专题02 二次函数（期中复习讲义）九年级数学上学期北京版

专题02二次函数 （期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数图象与性质 能熟练画出二次函数 的示意图，准确标注开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点。 能根据二次函数的解析式，直接说出其开口方向、对称轴、顶点坐标、最值等核心性质。 掌握系数 与函数图象的关系，能根据图象判断 等代数式的符号   【易错点】 • 忽略 的符号：讨论开口方向、最值时，首先看 还是 。 • 顶点坐标公式记忆错误：顶点坐标为 ，对称轴为 。 • 混淆对称轴与最值：最值在顶点处取得，是顶点的纵坐标，而非横坐标。 【命题趋势】 • 常以选择题形式，给图判断 及相关代数式的符号。 • 常与一次函数、反比例函数图象结合，比较函数值大小。 二次函数的解析式 能根据已知条件，灵活运用 一般式 、顶点式 和交点式 求解二次函数解析式。 会根据题目的特征（如给出顶点、与x轴交点等）选择最简捷的方法设出解析式。 【易错点】 • 设解析式时遗漏 ：顶点式和交点式前的系数 不能省略，它影响开口大小和方向。 • 不同形式间转化时计算错误，特别是配方和因式分解。 【命题趋势】 • 解答题第一问常考待定系数法求解析式，为第二问的综合应用做铺垫。 二次函数的平移变换 能描述二次函数 的图象由 经过怎样的平移得到。 能根据平移规则，写出平移后的新抛物线解析式 【易错点】 • 平移方向搞反：口诀“左加右减（对h），上加下减（对k）”，其中的“加减”是针对自变量和整体函数值而言的，学生极易混淆。 【命题趋势】 • 平移变换多与其他知识点（如求新函数解析式、与新图象结合）融合考查，纯平移题目较少。 二次函数与方程、不等式 能理解二次函数与一元二次方程的关系，会通过观察二次函数图象与x轴的交点情况判断一元二次方程 的根的情况（有两个不等实根、两个相等实根、无实根）。 能利用二次函数图象解一元二次不等式 (或 )。 【易错点】 • 数形结合不熟练：解不等式时，无法准确找到对应x的取值范围。口诀“大于零取两边，小于零取中间”的前提是 。 • 忽略端点：不等式若含等号（ 或 ），则解集要包含方程的解（即与x轴的交点横坐标）。 【命题趋势】 • 常作为选择题或解答题中的一小问，考查数形结合思想。 二次函数的实际应用 能通过分析实际问题中的数量关系，建立二次函数模型。 能利用二次函数的性质（如求顶点坐标）解决实际问题中的最值问题，如“最大利润”、“最大面积”、“最高点”等，并注意自变量的实际取值范围。 【易错点】 • 忘记自变量取值范围：实际问题中，自变量（如长度、销量）常有实际限制，所求最值必须在定义域内取得，否则需结合函数单调性判断。 • 单位错误或答非所问：求出顶点纵坐标后，要明确其实际意义（如利润、面积），并给出完整答案。 【命题趋势】 • 北京卷高频考点！ 常以解答题形式出现，背景多与经济利润、图形面积、抛球运动相关，区分度大，是拉分关键。 知识点01二次函数的概念 · 核心概念：一般地，形如 是常数， 的函数，叫做二次函数。其中是自变量，是的函数。 · 解析式形式： 0. 一般式： 。已知任意三点坐标时常用。 0. 顶点式： 。其中 为抛物线的顶点坐标。已知顶点时常用。 0. 交点式： 。其中 是抛物线与轴交点的横坐标。已知与轴交点时常用。 · 示例： · （一般式） · （顶点式，顶点为） · （交点式，与轴交于和） · 易错点： · 忽略二次项系数 的条件。当 时，函数变为一次函数。 知识点02 二次函数的图象与基本性质 · 核心概念：二次函数的图象是一条抛物线。 · 核心性质： 0. 开口方向：由系数 决定。 · → 开口向上 · → 开口向下 0. 对称轴：一条垂直于轴的直线。对于一般式 ，对称轴为直线 。对于顶点式 ，对称轴为直线 。 0. 顶点：抛物线的最高点或最低点，是对称轴与抛物线的交点。 · 对于一般式，顶点坐标为 。 · 对于顶点式，顶点坐标为 。 0. 最值： · 当 时，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值，为顶点的纵坐标 。 · 当 时，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值，为顶点的纵坐标 。 · 示例： · 函数 中，，所以开口向下，对称轴为 ，顶点为 ，函数有最大值 。 · 易错点： · 混淆顶点坐标：将顶点横坐标公式 误记为 。 知识点03 系数 的作用 · 核心法则： · ：决定开口的方向和大小。 越大，抛物线开口越窄； 越小，抛物线开口越宽。 · ：与 共同决定对称轴的位置。对称轴 。 · “左同右异”：对称轴在轴左侧时， 同号；对称轴在轴右侧时， 异号；对称轴是轴时，。 · ：决定抛物线与**轴交点**的位置。图象与y轴交于点 。 · 示例： · 函数 ，，开口向上；，与异号，故对称轴在轴右侧；，与轴交于。 · 易错点： · 单独判断 的符号，而忽略其必须与 结合看。 知识点04 二次函数图象的平移规律 · 核心法则：二次函数 的图象，可由 的图象平移得到。 · 口诀：“左加右减（对h），上加下减（对k）”。 · 将 的图象： · 向左平移 (h>0) 个单位 → · 向右平移 (h>0) 个单位 → · 向上平移 (k>0) 个单位 → · 向下平移 (k>0) 个单位 → · 示例： · 将抛物线 向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线是 。 · 易错点： · 平移方向搞反：口诀中的“加减”是针对自变量和整体函数的，方向极易混淆。 知识点05 二次函数与一元二次方程的关系 · 核心概念：二次函数 与一元二次方程 的关系由判别式 决定。 0. → 抛物线与轴有两个交点 → 方程有两个不相等的实数根。 0. → 抛物线与轴有一个交点（顶点在x轴上） → 方程有两个相等的实数根。 0. → 抛物线与轴无交点 → 方程无实数根。 · 示例： · 函数 ，，故其图象与轴有两个交点和。 · 易错点： · 混淆“与轴交点个数”和“方程根的个数”。 知识点06 二次函数的实际应用 · 核心思路：将实际问题中的数量关系转化为二次函数模型，利用函数的性质（尤其是求最值）解决问题。 · 常见题型： 0. 最值问题：如“最大利润”、“最大面积”、“最高高度”等。 0. 抛物线形问题：如“喷泉的水流路径”、“弹道曲线”、“拱桥”等。 · 解题步骤： 0. 设变量：找出题目中的自变量和因变量。 0. 建模型：根据题意，列出二次函数解析式。 0. 求最值：将函数化为顶点式或利用顶点坐标公式，求出在自变量取值范围内的最值。 0. 验证作答：验证结果的合理性，并写出符合题意的答案。 · 易错点： · 忽略自变量取值范围：实际问题中，自变量（如长度、时间、销量）常有实际限制，求最值时必须考虑定义域，顶点可能不在取值范围内。 题型一 二次函数系数符号判断 (a, b, c, Δ, 代数式) 解｜题｜技｜巧 此题型通常给定二次函数 的图象，要求判断系数及其组合式的符号。遵循“四看”原则： 看开口：决定 的符号。开口向上 → ；开口向下 → 。 看交点：决定 的符号。图象与y轴交于正半轴 → ；交于负半轴 → ；过原点 → 。 看对称轴：决定 的符号及与 的关系。对称轴 。 · 对称轴在y轴右侧 → → 异号。 · 对称轴在y轴左侧 → → 同号。 · 简称：“左同右异”。 看顶点：决定顶点的纵坐标 的符号。 看与x轴交点：决定判别式 的符号。 · 两个交点 → 。 · 一个交点 → 。 · 无交点 → 。 看特殊点：将图象上的点（如 时的点 ， 时的点 ）代入函数，看其函数值正负。 【典例1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，关于，，的符号判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是掌握抛物线的开口向下；对称轴在轴左侧，，同号；抛物线与轴的交点即为的值． 根据开口方向可得，根据对称轴及抛物线与轴的交点可得，，即可得答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在轴左侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于轴正半轴， ∴， 综上所述：，，． 故选：A． 【变式1】图象顶点在第四象限，且开口向上，判断 与 的符号。 【详解】 开口向上 → 。 顶点在第四象限 → 顶点纵坐标 。 因为 ，所以 → 。 题型二 二次函数与方程、不等式综合问题 解｜题｜技｜巧 函数视角看方程：方程 的解 函数 图象与x轴交点的横坐标。 函数视角看不等式： · 的解集 函数图象位于x轴上方的x的取值范围。 · 的解集 函数图象位于x轴下方的x的取值范围。 解题步骤： · 先画出函数示意图，标出关键点（与x轴交点、顶点）。 · 再将方程或不等式问题转化为图形问题。 · 口诀：“大于零取两边，小于零取中间”（前提是 ，若 ，可先化为正）。 【典例1】求不等式 的解集。 【详解】 不等式两边同乘 ，不等号方向改变：。 函数 开口向上，与x轴交于1和3。 对应图象在x轴及上方的部分，即 交点及两侧的区域，∴ 或 。 【变式1】 若关于的方程 有4个不相等的实数根，求的取值范围。 【详解】 此方程可理解为：函数 与水平直线 的交点个数问题。 先将函数 化为顶点式：。 其顶点为，开口向上，与x轴交于(1,0)和(3,0)。 画出示意图。