22..2二次函数与一元二次方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测）2025－2026学年人教版九年级上册数学大单元教学分层优化

2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22..2二次函数与一元二次方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（j解析版） 知识点1二次函数与一元二次方程的关系 求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点横坐标就是求一元二次方程 ax2＋bx＋c=0的两个根；一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根（b2-4ac≥0）就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与直线y=0的交点横坐标。 题型1二次函数与坐标轴的交点 例1．方程的两个根是，，那么二次函数与轴的交点坐标是　 　． 【答案】、 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：由题意知： 方程的两个根是，， 对于二次函数与轴的交点处，y=0， ∴知y=0时，x的值为-2或， ∴二次函数与轴的交点坐标是、， 故答案为：、. 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系可知，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标的值，由题意即可确定. 【变式1-1】．二次函数满足下列表格中的关系： x … 0 1 2 3 4 … y … -12 0 4 0 -12 … 则其图象的开口_________，对称轴为____________，顶点坐标为__________，与y轴的交点坐标为__________，与x轴的交点坐标为___________. 答案：向下；直线；；； 【变式1-2】．已知二次函数． ①.求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； ②.求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标； ③.当x为何值时，y随x的增大而增大？ 答案：①. ∴图象开口向上. ∴对称轴是顶点坐标是 ②. 由图象与y轴相交，代入得： ∴与y轴交点坐标是 ③由图象与x轴相交则，代入得： 解方程得 ∴与x轴交点的坐标是 当时，y随x的增大而增大. 解析： 【变式1-3】．已知二次函数的图象经过一次函数的图象与x轴,y轴的交点,并且经过点,求这个二次函数的表达式. 答案：在一次函数，令，得，令，得,∴此一次函数图象与x轴，y轴的交点分别为，根据题意可得，二次函数图象经过三点，设二次函数的表达式为，把分别代入得，解得， ∴所求二次函数表达式为。 解析： 知识点2二次函数与x轴交点个数的问题 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系： a>0(示意图) a<0(示意图) 一元二次方程根的情况 b2-4ac>0     有两个不相等的实数根 b2-4ac=0     有两个相等的实数根 b2-4ac<0     无实数根 要点诠释： ⑴避免混淆顶点与交点：顶点在x轴上时⊿=b2-4ac = 0，但函数仍与x轴有一个交点； ⑵联立方程求解交点坐标时，需注意二次项系数a是否为0. 题型2二次函数的图象与一元二次方程的解 例2．在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象如图所示，则方程 的根的情况是 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】B 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：二次函数 的图象如图所示，图象与x轴有两个交点， 则方程 的根的情况是：有两个不相等的实数根. 故答案为：B. 【分析】求方程的解，就是求二次函数 的图象与x轴的交点情况，进而得出答案. 【变式2-1】．如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx＝0的根是　 　. 【答案】x1=0，x2=2 【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx=0的两个根，二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交点坐标为A（﹣1，0），B（3，0），所以方程ax2+bx=0的根是x1=﹣1，x2=3. 【分析】根据题意和二次函数y=ax2+bx的图象与x轴交点的横坐标是方程ax2+bx=0的两个根可求解. 【变式2-2】．若二次函数 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程 的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】∵二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线， ∴抛物线的对称轴为直线x=2， 则− =− =2， 解得：b=−4， ∴x2+bx=5即为x2−4x−5=0， 则(x−5)(x+1)=0， 解得：x1=5，x2=−1. 故答案为：D. 【分析】先通过题干求得对称轴为x=2，然后利用对称轴公式求得a、b的关系，在已知a=1的情况下求出b值，代入方程中求解即可。 【变式2-3】．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解为（　　） A．1，3 B．-2，3 C．-1，3 D．3，4 【答案】C 【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】根据图象可以得到：图象与x轴的一个交点是(3，0)，对称轴是：x=1， (3，0)关于x=1的对称点是：(−1，0). 则抛物线与x轴的交点是：(3，0)和(−1，0). 故于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的解为：x1=3，x2=−1. 故答案为：C. 【分析】由图知，抛物线与x轴的其中一个交点的横坐标为3，对称轴为x=1，由抛物线是轴对称图形可求解。 知识点3 用图像法求一元二次方程的近似解 画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像，图像与x轴公共点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的的根。 要点诠释： 近似求解技巧 （1）确定根的范围：当交点坐标非整数时，可通过观察图像确定根所在的整数区间。 （2）利用表格数据辅助：通过计算函数在特定点的值,观察函数值由负变正的区间，可确定根的近似范围。 注意事项： （1）对称性应用：若抛物线对称轴已知，且已知一个根，则另一个根可通过对称轴公式计算得出。 （2）精度控制：根据题目要求选择合适的小数位数，通常通过表格数据逐步逼近精确解。 题型3判断一元二次方程的解的近似值 例3．下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.14 0.62 … 那么关于x的方程的一个根的近似值可能是（　　） A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37 【答案】C 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：由表可知当时，， 当时，， 抛物线，与x轴的一个交点在点与之间，更靠近点， 方程的一个根的近似值约为， 故答案为：C 【分析】根据表格中的信息，可知，当x=1.2时，二次函数值为-0.29；当x=1.3时，二次函数值为0.14，确定二次函数与x的交点的范围，进而即可判断。 【变式3-1】．如图，点，，在二次函数的图象上，则方程的一个近似值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：∵图象上有两点分别为，， ∴当时，，时，， ∴当时，， ∴只有选项D符合， 故选：D． 【分析】 观察图像知，在对称轴右侧y随x的增大而增大，则抛物线与x轴的右边交点的横坐标应该介于A、B两点的横坐标之间． 【变式3-2】．根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到0.01）是（　　） x 3.5 2.08 0.82 A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：方程的一个根是函数的图象与轴的一个交点的横坐标， 即关于函数，时，的取值， 由表格可知：当时，函数的值最接近0， 方程的近似解是， 故答案为：C 【分析】根据方程的一个根是函数的图象与轴的一个交点的横坐标，再找到表格中的值最接近0的数即可求出答案. 【变式3-3】．如表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 那么下列选项中可能是方程的近似根的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：观察表格可得： 方程的近似根为1.3 故答案为：B 【分析】观察表格可得-0.01更接近于0，即可求出答案. 知识点4 用图像法求一元二次不等式的解集 要点诠释： 用图像法求一元二次不等式的解集，核心在于通过二次函数图像直观分析不等式解的范围， （1）化简不等式  将不等式化为标准形式 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0，并确保二次项系数 a>0。 （2）求解对应方程 求解方程 ax2+bx+c=0，得到根 x1 和 x2（可能相等或不相等）。 （3）绘制二次函数图像  根据根的情况画出抛物线： 判别式 ⊿=b2-4ac>：抛物线与x 轴有两个交点，解集为 x<x1 或 x>x2 。 ⊿=0：抛物线与x 轴有一个交点。 ⊿<0：抛物线与x 轴无交点，解集为全体实数 . （4）确定解集范围  根据不等式符号和抛物线位置，确定 x 的取值范围。 题型4根据二次函数图象确定不等式的解集 例4．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是　 　． 【答案】 【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：∵不等式ax2＋c＜mx＋n的解集即为直线y＝mx＋n图象在抛物线y＝ax2＋c图象上方时自变量的取值范围， ∴不等式ax2＋c＜mx＋n的解集为， 故答案为：. 【分析】本题主要考查了用图象法解一元二次不等式，理解不等式ax2＋c＜mx＋n的解集即为直线y＝mx＋n图象在抛物线y＝ax2＋c图象上方时自变量的取值范围是解题的关键． 根据不等式ax2＋c＜mx＋n的解集即为直线y＝mx＋n图象在抛物线y＝ax2＋c图象上方时自变量的取值范围，进行求解即可． 【变式4-1】．设二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，下表列出了x，y的部分对应值． x …… -5 -3 1 2 3 …… y …… -2.73 m -2.79 0 n …… 则不等式ax2+bx+c<0的解集是　 　 方程ax2+bx+c=m的解是　 　 【答案】-6<x<2；x=-3或x=-1 【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：∵抛物线经过点(-5，-2.79)，(1，-2.79)， ∴抛物线的对称轴为直线. ∴点(2，0)关于直线x=-2的对称点是(-6，0)，点(-3，m)关于直线y=-2的对称点是(-1，m)， ∵抛物线开口向上， ∴不等式ax2+bx+c<0的解集是-6<x<2，方程ax2+bx+c=m的解是x=-3或x=-1， 故答案为：-6<x<2，x=-3或x=-1 【分析】抛物线经过点(-5，-2.79)，(1，-2.79)可知对称轴为直线x=-2，然后利用二次函数的性质可判断不等式ax2+bx+c<0的解集与方程ax2+bx+c=m的解. 【变式4-2】．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（　　） A．-1<x<5 B．x>5 C．x<-1且x>5 D．x<-1或x>5 【答案】D 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】∵抛物线对称轴为直线x＝2，且抛物线与x轴交于（5，0）， ∴抛物线与x轴另一交点坐标为（-1，0）， ∴不等式ax2+bx+c＜0的解集是x＜-1或x＞5 故答案为：D 【分析】由抛物线的对称性及抛物线与x轴交点可得抛物线与x轴的另一交点坐标，进而求解 【变式4-3】．佳佳向探究一元三次方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b（k≠0）的解，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解，如：二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），交点的横坐标﹣1和3即为x2﹣2x﹣3=0的解． 根据以上方程与函数的关系，如果我们直到函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象与x轴交点的横坐标，即可知方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解． 佳佳为了解函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象，通过描点法画出函数的图象． x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 … y … ﹣8 ﹣ 0 m ﹣ ﹣2 ﹣ 0 12 … （1）直接写出m的值，并画出函数图象； （2）根据表格和图象可知，方程的解有　 　个，分别为　 　； （3）借助函数的图象，直接写出不等式x3+2x2＞x+2的解集． 【答案】解：（1）由题意m=﹣1+2+1﹣2=0． 函数图象如图所示． （2）3；﹣2，或﹣1或1． （3）﹣2＜x＜﹣1或x＞1． 【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：（2）根据表格和图象可知，方程的解有3个，分别为﹣2，或﹣1或1． 故答案为：3；﹣2，或﹣1或1； （3）不等式x3+2x2＞x+2的解集，即为函数y=x3+2x2﹣x﹣2的函数值大于0的自变量的取值范围． 观察图象可知，﹣2＜x＜﹣1或x＞1 【分析】（1）将x=-1代入解析式即可得m值，利用描点法画出图象即可. （2）利用图象以及表格即可求出答案. （3）不等式x3+2x2＞x+2的解集，即为函数y=x3+2x2﹣x﹣2的函数值大于0的自变量的取值范围，观察图象即可求出答案. 题型5 二次函数图象与系数的关系 例5．如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】 解：根据题意，则，， ∵， ∴， ∴，故①错误； 由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确； ∵， 令时，， ∴，故③正确； 在中， 令时，则， 令时，， 由两式相加，得，故④正确； ∴正确的结论有：②③④，共3个； 故答案为：B． 【分析】首先根据函数图象，可得出a＜0，b＞0，c＞0的正负号，故而得出①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，可得出②正确；由，得，令，求函数值，即可判断③正确；令时，则，令时，，再把两个式子相加，即可判断④正确；综上即可得出答案。 【变式5-1】．如图，已知二次函数的图像，下列结论①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为5；其中正确的结论有　 　（请写出所有正确结论的序号）． 【答案】②③ 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：抛物线开口向下， ， 抛物线对称轴为直线， ， ， 抛物线与轴交点在轴上方， ， ，①错误； 抛物线与轴有2个交点， ， ，②正确； 时函数取最大值， ， ，即，③正确． 由图象可得函数最大值大于2， 有两个不相等的实数根，， 有两个不相等的实数根，， 图象对称轴为直线， ，． ， ∴关于x的方程有四个根，且这四个根的和为4； ④错误． 故答案为：②③. 【分析】利用二次函数的图象与系数的关系（①当a>0时，二次函数的图象开口向上；②当a<0时，二次函数的图象开口向下；③当二次函数图象的对称轴在y轴的右侧时，ab<0；④当二次函数图象的对称轴在y轴的左侧时，ab>0；⑤当c>0时，函数的图象交在y轴的正半轴；⑥当c<0时，函数的图象交在y轴的负半轴）和二次函数的性质与系数的关系（①当a>0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而减小，在对称轴的右边随x的增大而增大；②当a<0时，二次函数的函数值在对称轴的左边随x的增大而增大，在对称轴的右边随x的增大而减小）分析求解即可. 【变式5-2】．二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A． B． C． D．关于x的方程无实数根 【答案】C 【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：A、∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； B、∵由图可知，抛物线与x轴有两个交点， ∴，即， 故选项B正确，不符合题意； C、∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴时，， 即， ∵， ∴， 故选项C错误，符合题意； D、∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点， ∴一元二次方程无实数根， 故选项D正确，不符合题意； 故答案为：C． 【分析】 根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可判断A；根据抛物线与x轴的交点情况判断B；时，，可判断C；根据抛物线与直线无交点，可判断D；逐一判断即可解答． 【变式5-3】．二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：抛物线与轴有两个交点，，故①错误； ∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴ ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有②③④； 故选：C． 【分析】根据抛物线与轴有两个交点，，可判断①；根据抛物线开口向下可得，与y轴交于正半轴，可得，据此可判断②；根据对称轴计算公式得到，再由当时，，换元代入得到，即，据此可判断③；根据当时，，则，即，据此可判断④． 题型6二次函数与函数值的最值或范围 例6．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数， （1）当，时，请求出该函数的完美点； （2）已知二次函数的图像上有且只有一个完美点，请求出该函数； （3）在（2）的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【答案】解：（1）设该完美点的坐标为（m，m），∵a=1，c=2， ∴二次函数解析式为y=x2+4x+2， ∴m2+4m+2=m， 解得：m1=-1，m2=-2， ∴该函数的完美点为（-1，-1）和（-2，-2）． （2）∵二次函数的图像上有且只有一个完美点， ∴方程ax2+4x+c=x即ax2+3x+c=0有两个相等的实数根， ∴△=9-4ac=0，即4ac=9， ∵完美点坐标为， ∴方程ax2+3x+c=0的根为=， 解得：a=-1， ∴c=， ∴该函数解析式为y=-x2+4x． （3）∵y=-x2+4x-=-x2+4x-3=-（x-2）2+1， ∴对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，1）， ∵-1＜0， ∴抛物线开口向下， ∴x＞2时，y随x的增大而减小，x＜2时，y随x的增大而增大， 当y=-3时，-x2+4x-3=-3， 解得：x1=0，x2=4， ∵当时，函数的最小值为，最大值为， ∴m的取值范围为：2≤m≤4． 