专题03 圆的方程（期中真题汇编，青海、宁夏专用）高二数学上学期

专题03 圆的方程 6大高频考点概览 考点01 圆的一般方程与标准方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03 圆与圆的位置关系 考点04 圆的弦长问题 考点05 圆的切线问题 考点06 与圆有关的最值 地 城 考点01 圆的一般方程与标准方程 一、单选题 1．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)已知圆：，则圆心的坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．(23-24高二上·青海西宁大通回族土族自治县第一完全中学·期中)在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·宁夏石嘴山第一中学·期中)已知两直线和的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．(23-24高二上·青海海东第一中学·期中)已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为16 B．圆截轴所得的弦长为 C．圆与圆：相外切 D．若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 三、解答题 9．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)已知圆C：，点． (1)若，过P的直线l与C相切，求l的方程； (2)若C上存在到P的距离为1的点，求m的取值范围． 10．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)已知圆C经过点A（3，1）、B（－1，3），且它的圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)若点D为圆C上任意一点，且点E（3，0），求线段ED中点M的轨迹方程. 11．(23-24高二上·宁夏银川四校·期中)已知. (1)求点到直线的距离； (2)求△ABC的外接圆的方程. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期中)已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期中)已知直线与圆交于两点，且，则（    ） A．4 B． C．2 D． 二、多选题 3．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)已知直线，圆，则（    ） A．过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆，则 4．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数k的值可能是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高二上·宁夏银川景博中学·期中)已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 6．(23-24高二上·宁夏银川第六中学·期中)已知圆，直线．则（    ） A．直线恒过定点 B．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 C．直线与圆有一个交点 D．若圆与圆恰有三条公切线，则 7．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为 B．直线过定点 C．直线与圆相交且所截最短弦长为 D．直线与圆可以相切 8．(23-24高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中)设直线l过点，且与圆相切，则l的斜率是（    ） A．－1 B． C． D． 三、解答题 9．(24-25高二上·青海西宁第五中学·期中)已知的圆心在x轴上，经过点和． (1)求的方程； (2)过点的直线l与交于A、B两点． （ⅰ）若，求直线l的方程； （ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程． 10．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点． (1)求圆C的标准方程； (2)求直线l所过的定点； (3)当的面积最大时，求直线l的方程． 地 城 考点03 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·青海西宁第五中学·期中)已知圆与圆外切，则实数a的值为（    ） A．1 B．-1 C．1或 D．或5 2．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)已知圆，圆，则圆的位置关系为（ ） A．内含 B．外切 C．内切 D．相交 3．(24-25高二上·宁夏银川景博中学·期中)已知圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数（    ） A．9 B． C．8 D． 二、多选题 4．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期中)已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆的内部，则 B．若，则圆的公共弦所在的直线方程是 C．若圆外切，则 D．过点作圆的切线，则的方程是或 三、填空题 5．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 四、解答题 6．