要使水平线 与其有4个交点， 必须介于顶点纵坐标和x轴之间，即 。 题型三 二次函数实际应用之最值问题 解｜题｜技｜巧 “三步法”： · Step 1: 建模。识别问题中的变量与常量，用自变量表示因变量，建立二次函数解析式 。 · Step 2: 求最值。将函数式化为顶点式 ，则当 时， 取得最值 。（或用公式 求，再代入求y） · Step 3: 验证作答。最重要的一步！ 检查 Step 2 中求得的 是否在实际问题的自变量取值范围内。若在，则答案就是 ；若不在，则需利用函数单调性，在取值范围的边界处求最值。最后写出符合题意的答案。 【典例1】某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：。 (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润（元）与每件销售价（元）之间的函数关系式。 (2) 求每件销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少 【详解】 (1) 【建模】 销售利润 = (单件售价 - 单件进价) × 销售量 已知：单件进价=40元，单件售价=元，销售量。 ∴ 。 展开得：。 ∴ 函数关系式为：。 (2) 【求最值】 方法一（顶点式）： 。 ∵ ，∴ 有最大值。 当 时，最大（元）。 方法二（公式法）： 。 。 将 代入：（元）。 【验证作答】 必须检查 是否合理。售价元，代入销售量 ，合理。 答：每件销售价定为70元时，每天的销售利润最大，最大利润是1800元。 【变式1】若商场每天要获得不低于1600元的利润，每件商品的售价应定为多少？ 【详解】 此题是不等式问题。需解 。 即 。 整理得：。 两边除以 ，变号：。 解方程 ，得 ，。 ∵ 二次函数 开口向上，∴不等式 的解集为 。 还需考虑实际意义：售价必须使销售量，即 ，。 在 范围内。 ∴ 售价应定在60元到80元之间（含60和80元）。 【变式2】如果该商品的进价是30元，并且规定每件售价不能高于65元，那么最大利润是多少？ 【详解】 【建模】 进价变了，新的函数关系式为： 。 【求最值】 。 【验证作答】 题目规定 。我们求得的顶点横坐标 正好在取值范围边界上。∴ 当 时，利润最大。 最大（元）。 答：此时最大利润为2450元。 4．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，由抛物线图象可得，对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为，则抛物线与x轴的另一个交点是，根据二次函数的图象写出当时，x的取值范围即可． 【详解】解：由题意可得：对称轴是，抛物线与x轴的一个交点为，抛物线与x轴的另一个交点是， 当时，． 故答案为：． 5．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨2元，每天销量减少20个．将纪念品的销售单价定为 元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大． 【答案】52 【分析】本题考查二次函数的应用．得到销售量以及利润的关系式是解决本题的关键． 设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元，根据题意表示出，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设商家每天销售纪念品获得的利润为w元，纪念品的销售单价为x元， 根据题意得， 抛物线的对称轴为：． ，， 当时，有最大值． 故答案为：52． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】平移不改变图形的大小和形状，而二次项系数决定了抛物线的开口方向和大小，当二次项系数相同才能够互相平移． 【详解】由于选项D中二次项系数相同，则抛物线与抛物线能够互相平移，其它选项中的两个二次函数的二次项系数都不相同，它们不能互相平移． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数图象和性质、平移的性质，关键是抓住二次项系数相同才能够互相平移． 2．抛物线y＝ax2和y＝－ax2在同一坐标系内，下面结论正确的是(    ) A．顶点坐标不同 B．对称轴相同 C．开口方向一致 D．都有最低点 【答案】B 【分析】根据（a）的图象与特点即可判断. 【详解】∵（a）的图象都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点，故选B. 【点睛】此题主要考查（a）的函数特点，解题的关键是熟知这类函数的图象与特点. 