22.1 第7课时 用待定系数法求二次函数的解析式-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第7课时 用待定系数法求二次函数的解析式 第二十二章 二次函数 情 境 导 入 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的解析式？ 2个 2个 2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 待定系数法 (1)设：（解析式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)写：（写表达式） 步骤 复习 第7课时 用待定系数法求二次函数的解析式 我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，探究下面的问题： 由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？ 分析：确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式y=kx+b，需求出k，b的值.用待定系数法，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标，列出关于k，b的二元一次方程组就可以求出k，b的值. 类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值. 由不在同一直线上的三点(任意两点的连线不与y轴平行)的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值. 新 课 探 究 第7课时 用待定系数法求二次函数的解析式 新课探究 情境导入 课堂小结 例1.如果一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式. 解：设所求二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知，函数图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点， 得三元一次方程组 解得 因此，所求二次函数的解析式为y=2x2-3x+5. 待定系数法 新课探究 情境导入 课堂小结 这种已知三点求二次函数解析式的方法叫作一般式法. 其步骤是： ①设函数解析式为y=ax2+bx+c； ②代入三个点的坐标得到三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用求得的值换掉，写出函数解析式. 一般式法求二次函数的解析式 总 结 新课探究 情境导入 课堂小结 例2.已知抛物线的顶点为(1,-4)，且经过点(2,-3)，求其解析式. 解：∵抛物线顶点为(1,-4) ∴设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又抛物线过点(2,-3)， 则-3=a(2-1)2-4，则a=1. ∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3. 新课探究 情境导入 课堂小结 顶点式法求二次函数的解析式 这种知道抛物线的顶点坐标，求解析式的方法叫作顶点式法.其步骤是： ①设函数解析式是y=a(x-h)2+k； ②先代入顶点坐标，得到只含参数a的解析式； ③将另一点的坐标代入上步中的解析式，求出a值； ④将a用求得的值换掉，写出函数解析式. 新课探究 情境导入 课堂小结 解：∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的解析式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标).因此得 y=a(x+3)(x+1). 再把点（0，-3）代入上式得 ∴a(0+3)(0+1)=-3， 解得a=-1， ∴所求的二次函数的解析式是 y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3. 例3.已知抛物线上三个点的坐标：(-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出对应的二次函数的解析式. 新课探究 情境导入 课堂小结 交点式法求二次函数的解析式 这种已知道抛物线与x轴的交点，求解析式的方法叫作交点式法. 其步骤是： ①设函数解析式是y=a(x-x1)(x-x2)； ②先把两交点的横坐标x1, x2代入解析式中，得到只含参数a的解析式；③将另一点的坐标代入上步中的解析式，求出a值； ④将a用求得的值换掉，写出函数解析式. 新课探究 情境导入 课堂小结 根据已知条件选设函数解析式： 用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况： ①已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； ②已知抛物线顶点坐标或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； ③已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用交点式； ④已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式（可求出对称轴）. 总结归纳 新课探究 情境导入 课堂小结 1.过点(2,4),且当x=1时,y有最值为6,则其表达式是__________. 2.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A(0,-5),B(5,0)两点,它的对称轴为直线x=2,那么这个二次函数的解析式是_　　　　　. 3.一个二次函数,当自变量x=0时,函数值y=-1,当x=-2与0.5时,y=0.则这个二次函数的解析式是_____________. 4.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2,图象顶点在直线y=x+1上,并且图象经过点(3,-6),则函数的解析式是___________. 练习 y=x2-4x-5 y=-2(x-1)2+6 y=x2+1.5x-1 y=-2x2+4x 新课探究 情境导入 课堂小结 5.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且过点M(0，1)，求此函数的表达式． 解：∵点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点 ∴设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－1) 又∵抛物线过点M(0，1) ∴ 1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1 ∴所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1) 即y＝－x2＋1. 新课探究 情境导入 课堂小结 6.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(-4，-3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝-3，请解答下列问题： (1)求抛物线的表达式； 解：(1)把点A(-4，-3)代入y＝x2＋bx＋c 得16－4b＋c＝-3，c-4b＝-19. ∵对称轴是x＝-3 ∴ ＝-3 ∴b＝6 ∴c＝5 ∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5 新课探究 情境导入 课堂小结 (2)若和x轴平行的直线与抛物线交于C，D两点，点C在对称轴左侧，且CD＝8，求△BCD的面积． 解：∵CD∥x轴，∴点C与点D关于x＝－3对称． ∵点C在对称轴左侧，且CD＝8， ∴点C的横坐标为－7， ∴点C的纵坐标为(－7)2＋6×(－7)＋5＝12. ∵点B的坐标为(0，5)， ∴△BCD中CD边上的高为12－5＝7， ∴△BCD的面积＝ ×8×7＝28. 课 堂 小 结 通过本节课的学习 1.你掌握了哪些知识？ 2.你学会了哪些解题方法？ 3.你运用了哪些数学思想？ 4.你总结了哪些学习经验？ 5.还有什么感悟和思考？ 第7课时 用待定系数法求二次函数的解析式 情境导入 课堂小结 新课探究 用一般式法：y=ax2+bx+c 待定系数法求二次函数的解析式 步骤 类型 已知三点坐标 设、代、解、写 用顶点法：y=a(x-h)2+k 已知顶点坐标或对称轴或最值 已知抛物线与x轴的两个交点 用交点法：y=a(x-x1)(x-x2) (x1,x2为交点的横坐标） THANK YOU $