【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【分析】（1）先假设完美点坐标（m，m）代入解析式中求出未知数，即可得到结果； （2）根据题意，将问题转化成求方程ax2+4x+c=x即ax2+3x+c=0有两个相等的实数根，结合跟的判别式以及点的坐标求解饥渴得到结果； （3）有解析式为y=-x2+4x-=-x2+4x-3=-（x-2）2+1，结合函数的顶点以及增减性进行判断化简即可得到结果. 【变式6-1】．时，函数的最小值为，则实数的值为　 　． 【答案】或 【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：， ， 函数在对称轴处取得最小值为， 时，函数的最小值为， ①当时，函数在处取得最小值， 有， ②当时，函数在处取得最小值， 有， 整理得， 解得或（均不符合题意舍去）， ③当时，函数在处取得最小值， 有， 解得． 综上所述，或． 故答案为：或 【分析】先根据二次函数的最值得到函数在对称轴处取得最小值为，进而根据题意分类讨论：①当时，②当时，③当时，从而解一元一次方程即可求解。 【变式6-2】．二次函数 的图象如图，若一元二次方程 有实数解，则k的最小值为 A． B． C． D．0 【答案】A 【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+k=0有实数解， ∴可以理解为y=ax2+bx和y=−k有交点， 由图可得，−k≤4， ∴k≥−4， ∴k的最小值为−4. 故答案为：A. 【分析】观察图像，可知抛物线的最大值为4，由题意可知y=ax2+bx和y=−k有交点，即-k≤4，解不等式求出k的取值范围，即可得出k的最小值。 【变式6-3】已知二次函数y＝mx2﹣4mx+3m． （1）求该二次函数图象与x轴的交点坐标； （2）已知，为平面直角坐标系中两点，当抛物线与线段PQ有公共点时，请求出m的取值范围． 【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征；抛物线与x轴的交点．版权所有 【分析】（1）令y＝0，构建方程求解，即可得出结论； （2）分两种情况讨论：①当m＞0时，②当m＜0时，根据这两种情况构建不等式求解，即可解题． 【解答】解：（1）令y＝0，mx2﹣4mx+3m＝0， ∵m≠0， ∴x2﹣4x+3＝0， 解得：x1＝3，x2＝1， ∴二次函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），（3，0）． （2）当x＝2时，得y＝﹣m， 当x＝4 时，得y＝3m， 当m＞0时，，解得， 当m＜0时，，解得． ∴当m或，抛物线与线段PQ有公共点． 【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数图象与x轴的交点等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 题型7二次函数中的探究问题 例7．已知二次函数. （1）求此函数图象的对称轴、顶点坐标，并指出它的开口方向； （2）写出当时x的取值范围. 【答案】（1）解：二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线x=3，顶点坐标为(3，8) ∵， ∴抛物线开口方向下 （2）解：令y=0，则， 整理得x2-6x-7=0， 解得x1=-1，x2=7 ∴该函数图象与x轴的交点坐标为(-1，0)，(7，0)， ∴y≥0时，x的取值范围-1≤x≤7 【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用 【解析】【分析】(1)由题意写出对称轴和顶点坐标，再根据二次项系数小于0确定出开口向下； (2)求出该函数图象与x轴的交点坐标为(-1，0)，(7，0)，则可得出抛物线在x轴上方部分的x的取值范围. 【变式7-1】．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你按有关内容补充完整： 复习日记卡片 内容：一元二次方程解法归纳 时间：2023年9月26日 举例：求一元二次方程x2-x-2=0的两个解 （1）方法一：选择合适的一种方法(公式法、配方法、分解因式法)求解． 解方程：x2-x-2=0． （2）方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解 如图所示，把方程x2-x-2=0的解看成是二次函数y=　 　的图像与x轴交点的横坐标，即-1，2就是方程的解． （3）方法三：利用两个函数图象的交点求解 ①把方程x2-x-2=0的解看成是一个二次函数y= 　 　的图像与一个一次函数y=　 　的图像交点的横坐标． ②画出这两个函数的图象，并在x轴上标出方程的解，　 　 【答案】（1）解：∵a=1，b=-1， c=-2， ∴b2-4ac=9， x== ∴x1=2，x2=-1． （2）x2-x-2 （3）①x2；；x+2(或x2-2，x等)；② 【知识点】一元二次方程的其他应用；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：（2）设二次函数为y=x2-x-2， 在直角坐标系中，画出二次函数为y=x2-x-2的图象， 由图象得知，该函数过点(0，-1)，（2，0）， ∴-1，2就是方程x2-x-2=0的解． 【分析】（1）利用公式法解答一元二次方程. （2）设二次函数为y=x2-x-2，在直角坐标系中，画出二次函数为y=x2-x-2的图象，从而得解. （3）由（1）（2）解得x1、x2，再根据题意画出图象. 【变式7-2】．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法 ，请你按有关内容补充完整： 复习日记卡片 内容：一元二次方程解法归纳时间：2019年6月1日 举例：求一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个解 方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解 解方程：x2﹣x﹣2＝0． 解： 方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解 如图所示，把方程x2﹣x﹣2＝0的解看成是二次函数y＝ ▲ 的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解． 方法三：利用两个函数图象的交点求解 （1）把方程x2﹣x﹣2＝0的解看成是一个二次函数y＝ ▲ 的图象与一个一次函数y＝ ▲ 图象交点的横坐标； （2）画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解． 【答案】解：方法一：x2﹣x﹣2＝0 （x﹣2）（x+1）＝0 x＝2或x＝﹣1． 方法二：x2﹣x﹣2． 方法三：（1）x2；x+2． （2）如图： 【知识点】因式分解法解一元二次方程；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：方法一：x2﹣x﹣2＝0， ∴（x﹣2）（x+1）＝0 解得：x＝2或x＝﹣1； 故答案为：x＝2或x＝﹣1 方法三：（1）∵方程x2﹣x﹣2＝0， ∴可得将方程看出是二次函数y=x2和一次函数y=x+2的图象的交点， 故答案为：x2；x+2； （2）如图所示： 故答案如图所示. 【分析】方法一：利用十字相乘法求解一元二次方程即可； 方法三：将方程x2﹣x﹣2＝0，变形为x2=x+2，可得答案，再画出图象分析求解即可. 【变式7-3】．我国著名的数学家华罗庚曾说过："数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好， 隔裂分家万事非"这里一语成偈，道出了"数"和"形”不可分割的特点仔细体会这段话所包含的数学思想方法，并解答下列问题： （1）如图1，画出了二次函数的部分图象，则关于的方程的解为　 　 （2）已知关于的方程有两个实数根m，n，且，若，求的取值范围； （3）已知方程. ①直接回答此方程有几个实数根； ②探究此方程实数根的近似值（精确到0.1，只写答案不给分!）【友情提示：图2已给出函数的图象】 【答案】（1）-1和3 （2）解：设y= x2-2x+k，则此抛物线的对称轴为直线X=1， ∵关于x的方程x2-2x+k=0有两个实数根m，n，且m<n， ∴y= x2-2x+k的图象与x轴有两个不同交点，如图： ∵2<m<3， ∴x=2时y<0，且x=3时y>0， ∴4-4+k<0且9-6+k>0 ∴-3<k<0 （3）解：①有1个实数根 ②如图2：直线y1=-x+3与函数y2=x3的图象交点的横坐标t就是方程的解， 由图象可知：当x<t时y1>y2，当x>t时y1<y2， 当x=1时，y1=2，y2=1，y1>y2，当x=2时，y1=1，y2=8，y1<y2， ∴1<t<2 当x=1.5时，y1=1.5，y2=3.75，y1<y2，当x=1.2时，y1=1.8，y2=1.728，y1>y2， ∴1.2<t<1.5 当x=1.3时，y1=1.7，y2=2.197，y1<y2， ∴1.2<t<1.3 当x=1.25时，y1=1.75，y2=1.953125，y1<y2， ∴1.2<t<1.25 ∴t≈1.2，故方程的近似解为1.2 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】（1）解：由图可知该抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为， ∴与x轴的另一个交点为， ∴关于x的方程的解为，； 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系． （1）由图象可得出该抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点为，进而得出与x轴的另一个交点为，据此可求出方程的解； （2）根据二次函数解析式可得出其对称轴为直线，根据该方程的两个实数根为m，n，且，，画出其大致图象，观察图像可得x=2时y<0，且x=3时y>0，据此可列出不等式4-4+k<0且9-6+k>0，解不等式可求出实数k的取值范围； （3）①由，得出，令，，画出大致图象，即得出方程有1个实数根； ②由图象法确定方程的近似根可得：当x=1时，y1=2，y2=1，y1>y2，当x=2时，y1=1，y2=8，y1<y2，据此可得：1<t<2；同理可得1.2<t<1.5，依次类推1.2<t<1.3 ，进而可推出1.2<t<1.25，可求出方程的近似解. 