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】①∵抛物线对称轴是y轴的右侧， ∴ab＜0， ∵与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0， 故①正确； ②∵a＞0，x=﹣＜1， ∴﹣b＜2a， ∴2a+b＞0， 故②正确； ③∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0， 故③正确； ④当x=﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， 故④正确． 故选D． 【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定． 6．某百货商店服装在销售过程中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件，当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？ 【答案】每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元． 【分析】根据题意可以得到利润与所将价格的关系式，根据二次函数可判断最大利润． 【详解】解：设每件童装降价x元，利润为y元， ， ∴当时，y取得最大值，此时， 即每件童装降价15元时，每天销售这种童装的利润最高，最高利润是1250元． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出二次函数解析式，根据二次函数的顶点判断最大利润． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．抛物线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的对称轴求解方法，直接根据二次函数配方后得到对称轴，就是，进而选出正确选项． 【详解】解：； ； ； 即； 所以对称轴为； 故选：D． 2．关于二次函数y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（　　） A．开口方向向上 B．顶点坐标是（﹣2，1） C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＝0时，y有最大值﹣ 【答案】C 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数y＝﹣2x2+1， ∴该函数图象开口向下，故选项A错误； 顶点坐标为（0，1），故选项B错误； 当x＜0时，y随x的增大而增大，故选项C正确； 当x＝0时，y有最大值1，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 3．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，点A(b，c)在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据抛物线的对称轴在y轴右边可得、异号，所以＞，根据抛物线与y轴的交点在负半轴可得＜，由此可推出答案． 【详解】∵对称轴在y轴右边， ∴＞， ∴＞， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴， ∴＜， ∴点在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象确定二次函数的字母系数的取值范围是解题的关键． 4．对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，根据二次函数的定义得到，由抛物线的性质得到，由此求得m的值． 【详解】解：∵函数为二次函数，且当时，y随x的增大而增大， ∴，， 整理得：，且， 解得：． 故答案为：． 5．若抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于、两点，且，，则 . 【答案】 【分析】由题意抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A，令x=0，求出A点坐标，又与x轴的正半轴交于B、C两点，判断出c的符号，将其转化为方程的两个根，再根据S△ABC=3，求出b值． 