1.2.6 因式分解法-【课时提优计划作业本】2025-2026学年九年级上册数学（苏科版2012）

课时提优计划作业本数学九年级上册(SK版))>》号 第6课时因式分解法 课堂演练 1.(教材例题变式)一元二次方程x2=x的根是 A.x1=0,x2=1 B.x1=0,x2=-1C.01=x2=0 D.x1=x2=1 2.将(2x一1)2=10x一5转化为两个一元一次方程，这两个方程是 A.2x-1=0,2x+1=-5 B.2x+1=5,2x-1=0 C.2x-1=0,2x-1=5 D.2x+1=0,2x-1=-5 3.若代数式x(x一1)和3(1一x)的值互为相反数，则x的值为 () A.1或3 B.-1或-3 C.1或-1 D.3或-3 4.下列解方程变形正确的是 () A.若x2=3x,则x=3 B.若(3x-1)2=(5.x十6)2，则3x一1=5x+6 C.若x2+4x+1=0,则(x+2)2=3 D.若x(x+2)=6.x(x十2)，则x=2或x十2=3 5.(1)一元二次方程x(x一5)=0的根为 (2)方程x2一√3x=0的解为 (3)一元二次方程(x一2)(x十7)=0的根是 6.当x= 时，代数式(x+1)(x一5)与(3x一1)(x+1)的值相等. 7.解下列方程： (1)x(x-12)=0; (2)3x2-5x=0; (3)9y2-6y+1=0; (4)(x-3)2+4x(x-3)=0; (5)2(x-3)=3x(3-x); (6)(2x-1)2-x2=0. 16》 第章一元二次方程 课后拓展 8.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2一3x=4(x一3)的两个实数根，则该 直角三角形斜边上的中线长是 () A.3 B.4 C.6 9.用因式分解法解方程x2十x一6=0，若将左边分解后有一个因式是x十3，则力的值是() A.-1 B.1 C.-5 D.5 10.已知x=2是关于x的一元二次方程kx2十(k2一2)x十2k十4=0的一个根，则k的值 为 11.若关于x的方程x2一2px十3q=0的两根分别是一3和5，则多项式2x2一4x十6g可以分 解为 12.解下列方程： (1)2(x-3)2=x2-9; (2)(2x-1)2-6(2x-1)十9=0； (3)3(x-4)2=x2-16; (4)2(x+5)2=x2+5x; (5)(3x-4)2=(4-3x)(x+2); (6)4(2x-1)2-9(x+4)2=0. 13.已知多项式乘法公式：(x十a)(x+b)=x2十(a+b)x十ab,将该式从右到左使用，即可得到 用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x十b). 示例：因式分解：x2+5x十6=x2+(2+3)x十2X3=(x+2)(x十3). (1)因式分解：x2+6x十8=(x十 )(x十 (2)请用上述方法解下列方程： ①x2-3x-4=0; ②x2-7x+12=0. 《1727,x2=81,解得1=9，x2=-9.（2)(x-2)2=6,x- 2=±√6，解得x1=2十√6，x2=2-√6.(3)，3(x-3)2= 75,.(x-3)2=25,.x-3=5或x-3=-5,解得x1=8, x2=-2.(4):(y+4)(y-4)-9=0,.y2-16-9=0, .y2=25,解得M=5,2=一5.12.(1)移项，得x2一6x= -8,配方，得x2-6x十9=一8十9，即(x-3)2=1,.x-3= 士1，∴=4=2。(2)将原方程整理，得2十2红=号，配 方，得2+2x+1=号+1，即(x+1)=多，x+1 士四=-1计四=-1-.(3)将原方程 2 整理，得-专=号配方，得之-号+号-号+号即 (号)广-9x号=±=2+而，s 3 2-/10 3 (④将原方程整理，得x十2x=号，配方，得父十 2x+1=号+1，即(x+102=子x+1=士 -1+号=-1-。3.(1)将原方程整理，得 x2-28=0,a=1,b=0,c=-28.b-4ac=02-4×1X （-28)=0+112=112>0,x=0±亚=±47=士27， 2 2 ∴.=2√7，x2=-2W7.(2)a=2,b=-5,c=-3. 4ac=(-5)2-4×2X(-3)=25+24=49>0,.x=5±√49 4 7,∴.x1=3,x2=一7·3)a=5,b=2,c=-1. 4如c=2-4×5X(-1)=4+20=24>0,x=-2±√2延」 10 26-15,“m=1+6, 0 5 g-16 5 (4)将原方程整理，得x2-4x十4=0，a=1,b=一4，c=4., 4ac=(-4)2-4X1×4=16-16=0,x=4生多6=2,0= 2 x2=2.14.(1)2解析：：y2+10y+27=(y+5)2+2≥2， ∴y2+10y十27的最小值为2.(2)士1解析：x2+2kx十 7=(x十)2十7-2≥7-2，.7-2=6，解得=士1. (3).8-m2+4m=-(m2-4m+4)+8+4=一(m-2)2+ 12≤12，，∴.8一m2十4m有最大值，该最大值为12.(4)4a2十 b2+11>12a一2b.理由如下：4a2+b2+11-(12a一2b)= 4a2-12a十b+2b+11=(2a-3)2+(b+1)2+1≥1，.4a2+ b+11>12a-2b. 第5课时根的判别式 课堂演练 1.C解析：a=1,b=-5,c=2,.b-4ac=(-5)2-4X 1×2=25-8=17.2.A解析：.a=1,b=m,c=-2,. 4ac=m2十8>0，.方程有两个不相等的实数根.3.D 解析：根据题意，得42一4(m一2)×2≥0且m一2≠0，解得 m≤4且m≠2.4.255.(1)原方程有两个相等的实数根 解折：a==1,c=之-4ac=1-4X2×2-0, .原方程有两个相等的实数根.(2)x2-x一2=0有两个 不相等的实数根解析：将原方程化为一般形式为x2一x 2=0,.6-4ac=(-1)2-4×1×(-2)=9>0,∴.方程有两 个不相等的实数根。6，(1)号 解析：关于x的方程 课时提优计划作业本·数 2x2一x十c=0有两个相等的实数根，∴.B一4ac=(-1)2一 4X分c=0,解得c=分. (2)a>9解析：关于x的一元 二次方程ax2+6x十1=0没有实数根，'.62一4a<0且a≠0， 解得a>9.(3)0(答案不唯一)解析：方程x2+2x十 4c=0有两个不相等的实数根，…2-16c>0,解得c<4.故 c可以取小于的任意整数.7.(1)：一元二次方程mx2+ (2m十3)x十m十1=0有两个不相等的实数根，，'.(2m十3)2 4m(n+1）=8m+9>0且m≠0，解得m>-号且m≠0. (2)满足条件的m的值为一1，此时方程为一x2十x=0,解得 x)1=0,x2=1.8.(1)将x=5代入x2-2kx十k2-1=0整 理，得k2-10k十24=0，解得1=4，k2=6,∴.k的值为4或6. (2)证明：，‘b一4ac=(-2k)2一4(k2一1)=4>0，，.不论k取 何值，方程总有两个不相等的实数根， 课后拓展 9.A解析：点P(a,c)在第四象限，a>0,c<0,∴ac<0, .方程a.x2+bz十c=0的判别式b2-4ac>0,∴.方程ax2+ bz十c=0有两个不相等的实数根.10.D解析：，直线 y=一x十m不经过第一象限，∴.m0.当m=0时，方程mx2十 x十1=0是一次方程，有一个实数根；当m<0时，方程mx2+ x十1=0是一元二次方程，且12-4m>0,∴.关于x的方程 mx2十x十1=0有两个不相等的实数根.综上所述，关于x的 方程mx2十x+1=0的实数根有1个或2个.11.2解析： 将原方程整理，得(2a一1)x2一8x+6=0,根据题意，得2a 1≠0且(-8)2-4X(2a-1D×6<0,解得a>号，a的最小 整数值为2.12.一2k<2解析：，一元二次方程x2 √2k十4x+k=0有两个不相等的实数根，∴.（一√2k十4）2 4k>0且2k十4≥0，解得一2≤≤k<2,即k的取值范围是一2≤≤ k<2.13.(1)证明：当=0时，原方程为2x一2=0，解得 x=1,.当=0时，原方程有实数根；当≠0时，方程是一元 二次方程，[一(k一2)]2一4Xk×(一2)=k2一4k十4十8k= 十4k十4=(k十2)2≥0，.方程总有两个实数根.综上所述， 无论k取何值，方程总有实数根.(2)kx2一(k一2)x一2=0， 解得=一友，=1.又”方程的两个实数根都为正整数， .k=一1或k=一2，.整数k的值为一1或一2.14.(1)关 于x的一元二次方程x2-2x十m一1=0有两个实数根，.形 4ac=(-2)2-4(m一1)≥0，解得m≤2.(2).饣是方程的 一个实数根，.p2-2p+m-1=0,.p2-2p=1一m,,(p2 2p十3)(m十4)=7，.∴.(1一m十3)(m+4)=7,即m2=9,解得 m=3或m=一3，又由(1)可知，≤2，∴.m=一3.15.(1)[x,3] [x-1,4]=x(x-1)-12=0,解得=4,2=-3.(2)x(mx十 1)一m(2x一1)=0，整理，得mx2十(1一2m)x十m=0,,关于 x的方程有两个实数根，.b一4ac=(1一2m)2一4m·m≥0 1且m≠0. 且m≠0，解得m≤ 第6课时因式分解法 课堂演练 1.A解析：x2=x,x2一x=0,即x(x一1)=0，x=0 或x一1=0，.x01=0,x2=1.2.C3.A解析：根据题意， 得x(x一1)十3(1一x)=0,整理，得(x一3)(x一1)=0，∴.x1= 3,x2=1.4.C解析：若x2=3x,则x2-3x=0,.x(x 3)=0,解得x=0或x=3,故A选项错误；若(3x一1)2=(5x+ 6)2,则3x一1=士(5x十6)，故B选项错误；若x2+4x+1=0, 则x2+4x=一1，配方，得x2十4x+4=一1十4，即(x十2)2 3,故C选项正确；若x(x+2)=6x(x十2)，则(x+2)(x 学·九年级上册(SK版) 6x)=0,解得x=一2或x=0,故D选项错误.5.(1)x1=0, x2=5(2)x=0,x2=√3(3)x1=2,x2=-76.-1或 -27.(1)x1=0,x2=12.(2)x1=0,x2=3. ,(3)y= =3(0=3=是.（6)a=3,6=-号 1 .3 (6)0= 1 1,x2=31 课后拓展 8.D解析：原方程整理，得(x一3)(x一4)=0，∴.x1=3,x2= 4,则该直角三角形两直角边的长分别为3、4，.斜边长为 √3+=5，∴该直角三角形斜边上的中线长为号.9.B 解析：根据题意，当x=一3时，x2十px一6=0，.(-3)2 3p-6=0,p=1.10.一3解析：把x=2代人kx2+ (k2-2)x十2k十4=0，得4k十2k2一4十2k十4=0，整理，得 k2十3k=0,解得1=0，k2=一3.由题意，得k≠0，∴.k=一3. 11.2(x十3)(x-5)解析：关于x的方程x2-2px十3q= 0的两根分别是一3和5，∴.此方程可化为(x十3)(x一5)=0， .2x2-4px+6g=2(x2-2px+3g)=2(x+3)(x-5). 12.(1)x1=3,x2=9.(2)x1=x2=2.(3)x1=4,x2=8. (4)x=-5,=-10.（(5)=号，x=2.(6)x=14, 4 =9 13.(1)24解析：x2+6x十8=x2+(2+4)x+ 2×4=(x十2)(x+4).(2)①x2-3.x-4=(x-4)(x十 1)=0,.x1=4,x2=-1.②x2-7x+12=(x-3)(x 4)=0,∴.x1=3,x2=4. 第7课时一元二次方程解法综合 课堂演练 1（1=号=2.(2a-二226，=-226 3 3 2.(1)=0,x2=2W5.(2)x1=-1,x2=1.3.(1)x1 二=37，=-32 2 2 .(2)m=1十√5，x2=1-5 4.(1)无实数解.(2m=5+2,=5-2四 3 课后拓展 5.(1)m=0,=4.(2)=7+亚，2=7-☑ (3)a=10,=号.(4)a=x=1.(6)m=2,=-4 (6)m=2=1.(7)1=3,=-2.(8)1=3, -号.6（1)：-(2k+3)x+E+3谈+2=(-k-1Dz k-2)=0,∴x1=k十1，x2=k十2.：△ABC是直角三角形， .(k十1)2+(k+2)2=25或(k+1)2十25=(k+2)2,解得k1= -5(舍去)，k2=2,k=11,.当的值为2或11时，△ABC 是直角三角形.(2)，△ABC是等腰三角形，∴.AB=BC或 AC=BC,即k十1=5或k十2=5，解得k=4或k=3.当k=4 时，△ABC的周长为4+1+4十2+5=16；当k=3时，△ABC 的周长为3+1十3十2十5=14.综上所述，当k=4时，△ABC 是等腰三角形，周长为16；当k=3时，△ABC是等腰三角形， 周长为14. 专题1一元二次方程的解法 1.移项，得x2=10,开方，得x=土√/10，解得x1=√10，x2= -√/10.2.开方，得x-2=士3，解得x=5,x2=-1. 3.系数化为1，得(2z-3)2=草，开方，得2红-3=±号，解得 课时提优计划作业本·数 11 0= 4欢=44.原方程可化为(x十1)2=[2(x-2)]2, ∴.x+1=士2(x-2),即x十1=2x-4或x+1=-2x+4,解 得=5，x2=1.5.移项，得（x十3)2=25，开方，得x十3= 士5，解得x1=2,x2=一8.6.原方程可化为(3x十1)2=5， 2,m=5-1 开方，得3x+1=±5，解得0=5,1,2 3 3 7.移项，得x2十4x=1,配方，得x2十4x十4=1十4，即(x十 2)2=5,开方，得x+2=±√5，解得=-2+√5，x2=-2 5.8.移项，得2-3x=-2,配方，得x2-3x十9=-2十 4 是，即(x-是)广=子，开方，得x-是=土是，解得0=2， x2=1.9.配方，得x2+2x十1=3+1，即(x十1)2=4，开方， 得x十1=±2，解得x=1,x2=-3.10.配方，得x2 2√5x+5=4+5,即(x-√5)2=9，开方，得x-√5=±3，解得 01=√5+3，x2=5-3.11.移项，得3x2-6x=-4,系数 化为1，得2-2z=-号，配方，得2-2z+1=-号+1，即 (x-1)2=一3，原方程无实数解。12.移项，得+ 2√3y=4,配方，得y+2√3y十3=4十3，即(y十√3)2=7，开 方，得y十√3=士√7，解得y=一√3十√7，y=一√3一√7. 13.a=4,b=1,c=-3,b-4ac=12-4×4×(-3)=49>0, =装四=吉=子地=-114原方程 2×4 可化为3x2-2√3x+1=0,a=3,b=-23,c=1,-4ac= （-2/52-4X3X1=0,∴=4- 3.15.a=2,b=3,c= 4,b一4ac=32一4×2×4=一23<0，∴.原方程无实数解. 16.a=1,b=-4,c=1,-4ac=(-4)2-4×1×1=12, =4生5=2士3，=2+3,2=2-5.17.原方 2 程可化为x2一2√2x-1=0,a=1,b=一2√2，c=一1， 4c=(-22)2-4X1×(-1)=12>0,x=22±厘 2 √2士√3，x=√2+√3，x2=√2-√3.18.原方程可化为 2.x2-5=0,a=2,b=0,c=-5,6-4ac=02-4X2×(-5)= 2,2=、10 40>0-装= 2 19.2x 3=0或x+1=0,∴=号，=-1.20.因式分解，得 x(2x十3)=0，x=0或2x+3=0,西=0，m=-号. 21.因式分解，得(x-1)(x一7)=0，，∴.x一1=0或x一7=0， .=1,x2=7.22.原方程可化为x2-3x一10=0，因式分 解，得(x一5)(x十2)=0，∴.x一5=0或x十2=0，∴.x1=5, x2=-2.23.因式分解，得(x十1)[1-2(x-1)]=0,即 (x+1)(3一2x)=0,∴.x+1=0或3一2x=0,.x1=-1,x2= 心 .24.移项，得(x-2)2-(2x-1)(x-2)=0,因式分解， 得(x-2)(x-2-2x十1)=0，即(x-2)(-x-1)=0,∴.x 2=0或-x-1=0,∴.x1=2,x2=-1.25.移项，得(2x十 1)2=25,开方，得2x十1=士5，.1=2，x2=-3.26.因式 分解，得(x一4)(x十2)=0，.x一4=0或x十2=0，.=4， x2=-2.27.因式分解，得(2x十3)(x-1)=0,.2x+3=0 或x1=0,=一号，21,28.移项，得(z3)2 (2x十1)2=0，因式分解，得(3x一2)（一x一4）=0，∴.3x一2=0 学·九年级上册(SK版)