专题04 函数的概念与表示（期中复习讲义）（知识必备+11大核心题型+分层验收）高一数学上学期北师大版

专题04 函数的概念与表示（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数关系的判断 能根据函数定义判断函数关系，能判断两个函数是不是相等函数 高频易错考点，常出现在选择题，填空题 函数定义域 能求具体函数定义域；能求抽象函数定义域 期中必考考点，常出现在选择题，填空题 函数值域 能求根式型函数值域，能求分式型函数值域 基础考点，常出现在选择题，填空题 求解析式 能用待定系数法，换元法，方程组法求解析式 期中必考考点，涉及各种题型 分段函数 能求分段函数的值，能根据函数值求参数 基础考点，常出现在选择题，填空题 知识点01 函数的概念 1.集合观点的函数定义 给定实数集中的两个非空数集和,如果存在一个对应关系,使对于集合中的每一个数,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就把对应关系称为定义在集合上的一个函数,记作. 其中集合称为函数的定义域,称为自变量,与值对应的值称为函数值,集合称为函数的值域. 2.函数的四个特征 (1)非空性:,都是非空数集,因此定义域或值域为空集的函数不存在,如就不是函数; (2)任意性:定义域中的每一个数都有函数值与之对应: (3)单值性(唯一性):每一个自变量都在中有唯一的值与之对应; (4)方向性:函数是一个从定义域到值域的对应关系,如果改变这个对应方向,那么新的对应关系就不一定是函数关系. ·示例：函数中自变量x与y之间的对应关系可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多，如： 如不是函数，当x取任一正数时，y都有两个值，即一对多，故它不是函数. 知识点02 函数的表示法 表示法 含义 定义域 值域 示例 解析法 用含自变量的解析式表示两个变量之间函数关系的方法 使解析式有意义的自变量取值的集合 因变量的取值范围 定义域：， 值域： 列表法 列出表格来表示两个变量之间函数关系的方法 表格中自变量取值的集合 表格中相应取值的集合 定义域：， 值域： 图象法 用图象表示两个变量之间函数关系的方法 图象在轴上的投影对应的取值的集合 图象在轴上的投影对应的取值的集合 定义域： 值域： ·易错点：注意并不是所有的函数都能写出其解析式，如气温y与对应的时刻t之间的函数关系式就无法用解析式表示. 知识点03 分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． ·易错点：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． ·示例：函数便可写成分段函数的形式：， 由图可知， 题型一 函数关系的判断 解｜题｜技｜巧 1．判断两个变量之间是否存在函数关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否是唯一的会随之变化． 2．可以一对一、一对多，不可以多对一. 【典例1-1】判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【典例1-2】下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【变式1-2】下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？ ①f：把对应到；   ②g：把对应； ③h：把对应到 ；       ④r：把对应到. 题型二 同一函数 解｜题｜技｜巧 只有定义域和对应关系都相同，两函数才是同一个函数. 【典例2】（多选）（25-26高三上·江苏连云港·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式2】（多选）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 题型三 函数求值问题 解｜题｜技｜巧 1.只需将自变量的值代入函数式中，即可求得相应的函数值 2.对于由函数值求参的问题，则可根据函数解析式列出关于参数的方程，解之即得所求. 易｜错｜警｜示 对于分段函数的求值问题，往往要分类讨论求解. 【典例3-1】（23-24高三上·浙江湖州·期末）设函数.已知，且，，则 . 【典例3-2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 【变式3-1】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）若函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】 （2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】函数的定义域为，若，则 ． 题型四 求具体函数定义域 解｜题｜技｜巧 求具体函数定义域的一般原则 (1)分式中分母不能为零; (2)二次根式(偶次根式)中的被开方数不小于零; (3)若f(x)的解析式是由几个式子构成,则函数定义域是使几个式子都有意义的实数集合的交集； (4)f(x)=x0的定义城是x∈R，且x≠0； (5)求函数定义域一定要根据最原始的解析式来求解,不能先化简再求定义域. 【典例4-1】（24-25高一上·广东江门·期中）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【典例4-2】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知函数的定义域为 . 【变式4-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域是 . 【变式4-2】（24-25高一上·江苏徐州·期中）函数的定义域为 . 题型五 求抽象函数的定义域 解｜题｜技｜巧 （1）若已知函数的定义域为[a，b]，则复合函数的定义域由求出： ①函数的定义域为[a，b]是指中的的范围为： ②的定义域中g(x)的范围等同于中的的范围，即： ③根据求出的范围。