1.3 一元二次方程的根与系数的关系-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版2012）

或-x一4=0∴a=号=-429.原方程可化为(2x 5=号开方，得2x-5=±号∴=吕a=9 30.移 项，得2x2-45x-8=0,a=2,b=-4V5,c=-8,-4ac= （-45)2-4×2×(-8》=14,x=45±12=5±3， .=5十3，x2=√5-3.31.原方程可化为x2-9x十2= 0,a=1,b=-9,c=2,b-4ac=(-9)2-4X1×2=73,.x= 9±压，9十，压，-9压.32.因式分解，得 2 (x-2一1)(x一2十5)=0，即(x一3)(x十3)=0，.x-3=0或 x+3=0,∴.01=3，x2=-3. 1.3一元二次方程的根与系数的关系 课堂演练 1.A解析：、x2是方程x2-6x一7=0的两个根，∴.x十 x2=6,122=-7.2.A解析：(-a)2-4X1X (一2)=a2十8>0，∴.方程有两个不相等的实数根，即x≠x2, 故A选项符合题意；根据根与系数的关系，得十x2=a, x1x2=一2<0，∴.方程的两个根异号，故C选项不符合题意： a的符号不能确定，故B、D选项不符合题意.3.C解析： ,x1x2=2,两根互为倒数，.k2=1,解得=士1.当=1 时，(2-)2-4k2=12-4×12=一3<0，不符合题意；当k= -1时，(2-k)2-42=32-4×(-1)2=5>0,符合题意.综 上所述，k的值为-14（D73(2号0③）-号 5.一2解析：设方程的另一个根为t,根据根与系数的关系， 得3t=一6，解得t=一2，即方程的另一个根为一2.6.5 解析：，'一元二次方程x2一5x十c=0的两个实数根分别是 x1、x2…x1+x2=5,xx2=c.x十x2=x1x2,∴.c=5. 7.根据题意，得x1十x2=2,x1x2=一5.(1)原式=（十 2)2-22=22-2×(-5)=14.(2)原式=(x1+x2)2 42=22-4×(-5)=24.(3)原式=西+2=2 5 2 ·(4)原式=x2-3(十x2)十9=-5-3×2+9= 一2.8.(1)：方程有两个实数根，.-4ac≥0，即42一4× 1×(m一1)=20一4m≥0，解得m≤≤5.故m的取值范围是m≤ 5.(2)由根与系数的关系，得x十x2=一4，x1x2=m一1.又 2(x+x2)+x2+10=0,.2×(-4)+(m-1)+10=0, 解得m=一1，经检验，m=一1符合题意.故m的值是一1. 课后拓展 9.C解析：x2一4x十4=0中，0十x2=4,故A选项不符合 题意；x2十2x一4=0中，x1十x2=一2，故B选项不符合题意； x2+4x一5=0中，十2=一4，故C选项符合题意；x2+4x十 10=0中，42一4×1×10=一-24<0，方程无实数根，故D选项 不符合题意.10.B解析：，m、n是一元二次方程x2十 4x-9=0的两个根，.m2+4-9=0,m十n=-4,∴.m2十 4m=9,∴.m2+5m+n=(m2+4m)+(m+n)=9+(-4)=5. 11.1解析：：方程x2一2x十k=0的两个根分别是x和x2, .(一2)2-4≥0，解得≤1.x12=,x2的最大值为1. 12.7解析：x1、x2是方程2x2十kx一2=0的两个实数根， 西十=-合k,=-1,(a-2)(0-2)= 2(x十)+4=-1-2×（-7)+4=10，解得=7. 13.(1)证明：：形-4ac=(2k-1)2-4×1×(-k-1)=4k2+ 1一4k十4k+4=4k2+5>0,.无论取何值，此方程总有两 个不相等的实数根.(2)由根与系数的关系，得十2= -(2k-1),2=-k-1.:十x2-41x2=2,∴.-（2k- 课时提优计划作业本·数 3 1)-4(-k-1)=2,解得k=-2.14.证明：(1)-4如× 2=b2-8a.a<0,.-8a>0,又6≥0，.6-8a>0,∴.该 方程总有两个不相等的实数根.(2)，、x2是方程ax2十 bx+2=0(a<0)的两根，∴x十=-b, 2=2 ,x2 a -2x1,x1+(-2x1)=-b ，x(-2)=2,即m= a a i=日（会）=一，即a+=0,15.(1)根据题 意，得b一4ac=(一6)2-4×1×(2m一1)≥0，解得m≤5.由 根与系数的关系，得x1十x2=6,x1x2=2m-1.x1=1, .1+x2=6,x2=2m-1,∴.x2=5,m=3.(2)存在.，(x1 6 1)(x2-1)= m-5-（十x2）+1= -5,即2m 6 1-6十1-95整理，得-8m十12=0，解得m=2,m= 6.由(1)得m5,又由分式有意义，得m≠5，.∴.m=2. 专题2根的判别式和根与系数关系的综合应用 1.B解析：，a=1,b=一(k十2)，c=2k,∴.形-4ac=[-(k+ 2)]2一4×1×2k=2+4k+4一8k=k2一4k十4=(k一2)2≥0， 方程总有实数根.2.D解析：：关于x的一元二次方程 9x2一6x十c=0有两个相等的实数根，.(-6)2一4×9×c= 0,解得c=1.3.B解析：.关于x的方程x2一x一m=0 有两个不相等的实数根，.6一4ac=(一1)2+4m>0,∴.m> 4·4.4解析：根据题意，得？-4ac=(-4)2-4×1X m=0,解得m=4.5.7(答案不唯一)解析：a=1,b=一5， 设常数为根据题意，得(-5)2-4X1Xc<0,解得c>2军。 6.≥一3且≠一2解析：根据题意，得k十2≠0且（一2）2 4×(k十2)×（一1）≥0，解得≥一3且≠-2，∴实数k的取 值范围是≥一3且k≠一2.7.(1)，关于x的一元二次方 程x2-2mx十2m-1=0的一个根为x=2,.22-4m十2一 1=0,m=2.(2)证明：-4ac=（-2m)2-4X1× (2m-1)=4m2-8m+4=4(m-1)2≥0，∴.无论m取什么值， 该方程总有两个实数根.8.(1)△ABC是等腰三角形.理由 如下：把x=一1代入方程得a+c一2b十a一c=0,则a=b, ∴，△ABC为等腰三角形.(2)△ABC为直角三角形.理由如 下：根据题意，得(2b)2-4(a十c)(a-c)=0,即b十c2=a2, '.△ABC为直角三角形.(3)，△ABC为等边三角形， a=b=c,方程化为x2十x=0,解得=0，x=-1.9.D 解析：将原方程整理，得x2-3x十2-m2=0.,a=1,b=一3， c=2-m2,∴.b2-4ac=(-3)2-4×1×(2-m2)=4m2+ 1>0,,原方程有两个不相等的实数根.，·方程的两个根的和 为x1十x2=3>0,,∴.方程至少有一个正实数根.10.C 解析：把方程a(t十1)2+b(t+1)+c=0看作关于t+1的一元 二次方程，设关于x的方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两根为 x1、x2,则方程a(t十1)2+b(t十1)十c=0的两根为右=x 1,t2=x2一1，，关于x的方程ax2十bx十c=0(a≠0)的两根 之和是m,两根之积是n,.x1十x2=m,xx2=n,∴.tt2 (x-1)(x2-1)=x1x2-(x1十x2)+1=n-m十1.11.4 解析：设方程的另一个根为m,方程的一个根为一2，∴.一2十 m=2,解得m=4,.方程的另一个根为4.12.8解析：根 据题意，得x1十x2=3x2=-6,则x2=一2，将其代人方程x2十 6x+m=0,得(-2)2+6×(-2)+m=0,解得m=8.13.2030 解析：.a、b是方程x2十x一3=0的两个实数根，.a2十a=3, a+b=-1,∴.a2-b+2026=a2+a-(a+b)+2026=3+1+ 2026=2030.14.(1)13解析：由根与系数的关系，得 a十B=1,a3=-1,.s1=a十B=1,s2=a2十g=(a十)2 学·九年级上册(SK版)课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版))》》 1.3一元二次方程的根与系数的关系 课堂演练 1.(教材习题变式)若x1、x2是方程x2一6x一7=0的两个根，则 A.x1+x2=6 B.x1+x2=-6 7 C.x1x2=6 D.x1x2=7 2.若x1、x2是方程x2-ax-2=0的两个根，则 A.x1≠x2 B.x1十x2>0 C.x1x2>0 D.x1<0,x2<0 3.若关于x的方程x2十(2一k)x十k=0的两根互为倒数，则k的值为 ( A.3 B.1 C.-1 D.士1 4.(1)已知方程x2一7x十3=0的两根是2x1、x2,则x十x2= ,1C2= (2)已知方程2x2-5x=0的两根是x1、x2,则x1十x2= ,C1C2= (3)设0、2是关于x的一元二次方程2x2一3x一5=0的两根，则0十x2= x1C2= 5.已知关于x的一元二次方程x2一kx一6=0的一个根为x=3,则另一个根为 6.已知关于x的一元二次方程x2一5x十c=0的两个实数根分别是x1、x2,且x1+x2=x1x2, 则c= 7.已知关于x的一元二次方程x2一2x一5=0的两根分别为x1、x2,求下面各式的值 (1)x1+x; (2)(c1-x2)2; (3)141 (4)(x1-3)(x2-3). 8.已知关于x的一元二次方程x2+4x十m一1=0有两个实数根，分别为x1、x2. (1)求m的取值范围， (2)若2(x1+x2)+x1x2+10=0,求m的值 22》 第章一元二次方程 课后拓展 9.下列一元二次方程中，两根之和为一4的是 A.x2-4x+4=0 B.x2+2x-4=0 C.x2+4x-5=0 D.x2+4x+10=0 10.若m、n是一元二次方程x2十4x一9=0的两个根，则m2+5m十n的值是 A.4 B.5 C.6 D.12 11.已知一元二次方程x2一2x十k=0的两根分别是x1和x2,则x1x2的最大值为 12.（2023·达州)已知x1、x2是方程2x2+kx一2=0的两个实数根，且(x1一2)(x2一2)=10， 则k= 13.已知关于x的一元二次方程x2十(2k一1)x一k一1=0. (1)求证：无论k取何值，此方程总有两个不相等的实数根， （2)若方程有两个实数根x1、x2,且x1十x2一4x1x2=2,求的值. 14.已知关于x的一元二次方程ax2十bx十2=0(a<0). (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根， (2)设该方程两个不相等的实数根分别为x1、x2,且x2=一2x1,求证：a十b2=0. 15.已知关于x的一元二次方程x2一6x十2一1=0有两个实数根x1、x2. (1)若c1=1,求x2及m的值 (2②)是否存在实数m,满足（知一1（一1）=m65?若存在，求出实数m的值：若不存在， 请说明理由， 《23