例8．综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面． 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 （1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； （2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标的取值范围； （3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标的值． 【答案】（1）解：如图，由题意得：，，，， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为：A（0，5）， 设抛物线的解析式为， ∴1=100a+5， ∴a=， ∴抛物线的解析式为． （2）解：当时，则， 解得或， 在图象中标出如下： 结合函数图象可知，当时，种植点的横坐标的取值范围为． （3）解：∵为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个），∴在距离轴的两侧开始种植，最前排可种植的数量为（棵）， ∴最左边一棵苗木种植点的横坐标， 答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标的值为． 【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【分析】(1)根据坐标系和题中条件可得出顶点坐标，即可设出抛物线的顶点式，然后把点F(10，1)代入即可得解析式； (2)根据题意可得，当时，解得：x1=-9，x2=9，再根据题中的要求即可求出种植点的横坐标的取值范围； (3)根据题中给出的条件可知，可在距离y轴0.5m的两则开始种植，结合（2）中的范围可求出答案. （1）解：如图，由题意得：，，，， ∴， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：当时，则， 解得或， 在图象中标出如下： 结合函数图象可知，当时，种植点的横坐标的取值范围为． （3）解：∵为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个）， ∴在距离轴的两侧开始种植，最前排可种植的数量为（棵）， ∴最左边一棵苗木种植点的横坐标， 答：最前排符合所有种植条件的苗木数量为18棵，最左边一棵苗木种植点的横坐标的值为． 【变式8-1】．有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是 ________． （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整； （3）对于上面的函数，下列四个结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； ④函数图象与x轴有2个公共点． 所有正确结论的序号是________． （4）结合函数图象，解决问题： 若关于x的方程有4个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【答案】（1）任意实数 （2）解：由题意知，， 作图象如下； （3）①③ （4） 【知识点】函数自变量的取值范围；二次函数y=ax&#178;+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：（1）由题意知，函数的自变量x的取值范围是任意实数， 故答案为：任意实数； （3）由图象可知，函数图象关于y轴对称；①正确，故符合要求； 函数有最小值，没有最大值；②错误，故不符合要求； 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；③正确，故符合要求； 函数图象与x轴有4个公共点，④错误，故不符合要求， 故答案为：①③． （4）由图象可知，关于x的方程有4个不相等的实数根时，k的取值范围是， 故答案为：． 【分析】 （1）由题意知，对于任意实数x函数都成立； （2）由绝对值的性质知，二次函数实际上是个分段函数，即，然后分别取点、连线即可； （3）由图象可知，函数图象关于y轴对称，即结论①正确；由于二次函数的开口向上所以有最小值，但没有最大值，即结论②错误；当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，即结论③正确；函数图象与x轴有4个交点，即结论④错误； （4）观察图像知，当时，抛物线与直线最多有三个交点，即方程最多有3个不相等的实数根；当时，抛物线与直线最多有2个交点，即方程最多有2个不相等的实数根；而当时，抛物线与直线恰好有4个交点，即方程有4个不相等的实数根． （1）解：由题意知，函数的自变量x的取值范围是任意实数， 故答案为：任意实数； （2）解：由题意知，， 作图象如下； （3）解：由图象可知，函数图象关于y轴对称；①正确，故符合要求； 函数有最小值，没有最大值；②错误，故不符合要求； 当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；③正确，故符合要求； 函数图象与x轴有4个公共点，④错误，故不符合要求， 故答案为：①③． （4）解：由图象可知，关于x的方程有4个不相等的实数根时，k的取值范围是， 故答案为：． 【变式8-2】．根据以下素材，探索完成任务 确定文具套餐售价 素材1 某书店销售一款文具套装，当每套文具售价为30元时，月销售量为200套，经市场调查表明，每套文具售价每降价1元，则月销售量增加20套．设每套文具的售价为x元（x为正整数），月销售量为y套． 素材2 该文具套装的成本是10元/套． 素材3 为促进公益，在售价不低于进价且每套文具获利不高于95%的前提下，该书店决定，每月捐赠400元给慈善机构． 问题解决： （1）任务1：分析变量分析 求y关于x的函数表达式． （2）任务2：计算月利润 当售价为多少时，月利润W获得最大？最大利润是多少？ （3）任务3：确定合理售价 为了保证捐款后月利润不低于3040元，文具套装的售价可以取哪些数值． 【答案】（1）解：由题意得：y＝200+20（30﹣x）＝﹣20x+800， ∴y关于x的函数表达式为y＝﹣20x+800； （2）解：由题意得：W＝（x﹣10）y ＝（x﹣10）（﹣20x+800） ＝﹣20x2+1000x﹣8000 ＝﹣20（x﹣25）2+4500， ∵﹣20＜0， ∴当x＝25时，W有最大值， ∴当售价为25元时，月利润W获得最大； （3）解：由题意得：W﹣400＝﹣20（x﹣25）2+4500﹣400＝﹣20（x﹣25）2+4100＝3040， 解得：x1＝25+，x2＝25﹣， ∵款后月利润不低于3040元， ∴x的取值范围为25﹣≤x≤25+， ∵10≤x≤19.5， ∴25﹣≤x≤19.8， ∵7＜＜8， ∴17＜25﹣＜18， ∵为正整数， ∴x＝18或x＝19． 【知识点】二次函数的实际应用-销售问题；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【分析】（1）根据销售总量=售价×销量，列代数式，化简即可； （2）根据利润=销售总数量×（售价-进价），列二次函数，化为顶点式，即可求出最值； （3）根据（2）的二次函数，列关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的两个值；根据二次函数的性质，即可判断x的取值范围. 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．若二次函数的图象与轴有两个交点，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 【答案】A 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：∵的图象与轴有两个交点， ∴当时，此时使得成立的的值有两个， ∴关于的一元二次方程的根的情况是有两个不相等的实数根， 故选：． 【分析】根据二次函数图象与x轴交点与对应二次方程之间的关系即可求出答案. 2．根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程的一个解的取值范围是（　　） 0 0.5 1 1.5 2 2 0.25 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【解答】解：根据表格中的对应值， 得时，， 得时，， 判断一元二次方程的解的取值范围是， 故答案为：B． 【分析】根据表格数据可知0.25对应0.5，-1对应1，即可得出答案。 3．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况；二次函数的对称性及应用 【解析】【解答】解：由函数图象可知，二次函数的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴点到对称轴的距离为2. ∴根据二次函数对称性得二次函数与与x轴的另一个交点对称轴的距离为2. ∴二次函数与与x轴的另一个交点为. ∴关于的一元二次方程的解为， 故答案为：A. 【分析】由函数图象可知，二次函数的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为得点到对称轴的距离为2，进一步得二次函数与与x轴的另一个交点对称轴的距离为2，最后得二次函数与与x轴的另一个交点为便可得的解. 