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)已知圆W经过，，三点． (1)求圆W的标准方程； (2)判断圆与圆W的位置关系． 地 城 考点04 圆的弦长问题 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·宁夏石嘴山第一中学·期中)已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 3．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)已知圆与圆相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为 A．x+2y+1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x﹣2y+1=0 D．x﹣2y﹣1=0 4．(23-24高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中)已知AB是圆内过点的最短弦，则（    ） A．2 B． C．4 D． 二、解答题 5．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)已知圆（为常数）． (1)当时，求直线被圆截得的弦长． (2)证明：圆经过两个定点． (3)设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程． 6．(23-24高二上·宁夏银川第六中学·期中)已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点. (1)求圆C的方程； (2)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 地 城 考点05 圆的切线问题 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏银川一中·期中)已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 2．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期中)已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为，，若，则 ． 3．(24-25高二上·宁夏银川景博中学·期中)已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)已知圆，直线过点.若直线与圆相切，则直线的方程为 三、解答题 5．(24-25高二上·宁夏银川景博中学·期中)已知点，. (1)求直线MN的一般式方程； (2)求以线段MN为直径的圆的标准方程； (3)求（2）中的圆在点处的切线方程. 6．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)已知圆C的方程为：． (1)若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； (2)过点作圆C的切线，求切线方程． 地 城 考点06 与圆有关的最值 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 3．(23-24高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中)已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 4．(24-25高二上·青海西宁第五中学·期中)已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（    ） A．直线被圆截得的弦长为 B．的最大值 C．的最大值为 D．的最大值为 三、填空题 5．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)圆上的点到直线的距离的最大值为 . 四、解答题 6．(24-25高二上·宁夏银川一中·期中)已知关于直线对称，且圆心在轴上. (1)求的标准方程； (2)已知动点在直线上，过点引的切线MA，求的最小值. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆的方程 6大高频考点概览 考点01 圆的一般方程与标准方程 考点02 直线与圆的位置关系 考点03 圆与圆的位置关系 考点04 圆的弦长问题 考点05 圆的切线问题 考点06 与圆有关的最值 地 城 考点01 圆的一般方程与标准方程 一、单选题 1．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)已知圆过点，则圆的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得圆心，半径，即可得圆的标准方程. 【详解】由在圆上，故圆心在直线上， 由在圆上，故圆心在直线上， 即圆心，半径， 故方程为. 故选：A. 2．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)已知圆：，则圆心的坐标和半径分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据圆一般方程与标准方程的互化即可求解. 【详解】由题意知，圆的标准方程为, 所以圆心坐标为，半径. 故选：C 3．(23-24高二上·青海西宁大通回族土族自治县第一完全中学·期中)在平面直角坐标系中，圆心为，半径为2的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆心和半径直接确定圆的方程. 【详解】由题意可得方程为. 故选：C. 4．