专题03 反比例函数（期中复习讲义）九年级数学上学期北京版

专题03反比例函数 （期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数的概念与解析式 掌握： 能准确判断一个函数是否为反比例函数，并能根据已知条件（一点坐标或两组对应值）熟练求出反比例函数的解析式。   易错点： 忽略比例系数k ≠ 0 的前提条件。将形如 y = + 2 的函数误判为标准反比例函数。 命题趋势： 常以选择题或填空题形式出现，考查定义的严谨性。求解析式是解决后续所有问题的基础，常融合在解答题的第一问。 反比例函数的图象与性质 理解并应用： 能熟练画出反比例函数的图象示意图，并用函数性质（增减性、对称性）比较函数值大小、判断图象所在象限。掌握系数 K 的几何意义，并能快速求解相关面积问题。 易错点： 混淆增减性描述（“在每个象限内”是关键前提）。在比较函数值时，不考虑点是否在同一象限就直接用性质。 命题趋势： k的几何意义是绝对的高频考点，常以选择、填空或解答题中一问的形式出现。题目设计灵活，可能涉及多个矩形或三角形面积的和差关系。 反比例函数与方程、不等式 综合运用： 能将反比例函数与一次函数结合，通过联立方程求解交点坐标；能利用图象法解与反比例函数相关的不等式（如 > ax+b）。 易错点： 求交点坐标时漏解。利用图象解不等式时，无法准确找出图象上下关系的区间。 命题趋势： 反比例函数与一次函数的综合是期中考试的常见题型。不仅考查计算，更注重数形结合思想的运用。 反比例函数中的几何建模 分析与构造： 能利用k的几何意义，分析和构造与反比例函数图象上动点相关的几何图形（如三角形、四边形），并求解其周长、面积等几何属性。 易错点： 不能将几何图形的特征（如对称、全等）与点的坐标有效结合，导致思路复杂化。 命题趋势： 此为能力提升点，常作为填空题的压轴或解答题的难点。强调几何与代数的深度融合，考查学生的综合思维能力。  反比例函数的实际应用 建模与应用： 能从实际问题（如行程、工程、几何、物理公式）中识别出反比例关系，建立函数模型，并利用函数性质解释或解决实际需求（如求值、求范围、比较大小）。 易错点： 忽略自变量的实际意义（如边长、时间、速度等需大于0），从而导致取值范围求解错误。 命题趋势： 应用题是考查数学核心素养的重点，要求学生具备将文字语言转化为数学语言的能力。题目背景多样，贴近生活。 反比例函数与动点、综合问题 探究与迁移： 能综合运用反比例函数的图象、性质与其他知识（如一次函数、几何图形变换），探究动态变化过程中的定值、最值问题或存在性问题。 易错点： 面对复杂问题缺乏分解思路，无法将综合问题拆解为若干个基础考点进行击破。 命题趋势： 此为高频压轴题型，集中考查学生的数学思想（分类讨论、数形结合、方程思想）和逻辑推理能力，区分度较高。 知识点01反比例函数的概念与定义式 · 核心概念： 一般地，形如 y =  (k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数。 · 公式/解析式： · 标准形式：y = （k ≠ 0） · 变形形式：y = kx⁻¹ 或 xy = k （k ≠ 0） · 要点剖析： · 自变量 x 的取值范围是 一切不等于0的实数 (x ≠ 0)。 · 比例系数 k 必须满足 k ≠ 0，这是定义的一部分。 · 示例： · y = ， y = ， xy = 5 都是反比例函数。 · y =  也是反比例函数，因为它可以化为 y = ，此时 k = 。 · 易错点： · 忽略 k ≠ 0 的条件。例如，若函数 y = 是反比例函数，则必须满足 m-2 ≠ 0，即 m ≠ 2。 · 将不符合标准形式的函数误判。例如，y =  不是反比例函数（是二次反比例函数），y = 也不是标准反比例函数。 知识点02 二次函数的图象与基本性质 · 核心概念： 反比例函数的图象是双曲线。它由分别位于两个象限内的两支曲线组成。 · 图象性质： · 象限位置： · 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限。 · 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。 · 增减性： · 当 k > 0 时，在每一支曲线（每个象限）上，y随x的增大而减小。 · 当 k < 0 时，在每一支曲线（每个象限）上，y随x的增大而增大。 · 对称性： · 反比例函数图象关于原点成中心对称。 · 也关于直线 y = x 和 y = -x 成轴对称。 · 示例： · 函数 y =  的图象在第一、三象限。在第三象限的一支上取点 (-4, -1) 和 (-2, -2)，当x从-4增大到-2时，y从-1增大到-2（负数的增大，实际值变小）。 · 易错点： · 描述增减性时，必须加上“在每个象限内”或“在每一支上”这个前提。不能说“当k>0时，y随x的增大而减小”，因为当x从负数过渡到正数时（跨越象限），y值是从负无穷跳到正无穷，不是简单的减小。 · 由函数值大小判断自变量大小时，必须确认两点是否在同一象限。例如，点A(1, y₁)和B(-1, y₂)在 y= 上，y₁=4，y₂=-4。虽然 4 > -4，但 1 > -1，若不看象限，会得出“y随x增大而增大”的错误结论。 知识点03 比例系数k的几何意义 · 核心概念： 反比例函数 y =  (k ≠ 0) 中，比例系数 k 具有重要的几何意义。 · 几何意义： · 过双曲线上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则所得的矩形OAPB的面积S = k。 · 过双曲线上任意一点P作x轴（或y轴）的垂线，连接原点O，则所得的直角三角形OAP（或OBP）的面积S =   。 · 示例： · 若点P(2, 3)在反比例函数 y =   图象上，则 k = 2*3 = 6。 · 以P点构成的矩形面积 = = 6。 · 以P点构成的直角三角形面积 = /2 = 3。 · 易错点： · 忘记取绝对值，得到负的面积。面积必须为非负数，因此公式是 S = k。 · 在复杂图形中（如多个矩形重叠），无法有效识别和分割出面积为 k 或   的基本图形。 知识点04 确定反比例函数的解析式 · 核心概念： 通常采用待定系数法求反比例函数的解析式。 · 方法法则： 0. 设反比例函数的解析式为 y =  (k ≠ 0)。 0. 根据题目条件，找到一组x与y的对应值，或图象上一个点的坐标 (a, b)，代入所设解析式，得到关于k的方程 b =  。 0. 解方程求出k的值。 0. 将k的值代回所设解析式，即可确定函数关系式。 · 示例： · 已知反比例函数图象经过点 ( -3, 4 )，求其解析式。 · 解： 设 y =   ，将 (-3, 4) 代入得 4 =   )，解得 k = -12。∴ 解析式为 y =   。 · 易错点： · 设解析式时漏掉 k ≠ 0 的条件（虽不影响计算，但体现数学严谨性）。 · 代入数值时，坐标 (a, b) 代入错误，如写成 k = a * b 而不是 b =   ，虽然结果一样，但逻辑关系不清。 知识点05 反比例函数与一次函数的综合 · 核心概念： 反比例函数常与一次函数 y = kx + b (k≠0) 结合考查，主要体现在求交点坐标和解不等式。 · 方法法则： · 求交点坐标： 将两个函数的解析式联立成方程组，解出的x和y即为交点的横、纵坐标。 · 解不等式： 3. 代数法： 解不等式    > k₂x + b。 3. 图象法（更直观）： 找出两个函数图象的交点，根据图象上下位置关系判断x的取值范围。  > k₂x + b 即反比例函数图象在一次函数图象上方的部分所对应的x的范围。 · 示例： · 求函数 y =   与 y = x + 1 的交点。 · 解： 联立方程组 y =   和 y = x + 1 =>    = x + 1 => x² + x - 6 = 0 => (x+3)(x-2)=0 => x₁ = -3, x₂ = 2。代入求y，得交点 (-3, -2) 和 (2, 3)。 · 易错点： · 联立方程后，解出的x值一定要代回原函数求y，并注意一个x对应一个y。 · 利用图象法解不等式时，容易找错区间或遗漏区间（特别是多个交点时）。 知识点06 反比例函数的实际应用 · 核心概念： 解决实际问题时，要能识别出两个变量之间的乘积为定值的关系，从而建立反比例函数模型。 · 应用类型： · 行程问题： 路程s一定时，速度v与时间t成反比 (v = )。 · 工程问题： 工作总量w一定时，工作效率p与工作时间t成反比 (p = 。 · 几何问题： 矩形面积s一定时，长a与宽b成反比 (a =  )。 · 物理公式： 电压U一定时，电阻R与电流I成反比 (I =  )。 · 易错点： · 最常出错的地方：忽略自变量的实际取值范围。例如，时间和长度不能为负数，因此在实际问题中，函数图象通常只有第一象限的一支。 · 不能从题目文字中准确抽象出数学关系式。 题型一 利用函数性质比较函数值大小 解｜题｜技｜巧 定图象： 先根据 k 的符号确定函数图象所在的象限。 定分支： 明确要比较的点是否在同一象限（同一支曲线） 上。这是最易错的步骤！ 用性质： · 若点在同一分支上，直接利用反比例函数的增减性比较。 · 若点不在同一分支上，则根据各象限点的坐标正负特征来比较。 画草图： 在比较复杂时，可以在坐标轴上标出各点的大致位置，直观判断。 【典例1】已知点A(-2, y₁)、B(-1, y₂)、C(3, y₃)都在反比例函数 y =  的图象上，比较y₁, y₂, y₃的大小。 【变式1】若点P₁(x₁, -2), P₂(x₂, 3), P₃(x₃, 4)都在反比例函数 y =  (k > 0)的图象上，则x₁, x₂, x₃的大小关系是____。 【变式2】已知A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)是反比例函数 y =  图象上的两点，若 x₁ < x₂ < 0，则y₁ ____ y₂。