（注意定义域都是指单个的取值范围） （2）若已知函数的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为在x∈[a，b]时的值域 ①函数f (g(x))的定义域为[a，b]是指f (g(x))中单个的范围，即： ②根据，求出的范围， ③的定义域是指中单个的范围，此的范围等同于中的范围， 【典例5】（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【变式5-1】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为 题型六 待定系数法求解析式 解｜题｜技｜巧 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，即先设出函数的解析式，再利用已知条件列出关于待定系数的方程（组），解之确定系数，即可得函数的解析式. 【典例6-1】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【典例6-2】（2025高三·全国·专题练习）设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式． 【变式6-1】（多选）（23-24高一上·浙江·期中）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 题型七 换元法求解析式 解｜题｜技｜巧 已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 【典例7】已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一上·山东威海·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 题型八 方程组法求解析式 解｜题｜技｜巧 在已知式子中,若含有两个不同变量,这两个变量又有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,联立这两个式子,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式, 这种方法叫作解方程组法或消元法. 【典例8-1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【典例8-2】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，则函数的解析式为 . 【变式8-1】已知函数满足，且，则 . 【变式8-2】已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 题型九 求分式型函数的值域 解｜题｜技｜巧 ①形如：：分离常数法 ②形如：：换元法，令 ③形如：，综合运用换元法或分离常数法 【典例9】（23-24高一上·安徽合肥·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 题型十 求根式型函数的值域 解｜题｜技｜巧 形如：，换元法，令，从而化为一元二次函数求值域；注意换元必换范围 【典例10-1】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【典例10-2】（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25高一上·辽宁·期中）函数的最大值是（    ） A． B． C．4 D． 【变式10-2】已知函数，则的值域为 . 题型十一 由函数的定义域、值域求参（跨章节） 解｜题｜技｜巧 1.由函数定义域求参的策略：明确定义域条件，转化为不等式（组），结合参数范围求解，注意端点值验证，优先考虑定义域限制. 2.由函数值域求参的策略：先确定函数值域表达式，转化为方程有解问题，结合参数范围分析，利用函数单调性或图象特征，验证端点值的适配性. 【典例11-1】（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【典例11-2】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数 （1）若求的定义域. （2）若的值域为求实数的取值范围. 【变式11-1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高一下·河北保定·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式、根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果. 【详解】由得：且，的定义域为. 故选：D. 2．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 3．下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 4．根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 5．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 6．(多选)（25-26高一上·新疆·期中）下列函数与函数不是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）与函数值域相同的函数有（    ） A． B． C． D． 8．（多选）（24-25高一上·福建莆田·期中）已知定义域为，则错误的是（    ） A． B． C．， D．函数的定义域为 9．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 10．已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是 . ①    ② ③    ④ 11．（24-25高二下·上海·期中）函数的值域是 . 12．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 13．（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域． 