4．已知关于x的方程 有两个不相等的实数根. 则实数a 的取值范围是(　　). A．-1<a<0 B．a<-1 C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：由题意可知：x1x2=6>0， ∵x1<1<x2， ∴0<x1<1<x2， 设y=ax2+(a+1)x+6a 令x=0代入y=ax2+(a+1)x+6a 可得：y=6a， 令x=1代入y=ax2+(a+1)x+6a ∴可得：y=8a+1， ∴6a(8a+1)<0， 解得：， 故答案为：C. 【分析】根据题意可知：0<x1<1<x2，利用二次函数图象的性质即求出a的范围即可. 5．小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是（　　） 1 2 3 4 0 5 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：∵x2+bx=3， ∴x2+bx-3=0， ∴当y=0时，x=3， 即方程x2+bx=3的其中一个解是x=3， 故答案为：B. 【分析】根据表格中的数据，即可求解. 6．已知二次函数（为常数）经过点，一元二次方程的两个解为，，当时，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用 【解析】【解答】解：∵二次函数， ∴二次函数经过点， ∵二次函数经过点， ∴二次函数的对称轴为直线， ， ∴二次函数为， ∵一元二次方程的两个解为，， ∴二次函数过点，， ∴， ， ， ∵， ∴， ， 将代入，得， ∵二次函数的对称轴为， ∴当时，， 当时，有， ， 故答案为：B． 【分析】根据二次函数的对称性得到对称轴，从而得到的值，进而得到二次函数的解析式，然后根据函数与方程的联系，确定二次函数过点，，由二次函数的对称性得出，即可得到，代入得到，最后根据对称性以及二次函数图象上点的坐标特征即可求得的取值范围． 7．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：由题意可知，一元二次方程的x2-6x+m=0的根的判别式小于0， 即， 解得：m>9， 故答案为：A. 【分析】根据抛物线与x轴无交点，可以确定一元二次方程的x2-6x+m=0的根的判别式小于0，进而解不等式可得答案. 8．点在二次函数的图象上，小明在探究取不同值，点的存在性问题时，得到如下三个结论： ①当时，点的个数为0； ②当时，点的个数为1； ③当时，点的个数为2． 下列判断正确的是（　　） A．①错，②③对 B．①对，②③都错 C．①②对，③错 D．①②③对 【答案】D 【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 即， ∴， 当时，则，此时无实数根， 即当时，点的个数为0； 故①是正确的； ②当时，则，此时有一个实数根， 即当时，点的个数为1； 故②是正确的； ③当时，则，此时有两个不相等的实数根， 即当时，点的个数为2． 故③是正确的； 故选：D． 【分析】 由二次函数图象上点的坐标特征可得，即可得关于m的一元二次方程，则其根的判别式，再逐项判断即可． 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．抛物线如图所示，则关于的方程的解是　 　． 【答案】， 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：观察图象得：抛物线与x轴的交点坐标为， ∴关于的方程的解是，． 故答案为：，． 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，利用抛物线与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解来求解. 10．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 则铅球被推出的水平距离为　 　 m． 【答案】9 【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：令，则， 解得：或（不合题意，舍去）， ， ． 故答案为：9 【分析】结合题意，代入可得到一个关于x的一元二次方程，求解方程即可得出答案。 11．将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为　 　 【答案】或 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：二次函数解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为（1，4）， 当y=0时，，解得， 则抛物线与x轴的交点为A（-1，0），B（3，0）， 把抛物线图象x轴上方的部分沿x轴翻折到x轴下方，则翻折部分的抛物线解析式为，顶点坐标M（1，-4）， 如图，当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点， ∴3+b=0，解得b=-3； 当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点， 即有相等的实数解，整理得，，解得b=， 所以b的值为-3或， 故答案为：或． 【分析】分两种情形：当直线y=x+b过点B时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，当直线y=x+b与抛物线只有1个交点时，直线y=x+b与该新图象恰好有三个公共点，分别求解即可． 12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(-1，0)，B(2，0)． （1）方程ax2+bx+c=0的解为　 　 （2）不等式ax2+bx+c>0的解为　 　 （3）不等式ax2+bx+c≤0的解为　 　 【答案】（1）x1=-1，x2=2 （2）-1<x<2 （3）x≤-1或x≥2 【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【解答】解：(1)∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)，B(2，0)， ∴当y=0时，方程ax2+bx+c=0的解为x1=-1，x2=2； 故答案为：x1=-1，x2=2. (2)由图象可知：当-1<x<2时，函数图象在x轴的上方，即y>0，故不等式ax2+bx+c>o的解集为 -1<x<2； 故答案为：-1<x<2. (3)由图象可知：当x<-1或x>2时，函数图象在x轴的下方，即y<0，故不等式ax2+bx+c>o的解集为x<-1或x>2； 故答案为：x<-1或x>2. 【分析】】(1)方程ax2+bx+c=0的解就是二元一次的方程解； (2)不等式ax2+bx+c>0的解集是抛物线在x轴上方部分x的取值范围； (3)不等式ax2+bx+c≤0的解集是抛物线在x轴上或x轴下方部分x的取值范围. 13．已知二次函数的与的部分对应值如下表： x … -1 0 1 3 … y … 0 -1.5 -2 0 … 根据表格中的倌息，得到了如下的结论： ①二次函数可改写为的形式； ②二次函数的图象开口向下； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则. 其中所有正确的结论为　 　（填写序号） 【答案】①③ 【知识点】二次函数y=ax&#178;+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】解：由表格可得： 该函数的对称轴为直线， ∴该函数的顶点坐标为(1，-2)， ∴二次函数y=ax2+bx+c可改写为y=a(x-1)2-2的形式，故①正确，符合题意； 二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，故②错误，不符合题意； 关于x的一元二次方程ax2+bx+c=-1.5的两个根为0或2，故③正确，符合题意； 若y > 0，则x>3或x<-1，故④错误，不符合题意； 故答案为：①③. 【分析】根据表格中的数据和二次函数图象具有对称性，可以得到该函数的对称轴，然后即可得到顶点坐标，从而可以判断①；再根据图象中的数据，可以该函数图象开口向上，从而可以判断②；根据对称轴，可以得到x=0和x=2对应的函数值相等，即可判断③；根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到当y>0时x的取值范围，从而可以判断④. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．已知二次函数图象的顶点坐标为(2，－1)，且过点(0，3)． （1）求该二次函数解析式． （2）判断点A(1，1)是否在该函数图象上． 【答案】（1）解：设二次函数的图象为y=； ∵ 二次函数图象的顶点坐标为(2，－1) ∴可得二次函数的图象为y= 又∵图像过点（0，3） 将其代入函数，可得3=4a-1，解得a=1； ∴二次函数的解析式为y=(x−2)2−1； （2）解：将x=1代入（1）中函数解析式中，可得y=1-1=0； ∵y=0≠0 ∴点A不在图像上 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【分析】（1）根据二次函数的顶点式和顶点的坐标以及图像上的点的坐标，可以求出二次函数的解析式； （2）根据二次函数图象上点的性质，判断一个点的坐标是否在函数上，可将其代入，看等式是否成立即可判断. 15．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程的解为___________，___________； （2）当时，直接写出的取值范围为___________； （3）当时，直接写出的取值范围是___________． 【答案】（1），； （2）； （3） 【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax&#178;+bx+c与二次函数y=a（x-h）&#178;+k的转化；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】（1）解： ，， 故答案为：，； （2）解：的根为，， 二次函数的图象与轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； （3）解：， 时，的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 【分析】（1）根据因式分解法解方程即可求出答案. （2）当函数图象在x轴上方时，有，结合函数图象即可求出答案. （3）根据二次函数的性质即可求出答案. （1）解： ，， 故答案为：，； （2）解：的根为，， 二次函数的图象与轴交于点，， 由图象可得，时，的取值范围为， 故答案为：； （3）解：， 时，的最大值为， 把代入得，， 把代入得，， 当时，的取值范围是， 故答案为：． 16．已知二次函数的图象经过点． （1）求的值和二次函数的对称轴． （2）若把该函数图象向上平移个单位长度后与轴恰好只有一个交点，求的值． 【答案】（1）解：把代入得， 解得， 二次函数解析式为， ， 二次函数图象的对称轴为直线 （2）该函数图象向上平移个单位长度后所得函数图象的解析式为， 平移后的二次函数图象与轴只有一个交点， 关于的一元二次方程有个相等的实数解， ， 解得， 即的值为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数图象的平移变换 【解析】【分析】(1)把已知点的坐标代入y=ax2-2ax-3中可求出a=1，则二次函数解析式为y=x2-2x-3，然后利用配方法得到y=(x-1)2-4，从而得到二次函数图象的对称轴； (2)根据抛物线的几何变换得到平移后的函数图象的解析式为y=x2-2x-3+m，再根据根的判别式的意义得到Δ=(-2)2-4×1×(-3+m)=0，然后解一次方程即可. 17．我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”． （1）任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”． （2）已知二次函数． ①求证：该函数图象上一定存在两个“点”． ②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围． 【答案】（1）解：（答案不唯一） （2）解：①由“M点”定义知，“M点”的坐标为（x，-x）， 将（x，-x），代入y=x2-mx-3， 得，则， ， ∴此方程存在两个不相等的实数根， ∴该函数图象上一定存在两个“点”； ②∵这两个“点”的横坐标分别是， 是的解， 函数图象与轴相交于点，， 该函数图象开口向上，且， 当时，即， ． 【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况 【解析】【解答】（1）解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”， 则方程有解； ∴y=-x， ∴方程有解； ∴； 二次函数满足要求； 【分析】（1）对于任意二次函数，若其图象上存在“点”，则方程有解；即：方程有解；推出即可求解； （2）①由“M点”定义知，“M点”的坐标为（x，-x），将（x，-x），代入y=x2-mx-3，得，则，根据即可求证； ②设，由题意得函数图象与轴相交于点，，根据该函数图象开口向上，且，可推出当时，即，即可求解； （1）解：对于任意二次函数，若其图象上存在“点”， 则方程有解； 即：方程有解； ∴； 二次函数满足要求； （2）解：①令，则， ， 一定存在两个“点”． ②设， 是的解， 函数图象与轴相交于点，， 该函数图象开口向上，且， 当时，即， ． 18．阅读材料，解答问题． 例：用图象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0 解：设y=x2﹣2x﹣3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上． 又∵当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3． ∴由此得抛物线y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0． ∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3． （1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0的解集是　　 　 ； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣1＞0． 【答案】（1）x＜﹣1或x＞3　 （2）设y=x2﹣1，则y是x的二次函数， ∵a=1＞0， ∴抛物线开口向上． 又∵当y=0时，x2﹣1=0， 解得x1=﹣1，x2=1． ∴由此得抛物线y=x2﹣1的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞1时，y＞0． ∴x2﹣1＞0的解集是：x＜﹣1或x＞1． 【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【解析】【分析】（1）由x2﹣2x﹣3=0得x1=﹣1，x2=3，抛物线y=x2﹣2x﹣3开口向上，y＞0时，图象在x轴的上方，此时x＜﹣1或x＞3； （2）仿照（1）的方法，画出函数y=x2﹣1的图象，找出图象与x轴的交点坐标，根据图象的开口方向及函数值的符号，确定x的范围． 19．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）． （1）若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式． （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． （3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2． 【答案】（1）解：把a＝2代入得，y＝2x2+bx+2， ∵当x＝1时，y＝1， ∴1＝2+b+2， ∴b＝-3， ∴二次函数的关系式为y＝2x2-3x+2； （2）解：令y＝0，则ax2+bx+2＝0， 当Δ＝0时，则b2-8a＝0， ∴b2＝8a， ∴若a＝2，b＝4时，函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点， ∴此时函数为y＝2x2+4x+2＝2（x+1）2， ∴此函数的顶点坐标为（-1，0）（答案不唯一）； （3）证明：∵二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m）， ∴4a+2b+2＝2a+4b，∴2a+2＝2b，∴b＝a+1， ∴a2+b2＝a2+（a+1）2＝2a2+2a+1＝2（a）2， ∴a2+b2． 【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用 【解析】【分析】（1）由题设，把a＝2，x=1，y=1代入二次函数y＝ax2+bx+2即可求得b的值以及二次函数的解析式. （2）要使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，只需令y＝0，Δ＝0，由此可求得a与b的关系式，随机写出一个a的值就能由a与b的关系式求得b的值，再把此时二次函数的解析式用配方法配成顶点式，即可由顶点式求得此二次函数的顶点坐. （3）由二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），把点（2，m）代入y＝ax2+bx+2和y＝ax+4b，整理化简得b＝a+1，把b＝a+1代入得关于a的二次三项式，用配方法配成顶点式，由平方的非负性和不等式的性质可证得 a2+b2． 20．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题． （1）若关于x的函数y＝(m+1)x2+(m2-1)x是“T函数”，求m的值； （2）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝的图象上的一对“T点”，求r，s，t的值； （3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足x1+x2＝x1x2时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． 【答案】（1）解：依题意：m2-1=0，且m+1≠0，得m=1； （2）解：∵A，B关于y轴对称，∴s＝﹣1，r＝4，∴A的坐标为（1，4）， 把A（1，4）代入是关于x的“T函数”中，得：t＝4， 故答案为r＝4，s＝﹣1，t＝4； （3）解：∵y＝ax2+bx+c过原点，∴c＝0， ∵y＝ax2+bx+c是“T函数”，∴b＝0，∴y＝ax2， 联立直线l和抛物线得： ，即：ax2﹣mx﹣n＝0， ∴，， 又∵x1+x2＝x1x2，∴，即m＝﹣n， ∴y＝mx+n＝mx﹣m， 当x＝1时，y＝0， ∴直线l必过定点（1，0）． 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数与一次函数的综合应用；定义新运算；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用 【解析】【分析】（1）根据“T函数”的定义结合题意即可求解； （2）先根据对称得到点A的坐标，进而将点A代入关于x的“T函数”中得到t，从而即可求解； （3）先根据二次函数与坐标轴的交点问题得到c=0，进而根据“T函数”的定义得到b＝0，从而得到y＝ax2，再根据二次函数与一次函数的综合应用联立解析式，进而根据一元二次方程根与系数的关系得到，，再结合题意即可得到，从而即可求解 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 A夯基础 四大题型提分练 B抓核心 三大题型提升练 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年人教版九年级数学大单元教学分层优化练 22..2二次函数与一元二次方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1二次函数与一元二次方程的关系 求二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点横坐标就是求一元二次方程 ax2＋bx＋c=0的两个根；一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根（b2-4ac≥0）就是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与直线y=0的交点横坐标。 题型1二次函数与坐标轴的交点 例1．方程的两个根是，，那么二次函数与轴的交点坐标是　 　． 【变式1-1】．二次函数满足下列表格中的关系： x … 0 1 2 3 4 … y … -12 0 4 0 -12 … 则其图象的开口_________，对称轴为____________，顶点坐标为__________，与y轴的交点坐标为__________，与x轴的交点坐标为___________. 【变式1-2】．已知二次函数． ①.求图象的开口方向、对称轴、顶点坐标； ②.求图象与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标； ③.当x为何值时，y随x的增大而增大？ 【变式1-3】．已知二次函数的图象经过一次函数的图象与x轴,y轴的交点,并且经过点,求这个二次函数的表达式. 知识点2二次函数与x轴交点个数的问题 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点的三种情况与一元二次方程根的关系： a>0(示意图) a<0(示意图) 一元二次方程根的情况 b2-4ac>0     有两个不相等的实数根 b2-4ac=0     有两个相等的实数根 b2-4ac<0     无实数根 要点诠释： ⑴避免混淆顶点与交点：顶点在x轴上时⊿=b2-4ac = 0，但函数仍与x轴有一个交点； ⑵联立方程求解交点坐标时，需注意二次项系数a是否为0. 题型2二次函数的图象与一元二次方程的解 例2．在平面直角坐标系 中，二次函数 的图象如图所示，则方程 的根的情况是 A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【变式2-1】．如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点A（﹣1，0），B（3，0），那么一元二次方程ax2+bx＝0的根是　 　. 【变式2-2】．若二次函数 的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程 的解为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】．已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，那么关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两个解为（　　） A．1，3 B．-2，3 C．-1，3 D．3，4 知识点3 用图像法求一元二次方程的近似解 画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像，图像与x轴公共点的横坐标就是一元二次方程ax2＋bx＋c=0的的根。 要点诠释： 近似求解技巧 （1）确定根的范围：当交点坐标非整数时，可通过观察图像确定根所在的整数区间。 （2）利用表格数据辅助：通过计算函数在特定点的值,观察函数值由负变正的区间，可确定根的近似范围。 注意事项： （1）对称性应用：若抛物线对称轴已知，且已知一个根，则另一个根可通过对称轴公式计算得出。 （2）精度控制：根据题目要求选择合适的小数位数，通常通过表格数据逐步逼近精确解。 题型3判断一元二次方程的解的近似值 例3．下表给出了二次函数的自变量x与函数值y的部分对应值： x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … y … 0.14 0.62 … 那么关于x的方程的一个根的近似值可能是（　　） A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37【变式3-1】．如图，点，，在二次函数的图象上，则方程的一个近似值可能是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】．根据下列表格，判断出方程的一个近似解（结果精确到0.01）是（　　） x 3.5 2.08 0.82 A． B． C． D． 【变式3-3】．如表是一组二次函数的自变量与函数值的对应值： 那么下列选项中可能是方程的近似根的是（　　） A． B． C． D． 知识点4 用图像法求一元二次不等式的解集 要点诠释： 用图像法求一元二次不等式的解集，核心在于通过二次函数图像直观分析不等式解的范围， （1）化简不等式  将不等式化为标准形式 ax2+bx+c>0 或 ax2+bx+c<0，并确保二次项系数 a>0。 （2）求解对应方程 求解方程 ax2+bx+c=0，得到根 x1 和 x2（可能相等或不相等）。 （3）绘制二次函数图像  根据根的情况画出抛物线： 判别式 ⊿=b2-4ac>：抛物线与x 轴有两个交点，解集为 x<x1 或 x>x2 。 ⊿=0：抛物线与x 轴有一个交点。 ⊿<0：抛物线与x 轴无交点，解集为全体实数 . （4）确定解集范围  根据不等式符号和抛物线位置，确定 x 的取值范围。 题型4根据二次函数图象确定不等式的解集 例4．如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是　 　． 【变式4-1】．设二次函数y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，下表列出了x，y的部分对应值． x …… -5 -3 1 2 3 …… y …… -2.73 m -2.79 0 n …… 则不等式ax2+bx+c<0的解集是　 　 方程ax2+bx+c=m的解是　 　 【变式4-2】．如图所示的是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，由图象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（　　） A．-1<x<5 B．x>5 C．x<-1且x>5 D．x<-1或x>5 【变式4-3】．佳佳向探究一元三次方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解的情况，根据以往的学习经验，他想到了方程与函数的关系，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx+b（k≠0）的解，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解，如：二次函数y=x2﹣2x﹣3的图象与x轴的交点为（﹣1，0）和（3，0），交点的横坐标﹣1和3即为x2﹣2x﹣3=0的解． 根据以上方程与函数的关系，如果我们直到函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象与x轴交点的横坐标，即可知方程x3+2x2﹣x﹣2=0的解． 佳佳为了解函数y=x3+2x2﹣x﹣2的图象，通过描点法画出函数的图象． x … ﹣3 ﹣ ﹣2 ﹣ ﹣1 ﹣ 0 1 2 … y … ﹣8 ﹣ 0 m ﹣ ﹣2 ﹣ 0 12 … （1）直接写出m的值，并画出函数图象； （2）根据表格和图象可知，方程的解有　 　个，分别为　 　； （3）借助函数的图象，直接写出不等式x3+2x2＞x+2的解集． 题型5 二次函数图象与系数的关系 例5．如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式5-1】．如图，已知二次函数的图像，下列结论①；②；③；④关于x的方程有四个根，且这四个根的和为5；其中正确的结论有　 　（请写出所有正确结论的序号）． 【变式5-2】．二次函数的顶点坐标为，其部分图象如图所示．以下结论错误的是（　　） A． B． C． D．关于x的方程无实数根 【变式5-3】．二次函数的图象如图，给出下列四个结论：①；②；③；④，其中正确结论的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型6二次函数与函数值的最值或范围 例6．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数， （1）当，时，请求出该函数的完美点； （2）已知二次函数的图像上有且只有一个完美点，请求出该函数； （3）在（2）的条件下，当时，函数的最小值为，最大值为，求的取值范围． 【变式6-1】．时，函数的最小值为，则实数的值为　 　． 【变式6-2】．二次函数 的图象如图，若一元二次方程 有实数解，则k的最小值为 A． B． C． D．0 【变式6-3】已知二次函数y＝mx2﹣4mx+3m． （1）求该二次函数图象与x轴的交点坐标； （2）已知，为平面直角坐标系中两点，当抛物线与线段PQ有公共点时，请求出m的取值范围． 题型7二次函数中的探究问题 例7．已知二次函数. （1）求此函数图象的对称轴、顶点坐标，并指出它的开口方向； （2）写出当时x的取值范围. 【变式7-1】．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你按有关内容补充完整： 复习日记卡片 内容：一元二次方程解法归纳 时间：2023年9月26日 举例：求一元二次方程x2-x-2=0的两个解 （1）方法一：选择合适的一种方法(公式法、配方法、分解因式法)求解． 解方程：x2-x-2=0． （2）方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解 如图所示，把方程x2-x-2=0的解看成是二次函数y=　 　的图像与x轴交点的横坐标，即-1，2就是方程的解． （3）方法三：利用两个函数图象的交点求解 ①把方程x2-x-2=0的解看成是一个二次函数y= 　 　的图像与一个一次函数y=　 　的图像交点的横坐标． ②画出这两个函数的图象，并在x轴上标出方程的解，　 　 【变式7-2】．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法 ，请你按有关内容补充完整： 复习日记卡片 内容：一元二次方程解法归纳时间：2019年6月1日 举例：求一元二次方程x2﹣x﹣2＝0的两个解 方法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解 解方程：x2﹣x﹣2＝0． 解： 方法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解 如图所示，把方程x2﹣x﹣2＝0的解看成是二次函数y＝ ▲ 的图象与x轴交点的横坐标，即x1，x2就是方程的解． 方法三：利用两个函数图象的交点求解 （1）把方程x2﹣x﹣2＝0的解看成是一个二次函数y＝ ▲ 的图象与一个一次函数y＝ ▲ 图象交点的横坐标； （2）画出这两个函数的图象，用x1，x2在x轴上标出方程的解． 【变式7-3】．我国著名的数学家华罗庚曾说过："数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好， 隔裂分家万事非"这里一语成偈，道出了"数"和"形”不可分割的特点仔细体会这段话所包含的数学思想方法，并解答下列问题： （1）如图1，画出了二次函数的部分图象，则关于的方程的解为　 　 （2）已知关于的方程有两个实数根m，n，且，若，求的取值范围； （3）已知方程. ①直接回答此方程有几个实数根； ②探究此方程实数根的近似值（精确到0.1，只写答案不给分!）【友情提示：图2已给出函数的图象】 例8．综合与实践 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计大棚苗木种植方案？ 【素材1】如图①是一个大棚苗木种植基地及其截面图，其下半部分是一个长为，宽为的矩形，其上半部分是一条抛物线，现测得，大棚顶部的最高点距离地面． 【素材2】种植苗木时，每棵苗木高．为了保证生长空间，相邻两棵苗木种植点之间间隔，苗木顶部不触碰大棚，且种植后苗木成轴对称分布．（即苗木的数目为偶数个） 【解决问题】 （1）大棚上半部分形状是一条抛物线，设大棚的高度为，种植点的横坐标为．根据图②建立的平面直角坐标系，通过素材1提供的信息确定点的坐标，求出抛物线的解析式； （2）探究种植范围．在图②的坐标系中，在不影响苗木生长的情况下（即），确定种植点的横坐标的取值范围； （3）拟定种植方案．给出最前排符合所有种植条件的苗木数量，并求出最左边一棵苗木种植点的横坐标的值． 【变式8-1】．有这样一个问题：探究函数的图象与性质． 小丽根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． 下面是小丽的探究过程，请补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是 ________． （2）如图，在平面直角坐标系xOy中，画出了函数的部分图象，用描点法将这个函数的图象补充完整； （3）对于上面的函数，下列四个结论： ①函数图象关于y轴对称； ②函数既有最大值，也有最小值； ③当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小； ④函数图象与x轴有2个公共点． 所有正确结论的序号是________． （4）结合函数图象，解决问题： 若关于x的方程有4个不相等的实数根，则k的取值范围是________． 【变式8-2】．根据以下素材，探索完成任务 确定文具套餐售价 素材1 某书店销售一款文具套装，当每套文具售价为30元时，月销售量为200套，经市场调查表明，每套文具售价每降价1元，则月销售量增加20套．设每套文具的售价为x元（x为正整数），月销售量为y套． 素材2 该文具套装的成本是10元/套． 素材3 为促进公益，在售价不低于进价且每套文具获利不高于95%的前提下，该书店决定，每月捐赠400元给慈善机构． 问题解决： （1）任务1：分析变量分析 求y关于x的函数表达式． （2）任务2：计算月利润 当售价为多少时，月利润W获得最大？最大利润是多少？ （3）任务3：确定合理售价 为了保证捐款后月利润不低于3040元，文具套装的售价可以取哪些数值． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．若二次函数的图象与轴有两个交点，则关于的一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能确定 2．根据下列表格中的对应值，判断一元二次方程的一个解的取值范围是（　　） 0 0.5 1 1.5 2 2 0.25 A． B． C． D． 3．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为（　　） A． B． C． D． 4．已知关于x的方程 有两个不相等的实数根. 则实数a 的取值范围是(　　). A．-1<a<0 B．a<-1 C． D． 5．小吴用描点法画二次函数图象时，得到了如下表格，则方程的其中一个解是（　　） 1 2 3 4 0 5 A．4 B．3 C．2 D．1 6．已知二次函数（为常数）经过点，一元二次方程的两个解为，，当时，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．点在二次函数的图象上，小明在探究取不同值，点的存在性问题时，得到如下三个结论： ①当时，点的个数为0； ②当时，点的个数为1； ③当时，点的个数为2． 下列判断正确的是（　　） A．①错，②③对 B．①对，②③都错 C．①②对，③错 D．①②③对 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．抛物线如图所示，则关于的方程的解是　 　． 10．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是 则铅球被推出的水平距离为　 　 m． 11．将二次函数的图象在x轴上方的部分沿x轴翻折后，所得新函数的图象如图所示．当直线与新函数的图象恰有3个公共点时，b的值为　 　 12．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(-1，0)，B(2，0)． （1）方程ax2+bx+c=0的解为　 　 （2）不等式ax2+bx+c>0的解为　 　 （3）不等式ax2+bx+c≤0的解为　 　 13．已知二次函数的与的部分对应值如下表： x … -1 0 1 3 … y … 0 -1.5 -2 0 … 根据表格中的倌息，得到了如下的结论： ①二次函数可改写为的形式； ②二次函数的图象开口向下； ③关于的一元二次方程的两个根为0或2； ④若，则. 其中所有正确的结论为　 　（填写序号） 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．已知二次函数图象的顶点坐标为(2，－1)，且过点(0，3)． （1）求该二次函数解析式． （2）判断点A(1，1)是否在该函数图象上． 15．如图为二次函数的图象，试观察图象回答下列问题： （1）写出方程的解为___________，___________； （2）当时，直接写出的取值范围为___________； （3）当时，直接写出的取值范围是___________． 16．已知二次函数的图象经过点． （1）求的值和二次函数的对称轴． （2）若把该函数图象向上平移个单位长度后与轴恰好只有一个交点，求的值． 17．我们规定：在直角坐标系中，若一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则这个点叫做“点”．如就是“点”． （1）任意写一个二次函数，使它的图象上存在“点”． （2）已知二次函数． ①求证：该函数图象上一定存在两个“点”． ②若这两个“点”的横坐标分别是，且，求的取值范围． 18．阅读材料，解答问题． 例：用图象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0 解：设y=x2﹣2x﹣3，则y是x的二次函数．∵a=1＞0，∴抛物线开口向上． 又∵当y=0时，x2﹣2x﹣3=0，解得x1=﹣1，x2=3． ∴由此得抛物线y=x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示． 观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0． ∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3． （1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0的解集是　　 　 ； （2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣1＞0． 19．在平面直角坐标系中，设二次函数y＝ax2+bx+2（a，b是常数，a≠0）． （1）若a＝2时，图象经过点（1，1），求二次函数的表达式． （2）写出一组a，b的值，使函数y＝ax2+bx+2的图象与x轴只有一个公共点，并求此二次函数的顶点坐标． （3）已知，二次函数y＝ax2+bx+2的图象和直线y＝ax+4b都经过点（2，m），求证：a2+b2． 20．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于y轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题． （1）若关于x的函数y＝(m+1)x2+(m2-1)x是“T函数”，求m的值； （2）若点A（1，r）与点B（s，4）是关于x的“T函数”y＝的图象上的一对“T点”，求r，s，t的值； （3）若关于x的“T函数”y＝ax2+bx+c（a＞0，且a，b，c是常数）经过坐标原点O，且与直线l：y＝mx+n（m≠0，n＞0，且m，n是常数）交于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，当x1，x2满足x1+x2＝x1x2时，直线l是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由． B抓核心 三大题型提升练 C 抓拓展 能力拓展练 达标检测 A夯基础 四大题型提分练 学科网（北京）股份有限公司 $