【详解】∵抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点A， 令x=0得：A（0，c）． ∵该抛物线的开口向上，且与x轴的正半轴交于B、C两点，∴抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c＞0， 设方程x2+bx+c=0的两个根为x1，x2，∴x1+x2=﹣b，x1x2=c． ∵BC=2=|x1﹣x2|． ∵S△ABC=3，∴3，∴c=3． ∵|x1﹣x2|，∴4=b2﹣12，∴b2=16． ∵x1+x2=﹣b＞0，∴b＜0，∴b=﹣4． 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系及三角形的面积公式，函数与x轴的交点的横坐标就是方程的根，两者互相转化，要充分运用这一点来解题． 6．已知：如图，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为，点，另抛物线经过点，为它的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． （3）是否存在在抛物线上的点使得的面积为15，如果存在求出点的坐标，若不存在请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，，，， 【分析】（1）把三个点坐标代入函数解析式用待定系数法求出解析式的系数； （2）过点作轴，垂足为点，先求出点M和点B的坐标，用梯形OBMD的面积减去两个三角形的面积得到； （3）设点为，根据的面积为15，求出三角形的高是5，列式求出m的值，得到点P的坐标． 【详解】（1）解：∵图象经，，， ∴，解之得， ∴； （2）如图，过点作轴，垂足为点， ， ∴点坐标为， 根据对称轴是直线， ∴点， ； （3）存在， 设点为， ∵，AB=6， ∴， 或， 解得，，， ∴共有4个点，，，，． 【点睛】本题考查二次函数的综合题，解题的关键是掌握求函数解析式的方法，平面直角坐标系中三角形面积的求法． 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02二次函数 （期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 二次函数图象与性质 能熟练画出二次函数 的示意图，准确标注开口方向、顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点。 能根据二次函数的解析式，直接说出其开口方向、对称轴、顶点坐标、最值等核心性质。 掌握系数 与函数图象的关系，能根据图象判断 等代数式的符号   【易错点】 • 忽略 的符号：讨论开口方向、最值时，首先看 还是 。 • 顶点坐标公式记忆错误：顶点坐标为 ，对称轴为 。 • 混淆对称轴与最值：最值在顶点处取得，是顶点的纵坐标，而非横坐标。 【命题趋势】 • 常以选择题形式，给图判断 及相关代数式的符号。 • 常与一次函数、反比例函数图象结合，比较函数值大小。 二次函数的解析式 能根据已知条件，灵活运用 一般式 、顶点式 和交点式 求解二次函数解析式。 会根据题目的特征（如给出顶点、与x轴交点等）选择最简捷的方法设出解析式。 【易错点】 • 设解析式时遗漏 ：顶点式和交点式前的系数 不能省略，它影响开口大小和方向。 • 不同形式间转化时计算错误，特别是配方和因式分解。 【命题趋势】 • 解答题第一问常考待定系数法求解析式，为第二问的综合应用做铺垫。 二次函数的平移变换 能描述二次函数 的图象由 经过怎样的平移得到。 能根据平移规则，写出平移后的新抛物线解析式 【易错点】 • 平移方向搞反：口诀“左加右减（对h），上加下减（对k）”，其中的“加减”是针对自变量和整体函数值而言的，学生极易混淆。 【命题趋势】 • 平移变换多与其他知识点（如求新函数解析式、与新图象结合）融合考查，纯平移题目较少。 二次函数与方程、不等式 能理解二次函数与一元二次方程的关系，会通过观察二次函数图象与x轴的交点情况判断一元二次方程 的根的情况（有两个不等实根、两个相等实根、无实根）。 能利用二次函数图象解一元二次不等式 (或 )。 【易错点】 • 数形结合不熟练：解不等式时，无法准确找到对应x的取值范围。口诀“大于零取两边，小于零取中间”的前提是 。 • 忽略端点：不等式若含等号（ 或 ），则解集要包含方程的解（即与x轴的交点横坐标）。 【命题趋势】 • 常作为选择题或解答题中的一小问，考查数形结合思想。 二次函数的实际应用 能通过分析实际问题中的数量关系，建立二次函数模型。 能利用二次函数的性质（如求顶点坐标）解决实际问题中的最值问题，如“最大利润”、“最大面积”、“最高点”等，并注意自变量的实际取值范围。 【易错点】 • 忘记自变量取值范围：实际问题中，自变量（如长度、销量）常有实际限制，所求最值必须在定义域内取得，否则需结合函数单调性判断。 • 单位错误或答非所问：求出顶点纵坐标后，要明确其实际意义（如利润、面积），并给出完整答案。 