14．求下列函数的值域． (1)；(2)；(3)； (4)；(5)（）． 15．（24-25高一上·河南·期中）（1）已知函数，求函数的定义域； （2）求的值域； （3）已知，求的解析式． 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 16.（24-25高一下·河南濮阳·期末）“函数的定义域为R”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 17.（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 18.（多选）（24-25高一下·河北保定·期中）下列选项中正确的有（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．与表示同一函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 19.（跨章节）（24-25高一上·河南驻马店·期末）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 20．（跨章节）（24-25高一上·广东惠州·期中）记函数的定义域为集合，函数的值域为集合，求： (1)求M，N； (2)求. 21．已知函数. (1)若，求函数在的值域； (2)若，求函数在上的值域. 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 22．（25-26高一上·全国·开学考试）已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（    ） A． B． C． D． 23．（跨章节）（2025·甘肃白银·模拟预测）任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段AC的中点，则称，是关于的“对称函数”．已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”．若，，成立，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 24．（多选）（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且对任意，满足，，且，则下列说法正确的有（   ） A． B．若为一次函数，则存在且不唯一 C．若为二次函数，则存在且唯一 D． 25．（24-25高一上·北京·期中）已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数m的取值范围为 . 26．(跨章节)（24-25高一上·辽宁·期末）若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数． (1)若为区间上的方正函数，求实数的值； (2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由． 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 函数的概念与表示（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 函数关系的判断 能根据函数定义判断函数关系，能判断两个函数是不是相等函数 高频易错考点，常出现在选择题，填空题 函数定义域 能求具体函数定义域；能求抽象函数定义域 期中必考考点，常出现在选择题，填空题 函数值域 能求根式型函数值域，能求分式型函数值域 基础考点，常出现在选择题，填空题 求解析式 能用待定系数法，换元法，方程组法求解析式 期中必考考点，涉及各种题型 分段函数 能求分段函数的值，能根据函数值求参数 基础考点，常出现在选择题，填空题 知识点01 函数的概念 1.集合观点的函数定义 给定实数集中的两个非空数集和,如果存在一个对应关系,使对于集合中的每一个数,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就把对应关系称为定义在集合上的一个函数,记作. 其中集合称为函数的定义域,称为自变量,与值对应的值称为函数值,集合称为函数的值域. 2.函数的四个特征 (1)非空性:,都是非空数集,因此定义域或值域为空集的函数不存在,如就不是函数; (2)任意性:定义域中的每一个数都有函数值与之对应: (3)单值性(唯一性):每一个自变量都在中有唯一的值与之对应; (4)方向性:函数是一个从定义域到值域的对应关系,如果改变这个对应方向,那么新的对应关系就不一定是函数关系. ·示例：函数中自变量x与y之间的对应关系可以是一对一，也可以是多对一，但不能是一对多，如： 如不是函数，当x取任一正数时，y都有两个值，即一对多，故它不是函数. 知识点02 函数的表示法 表示法 含义 定义域 值域 示例 解析法 用含自变量的解析式表示两个变量之间函数关系的方法 使解析式有意义的自变量取值的集合 因变量的取值范围 定义域：， 值域： 列表法 列出表格来表示两个变量之间函数关系的方法 表格中自变量取值的集合 表格中相应取值的集合 定义域：， 值域： 图象法 用图象表示两个变量之间函数关系的方法 图象在轴上的投影对应的取值的集合 图象在轴上的投影对应的取值的集合 定义域： 值域： ·易错点：注意并不是所有的函数都能写出其解析式，如气温y与对应的时刻t之间的函数关系式就无法用解析式表示. 知识点03 分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的在不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． ·易错点：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． ·示例：函数便可写成分段函数的形式：， 由图可知， 题型一 函数关系的判断 解｜题｜技｜巧 1．判断两个变量之间是否存在函数关系，只需看一个变量发生变化时，另一个变量是否是唯一的会随之变化． 2．可以一对一、一对多，不可以多对一. 【典例1-1】判断下列对应关系是否为集合A到集合B的函数． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，. 【分析】函数要求对于数集A中的任意一个实数，按照对应关系，在集合B中都有唯一确定的数与它对应，由此可判断题中关系是否为函数. 【详解】（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数． （2）对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数． （3）集合A中的负整数没有平方根，故在集合A中有剩余的元素，故不是集合A到集合B的函数． （4）对于集合A中任意一个实数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数． 【典例1-2】下列图象中，不能作为函数图象的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义可得出结论. 【详解】根据函数的定义可知，C选项中存在一个对应两个值，不合乎函数的定义， ABD选项中，对于定义域内每一个值，都只有唯一的值与之对应，满足函数的定义. 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一上·湖南长沙·期中）已知集合，，给出下列四个对应关系：①，②，③，④，请由函数定义判断，其中能构成从到的函数的是（    ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】D 【分析】由函数的定义一一判断即可. 【详解】对于①，当时，，故①不正确； 对于②，当时，，故②不正确； 对于③，当时，，当时，，故③正确； 对于④，当时，，当时，，故④正确. 故选：. 【变式1-2】下列各题的对应关系是否给出了实数集R上的一个函数？为什么？ ①f：把对应到；   ②g：把对应； ③h：把对应到 ；       ④r：把对应到. 【答案】①是实数集R上的一个函数；②是实数集R上的一个函数；③不是实数集R上的函数；④不是实数集R上的函数. 【分析】根据函数的概念及其对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于①中，实数集R上的一个函数，它的对应关系是：把乘3再加1，对于任意，都有唯一确定的值与之对应，如当时，有与之对应. 同理，对于②中，把对应也是实数集R上的一个函数. 对于③中，把对应到不是实数集R上的函数，因为当x＝0时，的值不存在. 对于④中，把对应到不是实数集R上的函数，因为当时，的值不存在. 题型二 同一函数 解｜题｜技｜巧 只有定义域和对应关系都相同，两函数才是同一个函数. 【典例2】（多选）（25-26高三上·江苏连云港·阶段练习）下列各组函数是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】AD 【分析】分别求出函数的定义域，化简其对应关系，判断其定义域和对应关系是否相同即可. 【详解】对于A，的定义域为R，的定义域为R， 定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故A正确； 对于B，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故B错误； 对于C，的定义域为R，的定义域为，定义域不相同，故不是同一函数，故C错误； 对于D，的定义域为R，的定义域为R，定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确. 故选：AD. 【变式2】（多选）下列各组函数中是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数的定义判断，即判断定义域与对应法则是否相同可得答案. 【详解】由，得或，所以函数的定义域为或． 由得，所以函数的定义域为． 两函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 函数的定义域为，函数的定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 函数的定义域为， 函数的定义域为，是同一个函数，故C正确； 函数的定义域为，函数的定义域为，且对应关系也相同，是同一个函数，故D正确. 故选：CD 题型三 函数求值问题 解｜题｜技｜巧 1.只需将自变量的值代入函数式中，即可求得相应的函数值 2.对于由函数值求参的问题，则可根据函数解析式列出关于参数的方程，解之即得所求. 易｜错｜警｜示 对于分段函数的求值问题，往往要分类讨论求解. 【典例3-1】（23-24高三上·浙江湖州·期末）设函数.已知，且，，则 . 【答案】 【解析】先将进行因式分解再与比较，利用对应系数相等可得关于的方程，即可得的值，即可求解. 【详解】因为， 所以， ， 因为， 所以，对任意的恒成立， 所以不恒为， 所以 展开整理可得：， 所以 解得：或（舍）， 所以， 故答案为：. 【点睛】本题解题的关键是将进行因式分解，由不恒为，得出利用待定系数法可求的值. 【典例3-2】（24-25高一上·全国·课前预习）已知函数． (1)求与与； (2)由（1）中求得结果，你能发现与有什么关系？并证明你的发现； (3)求． 【分析】（1）根据解析式代入运算得解； （2），利用解析式代入运算证明； （3）利用，运算得解. 【详解】（1）因为， 所以， ． （2）由（1）发现． 证明如下：． （3）． 由（2）知，， 所以原式. 【变式3-1】（24-25高一上·辽宁丹东·期末）若函数的定义域为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，可求出的值，令可求出的值，令可求出的值. 【详解】令，可得，故， 令可得，即，解得， 令可得，即，解得. 故选：D. 【变式3-2】 （2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据的解析式，进行相关的运算判断各个选项即可. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，由，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，由选项C知，且， ，故D正确. 故选：BCD. 【变式3-3】函数的定义域为，若，则 ． 【答案】 【分析】令得，再令得，最后令，利用赋值法即可求解. 【详解】令，则，即，可得； 令，则，即，可得； 令，可得. 题型四 求具体函数定义域 解｜题｜技｜巧 求具体函数定义域的一般原则 (1)分式中分母不能为零; (2)二次根式(偶次根式)中的被开方数不小于零; (3)若f(x)的解析式是由几个式子构成,则函数定义域是使几个式子都有意义的实数集合的交集； (4)f(x)=x0的定义城是x∈R，且x≠0； (5)求函数定义域一定要根据最原始的解析式来求解,不能先化简再求定义域. 【典例4-1】（24-25高一上·广东江门·期中）函数的定义域为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据根式函数和分式函数的定义域求法求解. 【详解】由解得且， 所以的定义域为. 故选：D 【典例4-2】（24-25高一上·江苏泰州·期中）已知函数的定义域为 . 【答案】 【分析】由解析式列出不等式求解即可. 【详解】由题意得，即， 即，解得， ∴函数的定义域为. 【变式4-1】（24-25高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【分析】根据二次根号写大于等于零以及分母不为零，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可知，解得且，所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式4-2】（24-25高一上·江苏徐州·期中）函数的定义域为 . 【答案】且 【分析】由定义域的概念列出不等式求解即可. 【详解】由题意可得：， 解得：且， 所以定义域为：且， 故答案为：且 题型五 求抽象函数的定义域 解｜题｜技｜巧 （1）若已知函数的定义域为[a，b]，则复合函数的定义域由求出： ①函数的定义域为[a，b]是指中的的范围为： ②的定义域中g(x)的范围等同于中的的范围，即： ③根据求出的范围。（注意定义域都是指单个的取值范围） （2）若已知函数的定义域为[a，b]，则f (x)的定义域为在x∈[a，b]时的值域 ①函数f (g(x))的定义域为[a，b]是指f (g(x))中单个的范围，即： ②根据，求出的范围， ③的定义域是指中单个的范围，此的范围等同于中的范围， 【典例5】（24-25高一上·河南信阳·阶段练习）求下列函数的定义域： (1)已知函数的定义域为，求函数的定义域； (2)已知函数的定义域，求函数的定义域. 【答案】(1)；(2) 【分析】（1）由的定义域可得，求出x的取值集合即可得出的定义域； （2）由的定义域可得，求出的取值集合即可得出的定义域，进而得出的取值集合，再求出x的取值集合即可； 【详解】（1）设，由于函数定义域为， 故，即，解得， 所以函数的定义域为； （2）因为函数的定义域为，即， 所以，所以函数的定义域为， 由，得， 所以函数的定义域为. 【变式5-1】（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知函数的定义域为，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【详解】在中，，∴， ∴的定义域是， 故在中，解得， ∴的定义域是. 故选：A. 【变式5-2】（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义域，对于函数，可得出关于不等式组，由此可解得函数的定义域. 【详解】因为的定义域为， 对于函数，则，解得， 因此，函数的定义域为. 故选：A. 【变式5-3】（23-24高一上·江苏扬州·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域为，对于函数， 令，解得或， 所以函数的定义域为. 题型六 待定系数法求解析式 解｜题｜技｜巧 若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法，即先设出函数的解析式，再利用已知条件列出关于待定系数的方程（组），解之确定系数，即可得函数的解析式. 【典例6-1】（24-25高一上·内蒙古赤峰·期中）已知是一次函数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意设函数，列出方程组，求得的值，即可求解. 【详解】由题意，设函数， 因为，， 所以，， 则，解得， 所以. 故选：D. 【典例6-2】（2025高三·全国·专题练习）设二次函数满足，且其图象在轴上的截距为1，在轴上截得的线段长为，求的解析式． 【答案】 【分析】根据题意设二次函数的解析式.由得 ； ，得；以及.即可得出解析式. 【详解】设 . 由，得 得；① 设的根为， 则， 所以② 又由已知得.③ 由①②③解得， 所以． 【变式6-1】（多选）（23-24高一上·浙江·期中）已知函数是一次函数，满足，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】设，则由，可得，然后列方程组可求出，从而可求得答案. 【详解】由题意设， 因为， 所以， 即， 所以，解得或， 所以或， 故选：AB 【变式6-2】若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设，代入题干等式，化简，即可求得. 【详解】设一次函数， ， 化简得：， 因为对任意，上式都满足，取和代入上式得： ，解得：， 所以. 题型七 换元法求解析式 解｜题｜技｜巧 已知复合函数的表达式时，可用换元法，这时要注意换元必换范围 ①令根据，求出关于的表达式 ②根据求出的取值范围 ③将求出的关于的表达式代入的表达式中，求出的表达式，再换元为 【典例7】已知，则的解析式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求出函数的解析式. 【详解】令，则，而，于是， 因此， 所以的解析式是. 故选：A 【变式7-1】（24-25高一上·山东威海·阶段练习）已知函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，得，表示出即可得到的解析式. 【详解】令，则，， ∴， ∴. 故选：B. 【变式7-2】已知函数，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据换元法求函数解析式. 【详解】令，可得. 所以， 因此的解析式为. 故选：D. 题型八 方程组法求解析式 解｜题｜技｜巧 在已知式子中,若含有两个不同变量,这两个变量又有着某种关系,这时就要依据两个变量的关系,建立一个新的关于两个变量的式子,联立这两个式子,通过解方程组消去一个变量,得到目标变量的解析式, 这种方法叫作解方程组法或消元法. 【典例8-1】（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知表达式，采用换元法用替换，构造方程 ， 与联立消即可求解． 【详解】因为①， 所以用替换，得 ② 由得 故选B 【典例8-2】（23-24高一上·安徽阜阳·期中）已知函数满足，则函数的解析式为 . 【答案】 【分析】根据题意，用代替，得到，联立方程组，即可求解. 【详解】由， 用代替，可得， 联立方程组，解得， 所以函数的解析式为. 故答案为：. 【变式8-1】已知函数满足，且，则 . 【答案】 【分析】用替换,再解方程组可得答案. 【详解】由①， 用替换，得②， ①×2－②，得，得. 故答案为：. 【变式8-2】已知函数对定义域内的任意实数满足，则 . 【答案】 【分析】本题可以构造方程组来求函数的解析式 【详解】因为，取，则，即，两式相加可得，所以， 题型九 求分式型函数的值域 解｜题｜技｜巧 ①形如：：分离常数法 ②形如：：换元法，令 ③形如：，综合运用换元法或分离常数法 【典例9】（23-24高一上·安徽合肥·期中）函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简函数，结合，求得的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，函数（）， 令，则，可得， 故（）的值域为． 故选：A. 【变式9-1】若，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分离常数后求其值域即可. 【详解】， 因为，所以，所以， 所以，所以函数的值域为. 故选：A. 【变式9-2】函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用分离常数法得到，因为，分子是常数，分母不能为0，所以，即可得到答案． 【详解】解：，因为，所以，所以函数的值域为 故选：D 题型十 求根式型函数的值域 解｜题｜技｜巧 形如：，换元法，令，从而化为一元二次函数求值域；注意换元必换范围 【典例10-1】（24-25高一上·浙江·期中）已知函数，则该函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出函数的定义域，令，将两边平方，求出取值范围，再由，即可求出的取值范围. 【详解】令，则，解得， 所以函数的定义域为， 则，因为，所以， 所以，则，所以， 显然，所以，即该函数的值域为. 故选：D 【典例10-2】（24-25高一上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，则，， 则， 令，， 则，所以函数的值域为. 故选：B 【变式10-1】（24-25高一上·辽宁·期中）函数的最大值是（    ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【分析】设，可得，然后配方后利用二次函数的性质求解即可. 【详解】设，则， 即， 因为，所以当时，的最大值为， 故选：B. 【变式10-2】已知函数，则的值域为 . 【答案】 【分析】换元后，转化为二次函数问题，求出值域. 【详解】令，则，， ， 当时，取的最小值，最小值为， 则的值域为. 题型十一 由函数的定义域、值域求参（跨章节） 解｜题｜技｜巧 1.由函数定义域求参的策略：明确定义域条件，转化为不等式（组），结合参数范围求解，注意端点值验证，优先考虑定义域限制. 2.由函数值域求参的策略：先确定函数值域表达式，转化为方程有解问题，结合参数范围分析，利用函数单调性或图象特征，验证端点值的适配性. 【典例11-1】（2025高一·全国·专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域为的条件，结合二次函数性质来确定实数的取值范围． 【详解】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：C． 【典例11-2】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）已知函数 （1）若求的定义域. （2）若的值域为求实数的取值范围. 【答案】（1）的定义域为（2） 【分析】（1）将代入计算即可得出的定义域. （2）的值域为等价于函数的最小值，讨论为一次函数还是二次函数，求出实数的取值范围即可． 【详解】（1） （2）的值域为等价于函数的最小值， 即①当时，，不成立 ②当时，，满足题意 ③当时，为二次函数，开口必须朝上，即解得，对称轴 ， 所以解得 综上所述 【变式11-1】（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将定义域是的问题转化为不等式恒成立，对是否为零进行分类讨论即可求得结果. 【详解】根据题意对于恒成立； 当时，显然成立，可得符合题意； 当时，若满足题意可得，解得； 当时，若满足题意可得，此时无解； 综上可得，的取值范围是. 故选：C 【变式11-2】（2025·四川成都·模拟预测）若函数的值域为，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别讨论在不同取值时得单调性；当时，，不合题意；当时，讨论的最小值即可；当时，由分析可知要求的最小值为0，先确定的范围，再根据的范围确定时函数的单调性，从而求得其最小值即为符合题意. 【详解】当．则， 此时在，单调递增，在单调递减. 当时，若，当，，不合题意； 当时，，，则值域为符合题意； 当时，要使的值域是，则要求的最小值为． 则必定先有，得，即， 此时在上单调性为上单调递减，单调递增， 有最小值符合题意．故 故选：A. 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．（24-25高一下·河北保定·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式、根式有意义的基本要求可构造不等式组求得结果. 【详解】由得：且，的定义域为. 故选：D. 2．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知，则函数的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用换元法令，则，将函数化成关于的函数，再将自变量改为即得. 【详解】令，则，且， 代入原式得， 故的解析式为. 故选：C. 3．下列函数中，值域是的是（    ）． A． B．（） C．（） D． 【答案】D 【分析】分别求出各函数的值域即可. 【详解】因为，所以函数值域为，故A错误； 因为时，，故B错误； 因为时，函数的值域为集合，不是区间．故C错误； 因为，所以函数的值域为，故D正确. 故选：D． 4．根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察表格数据，检验选项中解析式即可得解. 【详解】A项：，A错误； B项：，B错误； C项：，C错误； D项： 满足表中的数据，D正确． 故选：D. 5．若函数的定义域为，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域为的条件，结合二次函数性质来确定实数的取值范围． 【详解】由题意可知，关于的方程无解，此时进行分类讨论． ①当，即时，不成立，分母不为零，所以符合题意； ②当，即时，应满足，解得． 综上，实数的取值范围为． 故选：C． 6．(多选)（25-26高一上·新疆·期中）下列函数与函数不是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】的定义域为， A、的定义域为，不是同一函数； B、，解析式不同，不是同一函数； C、的定义域为，对应关系相同，是同一函数； D、的定义域为，定义域不同，不是同一函数. 故选：ABD. 7．（多选）与函数值域相同的函数有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据基本不等式确定函数的最值，从而得其值域，再结合二次函数、绝对值函数、对勾函数、一次函数的性质确定函数值域即可得答案. 【详解】当时，函数，当且仅当时，等号成立，则的值域为， 对于A，函数，当时有最小值，故其值域为，故A正确； 对于B，因为，则，则的值域为，故B错误； 对于C，因为，所以， 当且仅当时，等号成立，故的值域为，故C正确； 对于D，当时，函数，其值域为，故D错误． 故选：AC. 8．（多选）（24-25高一上·福建莆田·期中）已知定义域为，则错误的是（    ） A． B． C．， D．函数的定义域为 【答案】ABD 【分析】首先需要根据已知条件求出的表达式，再据此计算各选项中的函数值并判断定义域是否正确. 【详解】已知，设，则. 因为，所以. 那么，化简可得，，即，.   当时，，所以无定义，A选项错误.   当时，，所以无定义，B选项错误.   由前面的计算可知，，C选项正确.   对于函数，因为的定义域为，所以. 解不等式得，所以函数的定义域为，D选项错误. 故选：ABD. 9．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为 . 【答案】 【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解. 【详解】由已知设， 因为，所以， 因为， ， 所以，解得， 所以. 10．已知函数的定义域为，值域为，则下列函数的值域也为的是 . ①    ② ③    ④ 【答案】①③ 【分析】根据各选项中图象变换的特征可得值域为的函数的序号. 【详解】对于①，的图象可看作由的图象向左平移一个单位得到的， 值域不变，①正确； 对于②，由，得， 即的值域为，②错误； 对于③，函数与函数的图象关于轴对称， 则函数的值域与函数的值域相同，为，③正确； 对于④，由，得， 即的值域为，④错误. 11．（24-25高二下·上海·期中）函数的值域是 . 【答案】且 【分析】求出给定函数的定义域，再利用分离常数法求出函数的值域. 【详解】函数中，，则且， 于是，由，得；由，得， 所以原函数的值域为且. 12．（2025·广东梅州·模拟预测）已知函数的定义域为实数集，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】要使有意义，则有， 函数的定义域为实数集，在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 故答案为：. 13．（1）已知函数的定义域为，求的定义域； （2）已知函数的定义域为，求的定义域． 【答案】（1）；（2） ． 【分析】根据抽象函数定义域的整体性代换求解即可. 【详解】（1）因为函数中的相当于函数中的， 所以，所以， 所以所以 的定义域为 （2）因为 的定义域为， 即，所以， 所以的定义域为 即所以， 所以的定义域为． 14．求下列函数的值域． (1)； (2)； (3)； (4)； (5)（）． 【答案】(1);(2);(3) (4) (5) 【详解】（1）因为，所以．故值域为． （2）因为，且，所以，所以，故函数的值域为． （3）令，则，且， 所以（）．故函数的值域． （4），其中，， 当时，． 又因为，所以． 故函数的值域为． （5）因为，所以，所以， 当且仅当，即时，取等号，即取得最小值8． 故函数的值域为． 15．（24-25高一上·河南·期中）（1）已知函数，求函数的定义域； （2）求的值域； （3）已知，求的解析式． 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【详解】（1）函数中，，解得， 函数的定义域为，则， 函数中，，解得， 所以函数的定义域. （2），当且仅当时取等号， 所以的值域是. （3）令，则， 由，得， 所以的解析式是. 期中重难突破练（测试时间：30分钟） 16.（24-25高一下·河南濮阳·期末）“函数的定义域为R”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】定义域为R，即恒成立，故， 由于时一定满足，但时不能得到， 所以“函数的定义域为R”是“”的必要不充分条件. 故选：B 17.（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（    ） A．2 B．－2 C．－1 D．1 【答案】A 【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解. 【详解】因为的定义域为， 所以的解集为， 得 ，解得，，故. 故选：A． 18.（多选）（24-25高一下·河北保定·期中）下列选项中正确的有（    ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．与表示同一函数 C．函数的值域为 D．定义在上的函数满足，则 【答案】CD 【详解】判断“”是“”的什么条件，需要分别判断充分性和必要性. 充分性：当，时，满足，但，，此时， 所以由不能推出，充分性不成立. 必要性：当时，即，则有或， 也就是或，所以由不能推出，必要性不成立. 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件，选项错误. 判断两个函数是否为同一函数，需要判断它们的定义域和对应法则是否都相同. 函数，其定义域为，当时，；当时，. 函数，其定义域为. 两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数，选项错误. 求函数的值域，可通过换元法将函数转化为二次函数来求解. 令，则，. 那么可转化为，这是一个二次函数，对称轴为. 当时，取得最大值，. 所以函数的值域为，C选项正确. 已知 ①，用代替可得 ②. 由①②消去可得： ， 即， 所以选项正确.故选：CD. 19.（跨章节）（24-25高一上·河南驻马店·期末）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】因为函数在定义域上递减，且值域为， 所以 ，即 ，即 ， 所以 ， 所以，设，则， 由可得， 在上递增，所以， 所以实数的取值范围是， 20．（跨章节）（24-25高一上·广东惠州·期中）记函数的定义域为集合，函数的值域为集合，求： (1)求M，N； (2)求. 【答案】(1)，；(2). 【详解】（1）函数有意义，则，解得，所以； 函数的定义域为，，则，所以. （2）由（1）知，，， 所以. 21．已知函数. (1)若，求函数在的值域； (2)若，求函数在上的值域. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）若，则. 令，∵，∴，故. 由对勾函数性质可知，∴. ∴函数的值域为. （2）若，则函数. 因为恒成立，故， 则由可得， 当时，，符合题意； 当时，由于，故恒有实数根， 故，解得且， 综上可得，的值域为. 期中综合拓展练（测试时间：20分钟） 22．（25-26高一上·全国·开学考试）已知函数，其中表示不超过x的最大整数，当时，下列函数中，其值域与的值域不相同的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，的值域为． 对于A，由，则函数值域为，与的值域相同； 对于B，由，则函数值域为，与的值域相同； 对于C，由，则函数的值域为，与的值域不相同； 对于D，由，则函数值域为，与的值域相同. 故选：C． 23．（跨章节）（2025·甘肃白银·模拟预测）任意作一条直线分别与定义域均为的函数，，的图象交于点A，B，C，若点B始终为线段AC的中点，则称，是关于的“对称函数”．已知定义域为的函数，，且，是关于的“对称函数”．若，，成立，则r的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称函数定义，确定的表达式；再通过给定条件分析的取值范围. 【详解】因为，是关于的“对称函数”， 所以，定义域为， . 令，， 在时取得最大值，在或时取得最小值. 则，，， 又，所以，那么. 由在上单调递增，可得的值域为， 因为，，成立， 所以. 则，解得. 故选：D． 24．（多选）（24-25高一上·江苏南京·期中）已知函数的定义域为，且对任意，满足，，且，则下列说法正确的有（   ） A． B．若为一次函数，则存在且不唯一 C．若为二次函数，则存在且唯一 D． 【答案】AC 【详解】因为，， 则， 所以，即. 对于选项A：由，可得， 满足，故A正确； 对于选项B：若为一次函数，设， 则不恒成立， 所以不存在，故B错误； 对于选项C：若为二次函数，设， 则， 则，解得，则， 且，可得， 所以，即存在且唯一，故C正确； 对于选项D：因为，且， 可得， 则，所以，故D错误； 故选：AC. 25．（24-25高一上·北京·期中）已知函数，，若对任意，总存在，使成立，则实数m的取值范围为 . 【答案】 【详解】因为对任意，总存在，使成立， 即成立， 设，因为，所以， 当时，，不符合题意； 当时，可得，则，解得； 当时，可得，则，解得； 综上所述，实数m的取值范围为. 26．（24-25高一上·辽宁·期末）若函数的定义域、值域均为，则称为区间上的方正函数． (1)若为区间上的方正函数，求实数的值； (2)是否存在实数对，使得函数为区间上的方正函数？若存在，请写出符合要求的所有实数对，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；(2)不存在；理由见解析. 【详解】（1）因为，函数图象开口向上，且对称轴为， 所以函数在上单调递增， 由题意，为区间上的方正函数， 所以当时，； 当时，，解得或（舍去）. 因此，若为区间上的方正函数，则实数的值为. （2）不存在，理由如下： 对函数，因为， 所以为奇函数，图象关于原点对称， 又当时，，所以函数在上单调递减， 由奇函数性质可知，函数在上单调递减. 如存在实数对，使得函数为区间上的方正函数， 则，即，又， 显然，所以，，所以， 即，解得，这与矛盾. 故不存在实数对，使得函数为区间上的方正函数. 39 / 39 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $