1.4.3 几何问题-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版2012）

课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版))))》 第3课时几何问题 课堂演练 1.【数学文化】（教材习题变式）《九章算术》中记载着这样一个问题：如图，已知甲、乙两人同时从 同一地点A出发，甲的速度为每单位时间走7步，乙的速度为每单位时间走3步，乙一直向东 走，甲先向南走10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇，那么相遇时，甲、乙各走了多 远？设甲、乙两人从出发到相遇用了x个单位时间.根据勾股定理可列方程为 () A.(3x)2=(7x)2-102 B.(3x)2+(7x)2=102 →东 C.(3x)2=(7x-10)2 D.(3x)2+102=(7x-10)2 2.(教材习题变式)如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=8cm,BC=10cm,点P由点A出 发，沿边AB以2cm/s的速度向点B移动；点Q由点B出发，沿边BC以3cm/s的速度向 点C移动.如果点P、Q分别从点A、B同时出发， (1)经过多长时间后，△PBQ的面积等于9cm? (2)经过多长时间后，P、Q两点间的距离是2√13cm? 3.如图，将边长为4的正方形ABCD沿其对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得 到△A'B'C. (1)当两个三角形重叠部分的面积为3时，求△ABC移动的距离. (2)当△ABC移动的距离是多少时，重叠部分是菱形？ D 4.一艘轮船以20km/h的速度由西向东航行，某台风中心正以40km/h的速度由南向北移 动，距台风中心100km(包括边界)的圆形区域都属台风影响区.如图，当轮船行至A处时， 接到台风警报；台风中心正位于A处正南方向的B处，且AB=200k,从接到台风警报开 始，最早经过多长时间轮船就会进入台风影响区？ 北 32》 第章一元二次方程 课后拓展 5.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=12cm,BC=24cm,动点P从点A出发沿边AB向点 B以2cm/s的速度移动，同时动点Q从点B出发沿边BC向点C以4cm/s的速度移动，当 点P运动到点B时，P、Q两点同时停止运动，设运动时间为ts. (1)BP= cm;BQ= cm.(用含t的代数式表示) (2)D是AC的中点，连接PD、QD,当t为何值时，△PDQ的面积为40cm? 6.如图，A、B、C、D为矩形的四个顶点，AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时 出发，点P以3cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q以2cm/s的速度向点 D移动，点P停止时点Q即停止. (1)P、Q两点从开始出发经过多长时间，四边形PBCQ的面积为33cm? (2)P、Q两点从开始出发经过多长时间，点P和点Q的距离是10cm? 7.如图，已知正方形ABCD的边长为4cm,动点P从点B出发，以2cm/s的速度沿B-→C→D 方向向点D运动；动点Q从点A出发，以1cm/s的速度沿A→B方向向点B运动.若P、Q 两点同时出发，运动时间为ts (1)连接PD、PQ、DQ,是否存在t的值，使得△PQD的面积为11cm? (2)当点P在边BC上运动时，是否存在这样的t,使得△PQD是以PD为一腰的等腰三角 形？若存在，求出符合条件的t的值；若不存在，请说明理由， 33x)(38一x)=540.8.B解析：设每轮传染中平均一个人传 染了x人.根据题意，得1十x十x(1+x)=144,整理，得(1+ x)2=144,解得1=11，x2=一13（不符合题意，舍去）.故每轮 传染中平均一个人传染的人数为11.9.2解析：设底面长 为acm,宽为bcm,剪去的正方形的边长为xcm根据题意， 得a=10-2x,b=号(12-2x)=6-x,代人ab=24中，得 (10一2x)(6-x)=24,整理，得x2一11x十18=0，解得x1=2, x2=9(不符合题意，舍去)，∴.剪去的正方形的边长为2cm. 10.(1)设小路的宽度是xm.根据题意，得(20十2x)(16十 2.x)=480.整理，得x2+18x一40=0，解得01=2，x2=一20（不 符合题意，舍去).答：小路的宽度为2m.(2)设每次降价的 百分比为y.根据题意，得50(1一y)2=32,解得y1=0.2= 20%,y2=1.8(不符合题意，舍去).答：每次降价的百分比为 20%.11.(1),BC=xm,且矩形面积比为1：2，.CD= 2xm,∴BD=3xm,AB=CF=DE=3(24-BD)=(8-x）(m. 根据题意，得3x(8-x)=36,整理，得x2一8x十12=0，解得 x1=2,x2=6.当x=2时，3x=3×2=6<10,符合题意；当 x=6时，3x=3×6=18>10,不符合题意，舍去.即此时x的 值为2.(2)这个想法不能实现，理由如下：假设这个想法能 实现，根据题意，得3x(8一x)=50,整理，得3x2一24x十50= 0,.一4ac=(一24)2一4×3×50=一24<0，∴.原方程没有 实数根，∴假设不成立，即这个想法不能实现. 第2课时价格变化问题 课堂演练 1.C解析：设每件降价x元，则每天可以多销售4x件，每件 的利润为(40-x)元，根据题意，得(40-x)(20+4x)=1000. 2.52元或58元解析：设该商店这种小家电的定价是x元， 则每个的销售利润为(x一40)元，可销售[200一10(x一50)]个 根据题意，得(x一40)[200一10(x一50)]=2160，整理，得x2一 110x十3016=0，解得x=52,x2=58,∴.该商店这种小家电 的定价是52元或58元.3.(1)方法1：(60-x-40)(100+ 10x)=2240.方法2：(x-40)[100+10(60-x)]=2240. (2)方法1：设每千克特产应降价x元.根据题意，得(60一x 40)(100+10x)=2240,解得x1=4,x2=6.要让销售量尽可 能大，故取x=6,60一6=54（元）.答：每千克特产应定价 54元.方法2：设每千克特产降价后定价为x元，根据题意， 得(x-40)[100+10(60-x)]=2240,解得x1=54,x2=56. 要让销售量尽可能大，故取x=54.答：每千克特产应定价54元. 4.(1)60-无200+x(60-品)×20(2)根据题意，得 (200+x0(60-品)-(（60-)×20=14000，整理，得x 420x十32000=0，解得x1=320,x2=100.当x=320时，有游 客入住的客房数量是60-320=28（间），当x=100时，有游客 10 人住的客房数量是60-10=50（间），当x=100时，能吸引 10 更多的游客，则每间客房的定价应为200+100=300（元/天）. 答：每间客房的定价应为每天300元 课后拓展 5.B解析：根据题意，得(4+a)(120-10a)=(4-b)(120+ 10b),解得a一b=8.6.50解析：根据3月份用电80千瓦 时，交电费35元，得20+100(80-a)=35,即d-80a+1500= 0,解得a1=30,a2=50..4月份用电45千瓦时，交电费20元， .a≥45，.a=50.7.(1)当55≤x≤60时，y=800;当60< x65时，设y与x之间的函数关系式为y=kx十b.一次函 数的图像过(60,800)和(65,300)，. 69十80解得 课时提优计划作业本·委 (k=-100y=-100x十680.综上所述，y与x之间的函 1b=6800, 数关系式为y= 1800(55≤60)， -100z+6800(60<≤65).(2)当55≤ x60时，(x一42)×800=12000，解得x=57;当60<x≤65 时，(x-42)(-100x十6800)=12000，解得x1=62,x2=48 (不符合题意，舍去).答：每件服装的售价为57元或62元 8.(1)20+2×4=28(件)，(40-4)×28=1008（元）.答：平均 每天可售出28件衬衫，此时每天销售获利1008元.(2)设 每件衬衫应降价x元，则每件盈利(40一x)元，每天可售出 (20十2x)件.根据题意，得(40一x)(20十2x)=1200,整理，得 x2一30x十200=0，解得x1=10,x2=20.又：每件盈利不少于 25元，x=10.答：每件衬衫应降价10元. (3)该衬衫每天 的销售获利不能达到1300元.理由如下：设每件衬衫应降价 y元，则每件盈利(40一y)元，每天可售出(20十2y)件.根据题 意，得(40-y)(20十2y)=1300,整理，得y2-30y+250=0. ,(-30)2-4×1×250=一100<0，.该方程无实数根，故该 衬衫每天的销售获利不能达到1300元. 第3课时几何问题 课堂演练 1.D解析：根据题意，得AC=3x步，AB十BC=7x步， AB=10步，.BC=(7x-10)步，∠A=90°，由勾股定理 得(3.x)2+102=(7x-10)2.2.(1)设经过xs后，△PBQ的 面积等于9cm,则BP=(8一2x)cm,BQ=3xcm.根据题意， 得2(8-2x)×3x=9,化简，得x2-4x+3=0,解得=1， x2=3.答：经过1s或3s后，△PBQ的面积等于9cm.(2)设 经过ys后，P,Q两点间的距离是2/13cm,则BP=(8一2ycm, BQ=3ycm.根据题意，得(8-2y)2+(3y)2=(2√13)2，化简， 得13Y-32)十12=0，解得1=品=2，答：经过8s或 2s后，P、Q两点间的距离是2√/13cm. 3.(1)如图，AA的长即为△ABC移动的 A D 距离.设AC与A'B交于点E,DC与A'C 交于点F,设AA'=x,则A'E=AA'=x, AD=4一x,重叠部分的面积为x(4一x). 根据题意，得x(4一x)=3,解得x=1或 B C x=3,即△ABC移动的距离为1或3， (2)当四边形A'ECF是菱形时，A'E=A'F.设AA'=y,则 A'E=A'F=CF=y,∴.A'F2=2A'D2,.x2=2(4-x)2,.x= 8一4√2或8+4√2（不符合题意，舍去），即当△ABC移动的距 离是8一4v2时，重叠部分是菱形.4.设途中会遇到台风， 且最初遇到的时间为th,此时轮船位于C处，台风中心移到 E处，连接CE,则AC=20tkm,AE=AB-BE=(200 40t)km.AC2+AE2=CE,∴.(20t)2+(200-40t)2=1002, 解得t1=3,t2=5(不符合题意，舍去).答：最早经过3h轮船 就会进入台风影响区. 北 课后拓展 5.(1)(12-2t)4t(2)如图，过点D作DH⊥BC于点H :∠B=90°，即AB⊥BC,.AB∥DH.又D是AC的中点， “BH=BC=12cm,DH是△ABC的中位线，DH= 学·九年级上册(SK版) 2AB=6m根据题意，得2×12×24-号×4X(12-2) 号×(24-40×6-号×2×12=40，整理，得2-6+8=0， 1 解得=2，t2=4,即当t=2或4时，△PBQ的面积是40cm. D E- B C (第5题) (第6题) 6.(1)设P、Q两点从开始出发到xs时，四边形PBCQ的面 积为33cm,则PB=(16一3x)cm,CQ=2xcm.根据梯形的 面积公式，得号×(16-3z+2)×6=33,解得x=5,∴P、Q 两点从开始出发到5s时，四边形PBCQ的面积为33cm. (2)设P、Q两点从开始出发到ts时，点P、Q间的距离是 10cm.如图，过点Q作QE⊥AB,垂足为E,则QE=AD= 6 cm,PQ=10 cm.'.AP=3t cm,BE=CQ=2t cm,.'.PE= AB-AP-BE=|16-5t|cm由勾股定理得PE+QE= PQ,即(16-5t)2+62=102,解得=1.6，t2=4.8,.P、Q两 点从出发开始到1.6s或4.8s时，点P和点Q的距离是 10cm.7.(1).4÷2=2(s),.当点P在边BC上时，0≤≤ t≤2，由题意，得AQ=tcm,BQ=(4-t)cm,BP=2tcm,PC= (4-2L)cm,·S△OD=S正方形ABCD-S△AQ-S△BrQS△CPD, 16-号×4X1-号×(4-0×21-号×4×(4-2)=11，整 理，得-2t一3=0，解得=一1，t2=3,都不符合题意，舍 去；当点P在边CD上时，2<t≤4，由题意，得AQ=tcm, DP-(8-2t)cm,SAD-BC.DP,:X4X(8- 2)=11,解得=号（不符合题意，舍去).综上所述，不存在t 的值，使△PQD的面积为11cm.(2)存在.理由如下：由题 意，得AQ=tcm,BQ=(4-t)cm,BP=2tcm,PC=(4 2t)cm(0≤t≤2).当DP=DQ时，：DC=DA,∠A=∠C= 90°，..Rt△DCP≌Rt△DAQ(HL),.PC=AQ,即4-2t=t, 解得=专；当PD=PQ时，在Rt△PBQ中，PQ=PB十 BQ=(2t)2+(4一t)2,在Rt△PCD中，PD=PC+CD2= (4-2t)2十42，.∴.(2t)2十(4一t)2=(4-2t)2十42，整理，得t十 8t-16=0,解得1=一4V2一4（舍去），t2=4V2-4.综上所 述，当1=号或42-4时，△PQD是以PD为一腰的等腰三 角形 周练（三） 1.C解析：根据题意，阔为x步，则长为(x十12)步，根据题 意可列方程为x(x十12)=864.2.A解析：设框的长为 xcm,则宽为100,2Z=(50一x）cm,根据题意，得x(50 2 x)=600,解得x1=30,x2=20,x>50-x,即x>25,.框的 长为30cm,则宽为20cm3.B解析：设该群共有x人，根 据题意，得x(x-1)=90,解得x1=一9（舍去），x2=10,即这 个群共有10人.4.C解析：根据题意，得a2-2a=1,解得 a=1土√2，，a>0,.a=√2+1.5.10%解析：设该商品 每次降价的百分率为x,根据题意，得(1一x)2=81%,解得 x1=0.1=10%,x2=1.9(不符合题意，舍去)，即该商品每次 降价的百分率为10%.6.8解析：设每个枝干长出x个小 课时提优计划作业本·委 分支，则1十x十x2=73,解得x1=8,x2=一9（舍去），∴.每个 枝干长出8个小分支：7.9 解析：当物体落回地面时高 度为0，即7x一4.92=0，解得五=0（含去），2=9，即物体 经过9s回落地面。8.1m解析：根据题意，得(18 2x)(15-x)=224,整理，得x2-24x+23=0,解得=1， x2=23(不符合题意，舍去)，即图中x的值为1m9.4或6 解析：如图，过点E作EH⊥AC于点H,设运动时间为ts(t 10).在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=5cm,∴.AC=2BC= l0cm.根据题意，得AE=2tcm,CF=tcm,∴.AF=(10 )cm,EH=之AE=tcm,”△AEF的面积恰为12cm, 2(10-)=12,解得有=4，=6，经过4s或6s后， △AEF的面积恰为12cm 10.设该城区绿化面积的年平均增长率为x.,该市某城区 2023年底时绿化面积约为10万亩，计划到2025年底时绿化 面积达到14.4万亩，.10(1十x)2=14.4,解得x1=0.2,x2= 一2.2（不符合题意，舍去），答：该城区绿化面积的年平均增长 率为20%.11.(1)95解析：99-50,42=99一4= 95(元/件)，∴.当销售量为50件时，产品售价为95元/件. (2)根据题意，得y=42十2(99-x)=一2x十240，该产品的 进价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远 不会超过99元/件，∴.日销售量y(件)与售价x(元/件)的函 数关系式为y=一2x+240(70<x≤≤99).(3)根据题意，得 (x-70)(-2x+240)=1200,整理，得x2-190x十9000=0， 解得=90，x2=100(不符合题意，舍去).答：该产品的售价 应定为每件90元.12.(1)设AB的长为xm,则x(37+1 2x)=120,解得01=4，x2=15..0≤38-2x≤10，.14≤x 19,∴.x=15.答：矩形种植园一边AB的长为15m(2)设 AB的长为xm,则x(37+101-2延)=180，化简，得-x+ 2 24x-180=0,,-4ac=242一4×180=一144<0，此方程无 实数根，.不能围成面积为180m的矩形种植园！ 综合与实践 1.任务1：设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的 月平均增长率为x,根据题意，得3(1十x)2=5.07,解得x1= 0.3=30%,x2=一2.3（不符合题意，舍去）.答：从1月份到 3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为30%. 任务2：设下调后每辆汽车的售价为y万元，则每辆汽车的销 售利润为(y一15)万元，平均每周可售出8+25二义×1= 0.5 (58-2)辆，根据题意，得(y一15)(58-2y)=96,整理，得 y2-44y十483=0，解得1=21,2=23，又，要尽量让利于顾 客，y=21.答：下调后每辆汽车的售价为21万元.2.任 务1：(40一2x)2令(40-2x)2=900,解得x1=5,x2=35(不 符合题意，舍去)，∴底面积能达到900cm2.任务2：根据题 意，得AB=号[80-2x-(40-2x)]=2×(80-2x-40+ 2x)=号×40=20(cm。任务3：两个方案制作的两种无 学·九年级上册(SK版)