13.(1)证明：：形-4ac=(2k-1)2-4×1×(-k-1)=4k2+ 1一4k十4k+4=4k2+5>0,.无论取何值，此方程总有两 个不相等的实数根.(2)由根与系数的关系，得十2= -(2k-1),2=-k-1.:十x2-41x2=2,∴.-（2k- 课时提优计划作业本·数 3 1)-4(-k-1)=2,解得k=-2.14.证明：(1)-4如× 2=b2-8a.a<0,.-8a>0,又6≥0，.6-8a>0,∴.该 方程总有两个不相等的实数根.(2)，、x2是方程ax2十 bx+2=0(a<0)的两根，∴x十=-b, 2=2 ,x2 a -2x1,x1+(-2x1)=-b ，x(-2)=2,即m= a a i=日（会）=一，即a+=0,15.(1)根据题 意，得b一4ac=(一6)2-4×1×(2m一1)≥0，解得m≤5.由 根与系数的关系，得x1十x2=6,x1x2=2m-1.x1=1, .1+x2=6,x2=2m-1,∴.x2=5,m=3.(2)存在.，(x1 6 1)(x2-1)= m-5-（十x2）+1= -5,即2m 6 1-6十1-95整理，得-8m十12=0，解得m=2,m= 6.由(1)得m5,又由分式有意义，得m≠5，.∴.m=2. 专题2根的判别式和根与系数关系的综合应用 1.B解析：，a=1,b=一(k十2)，c=2k,∴.形-4ac=[-(k+ 2)]2一4×1×2k=2+4k+4一8k=k2一4k十4=(k一2)2≥0， 方程总有实数根.2.D解析：：关于x的一元二次方程 9x2一6x十c=0有两个相等的实数根，.(-6)2一4×9×c= 0,解得c=1.3.B解析：.关于x的方程x2一x一m=0 有两个不相等的实数根，.6一4ac=(一1)2+4m>0,∴.m> 4·4.4解析：根据题意，得？-4ac=(-4)2-4×1X m=0,解得m=4.5.7(答案不唯一)解析：a=1,b=一5， 设常数为根据题意，得(-5)2-4X1Xc<0,解得c>2军。 6.≥一3且≠一2解析：根据题意，得k十2≠0且（一2）2 4×(k十2)×（一1）≥0，解得≥一3且≠-2，∴实数k的取 值范围是≥一3且k≠一2.7.(1)，关于x的一元二次方 程x2-2mx十2m-1=0的一个根为x=2,.22-4m十2一 1=0,m=2.(2)证明：-4ac=（-2m)2-4X1× (2m-1)=4m2-8m+4=4(m-1)2≥0，∴.无论m取什么值， 该方程总有两个实数根.8.(1)△ABC是等腰三角形.理由 如下：把x=一1代入方程得a+c一2b十a一c=0,则a=b, ∴，△ABC为等腰三角形.(2)△ABC为直角三角形.理由如 下：根据题意，得(2b)2-4(a十c)(a-c)=0,即b十c2=a2, '.△ABC为直角三角形.(3)，△ABC为等边三角形， a=b=c,方程化为x2十x=0,解得=0，x=-1.9.D 解析：将原方程整理，得x2-3x十2-m2=0.,a=1,b=一3， c=2-m2,∴.b2-4ac=(-3)2-4×1×(2-m2)=4m2+ 1>0,,原方程有两个不相等的实数根.，·方程的两个根的和 为x1十x2=3>0,,∴.方程至少有一个正实数根.10.C 解析：把方程a(t十1)2+b(t+1)+c=0看作关于t+1的一元 二次方程，设关于x的方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两根为 x1、x2,则方程a(t十1)2+b(t十1)十c=0的两根为右=x 1,t2=x2一1，，关于x的方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两根 之和是m,两根之积是n,.x1十x2=m,xx2=n,∴.tt2 (x-1)(x2-1)=x1x2-(x1十x2)+1=n-m十1.11.4 解析：设方程的另一个根为m,方程的一个根为一2，∴.一2十 m=2,解得m=4,.方程的另一个根为4.12.8解析：根 据题意，得x1十x2=3x2=-6,则x2=一2，将其代人方程x2十 6x+m=0,得(-2)2+6×(-2)+m=0,解得m=8.13.2030 解析：.a、b是方程x2十x一3=0的两个实数根，.a2十a=3, a+b=-1,∴.a2-b+2026=a2+a-(a+b)+2026=3+1+ 2026=2030.14.(1)13解析：由根与系数的关系，得 a十B=1,a3=-1,.s1=a十B=1,s2=a2十g=(a十)2 学·九年级上册(SK版) 2a8=12一2X(一1)=3.(2)猜想：5n=5m-1+5m-2.证明如 下：根据根的定义，得a2一α一1=0，两边都乘a-2,得a”一 a-1-a-2=0①，同理，g-g1-g-8=0②，①十②，得 (a”十g)-(a-1+B-1)-(a-2+B-2)=0.sn=a+g, 5n-1=a1十B1,5n2=a2+B-2,∴.5n-sm1-5m-2=0,即 sm=5m-1十sm-2.15.(1)证明：：a=1,b=-(m+3),c= 2(m+1),∴.-4ac=[-(m+3)]2-4×1×2(m+1)=m2- 2m+1=(m-1)2.(m-1)2≥0，即-4ac≥0，∴.不论m为 何值，方程总有实数根.(2)由根与系数的关系，得x1十x2 m+3,x1x2=2(m+1).x+x号=5，.（十x2)2-2x1x2= 5,即(m十3)2-2×2(m十+1)=5，整理，得m2+2m=0,解得 m=0,2=-2,∴.m的值为0或-2.16.(1)根据题意，得 [-(2a+1D]3-4X1×a2=4a+1>≥0，a>-是.a+36= 26=专2-a)≤是故6的最大值是是.(2)：=对， .十x2=0或一x2=0.若0十x2=0,则2a十1=0，解得 。=一号，不满足(1)中a的取值范固，舍去：若一=0，则 4a十1=0，解得a=一子，满足(1)中a的取值范围.综上所 述，a的值为-子 周练（二） 1.C解析：x(x-5)=5-x,∴.x(x-5)+(x-5)=0, .(x-5)(x十1)=0，∴x-5=0或x+1=0,解得=5， x2=一1.2.C解析：，关于x的一元二次方程x2-4x十 c=0有两个相等的实数根，.（一4）2一4c=0,解得c=4. 3.D解析：将x=1代入方程，得a-3十2=0，解得a=1, .a的正确值为一1，则原方程为-x2-3x十2=0，∴.(-3)2- 4×(一1)×2=17>0，∴.原方程有两个不相等的实数根 4.B解析：，x2一4x=1,.x2一4x+4=5,即(x一2)2=5. 5.D解析：，关于x的方程x2+(m一1)x一2=0的两实数 根为x、x2,.十x2=1一m,x1x2=一2，x1x2一x1一x2 x1x2-(x1十x2)=2,∴.-2+m-1=2,∴.m=5.6.x1=0, x2=2解析：，x2-2x=0,.x(x-2)=0,.x=0或x 2=0,解得石=0，=2.7.m<号且m≠1解折：方程 有两个不相等的实数根，.b2一4ac=32一4×(m一1)×2>0， 解得m<名又“方程为关于x的一元二次方程，∴m-1≠ 0,m1,m的取值范国为m<号且m≠1.813解 析：x2-6x=1,x2-6x十9=1十9，.(x-3)2=10, ∴.m=3,n=10,∴.m十n=3十10=13.9.>解析：M N=x2+x-(3x-2)=x2-2x+2=(x-1)2+1,(x 1)2≥0，M->0,MN.10.59 解析：一元二次 方程8x2-2x-15=0的根为x1、x2,∴.8x1-2x一15=0， x1十2=-。2=8一30欢=8一2（十2）月 15-1=59. 4=翠11.(1)(2zx-1)2=9,2x-1=士3，a= 2,2=-1.(2)3.x(x-1)=x-1,∴.3x(x-1)-(x-1)= 0,.(x-1)(3x-1)=0,.x-1=0或3x-1=0,.0=1, 西=332x+3x-4=02+8x=22+号x+ 1 =2+最即(+广-0x+=士 4 -3+厘，=3④ 4 4 (4)3x2-6x+1=0,a=3,b= 课时提优计划作业本·数 -6,c=1,∴2-4ac=(-6)2-4X3X1=24,x=6告24 2×3 36=3+6,=3-6.12.1)把c=2代入方 3 3 31 1 程，得2-2×2+2m-1=0,解得m=2.(2)当m=-1 时，原方程为x2一2x一3=0，∴.(x一3)(x十1)=0，.x一3=0 或x十1=0，∴x=3,x2=一1.(3)方程有实数根，. 4ac=(-2)2-4(2m-1)≥0，解得m≤1，，m为正整数， m=1,原方程为x2-2x十1=0，.(x-1)2=0,.x1=x2= 1.13.(1)关于x的一元二次方程x2-(2m十1)x十m2+ 2=0有实数根，∴.-4ac≥0，即[-(2m十1)]2-4(m2+ 2)≥0，整理，得4m一1≥0，解得m≥子.(2)：该方程的两 个实数根分别为x、x2,.x十x2=2m十1，xx2=m2+2. +☆-含“a㎡+20， 12 同号=分0合或司- 2 m2+2 解得m=0或m=4或m三-2，m≥，m=4 14.(1)证明：.b2一4ac=[一(2k+1)]2一4×1×(k2+k)= 1>0,.方程有两个不相等的实数根.(2)：x2一(2k+1)x十 k2+k=0,.(x-k)[x-(k+1)]=0,∴x=,x2=k+1,即 AB、AC的长分别为k、k十1.当AB=BC时，即k=4,满足三 角形构成条件；当AC=BC时，k+1=4,解得k=3,满足三角 形构成条件.综上所述，k的值为3或4. 1.4用一元二次方程解决问题 第1课时图形面积问题与变化率问题 课堂演练 1.B2.C解析：设BC的长为xm,则AB的长为2(10+ 1-x)m,根据题意，得2(10+1-x)x=15,解得x=5或x= 6>5.5(不符合题意，舍去)，即BC的长为5m.3.10% 解析：设该公司这两年缴税的年平均增长率是x,根据题意， 得40(1十x)2=48.4,解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不符 合题意，舍去)，该公司这两年缴税的年平均增长率是10%. 4.11解析：设参加酒会的人数为x.根据题意，得2x(x 1)=55,整理，得x2-x-110=0,解得x1=11,x2=一10（不 符合题意，舍去)，.参加酒会的人数为11.5.(1)设每个月 盈利的增长率为x,根据题意，得6400(1+x)2=8100,解得 x1=0.125=12.5%,x2=-2.125(不合题意，舍去).答：每个 月盈利的增长率为12.5%.(2)8100×(1+12.5%)=8100× 1.125=9112.5(元).答：按照这个增长率，估计这家商店5月 份盈利9112.5元.6.设预留的上、下通道的宽度为xm, 则矩形冰场的宽为(12-2x)m,矩形冰场的长为号(12-2x)m 根据题意，得2×号(12-2x)(12-2x)=27×12×号，整理， 3 得(12-2x)2=81,解得x1=立2=2 （不符合题意，舍去）， 3[27-2x号12-2a)]=×[21-2x号×(12-2× 3 )门-1m.答：预留的上、下通道的宽度为多m,左、中、 右通道的宽度为1m. 课后拓展 7.A解析：道路的宽为x,'.作为草坪的部分可合成长 为(38一x)m、宽为(20一x)m的矩形.根据题意，得(20 学·九年级上册(SK版)课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版))>》号 专题2根的判别式和根与系数关系的综合应用 目/类型一/根的判别式的应用 1.关于x的一元二次方程x2一(k+2)x十2k=0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.总有实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 2.(2024·兰州)关于x的一元二次方程9x2一6x十c=0有两个相等的实数根，则c=() A.-9 B.4 C.-1 D.1 3.(2024·济南)若关于x的方程x2一x一=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ( ) A.m<-4 B.mz C.m<-4 D.m>-4 4.(2023·徐州)如果关于x的方程x2一4x十m=0有两个相等的实数根，那么实数m的值 为 5.请填写一个常数，使得一元二次方程x2-5x十 =0没有实数根. 6.如果关于x的一元二次方程(k十2)x2一2x一1=0有实数根，那么实数k的取值范围 是 7.已知关于x的一元二次方程x2一2mx十2m一1=0. (1)若该方程有一个根是2，求m的值. (2)求证：无论m取什么值，该方程总有两个实数根， 8.已知关于x的一元二次方程(a十c)x2十2bx+(a一c)=0,其中a、b、c分别为△ABC三边的长. (1)如果x=一1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由 (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由. (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 目/类型二/根与系数关系的应用 9.关于x的方程(x一1)(x一2)一m2=0的根的情况是 () A.有一正一负两个不相等的实数根 B.有两个不相等的正实数根 C.至多有一个正实数根 D.至少有一个正实数根 24 第章一元二次方程 10.若关于x的方程ax2+b.x+c=0(a≠0)的两根之和是m,两根之积是n,则关于t的方程 a(t+1)2+b(t+1)+c=0的两根之积是 ) A.n+m-1 B.n+m+1 C.n-m+1 D.n-m-1 11.(2024·巴中)已知方程x2-2x十k=0的一个根为一2，则方程的另一个根为 12.设x1、x2是关于x的方程x2+6x十m=0的两个根，且x1=2x2,则m= 13.已知a、b是方程x2十x一3=0的两个实数根，则a2一b+2026= 14.已知a、β(a>β)是一元二次方程x2一x一1=0的两个实数根，51=a十B,52=a2十B2,…,sn= an十B" (1)直接写出1、S2的值：S1= ,S2= (2)经计算可得：S3=4,54=7,s5=11.当n≥3时，试猜想Sm、5m-1、Sm-2之间满足的数量关系， 并证明. 目/类型三/根的判别式和根与系数关系的综合应用 15.已知关于x的一元二次方程x2一(m十3)x+2(m十1)=0. (1)求证：不论m为何值，方程总有实数根， (2)若该方程有两根为x1、x2,且x1+x=5,求m的值 16.已知关于x的一元二次方程x2-(2a十1)x十a2=0有两个实数根x1、x2,且a+3b=2. (1)求b的最大值， (2)若x=x,求a的值. 《25