【命题趋势】 • 北京卷高频考点！ 常以解答题形式出现，背景多与经济利润、图形面积、抛球运动相关，区分度大，是拉分关键。 知识点01二次函数的概念 · 核心概念：一般地，形如 是常数， 的函数，叫做二次函数。其中是自变量，是的函数。 · 解析式形式： 0. 一般式： 。已知任意三点坐标时常用。 0. 顶点式： 。其中 为抛物线的顶点坐标。已知顶点时常用。 0. 交点式： 。其中 是抛物线与轴交点的横坐标。已知与轴交点时常用。 · 示例： · （一般式） · （顶点式，顶点为） · （交点式，与轴交于和） · 易错点： · 忽略二次项系数 的条件。当 时，函数变为一次函数。 知识点02 二次函数的图象与基本性质 · 核心概念：二次函数的图象是一条抛物线。 · 核心性质： 0. 开口方向：由系数 决定。 · → 开口向上 · → 开口向下 0. 对称轴：一条垂直于轴的直线。对于一般式 ，对称轴为直线 。对于顶点式 ，对称轴为直线 。 0. 顶点：抛物线的最高点或最低点，是对称轴与抛物线的交点。 · 对于一般式，顶点坐标为 。 · 对于顶点式，顶点坐标为 。 0. 最值： · 当 时，抛物线开口向上，顶点为最低点，函数有最小值，为顶点的纵坐标 。 · 当 时，抛物线开口向下，顶点为最高点，函数有最大值，为顶点的纵坐标 。 · 示例： · 函数 中，，所以开口向下，对称轴为 ，顶点为 ，函数有最大值 。 · 易错点： · 混淆顶点坐标：将顶点横坐标公式 误记为 。 知识点03 系数 的作用 · 核心法则： · ：决定开口的方向和大小。 越大，抛物线开口越窄； 越小，抛物线开口越宽。 · ：与 共同决定对称轴的位置。对称轴 。 · “左同右异”：对称轴在轴左侧时， 同号；对称轴在轴右侧时， 异号；对称轴是轴时，。 · ：决定抛物线与**轴交点**的位置。图象与y轴交于点 。 · 示例： · 函数 ，，开口向上；，与异号，故对称轴在轴右侧；，与轴交于。 · 易错点： · 单独判断 的符号，而忽略其必须与 结合看。 知识点04 二次函数图象的平移规律 · 核心法则：二次函数 的图象，可由 的图象平移得到。 · 口诀：“左加右减（对h），上加下减（对k）”。 · 将 的图象： · 向左平移 (h>0) 个单位 → · 向右平移 (h>0) 个单位 → · 向上平移 (k>0) 个单位 → · 向下平移 (k>0) 个单位 → · 示例： · 将抛物线 向右平移3个单位，再向下平移1个单位，得到的新抛物线是 。 · 易错点： · 平移方向搞反：口诀中的“加减”是针对自变量和整体函数的，方向极易混淆。 知识点05 二次函数与一元二次方程的关系 · 核心概念：二次函数 与一元二次方程 的关系由判别式 决定。 0. → 抛物线与轴有两个交点 → 方程有两个不相等的实数根。 0. → 抛物线与轴有一个交点（顶点在x轴上） → 方程有两个相等的实数根。 0. → 抛物线与轴无交点 → 方程无实数根。 · 示例： · 函数 ，，故其图象与轴有两个交点和。 · 易错点： · 混淆“与轴交点个数”和“方程根的个数”。 知识点06 二次函数的实际应用 · 核心思路：将实际问题中的数量关系转化为二次函数模型，利用函数的性质（尤其是求最值）解决问题。 · 常见题型： 0. 最值问题：如“最大利润”、“最大面积”、“最高高度”等。 0. 抛物线形问题：如“喷泉的水流路径”、“弹道曲线”、“拱桥”等。 · 解题步骤： 0. 设变量：找出题目中的自变量和因变量。 0. 建模型：根据题意，列出二次函数解析式。 0. 求最值：将函数化为顶点式或利用顶点坐标公式，求出在自变量取值范围内的最值。 0. 验证作答：验证结果的合理性，并写出符合题意的答案。 · 易错点： · 忽略自变量取值范围：实际问题中，自变量（如长度、时间、销量）常有实际限制，求最值时必须考虑定义域，顶点可能不在取值范围内。 题型一 二次函数系数符号判断 (a, b, c, Δ, 代数式) 解｜题｜技｜巧 此题型通常给定二次函数 的图象，要求判断系数及其组合式的符号。遵循“四看”原则： 看开口：决定 的符号。开口向上 → ；开口向下 → 。 看交点：决定 的符号。图象与y轴交于正半轴 → ；交于负半轴 → ；过原点 → 。 看对称轴：决定 的符号及与 的关系。对称轴 。 · 对称轴在y轴右侧 → → 异号。 · 对称轴在y轴左侧 → → 同号。 · 简称：“左同右异”。 看顶点：决定顶点的纵坐标 的符号。 看与x轴交点：决定判别式 的符号。 · 两个交点 → 。 · 一个交点 → 。 · 无交点 → 。 看特殊点：将图象上的点（如 时的点 ， 时的点 ）代入函数，看其函数值正负。 【典例1】在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，关于，，的符号判断正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1】图象顶点在第四象限，且开口向上，判断 与 的符号。 题型二 二次函数与方程、不等式综合问题 解｜题｜技｜巧 函数视角看方程：方程 的解 函数 图象与x轴交点的横坐标。 函数视角看不等式： · 的解集 函数图象位于x轴上方的x的取值范围。 · 的解集 函数图象位于x轴下方的x的取值范围。 解题步骤： · 先画出函数示意图，标出关键点（与x轴交点、顶点）。 · 再将方程或不等式问题转化为图形问题。 · 口诀：“大于零取两边，小于零取中间”（前提是 ，若 ，可先化为正）。 【典例1】求不等式 的解集。 【变式1】 若关于的方程 有4个不相等的实数根，求的取值范围。 题型三 二次函数实际应用之最值问题 解｜题｜技｜巧 “三步法”： · Step 1: 建模。识别问题中的变量与常量，用自变量表示因变量，建立二次函数解析式 。 · Step 2: 求最值。将函数式化为顶点式 ，则当 时， 取得最值 。（或用公式 求，再代入求y） · Step 3: 验证作答。最重要的一步！ 检查 Step 2 中求得的 是否在实际问题的自变量取值范围内。若在，则答案就是 ；若不在，则需利用函数单调性，在取值范围的边界处求最值。最后写出符合题意的答案。 【典例1】某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售价（元）满足关系：。 (1) 写出商场卖这种商品每天的销售利润（元）与每件销售价（元）之间的函数关系式。 (2) 求每件销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少 【变式1】若商场每天要获得不低于1600元的利润，每件商品的售价应定为多少？ 【变式2】如果该商品的进价是30元，并且规定每件售价不能高于65元，那么最大利润是多少？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．下列各组抛物线中能够互相平移得到的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．抛物线y＝ax2和y＝－ax2在同一坐标系内，下面结论正确的是(    ) A．顶点坐标不同 B．对称轴相同 C．开口方向一致 D．都有最低点 3．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＞0；③b2﹣4ac＞0；④a﹣b+c＞0，其中正确的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4．抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是 ． 5．某款旅游纪念品很受游客喜爱，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨2元，每天销量减少20个．将纪念品的销售单价定为 元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大． 6．某百货商店服装在销售过程中发现，某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件，当每件童装降价多少元时，这种童装一天的销售利润最多？最多利润是多少？ 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．抛物线的对称轴是（    ） A． B． C． D． 2．关于二次函数y＝﹣2x2+1，以下说法正确的是（　　） A．开口方向向上 B．顶点坐标是（﹣2，1） C．当x＜0时，y随x的增大而增大 D．当x＝0时，y有最大值﹣ 3．二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，点A(b，c)在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．对于二次函数，当时，y随x的增大而增大，则 ． 5．若抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于、两点，且，，则 . 6．已知：如图，二次函数的图象与轴交于、两点，其中点坐标为，点，另抛物线经过点，为它的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求的面积． （3）是否存在在抛物线上的点使得的面积为15，如果存在求出点的坐标，若不存在请说明理由． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $