22.2 二次函数与一元二次方程-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

22.2 二次函数与一元二次方程 第二十二章 二次函数 情 境 导 入 22.2 二次函数与一元二次方程 1.二次函数的一般式：_________________， ____是自变量，____是____的函数. 2.二次函数与一元二次方程有什么联系？ 3.一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由什么确定？ 当y=0时，ax2+bx+c=0. y=ax2+bx+c（a≠0） x y x b2-4ac＞0 方程有两个不等的实数根； b2-4ac＝0 方程有两个相等的实数根； b2-4ac＜0 方程无实数根. 复习 如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气的阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系： h=20t-5t2， 考虑以下问题： 新 课 探 究 22.2 二次函数与一元二次方程 新课探究 情境导入 课堂小结 （1）小球的飞行高度能否达到15m？如果能，需要多少飞行时间？ O h t 15 1 3 ∴当小球飞行1s或3s时，它的飞行高度为15m. 解：解方程 15=20t-5t2, t2-4t+3=0, t1=1,t2=3. 你能结合上图，指出为什么在两个时间求的高度为15m吗？ 新课探究 情境导入 课堂小结 （2）小球的飞行高度能否达到20m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么只在一个时间球的高度为20m？ O h t 2 解方程： 20=20t-5t2, t2-4t+4=0, t1=t2=2. ∴当小球飞行2秒时，它的飞行高度为20米. 20 新课探究 情境导入 课堂小结 （3）小球的飞行高度能否达到20.5m？如果能，需要多少飞行时间？ 你能结合图形指出为什么球不能达到20.5m的高度? 解方程： 20.5=20t-5t2, t2-4t+4.1=0, 因为(-4)2-4 ×4.1<0, 所以方程无解. 即小球的飞行高度达不到20.5米. O h t 20.5 新课探究 情境导入 课堂小结 （4）小球从飞出到落地要用多少时间？ 解方程： 0=20t-5t2, t2-4t=0, t1=0,t2=4. 即0秒时球从地面飞出，4秒时球落回地面. O h t 新课探究 情境导入 课堂小结 由函数到方程 h=20t-5t2 20t-5t2=15 20t-5t2=20 20t-5t2=20.5 20t-5t2=0. 从上面可以看出，二次函数与一元二次方程联系密切． 例如，已知二次函数y=－x2＋4x的值为3，求自变量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反过来，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函数y=x2－4x+3 的值为0，求自变量x的值． 已知二次函数的值，求自变量x的值. 解一元二次方程 新课探究 情境导入 课堂小结 从以上问题的解法中，可以发现： (1)求y=ax2+bx+c的值为k时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程 解决； (2)求y=ax2+bx+c的值为0时的自变量x的值的问题，可以通过解一元二次方程 解决. ax2+bx+c=k ax2+bx+c=0 总结归纳 新课探究 情境导入 课堂小结 下列二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，公共点的横坐标是多少？当x取公共点的横坐标时，函数值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？ (1)y=x2+x-2；(2)y=x2-6x+9；(3)y=x2-x+1. 可以看出： (1)抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是-2，1.当x取公共点的横坐标时，函数值是0.由此得出方程x2+x-2=0的根是-2，1. 思考 新课探究 情境导入 课堂小结 (2)抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3.当x=3时，函数值是0.由此得出方程x2-6x+9=0有两个相等的实数根3. 新课探究 情境导入 课堂小结 (3)抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点.由此可知，方程x2-x+1=0没有实数根. 反过来，由一元二次方程的根的情况，也可以确定相应的二次函数图象与x轴的位置关系. 新课探究 情境导入 课堂小结 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0根的关系 有两个交点 有两个不相等的实数根 b2-4ac > 0 有两个重合的交点 有两个相等的实数根 b2-4ac = 0 没有交点 没有实数根 b2-4ac < 0 总结归纳 新课探究 情境导入 课堂小结 1．若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，且关 于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，则另一 个解x2= ； -1 y O x 1 3 2.一元二次方程 3x2+x－10=0的两个根是x1=-2 ，x2= ，那么二次函数 y= 3x2+x－10与x轴的交点坐标是 . (-2，0) ， ( ，0) 练习 新课探究 情境导入 课堂小结 判断方程 ax2+bx+c =0 (a≠0,a,b,c为常数)一个解x的范围是（ ） A. 3< x < 3.23 B. 3.23 < x < 3.24 C. 3.24 <x< 3.25 D. 3.25 <x< 3.26 x 3.23 3.24 3.25 3.26 y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09 C 3.根据下列表格的对应值: 新课探究 情境导入 课堂小结 4.不与x轴相交的抛物线是( ) A.y =2x2-3 B.y=-2x2+3 C.y=-x2-3x D.y=-2(x+1)2-3 5.若抛物线y=ax2+bx+c,当a＞0,c＜0时,与x轴交点情况是( ) A.无交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.不能确定 6.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点,则关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的实根的情况是( 　) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 D C A 新课探究 情境导入 课堂小结 7.在图中画出函数y=x2-2x-3的图象，利用图象回答: (1)方程x2-2x-3=0的解是多少； (2)x取什么值时，y>0； (3)x取什么值时，y<0. 解：图象如图所示. (1) 方程x2-2x-3=0的解为x1=-1，x2=3. (2) x>3或x<-1时，y>0. (3) -1<x<3时，y<0. 3 y O -3 3 x 课 堂 小 结 通过本节课的学习 1.你掌握了哪些知识？ 2.你学会了哪些解题方法？ 3.你运用了哪些数学思想？ 4.你总结了哪些学习经验？ 5.还有什么感悟和思考？ 22.2 二次函数与一元二次方程 判别式△=b2-4ac 二次函数y=ax2+bx+c （a>0） 的图象 一元二次方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的根 不等式ax2+bx+c>0（a>0）的解集 不等式ax2+bx+c<0（a>0）的解集 情境导入 课堂小结 新课探究 x2 x1 x y O O x1= x2 x y x O y △＞0 △＝0 △＜0 x1 ; x2 没有实数根 x<x1或x>x2 x ≠ x1的一切实数 所有实数 x1<x<x2 无解 无解 x1 =x2 ＝－ THANK YOU $