（填“>”、“<”或“=”） 题型二 反比例函数与一次函数、方程的综合 解｜题｜技｜巧 求交点： 联立方程 y = k₁x + b 和 y = k₂/x，转化为解一元二次方程。 解不等式： · 代数法： 直接解 > k₁x + b。通常复杂，不推荐。 · 图象法（首选）： · a. 求出两函数的交点坐标。 · b. 在同一坐标系中画出两函数示意图（关键是确定象限和交点）。 · c. “看图说话”：找出反比例函数图象在一次函数图象上方的区域所对应的x的取值范围。注意分段。 求解析式： 交点坐标同时满足两个解析式，是建立方程的等量关系。 【典例1】若反比例函数 y =与一次函数y = x + 2的图象没有交点，则k的取值范围是____。 【变式1】 直线y = -2x + 4与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y =的图象在第一象限交于P点。若S△OBP = 2，求k的 题型三 反比例函数与几何变换、动点问题 解｜题｜技｜巧 把握变换： 熟练掌握平移（左加右减自变量，上加下减函数值）、对称（关于谁对称谁不变，另一个变号）的坐标变化规律。 动中取静： 对于动点问题，在某一时刻它是“静止”的，用设未知数的方法（如设点坐标为(t, k/t)）将其视为定点处理。 构建等式： 利用几何图形的性质（如面积公式、勾股定理、相似三角形）或题目中的等量关系（如线段相等、面积相等）建立关于未知数的方程。 【典例1】将反比例函数y = 的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得新图象的函数解析式为____ 【变式1】点P是反比例函数y= 第一象限图象上的一个动点，过P作PA⊥x轴于点A，连接OP。在OP上取点B，使得OB=BP，则 = ____。 题型四 反比例函数实际应用中的最值问题 解｜题｜技｜巧 建模： 正确从实际问题中抽象出反比例函数模型 y =。 定范围： 务必注意自变量x的实际取值范围（x > 0 或其他正数区间）。 求最值： · 反比例函数在自变量取值范围内单调，其最值必然在区间端点取得。 · 求出端点对应的函数值，比较大小即可。 · 有时需要利用其他条件（如成本、限制）构建不等式确定范围后再求最值。 【典例1】某蓄水池的排水管每小时排水8m³，t小时可将满池水全部排空。 (1) 求蓄水池的容积。 (2) 如果增加排水管，使每小时排水量达到Q(m³)，那么将满池水排空所需时间t(h)将如何变化？写出t与Q之间的函数关系式。 (3) 如果计划在5小时内将满池水排空，那么每小时排水量至少是多少？ 【变式1】某汽车要行驶200km的路程，其速度v(km/h)与时间t(h)之间的关系是反比例函数。若要求不超过4小时到达，则速度v至少是多少？ 【变式2】要制作一个面积为12㎡的矩形广告牌，其长y(m)与宽x(m)的函数关系是____。若广告牌的长要求大于3m，则宽x应满足____。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从增加到时，电阻R减小了（   ） A． B． C． D． 2．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．已知点与点在同一反比例函数的图象上，则m的值 . 5．已知点P与点Q是正比例函数y=mx的图象和反比例函数的图象的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标是 . 6．如图，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点、都在反比例函数的图象上，且满足，比较的大小． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．下列函数中，y与x成反比例的是（　　） A．y= B．y= C．y=3x2 D．y=+1 2．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　） A．图象分布在第二、四象限 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象经过点（3，﹣6） D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2 4．已知函数是反比例函数，且图象位于第一、三象限，则________． 5．点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是 ． 6．已知反比例函数与矩形ABCD交于点M、N，连接OM，ON，M（3，2），S四边形OMBN=6，求反比例函数的解析式及B点、N点的坐标． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03反比例函数 （期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 反比例函数的概念与解析式 掌握： 能准确判断一个函数是否为反比例函数，并能根据已知条件（一点坐标或两组对应值）熟练求出反比例函数的解析式。   易错点： 忽略比例系数k ≠ 0 的前提条件。将形如 y = + 2 的函数误判为标准反比例函数。 命题趋势： 常以选择题或填空题形式出现，考查定义的严谨性。求解析式是解决后续所有问题的基础，常融合在解答题的第一问。 反比例函数的图象与性质 理解并应用： 能熟练画出反比例函数的图象示意图，并用函数性质（增减性、对称性）比较函数值大小、判断图象所在象限。掌握系数 K 的几何意义，并能快速求解相关面积问题。 易错点： 混淆增减性描述（“在每个象限内”是关键前提）。在比较函数值时，不考虑点是否在同一象限就直接用性质。 命题趋势： k的几何意义是绝对的高频考点，常以选择、填空或解答题中一问的形式出现。题目设计灵活，可能涉及多个矩形或三角形面积的和差关系。 反比例函数与方程、不等式 综合运用： 能将反比例函数与一次函数结合，通过联立方程求解交点坐标；能利用图象法解与反比例函数相关的不等式（如 > ax+b）。 易错点： 求交点坐标时漏解。利用图象解不等式时，无法准确找出图象上下关系的区间。 命题趋势： 反比例函数与一次函数的综合是期中考试的常见题型。不仅考查计算，更注重数形结合思想的运用。 反比例函数中的几何建模 分析与构造： 能利用k的几何意义，分析和构造与反比例函数图象上动点相关的几何图形（如三角形、四边形），并求解其周长、面积等几何属性。 易错点： 不能将几何图形的特征（如对称、全等）与点的坐标有效结合，导致思路复杂化。 命题趋势： 此为能力提升点，常作为填空题的压轴或解答题的难点。强调几何与代数的深度融合，考查学生的综合思维能力。  反比例函数的实际应用 建模与应用： 能从实际问题（如行程、工程、几何、物理公式）中识别出反比例关系，建立函数模型，并利用函数性质解释或解决实际需求（如求值、求范围、比较大小）。 易错点： 忽略自变量的实际意义（如边长、时间、速度等需大于0），从而导致取值范围求解错误。 命题趋势： 应用题是考查数学核心素养的重点，要求学生具备将文字语言转化为数学语言的能力。题目背景多样，贴近生活。 反比例函数与动点、综合问题 探究与迁移： 能综合运用反比例函数的图象、性质与其他知识（如一次函数、几何图形变换），探究动态变化过程中的定值、最值问题或存在性问题。 易错点： 面对复杂问题缺乏分解思路，无法将综合问题拆解为若干个基础考点进行击破。 命题趋势： 此为高频压轴题型，集中考查学生的数学思想（分类讨论、数形结合、方程思想）和逻辑推理能力，区分度较高。 知识点01反比例函数的概念与定义式 · 核心概念： 一般地，形如 y =  (k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数。 · 公式/解析式： · 标准形式：y = （k ≠ 0） · 变形形式：y = kx⁻¹ 或 xy = k （k ≠ 0） · 要点剖析： · 自变量 x 的取值范围是 一切不等于0的实数 (x ≠ 0)。 · 比例系数 k 必须满足 k ≠ 0，这是定义的一部分。 · 示例： · y = ， y = ， xy = 5 都是反比例函数。 · y =  也是反比例函数，因为它可以化为 y = ，此时 k = 。 · 易错点： · 忽略 k ≠ 0 的条件。例如，若函数 y = 是反比例函数，则必须满足 m-2 ≠ 0，即 m ≠ 2。 · 将不符合标准形式的函数误判。例如，y =  不是反比例函数（是二次反比例函数），y = 也不是标准反比例函数。 知识点02 二次函数的图象与基本性质 · 核心概念： 反比例函数的图象是双曲线。它由分别位于两个象限内的两支曲线组成。 · 图象性质： · 象限位置： · 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限。 · 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限。 · 增减性： · 当 k > 0 时，在每一支曲线（每个象限）上，y随x的增大而减小。 · 当 k < 0 时，在每一支曲线（每个象限）上，y随x的增大而增大。 · 对称性： · 反比例函数图象关于原点成中心对称。 · 也关于直线 y = x 和 y = -x 成轴对称。 · 示例： · 函数 y =  的图象在第一、三象限。在第三象限的一支上取点 (-4, -1) 和 (-2, -2)，当x从-4增大到-2时，y从-1增大到-2（负数的增大，实际值变小）。 · 易错点： · 描述增减性时，必须加上“在每个象限内”或“在每一支上”这个前提。不能说“当k>0时，y随x的增大而减小”，因为当x从负数过渡到正数时（跨越象限），y值是从负无穷跳到正无穷，不是简单的减小。 · 由函数值大小判断自变量大小时，必须确认两点是否在同一象限。例如，点A(1, y₁)和B(-1, y₂)在 y= 上，y₁=4，y₂=-4。虽然 4 > -4，但 1 > -1，若不看象限，会得出“y随x增大而增大”的错误结论。 知识点03 比例系数k的几何意义 · 核心概念： 反比例函数 y =  (k ≠ 0) 中，比例系数 k 具有重要的几何意义。 · 几何意义： · 过双曲线上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A、B，则所得的矩形OAPB的面积S = k。 · 过双曲线上任意一点P作x轴（或y轴）的垂线，连接原点O，则所得的直角三角形OAP（或OBP）的面积S =   。 · 示例： · 若点P(2, 3)在反比例函数 y =   图象上，则 k = 2*3 = 6。 · 以P点构成的矩形面积 = = 6。 · 以P点构成的直角三角形面积 = /2 = 3。 · 易错点： · 忘记取绝对值，得到负的面积。面积必须为非负数，因此公式是 S = k。 · 在复杂图形中（如多个矩形重叠），无法有效识别和分割出面积为 k 或   的基本图形。 知识点04 确定反比例函数的解析式 · 核心概念： 通常采用待定系数法求反比例函数的解析式。 · 方法法则： 0. 设反比例函数的解析式为 y =  (k ≠ 0)。 0. 根据题目条件，找到一组x与y的对应值，或图象上一个点的坐标 (a, b)，代入所设解析式，得到关于k的方程 b =  。 0. 解方程求出k的值。 0. 将k的值代回所设解析式，即可确定函数关系式。 · 示例： · 已知反比例函数图象经过点 ( -3, 4 )，求其解析式。 · 解： 设 y =   ，将 (-3, 4) 代入得 4 =   )，解得 k = -12。∴ 解析式为 y =   。 · 易错点： · 设解析式时漏掉 k ≠ 0 的条件（虽不影响计算，但体现数学严谨性）。 · 代入数值时，坐标 (a, b) 代入错误，如写成 k = a * b 而不是 b =   ，虽然结果一样，但逻辑关系不清。 知识点05 反比例函数与一次函数的综合 · 核心概念： 反比例函数常与一次函数 y = kx + b (k≠0) 结合考查，主要体现在求交点坐标和解不等式。 · 方法法则： · 求交点坐标： 将两个函数的解析式联立成方程组，解出的x和y即为交点的横、纵坐标。 · 解不等式： 3. 代数法： 解不等式    > k₂x + b。 3. 图象法（更直观）： 找出两个函数图象的交点，根据图象上下位置关系判断x的取值范围。  > k₂x + b 即反比例函数图象在一次函数图象上方的部分所对应的x的范围。 · 示例： · 求函数 y =   与 y = x + 1 的交点。 · 解： 联立方程组 y =   和 y = x + 1 =>    = x + 1 => x² + x - 6 = 0 => (x+3)(x-2)=0 => x₁ = -3, x₂ = 2。代入求y，得交点 (-3, -2) 和 (2, 3)。 · 易错点： · 联立方程后，解出的x值一定要代回原函数求y，并注意一个x对应一个y。 · 利用图象法解不等式时，容易找错区间或遗漏区间（特别是多个交点时）。 知识点06 反比例函数的实际应用 · 核心概念： 解决实际问题时，要能识别出两个变量之间的乘积为定值的关系，从而建立反比例函数模型。 · 应用类型： · 行程问题： 路程s一定时，速度v与时间t成反比 (v = )。 · 工程问题： 工作总量w一定时，工作效率p与工作时间t成反比 (p = 。 · 几何问题： 矩形面积s一定时，长a与宽b成反比 (a =  )。 · 物理公式： 电压U一定时，电阻R与电流I成反比 (I =  )。 · 易错点： · 最常出错的地方：忽略自变量的实际取值范围。例如，时间和长度不能为负数，因此在实际问题中，函数图象通常只有第一象限的一支。 · 不能从题目文字中准确抽象出数学关系式。 题型一 利用函数性质比较函数值大小 解｜题｜技｜巧 定图象： 先根据 k 的符号确定函数图象所在的象限。 定分支： 明确要比较的点是否在同一象限（同一支曲线） 上。这是最易错的步骤！ 用性质： · 若点在同一分支上，直接利用反比例函数的增减性比较。 · 若点不在同一分支上，则根据各象限点的坐标正负特征来比较。 画草图： 在比较复杂时，可以在坐标轴上标出各点的大致位置，直观判断。 【典例1】已知点A(-2, y₁)、B(-1, y₂)、C(3, y₃)都在反比例函数 y =  的图象上，比较y₁, y₂, y₃的大小。 【详解】： ∵ k = -5 < 0， ∴ 图象在第二、四象限。 点A(-2, y₁)、B(-1, y₂)在第二象限，点C(3, y₃)在第四象限。 第一步：比较不同象限的点。 第二象限的点y值恒为正，第四象限的点y值恒为负。 ∴ y₁ > 0, y₂ > 0, y₃ < 0。 ∴ y₁和y₂必然大于y₃。 第二步：比较同一象限的点(A和B)。 在第二象限内，y随x的增大而增大（因为k<0）。 ∵ -2 < -1， ∴ y₁ < y₂。 综合以上： ∴ y₃ < y₁ < y₂。 【变式1】若点P₁(x₁, -2), P₂(x₂, 3), P₃(x₃, 4)都在反比例函数 y = (k > 0)的图象上，则x₁, x₂, x₃的大小关系是____。 【详解】 ∵ k > 0，图象在一、三象限。 由y值判断：P₁的y=-2<0，故在第三象限；P₂和P₃的y>0，故在第一象限。 ∴ x₁ < 0, x₂ > 0, x₃ > 0。 ∴ x₁最小。 比较P₂和P₃：在第一象限，y随x的增大而减小。 ∵ 3 < 4， ∴ x₂ > x₃。 ∴ x₁ < x₃ < x₂。 【变式2】已知A(x₁, y₁), B(x₂, y₂)是反比例函数 y =  图象上的两点，若 x₁ < x₂ < 0，则y₁ ____ y₂。（填“>”、“<”或“=”） 【详解】 ∵ k=6>0，且 x₁ < x₂ < 0， ∴ 点A、B都在第三象限。 在第三象限内，y随x的增大而减小。 ∵ x₁ < x₂， ∴ y₁ > y₂。 ∴ > 题型二 反比例函数与一次函数、方程的综合 解｜题｜技｜巧 求交点： 联立方程 y = k₁x + b 和 y = k₂/x，转化为解一元二次方程。 解不等式： · 代数法： 直接解  > k₁x + b。通常复杂，不推荐。 · 图象法（首选）： · a. 求出两函数的交点坐标。 · b. 在同一坐标系中画出两函数示意图（关键是确定象限和交点）。 · c. “看图说话”：找出反比例函数图象在一次函数图象上方的区域所对应的x的取值范围。注意分段。 求解析式： 交点坐标同时满足两个解析式，是建立方程的等量关系。 【典例1】若反比例函数y =与一次函数y = x + 2的图象没有交点，则k的取值范围是____。 【详解】 · “没有交点”等价于联立后的方程无实数根。 · 联立：x + 2 = => x² + 2x - k = 0。 · 此一元二次方程无实根的条件是：Δ < 0。 · ∴ Δ = 2² - 4 * 1 * (-k) = 4 + 4k < 0。 · 解得 k < -1。 【变式1】 直线y = -2x + 4与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数y =的图象在第一象限交于P点。若S△OBP = 2，求k的 【详解】 先求A、B坐标。 令y=0，得x=2，∴ A(2, 0)。 令x=0，得y=4，∴ B(0, 4)。 ∴ S△AOB = (1/2)24=4。 设P点坐标为(p, )。 S△OBP = S△AOB - S△AOP - S△ABP？ 此路径复杂。 更优解： 利用面积转化。 过P作PC⊥y轴于点C。 S△OBP = * OB * PC = * 4 * p。 ∵ P在第一象限，∴ p > 0。 ∴ x4p = 2p = 2。 ∴ p = 1。 ∵ 点P(1, y)也在直线y=-2x+4上， ∴ y = -2(1) + 4 = 2。 ∴ P(1, 2)。 代入y=k/x，得2 = ，∴ k=2。 题型三 反比例函数与几何变换、动点问题 解｜题｜技｜巧 把握变换： 熟练掌握平移（左加右减自变量，上加下减函数值）、对称（关于谁对称谁不变，另一个变号）的坐标变化规律。 动中取静： 对于动点问题，在某一时刻它是“静止”的，用设未知数的方法（如设点坐标为(t, k/t)）将其视为定点处理。 构建等式： 利用几何图形的性质（如面积公式、勾股定理、相似三角形）或题目中的等量关系（如线段相等、面积相等）建立关于未知数的方程。 【典例1】将反比例函数y = 的图象向右平移2个单位，再向上平移1个单位，所得新图象的函数解析式为____ · 【详解】 · 口诀：“左加右减自变量，上加下减函数值”。 · 向右平移2个单位：y =  。 · 向上平移1个单位：y = + 1。 · ∴ 新函数解析式为：y = + 1。 【变式1】点P是反比例函数y= 第一象限图象上的一个动点，过P作PA⊥x轴于点A，连接OP。在OP上取点B，使得OB=BP，则 = ____。 · 【详解】 · 设P点坐标为(p, )，(p>0)。 · ∴ A(p, 0)。 · S△OAP = * OA * PA = * p * = 3。 (恒为定值！) · ∵ OB = BP，∴ B是OP的中点。 · 根据中点坐标公式，B点坐标为( , (6/p+0)/2 )，即 (, )。 · 作BC⊥x轴于C，则C(, 0)。 · S△PAB = S梯形PABC - S△PBC 。 · S△PAB = S△OAP - S△OAB - S△BPA · 面积转化法： · ∵ B是OP中点， · ∴ S△OAB = S△OAP = 1.5。 (等高，底OB= OP) · ∴ S△PAB = S△OAP - S△OAB = 3 - 1.5 = 1.5。 · ∴ = = 。 题型四 反比例函数实际应用中的最值问题 解｜题｜技｜巧 建模： 正确从实际问题中抽象出反比例函数模型 y =。 定范围： 务必注意自变量x的实际取值范围（x > 0 或其他正数区间）。 求最值： · 反比例函数在自变量取值范围内单调，其最值必然在区间端点取得。 · 求出端点对应的函数值，比较大小即可。 · 有时需要利用其他条件（如成本、限制）构建不等式确定范围后再求最值。 【典例1】某蓄水池的排水管每小时排水8m³，t小时可将满池水全部排空。 (1) 求蓄水池的容积。 (2) 如果增加排水管，使每小时排水量达到Q(m³)，那么将满池水排空所需时间t(h)将如何变化？写出t与Q之间的函数关系式。 (3) 如果计划在5小时内将满池水排空，那么每小时排水量至少是多少？ 【详解】： (1) 容积 = 排水速度 × 时间 = 8 × t。 (缺少时间t，无法求具体值。原题可能描述为“6小时排空”) 假设原题为“...t小时（如6小时）可将水排空” 则容积V = 8 * 6 = 48 m³。 (2) ∵ 总容积V是定值， ∴ 排水时间t与排水速度Q成反比。 函数关系式为：t = 。(Q > 0) (3) ∵ t ≤ 5， ∴ ≤ 5。 又∵ Q > 0， ∴ 48 ≤ 5Q => Q ≥ = 9.6。 ∴ 每小时排水量至少是9.6 m³。 【变式1】某汽车要行驶200km的路程，其速度v(km/h)与时间t(h)之间的关系是反比例函数。若要求不超过4小时到达，则速度v至少是多少？ 详解： 函数关系：v = 200 / t。 ∵ t ≤ 4，且t>0， ∴ ≤ 4 => 200 ≤ 4v => v ≥ 50。 ∴ 速度v至少是50 km/h。 【变式2】要制作一个面积为12㎡的矩形广告牌，其长y(m)与宽x(m)的函数关系是____。若广告牌的长要求大于3m，则宽x应满足____。 【详解】： ∵ 矩形面积 = 长 × 宽 = 12， ∴ 函数关系为：y = 。(x > 0) ∵ y > 3， ∴ > 3。 又∵ x > 0， ∴ 12 > 3x => x < 4。 ∴ 宽x应满足：0 < x < 4。 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示.当电流I从增加到时，电阻R减小了（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案. 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故选：D ． 2．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为A，B，C三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解，然后直接比较大小即可． 【详解】将A，B，C三点分别代入，可求得，比较其大小可得：． 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数比较大小，解答本类型题可利用画图并结合图象单调性判别，或者直接代入对应数值求解即可． 3．一次函数和反比例函数在同一个平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，即可得出、、，由此可以得出二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【详解】解：观察一次函数和反比例函数的图象可知：、、， 二次函数的图象开口向下，对称轴，与轴的交点在轴的负半轴， 故选：A． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象以及二次函数的图象，根据反比例函数图象和一次函数图象经过的象限，找出、、是解题的关键． 4．已知点与点在同一反比例函数的图象上，则m的值 . 【答案】-4 【分析】根据反比例函数中k=xy即可解答. 【详解】解：∵点与点在同一反比例函数的图象上， ∴， 解得. 故答案为-4. 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 5．已知点P与点Q是正比例函数y=mx的图象和反比例函数的图象的两个交点，若点P的坐标为，则点Q的坐标是 . 【答案】 【分析】根据反比例函数的中心对称性即可求解. 【详解】依题意可知P,Q两点关于原点对称， ∵P的坐标为（3，-2） ∴点Q的坐标是（-3,2） 故填：（-3,2）. 【点睛】此题主要考查反比例函数与正比例函数综合，解题的关键是熟知反比例函数的中心对称性. 6．如图，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)已知点、都在反比例函数的图象上，且满足，比较的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式、比较反比例函数值的大小，正确利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． （1）把点的坐标代入反比例函数解析式中求出的值，即可得到反比例函数的解析式； （2）根据，可得反比例函数的图象在每个象限内，随的增大而减小，据此增减性即可得到答案． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点 ∴， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：∵反比例函数的解析式为，， 反比例函数图象经过第一、三象限，且在每一象限内，随的增大而减小，                点、均在反比例函数的图象上，且， ． 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．下列函数中，y与x成反比例的是（　　） A．y= B．y= C．y=3x2 D．y=+1 【答案】B 【分析】一般地，形如（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数,据此判断即可. 【详解】A、y=是正比例函数，y与x成正比例，错误； B、y=是反比例函数，y与x成反比例，正确； C、y=3x2是二次函数，y与x不成反比例，错误； D、y=+1，即为y-1=，y-1与x成反比例，错误； 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数的识别，熟练掌握反比例函数的定义是解答本题的关键. 2．一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解． 【详解】当时，，则一次函数经过一、三、四象限，反比例函数经过一 、三象限，故排除A，C选项； 当时，，则一次函数经过一、二、四象限，反比例函数经过二、四象限，故排除B选项， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键． 3．对于反比例函数y＝﹣，下列说法不正确的是（　　） A．图象分布在第二、四象限 B．当x＞0时，y随x的增大而增大 C．图象经过点（3，﹣6） D．若点A（x1，y1），B（x2，y2）都在图象上，且x1＜x2，则y1＜y2 【答案】D 【分析】反比例函数y＝ 中的﹣18＜0，所以该函数图象位于第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大． 【详解】解：A、因为y＝中的﹣18＜0，所以该函数图象位于第二、四象限，故本选项说法正确； B、当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项说法正确； C、把点（3，﹣6）代入反比例函数得到﹣6＝ ，等式成立，故本选项说法正确； D、当在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项说法错误； 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数y＝ ，当k＞0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x的增大而减小；当k＜0时，在每一个象限内，函数值y随自变量x增大而增大． 4．已知函数是反比例函数，且图象位于第一、三象限，则________． 【答案】2 【详解】根据反比函数的解析式y=（k≠0），故可知n+1≠0，即n≠-1，且n2－5=-1，解得n=±2，然后根据函数的图象在第一、三象限，可知n＞0，所以可求得n=2. 故答案为2. 5．点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由图象可知在第三象限，点在第一象限，所以a-2＜0，a+3大于0． 【详解】∵反比例函数的图象在一三象限，a-2＜a+3,， ∴在第三象限，点在第一象限， 所以a-2＜0，a+3大于0． 解得：−3<a<2 故答案为−3<a<2. 【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，解题的关键是列出不等式. 6．已知反比例函数与矩形ABCD交于点M、N，连接OM，ON，M（3，2），S四边形OMBN=6，求反比例函数的解析式及B点、N点的坐标． 【答案】N（，4） 【分析】根据点M的坐标可得出反比例函数的解析式,即可得出三角形OAM的面积和三角形OCN的面积,由S四边形OMBN=6,可得出点B的坐标,进而得出点N的坐标. 【详解】∵设反比例函数的解析式为y=， 把M（3，2）代入y=，得k=6， ∴反比例函数的解析式为y=， ∴S三角形OMA=S三角形ONC=3， ∵S四边形OMBN=6， ∴S矩形OABC=6+3+3=12， ∵OA=3，∴AB=4， ∴B（3，4）， ∵OC•CN=6， ∴CN=， ∴N（，4）． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数系数k的几何意义,过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线,与坐标轴围成的矩形面积就等于.本知识点是中考的重要考点,同学们应高度关注. 2 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $