22.1 第6课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

该初中数学课件聚焦二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质，通过情境导入表格对比已学特殊形式与一般式函数的顶点坐标等，搭建从特殊到一般的学习支架，引导学生发现旧知局限，激发转化探究需求。 其亮点在于以问题驱动配方转化过程，通过“提、配、化”步骤培养推理能力，结合描点与平移法画图发展几何直观，练习题分层设计强化抽象能力与应用意识。学生能掌握转化思想，教师可直接用于情境创设、探究引导和巩固练习，提升教学效率。

第6课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 第二十二章 二次函数 情 境 导 入 顶点坐标 对称轴 最值 y=-2x2 y=-2x2-5 y=-2(x+2)2 y=-2(x+2)2-4 y=(x-4)2+3 y=-x2+2x y=3x2+x-6 (0,0) y轴 0 (0,-5) y轴 -5 (-2,0) 直线x=-2 0 (-2,-4) 直线x=-2 -4 (4,3) 直线x=4 3 ? ? ? ? ? ? 第6课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 新 课 探 究 如何画出y= x2-6x＋21的图象呢？ 思考 我们知道，像y=a(x-h)2＋k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函数y= x2-6x＋21也能化成这样的形式吗？ 第6课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 新课探究 情境导入 课堂小结 配方可得 3.“化”：化成顶点式. 1.“提”：提出二次项系数； 2.“配”：括号内配成完全平方式； 配方后的二次函数表达式通常称为顶点式 新课探究 情境导入 课堂小结 有哪几种画图方法？ 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 方法一：描点法 先利用对称性列表: 开口方向： 对称轴： 顶点： 向上 直线x=6 (6,3) 新课探究 情境导入 课堂小结 方法二：平移法 2 6 8 y 4 O -2 2 x 4 -4 6 8 新课探究 情境导入 课堂小结 y=ax²+bx+c 二次函数y=ax2+bx+c 与y=a(x-h)2+k的关系? 二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 通过配方可以转化成y=a(x-h)2+k形式. 新课探究 情境导入 课堂小结 y=ax2+bx+c 二次函数的顶点式 对称轴为 。 二次函数的一般表达式 因此，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是 ，顶点坐标是 。 新课探究 情境导入 课堂小结 如果a＞0,当 时,y随x的增大而减小,当 时,y随x的增大而增大; 如果a＜0,当 时,y随x的增大而增大,当 时,y随x的增大而减小. 根据图中可以得到哪些性质呢？ 新课探究 情境导入 课堂小结 二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系 ①a决定开口方向：a＞0⇔开口向上；a＜0⇔开口向下； ②a，b同号对称轴在y轴的左侧； a，b异号对称轴在y轴的右侧； ③c＝0⇔经过原点； c>0⇔与y轴的交点位于x轴的上方； c<0⇔与y轴的交点位于x轴的下方； 新课探究 情境导入 课堂小结 ④当x＝1时，y的值为a＋b＋c， 当x＝－1时，y的值为a－b＋c． ⑤当对称轴x＝1时，x＝ ＝1，∴－b＝2a，此时2a＋b＝0； 当对称轴x＝－1时，x＝ ＝－1，∴b＝2a，此时2a－b＝0． 因此，判断2a＋b的符号，需判断对称轴x＝ 与1的大小，若对称轴在直线x＝1的左边，则 ，再根据a的符号即可得出结果；判断2a－b的符号，同理需判断对称轴与1的大小. 新课探究 情境导入 课堂小结 向上 向下 向下 向上 直线 直线x=-1 直线x=2 直线x=4 (-1,1) (2,0) (4,-5) 1.写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点: 练习 新课探究 情境导入 课堂小结 2.将抛物线y＝x2－2x＋3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为(　　) A．y＝(x－1)2＋4 B．y＝(x－4)2＋4 C．y＝(x＋2)2＋6 D．y＝(x－4)2＋6 B 3.二次函数y=ax2+bx+c的部分对应值如下表： 二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x= ，x=2对应的函数值y= ． 1 -8 新课探究 情境导入 课堂小结 4.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是（ ） A. 4 B. -1 C. 3 D.4或-1 A 5.对于二次函数y＝－x2＋x－4，下列说法正确的是(　　) A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值－3 C．图象的顶点坐标为(－2，－7) D．图象与x轴有两个交点 B 新课探究 情境导入 课堂小结 6.已知抛物线y=2x2-12x+13. （1）当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？ （2）当x为何值时，y随x的增大而减小; （3）将该抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位，请直接写出新抛物线的表达式. 解：∵y=2x2-12x+13=2(x2-2x+9)-5=2(x-3)2-5， ∴抛物线开口向上，顶点为(3，-5)，对称轴为直线x=3. （1）当x=3时，y有最小值，最小值为-5； （2）当x＜3时，y随x的增大而减小； （3）新抛物线的表达式为y=2(x-5)2-3． 新课探究 情境导入 课堂小结 7. 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0； ④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　) A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　D．4 D 8.一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一平面直角坐标系内的图象可能是(　　) C 课 堂 小 结 通过本节课的学习 1.你掌握了哪些知识？ 2.你学会了哪些解题方法？ 3.你运用了哪些数学思想？ 4.你总结了哪些学习经验？ 5.还有什么感悟和思考？ 第6课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 情境导入 课堂小结 新课探究 顶点： 对称轴： y=ax2+bx+c（a ≠0) (一般式) 公式法 (顶点式) 配方法 THANK YOU $