1.4 用一元二次方程解决问题（教学课件）数学苏科版九年级上册

苏科版·九年级上册 1.4 用一元二次方程 解决问题 第一章 一元二次方程 章节导读 学 习 目 标 1 2 能由实际问题抽象出一元二次方程，掌握用一元二次方程解决问题的一般步骤 能用一元二次方程解决图形面积问题、增长率问题、商品销售问题、动态几何问题、数字问题等 知识回顾 1. 用一元一次方程解决问题的一般步骤： 步骤 注意点 （一）审 审题，明确已知未知，找出等量关系 等量关系关键句中找 （二）设 设未知数 一般要带单位 （三）列 根据等量关系列方程 方程两边单位要统一 （四）解 选择合适的方法解方程 一般不必写出解方程的过程 （五）验 检验未知数的值是否满足方程， 检验该值在实际问题中是否有意义 若不符合实际意义，要舍去 （六）答 写出实际问题的答案 注意带上单位 新知探究 知识要点 类似地，用一元二次方程解决问题的一般步骤： 步骤 注意点 （一）审 审题，明确已知未知，找出等量关系 等量关系关键句中找 （二）设 设未知数 一般要带单位 （三）列 根据等量关系列方程 方程两边单位要统一 （四）解 选择合适的方法解方程 一般不必写出解方程的过程 （五）验 检验未知数的值是否满足方程， 检验该值在实际问题中是否有意义 若不符合实际意义，要舍去 （六）答 写出实际问题的答案 注意带上单位 典例分析 图形面积 典例1 如图，在宽为20m，长为38m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪。要使草坪的面积为540m2，求道路的宽。如果设小路宽为x m，根据题意，所列的方程为_______________________。 【分析】 等量关系：草坪的面积为540m2 解：∵小路宽为x m， ∴种植草坪的部分可合成长为( 38 - x ) m，宽为( 20 - x ) m的矩形， 由题意可得：( 20 - x ) ( 38 - x ) = 540。 ( 20 - x ) ( 38 - x ) = 540 新知探究 知识要点 增长率有关公式： ( 1 ) 增长率 = × 100% = × 100%； ( 2 ) 现数量 = 原数量 × ( 1 + 增长率 )。 eg：若原数量为a，每一轮的增长率为x， 则第一轮增长后的数量为a ( 1 + x )； 第二次增长后的数量为a ( 1 + x )2。 原数量 第一轮 第二轮 a a ( 1 + x ) a ( 1 + x )2 典例分析 增长率 典例2 小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为x，则根据题意可列方程为___________________。 第一天揽件数（单位：件） 第二天揽件数（单位：件） 第三天揽件数（单位：件） 200 200 ( 1 + x ) 242 200 ( 1 + x )2 【分析】 等量关系：200 ( 1 + x )2 = 242 200 ( 1 + x )2 = 242 新知探究 知识要点 下降率有关公式： ( 1 ) 下降率 = × 100% = × 100%； ( 2 ) 现数量 = 原数量 × ( 1 - 下降率 )。 eg：若原数量为a，每一轮的下降率为x， 则第一轮下降后的数量为a ( 1 - x )； 第二次下降后的数量为a ( 1 - x )2。 原数量 第一轮 第二轮 a a ( 1 - x ) a ( 1 - x )2 典例分析 下降率 典例3 某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由256元降为196元。若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，则根据题意可列方程为___________________。 原价 （单位：元/块） 经第一次降价后的价格 （单位：元/块） 经第二次降价后的价格 （单位：元/块） 256 256 ( 1 + x ) 196 256 ( 1 - x )2 【分析】等量关系：256 ( 1 - x )2 = 196 256 ( 1 - x )2 = 196 典例分析 商品销售 典例4 某商店经销一批小家电，每个小家电成本40元，经市场预测，定价为50元时，可销售200个，定价每增加1元，销售量将减少10个，如果商店进货后全部销售完，赚了2160元，该小家电定价是____________元。 【分析】 等量关系：每个的销售利润 × 销售数量 = 总利润2160元 解：设该小家电定价时x元， 则每个的销售利润为( x - 40 )元，可销售[ 200 - 10 ( x - 50 )]个， 由题意可得：( x - 40 ) [ 200 - 10 ( x - 50 ) ] = 2160，整理得：x2 - 110x + 3016 = 0， 解得：x1 = 52，x2 = 58，经检验，两解都成立， 答：该小家电定价是52元或58元。 52或58 典例分析 动态几何 典例5 如图，在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 12cm，BC = 9cm。现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动。设运动的时间为t s，当t为何值时，Rt△CPQ的面积等于5cm2？ 解：由题意可得：CP = 12 - 2t，CQ = t， ∴S△CPQ = CP·CQ = ( 12 - 2t ) t = 5，解得：t1 = 1，t2 = 5， ∵当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动， ∴2t ≤ 12，解得：t ≤ 6，∴t = 1或t = 5两解都成立， 答：当t = 1或t = 5时，Rt△CPQ的面积等于5cm2。 【分析】等量关系：S△CPQ = CP·CQ = 5cm2 典例分析 数字 典例6 一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x，则可列方程为_____________________________。 解：由题意可得：十位数字是( x + 4 )，这个两位数是[ 10 ( x + 4 ) + x ]， ∴x2 + ( x + 4 )2 = 10 ( x + 4 ) + x - 4。 【分析】 等量关系：( 个位数字 )2 + ( 十位数字 )2 = 这个两位数 - 4 x2 + ( x + 4 )2 = 10 ( x + 4 ) + x - 4 题型探究 【例1】如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长36米的围栏建两个面积相同的生态园，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米。（围栏宽忽略不计） ( 1 ) 每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长； ( 2 ) 每个生态园的面积能否达到60平方米？请说明理由。 图形面积问题 题型一 解：( 1 ) 设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为米， 由题意可得：x· = 48，整理得：x2 - 12x + 32 = 0， 解得：x1=4，x2=8（不合题意，舍去），∴ = = 12， 答：每个生态园的长为12米，宽为4米。 【分析】( 1 ) 等量关系：生态园的面积为48平方米 题型探究 【例1】如图，用一面足够长的墙为一边，其余三边用总长36米的围栏建两个面积相同的生态园，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过6米。（围栏宽忽略不计） ( 1 ) 每个生态园的面积为48平方米，求每个生态园的边长； ( 2 ) 每个生态园的面积能否达到60平方米？请说明理由。 图形面积问题 题型一 解：( 2 ) 每个生态园的面积不能达到60平方米，理由如下： 设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为米， 由题意可得：y· = 60，整理得：y2 - 12y + 40 = 0， ∵Δ = ( -12 )2 - 4 × 1 × 40 = -16 < 0， ∴该方程无实数根，即每个生态园的面积不能达到60平方米。 【分析】( 2 ) 等量关系：生态园的面积为60平方米 题型探究 增长率 / 下降率问题 题型二 【例2】( 1 ) 某网络学习平台2022年的新注册用户数为100万，2024年的新注册用户数为169万，设新注册用户数的年平均增长率为x ( x > 0 )，则x = _______； 2022年的用户数（单位：万） 2023年的用户数（单位：万） 2024年的用户数（单位：万） 100 100 ( 1 + x ) 169 100 ( 1 + x )2 解：( 1 ) 由题意可得：100 ( 1 + x )2 = 169， 解得：x1 = 0.3 = 30%，x2 = -2.3（不合题意，舍去）。 【分析】( 1 ) 等量关系：100 ( 1 + x )2 = 169 30% 题型探究 增长率 / 下降率问题 题型二 【例2】( 2 ) 某商品原价每件75元，两次降价后每件48元，则平均每次的降价百分率是_______。 原价 （单位：元/件） 经第一次降价后的价格 （单位：元/件） 经第二次降价后的价格 （单位：元/件） 75 75 ( 1 - x ) 48 75 ( 1 - x )2 解：( 2 ) 设平均每次的降价百分率是x， 由题意可得：75 ( 1 - x )2 = 48， 解得：x1 = 0.2 = 20%，x2 = 1.8（不合题意，舍去）， ∴平均每次的降价百分率是20%。 【分析】 ( 2 ) 等量关系：75 ( 1 - x )2 = 48 20% 题型探究 商品销售问题 题型三 【例3】某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元，乙的成本为7元。甲现在的售价为10元，每天卖出30个；售价每提高1元，每天少卖出2个。乙现在的售价为14元，每天卖出6个；售价每降低1元，每天多卖出4个。假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变（和为36袋），且售价均为整数。 ( 1 ) 当甲的售价提高x元，乙的售价为__________元；（用含x的代数式表示） ( 2 ) 当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？ 解：( 1 ) 甲商品的售价提高x元，则甲商品每天少卖出2x个， ∵甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变，∴乙商品每天多卖2x个， 又∵售价每降低1元，每天多卖出4个， ∴乙的售价为：14 - = 14 - （元）； ( 14 - ) 题型探究 商品销售问题 题型三 【例3】某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元，乙的成本为7元。甲现在的售价为10元，每天卖出30个；售价每提高1元，每天少卖出2个。乙现在的售价为14元，每天卖出6个；售价每降低1元，每天多卖出4个。假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变（和为36袋），且售价均为整数。( 1 ) 当甲的售价提高x元，乙的售价为( 14 - )元；（用含x的代数式表示） ( 2 ) 当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？ 【分析】( 2 ) 等量关系： 甲的销售利润 × 甲的销售数量 + 乙的销售利润 × 乙的销售数量 = 总利润268元 解：( 2 ) 设甲商品的售价提高x元时，销售这两种商品当天的总利润是268元， 由题意可得：( 10 + x - 5 ) ( 30 - 2x ) + ( 14 - - 7 ) ( 6 + 2x ) = 268，整理得：3x2 - 31x + 76 = 0， 解得：x1 = 4，x2 = ，∵售价均为整数，∴x = 4。 答：甲商品的售价提高4元时，销售这两种商品当天的总利润是268元。 题型探究 动态几何问题 题型四 【例4】如图，在长方形ABCD中，AB = 6cm，AD = 2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A-B-C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动。 ( 1 ) 两动点运动几秒时，四边形PBCQ的面积是长方形ABCD面积的？ ( 2 ) 是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由。 解：( 1 ) 设两动点运动t秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的， 由题意可得：CQ = t，BP = 6 - 2t，∴ ( t + 6 - 2t ) × 2 = × 6 × 2，解得：t = ， ∵要构成四边形PBCQ，∴2t < 6，解得：t < 3，∴t = 成立， 答：两动点运动秒，使四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的； 【分析】( 1 ) 等量关系：S四边形PBCQ = ( CQ + BP )·BC = S长方形ABCD= AB·AD 题型探究 动态几何问题 题型四 【例4】如图，在长方形ABCD中，AB = 6cm，AD = 2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A-B-C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动。 ( 2 ) 是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由。 【分析】( 2 ) 需分类讨论： 第一种情况：如图①②，等量关系：PQ = = cm 解：( 2 ) 存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm，理由如下： 设两动点经过t秒，使得点P与点Q之间的距离为， 如图①②，当0 < t ≤ 3时， 根据题意得：PE = | 6 - 2t - t |， ∴( 6 - 2t - t )2 + 4 = 5，解得：t = 或t = ； 题型探究 动态几何问题 题型四 【例4】如图，在长方形ABCD中，AB = 6cm，AD = 2cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发，沿折线A-B-C向点C运动，同时点Q以1cm/s的速度从顶点C出发，沿CD向点D运动，当其中一个动点到达终点时，另一点也随之停止运动。 ( 2 ) 是否存在某一时刻，使得点P与点Q之间的距离为cm？若存在，求出该时刻；若不存在，请说明理由。 第二种情况：如图③，等量关系：PQ = = cm 如图③，当3 < t ≤ 4时， 由题意可得：PC = 8 - 2t，CQ = t， ∴( 8 - 2t )2 + t2 = 5，整理得：5t2 - 32t + 59 = 0， ∵Δ = 322 - 4 × 5 × 59 = -156 < 0， ∴该方程无实数根； 综上，当t = 或t = 时，点P与点Q之间的距离为cm。 题型探究 数字问题 题型五 【例5】一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方刚好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 解：设个位数字为x，则十位数字是( x - 3 )，这个两位数是[ 10 ( x - 3 ) + x]， 由题意可得：x2 = 10 ( x - 3 ) + x，整理得：x2 - 11x + 30 = 0，解得：x1 = 5，x2 = 6， 当x = 5时，x - 3 = 2，则这个两位数是25； 当x = 6时，x - 3 = 3，则这个两位数是36； 答：这个两位数是25或36。 【分析】 等量关系：( 个位数字 )2 = 这个两位数 课堂小结 类似地，用一元二次方程解决问题的一般步骤： 步骤 注意点 （一）审 审题，明确已知未知，找出等量关系 等量关系关键句中找 （二）设 设未知数 一般要带单位 （三）列 根据等量关系列方程 方程两边单位要统一 （四）解 选择合适的方法解方程 一般不必写出解方程的过程 （五）验 检验未知数的值是否满足方程， 检验该值在实际问题中是否有意义 若不符合实际意义，要舍去 （六）答 写出实际问题的答案 注意带上单位 感谢聆听! $$