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)已知，，则以为直径的圆的一般方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件，直接求出圆心和半径，再求出圆的标准方程，化为一般方程，即可求解. 【详解】因为，，则的中点为，且， 所以为直径的圆的方程为，即， 故选：A. 5．(24-25高二上·宁夏石嘴山第一中学·期中)已知两直线和的交点为M，则以点M为圆心，半径长为1的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得两直线交点，即可根据圆的标准方程性质求解圆的方程. 【详解】，则，又半径长为1， 则圆M的方程为：. 故选：B 6．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)若方程表示一个圆，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将方程化为圆的一般方程，利用列式即可求. 【详解】若方程表示一个圆，则， 方程可化为， 所以，解得，且不等于0， 所以或. 故选：D 7．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)若方程表示圆，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程化成，再利用条件，即可求解. 【详解】因为方程可变形为， 由题知，得到， 故选：C. 二、多选题 8．(23-24高二上·青海海东第一中学·期中)已知圆：，则下列说法正确的是（    ） A．圆的半径为16 B．圆截轴所得的弦长为 C．圆与圆：相外切 D．若圆上有且仅有两点到直线的距离为1，则实数的取值范围是 【答案】BC 【分析】先运用配方法将一般式方程化为标准方程，可确定其圆心个半径，可判断A；根据点到弦的距离可求出弦长，判断B；圆心距和半径的关系可确定圆与圆的位置关系，判断C；圆心到直线的距离与半径之间的数量关系可确定圆C上有且仅有两点到直线的距离为1，判断D. 【详解】由圆，可得圆的标准方程为， 所以圆的半径为4，故A错误； 令，得，设圆与轴交点的横坐标分别为，， 则，是的两个根，所以，， 所以，故B正确； 两圆圆心距，故C正确； 由圆上有且仅有两点到直线的距离为1， 则，解得或， 即实数的取值范围是，故D错误. 故选：BC. 三、解答题 9．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)已知圆C：，点． (1)若，过P的直线l与C相切，求l的方程； (2)若C上存在到P的距离为1的点，求m的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）对直线l的斜率是否存在讨论，根据直线与圆的位置关系列式运算； （2）要使圆C上存在到点P的距离为1的点，则圆心C到的距离满足，，运算得解. 【详解】（1）因为，所以圆C的方程为 ①当l的斜率不存在时，l的方程为，与圆C相切，符合题意； ②当l的斜率存在时，设l的方程为，即， 圆心C到l的距离，解得， 则l的方程为，即， 综上可得，l的方程为或． （2）由题意可得圆C：，圆心，半径， 则圆心C到的距离， 要使C上存在到P的距离为1的点， 则，即， 解得， 所以m的取值范围为． 10．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)已知圆C经过点A（3，1）、B（－1，3），且它的圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)若点D为圆C上任意一点，且点E（3，0），求线段ED中点M的轨迹方程. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程； （2）首先设出点M的坐标，利用中点公式得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程. 【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则 ， 解之得， 所以圆C的标准方程为； （2）设M（x，y），D，则，由E(3，0)及M为线段ED的中点得：，解得 又点D在圆C：上， 所以有， 化简得：． 故所求的轨迹方程为． 11．(23-24高二上·宁夏银川四校·期中)已知. (1)求点到直线的距离； (2)求△ABC的外接圆的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用直线的两点式求得直线的方程为，由点到直线距离公式即可求出结果； （2）设△ABC的外接圆的方程为，代入坐标联立解方程组即可求得结果. 【详解】（1）直线的方程为， 化简可得， 所以点到直线的距离. （2）设的外接圆的方程为， 将的坐标代入，得 ，即 解得； 故所求圆的方程为. 地 城 考点02 直线与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期中)已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称可知是圆和圆圆心连线的垂直平分线，利用垂直关系求解斜率，由点斜式方程即可． 【详解】圆，圆心，半径， ，圆心，半径， 由题意知，是圆和圆圆心连线的垂直平分线， ，，的中点， 圆心连线的斜率为，则直线的斜率为， 故的方程：，即,故C正确． 故选：C． 2．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期中)已知直线与圆交于两点，且，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】运用垂径定理结合勾股定理构造方程计算即可. 【详解】由题意可得圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离．因为， 所以，即，解得. 故选：D. 二、多选题 3．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)已知直线，圆，则（    ） A．过定点 B．圆与轴相切 C．若与圆有交点，则的最大值为0 D．若平分圆，则 【答案】ABD 【分析】利用直线方程与的取值无关，求解定点判A，利用直线与圆的位置关系判断B，C,先发现直线必过圆心，后将圆心代入直线，求解参数，判断D即可. 【详解】对A，整理直线的方程，得，令，解得， 当时，直线方程与的取值无关，又，解得， 即必过定点，故A正确； 对B，整理圆的方程，得，易知圆心到轴的距离为， 又，故得圆与轴相切，故B正确； 对C，若与圆有交点，设圆心到直线的距离为， 可得，解得故C错误； 对D，若平分圆，则必过圆心，易知圆心为， 将代入直线的方程，得，解得，故D正确. 故选：ABD. 4．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)若直线与曲线有两个不同的公共点，则实数k的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】分析可知曲线C表示圆的上半部分，根据图形结合直线与圆的位置关系运算求解. 【详解】由，得， 可知曲线C表示圆的上半部分．    且直线过定点， 当直线过点时，； 当直线与圆相切时，，解得或． 由图可知，k的取值范围是． 故选：ABD. 5．(24-25高二上·宁夏银川景博中学·期中)已知圆，直线.则以下命题正确的有（　　） A．直线l恒过定点 B．y轴被圆C截得的弦长为 C．直线l与圆C恒相交 D．直线l被圆C截得弦长最长时，直线的方程为 【答案】CD 【分析】根据直线方程求出定点坐标即可判断选项A；求出圆和y轴的交点坐标，即可判断选项B；利用定点和圆的位置关系即可判断选项C；当弦长最长时，直线过圆心从而判断选项D. 【详解】对于A，直线，即， 由，解得，故直线过定点，故A错误； 对于B, 圆，当时，，故y轴被圆C截得的弦长为，故B错误； 对于C，直线过定点，,故点在圆内，则直线l与圆C恒相交，故C正确； 对于D，当直线l被圆C截得弦长最长时，直线过圆心，则，解得， 故直线方程为：，即，故D正确. 故选：CD 6．(23-24高二上·宁夏银川第六中学·期中)已知圆，直线．则（    ） A．直线恒过定点 B．当时，圆上恰有四个点到直线的距离等于1 C．直线与圆有一个交点 D．若圆与圆恰有三条公切线，则 【答案】AD 【分析】化简直线的方程为，可判定A正确；根据圆心到直线的距离，可判定B错误；根据点在圆内部，可判定C错误；根据两圆的位置关系，列出方程，求得的值，可判定D正确. 【详解】对于A中，因为直线， 可得，令，解得， 所以直线恒过点点，所以A正确； 对于B中，由圆，可得圆心，半径为， 要使得圆上恰有四个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离，则满足， 当时，直线， 可得圆心到直线的距离为，所以B错误； 对于C中，因为直线恒过点点，设为点， 可得，所以点在圆内部， 所以直线圆圆有两个交点，所以C错误； 对于D中，因为圆，可得， 要使得圆与圆恰有三条公切线， 可得，即，解得，所以D正确. 故选：AD. 7．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)已知圆与直线，下列选项正确的是（    ） A．圆的圆心坐标为 B．直线过定点 C．直线与圆相交且所截最短弦长为 D．直线与圆可以相切 【答案】ABC 【分析】根据圆的方程直接求出圆心判断A，直线恒过定点判断B，利用垂径定理结合圆的性质求出最短弦长判断C，利用直线恒过圆内定点判断D. 【详解】对于A，圆的圆心坐标为，正确； 对于B，直线方程即，由可得， 所以直线过定点，正确； 对于C，记圆心，直线过定点，则， 当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大， 此时直线截圆所得的弦长最小， 此时弦长为，正确； 对于D，因为，所以点在圆内，直线与圆必相交，错误. 故选：ABC 8．(23-24高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中)设直线l过点，且与圆相切，则l的斜率是（    ） A．－1 B． C． D． 【答案】BD 【分析】直线与圆相切，利用圆心到直线距离等于半径，求直线斜率. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为1, 当直线l斜率不存在时，直线显然与圆不相切. 当直线l斜率存在时，设l：，即. 又l与圆相切，则圆心到直线距离．解得. 故选：BD 三、解答题 9．(24-25高二上·青海西宁第五中学·期中)已知的圆心在x轴上，经过点和． (1)求的方程； (2)过点的直线l与交于A、B两点． （ⅰ）若，求直线l的方程； （ⅱ）求弦AB最短时直线l的方程． 【答案】(1) (2)①或；②. 【分析】（1）设圆心为，根据题中条件求出的值，可求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （2）①求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直线写出直线的方程，直接验证即可；      在直线的斜率存在时，设直线的方程为，利用点到直线的距离公式求出的值，综合可得出结果；      ②分析可知，当时，取最小值，求出直线的斜率，可得出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程. 【详解】（1）设圆心为，由题意可得，解得， 所以，圆的半径为，因此，圆的标准方程为. （2）①当时，圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合题意， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得，此时，直线的方程为. 综上所述，直线的方程为或. ②当时，圆心到直线的距离最大，此时，取最小值， 因为，则， 此时，直线的方程为，即. 10．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)已知圆C的圆心是直线与直线的交点，且和直线相切，直线，直线l与圆C相交于P，Q两点． (1)求圆C的标准方程； (2)求直线l所过的定点； (3)当的面积最大时，求直线l的方程． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）依次求出圆心和半径即可得解； （2）由题意列出方程组即可求解； （3），当时，面积最大，此时为等腰直角三角形，圆心到直线l的距离，据此即可求出m. 【详解】（1），圆C的圆心的圆心坐标为，且和直线相切， 所以圆C的半径为， 所以圆C的标准方程为； （2）由，得， 由， ∴直线l过定点； （3）∵，∴当时，面积最大， 此时为等腰直角三角形，故圆心到直线l的距离， ∴，解得， ∴此时l的方程为：或. 地 城 考点03 圆与圆的位置关系 一、单选题 1．(24-25高二上·青海西宁第五中学·期中)已知圆与圆外切，则实数a的值为（    ） A．1 B．-1 C．1或 D．或5 【答案】C 【分析】由圆心距等于半径之和求解即可. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 因为两圆外切， 所以， 解得或． 故选：C． 2．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)已知圆，圆，则圆的位置关系为（ ） A．内含 B．外切 C．内切 D．相交 【答案】C 【分析】利用圆心距与半径之差相等，可以判定两圆相内切. 【详解】由圆得：， 所以圆的圆心坐标为，半径， 又由圆得：， 所以圆的圆心坐标为，半径， 则圆心距， 由于，所以， 则圆的位置关系为内切. 故选：C. 3．(24-25高二上·宁夏银川景博中学·期中)已知圆，若圆与圆恰有三条公切线，则实数（    ） A．9 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】根据两圆公切线的条数确定两圆的位置关系，再把两圆的位置关系转化为圆心距与半径和差的数量关系求参数的值. 【详解】圆可化为，圆心为，半径为. 若圆M与圆恰有三条公切线，则两圆外切. 圆可化为，圆心为，半径为，. 由，所以，解得. 故选：B 二、多选题 4．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期中)已知圆，圆，则下列说法正确的是（    ） A．若点在圆的内部，则 B．若，则圆的公共弦所在的直线方程是 C．若圆外切，则 D．过点作圆的切线，则的方程是或 【答案】BCD 【分析】根据点在圆的内部解不等式即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确. 【详解】对于A，由点在圆的内部，得，解得，故错误； 对于B，若，则圆， 将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是，故B正确； 对于C，圆的标准方程为，圆心为，半径， 圆的标准方程为，圆心为，半径， 若圆外切，则，即，解得，故C正确； 对于D，当的斜率不存在时，的方程是，圆心到的距离，满足要求， 当的斜率存在时，设的方程为， 圆心到的距离，解得， 所以的方程是，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 5．(24-25高二上·宁夏吴忠秦宁中学·期中)若圆与圆有且仅有三条公切线， ． 【答案】 【分析】根据条件直接求出两圆的圆心和半径，再利用两圆的位置关系，即可求解. 【详解】易知圆的圆心为，半径为， 由，得到， 则，即，圆的圆心为，半径为， 因为圆与圆有且仅有三条公切线，所以圆与圆外切， 则，即，解得， 故答案为：. 四、解答题 6．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)已知圆W经过，，三点． (1)求圆W的标准方程； (2)判断圆与圆W的位置关系． 【答案】(1) (2)圆C与圆W相交 【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点坐标，求解转化为标准方程； （2）根据圆与圆的位置关系判断求解即可. 【详解】（1）设圆W的方程为，， 则，解得， 故圆W的方程为，标准方程为． （2）圆W的圆心为，半径为5， 圆C的标准方程为， 圆心为，半径为3． 设两圆圆心之间的距离为d，则． 因为，所以圆C与圆W相交． 地 城 考点04 圆的弦长问题 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)已知圆：，圆：，则两圆的公共弦所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两圆的公共弦所在直线的特点，两圆方程相减即可得解. 【详解】圆：，圆： 两圆方程相减得公共弦所在直线的方程为：. 故选：B 2．(24-25高二上·宁夏石嘴山第一中学·期中)已知点和圆Q：，则以PQ为直径的圆与圆Q的公共弦长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得以PQ为直径的圆的方程，两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，后由弦长公式可得答案. 【详解】由题可得，则以PQ为直径的圆的圆心坐标为，半径为4， 则PQ为直径的圆的方程为： .将两圆方程相减可得公共弦方程为：. 则圆Q圆心到公共弦方程距离为2，又圆Q半径为4，则公共弦长为：. 故选：D 3．(23-24高二上·宁夏六盘山高级中学·期中)已知圆与圆相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为 A．x+2y+1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x﹣2y+1=0 D．x﹣2y﹣1=0 【答案】B 【分析】对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程． 【详解】由题意，因为圆与圆相交， 所以两圆的方程作差得6x+12y﹣6=0， 即公式弦所在直线方程为x+2y﹣1=0 故选：B． 4．(23-24高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中)已知AB是圆内过点的最短弦，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】求圆的标准方程，确定圆心半径，找到最短弦条件，求出最短弦长. 【详解】   设圆为，其标准方程为， 则圆心坐标为，半径为3， 过的最短的弦满足为在弦上垂足时，则 ， 则， 故选：C. 二、解答题 5．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)已知圆（为常数）． (1)当时，求直线被圆截得的弦长． (2)证明：圆经过两个定点． (3)设圆经过的两个定点为，，若，且，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）当时利用配方求出圆的圆心、半径，由点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再由可得答案； （2）由令与联立解方程组可得答案； （3）（方法一）设的中点为，由得求出可得答案．（方法二）由利用两点间的距离公式求出可得答案． 【详解】（1）当时，圆， 此时，圆的圆心为，半径． 则圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长 为； （2）由，得， 令，因为为常数 所以得，由 解得或， 所以圆经过两个定点，且这两个定点的坐标为； （3）（方法一）设的中点为， 不妨设，则点的坐标为． 因为，所以， 所以， 解得， 所以圆的标准方程为． （方法二）不妨设，因为， 所以， 解得， 所以圆的标准方程为． 6．(23-24高二上·宁夏银川第六中学·期中)已知圆C的圆心在直线上且与y轴相切于点. (1)求圆C的方程； (2)若直线l过点且被圆C截得的弦长为，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用已知圆心特征和半径列方程组，即可求得圆的方程； （2）分斜率存在与不存在两种情况讨论，结合弦心距的求解过程即可得出结果. 【详解】（1）圆的圆心在直线上且与轴切于点， 设圆心坐标为，则，解得，， 圆心，半径， 故圆的方程为. （2）点，直线过点， 当的斜率存在时，设直线的斜率为（存在）， 则方程为，又圆的圆心为，半径，弦长为， 故弦心距，故，解得， 所以直线方程为，即， 当的斜率不存在时，的方程为，经验证也满足条件， 故的方程为或. 地 城 考点05 圆的切线问题 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏银川一中·期中)已知圆经过点，则圆在点P处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求的值, 然后求圆心坐标，接着求圆心与点连线的斜率，最后求圆在点处的切线方程. 【详解】因为圆经过点， 将点代入圆的方程可得：.即，所以， 则圆的方程为. 对于圆，其圆心坐标为，所以此圆的圆心.： 根据斜率公式，这里，，则. 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，若两条垂直直线的斜率分别为和，则. 已知，所以切线的斜率. 又因为切线过点，根据点斜式方程（这里）， 可得切线方程为.整理得. 故选：A. 二、填空题 2．(24-25高二上·青海西宁第十四中学·期中)已知圆：，过圆外一点作的两条切线，切点分别为，，若，则 ． 【答案】1 【分析】结合切线长定理可得为等边三角形，即可得. 【详解】 由圆：可得圆心坐标为，半径， 由、为圆切线，故， 又 故， 又，故为等边三角形，故. 故答案为：1. 3．(24-25高二上·宁夏银川景博中学·期中)已知和点，则过点的的所有切线方程为 . 【答案】或 【分析】先确定点在圆外，再分切线斜率存在与否，利用圆心到切线的距离等于半径求解即可. 【详解】由圆的方程可得圆心，半径， 由题意可得圆心到切线的距离等于半径， 由点代入圆的方程可得，所以点在圆外， 所以当切线的斜率不存在时，满足题意的直线方程为； 当斜率存在时，设为， 则过点的切线方程为，即 所以，解得， 此时，切线方程为， 综上，过点的的所有切线方程为或. 故答案为：或. 4．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)已知圆，直线过点.若直线与圆相切，则直线的方程为 【答案】或 【分析】先求出圆的圆心和半径，然后分直线的斜率不存在和存在两种情况求解即可. 【详解】由圆，圆心为，半径为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时直线恰好与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则，解得， 则直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 故答案为：或. 三、解答题 5．(24-25高二上·宁夏银川景博中学·期中)已知点，. (1)求直线MN的一般式方程； (2)求以线段MN为直径的圆的标准方程； (3)求（2）中的圆在点处的切线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用两点式求出直线斜率，然后利用点斜式方程求解即可； （2）由中点坐标公式求出圆心坐标，再求出半径，即可得到圆的方程； （3）先求得切线的斜率，代入点斜式直线方程，即可求解. 【详解】（1）直线MN的斜率为， 则直线MN的方程为，即. （2）由题意可知圆心C为线段MN的中点，即， 半径， 故所求圆的标准方程为. （3）直线CP的斜率为，则所求切线的斜率为， 故所求的切线方程为，即. 6．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)已知圆C的方程为：． (1)若直线与圆C相交于A、B两点，且，求实数a的值； (2)过点作圆C的切线，求切线方程． 【答案】(1)或； (2)或． 【分析】（1）根据已知条件，结合点到直线的距离公式，以及垂径定理，即可求解； （2）结合切线的定义和点到直线的距离公式，即可分类讨论思想，即可求解． 【详解】（1）圆的方程为：， 则圆的圆心为，半径为2， 直线与圆相交于、两点，且， 则，解得或； （2）当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切， 切线的斜率存在时，可设切线为，即， 由切线的定义可知，，解得， 故切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 地 城 考点06 与圆有关的最值 一、单选题 1．(24-25高二上·宁夏石嘴山平罗中学·期中)圆上的点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆心到直线距离，再利用圆的性质求解即得. 【详解】圆的圆心为，半径为， 则点到直线的距离为， 所以圆上的点到直线的距离的最大值为. 故选：B 2．(24-25高二上·青海西宁第四高级中学·期中)已知圆，直线，M为直线l上一动点，N为圆C上一动点，定点，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的性质可知，求点C关于l的对称点为，根据对称性转化，并结合几何性质运算求解. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 因为，当且仅当点在线段上时，等号成立， 设点C关于l的对称点为， 则，解得，即， 则， 所以的最小值为． 故选：C. 二、多选题 3．(23-24高二上·宁夏青铜峡宁朔中学·期中)已知实数、满足方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】设，可得，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断AB选项；利用距离的几何意义求出的最大值，可判断C选项；设，利用直线与圆有公共点，求出的取值范围，可判断D选项. 【详解】将方程化为标准方程可得， 圆的圆心为，半径为， 对于A选项，设，可得， 则直线与圆有公共点， 所以，，整理可得，解得，AB都对； 对于C选项，代数式的几何意义为圆上的点到原点的距离的平方，如下图所示： 由图可知，当点为射线与圆的交点时，取最大值，即， 故的最大值为，C错； 对于D选项，设，则直线与圆有公共点， 所以，，解得， 所以，的最大值为，D对. 故选：ABD. 4．(24-25高二上·青海西宁第五中学·期中)已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（    ） A．直线被圆截得的弦长为 B．的最大值 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】AB 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式、两点之间的距离公式计算，将表示为圆上的点到原点的距离的平方，、分别表示直线、与圆有公共点，结合直线与圆的位置关系计算依次判断选项，即可求解. 【详解】A：实数，满足方程， 所以把看作是以为圆心，以为半径的圆； 由点到直线的距离公式得圆心到直线的距离， 于是弦长，故A错误； B：原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为， 所以，即， 所以的最大值为，故B错误． C：令，则直线与圆有公共点，所以，， 解得，所以的最大值为．故C正确； D：令，则直线与圆有公共点，所以， 解得，所以的最大值为．故D正确. 故选：AB. 三、填空题 5．(24-25高二上·宁夏青铜峡第一中学·期中)圆上的点到直线的距离的最大值为 . 【答案】/ 【分析】求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离和半径即可得解. 【详解】将圆的标准方程为，圆心为，半径为3， 因为圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最大距离为. 故答案为：. 四、解答题 6．(24-25高二上·宁夏银川一中·期中)已知关于直线对称，且圆心在轴上. (1)求的标准方程； (2)已知动点在直线上，过点引的切线MA，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用给定条件求出参数，写出一般方程，再转化为标准方程即可. （2）结合题意及勾股定理将切线长用圆心到直线的距离进行表示，再利用点到直线的距离公式求解最值即可. 【详解】（1）因为圆的方程为， 所以圆心坐标为，由题意得圆关于直线对称， 故是圆的直径，即在直线上， 得到，而圆心在轴上，故，解得， 代入到中，得到，解得， 故圆的一般方程为， 我们把它换为标准方程，得到圆的标准方程为， （2）首先，可化为， 如图，作，且记直线为， 由勾股定理得，故， 当最小时，一定最小，也一定最小， 由平面几何性质得当时，取得最小值， 由点到直线的距离公式得， 故. 试卷第1页，共3页 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $