21.2 第6课时 一元二次方程的根与系数的关系-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第6课时 一元二次方程的根与系数的关系 第二十一章 一元二次方程 情 境 导 入 第6课时 一元二次方程的根与系数的关系 从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？ 把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程：x2-(x1+x2)x+x1x2=0   这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2.   于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1+x2=-p，x1x2=q. 思考 情 境 导 入 算一算 解下列方程并完成填空： (1)x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0. 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 2x2+3x+1=0 想一想 方程 的两根x1和x2与系数a,b,c 有什么关系？ -4 1 2 3 -1 x1+x2=-3 x1 · x2=-4 x1+x2=5 x1 · x2=6 x1 · x2= 新 课 探 究 第6课时 一元二次方程的根与系数的关系 根据求根公式可知， 由此可得 因此，方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系： 新课探究 情境导入 课堂小结 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系： 总结归纳 注意：满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 韦达,1540年出生于法国的波亚图,他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用,人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代数学之父”.     历史上流传着一个有关韦达的趣事:有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王,比利时的数学家罗门提出了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达,韦达当即得出一正数解,回去后很快又得出了另外的22个正数解(他舍弃了另外的22个负数解).消息传开,数学界为之震惊.同时,韦达也回敬了罗门一个问题,罗门一时不得其解,冥思苦想了好多天才把它解出来. 韦达研究了方程根与系数的关系,在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达定理. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 例4 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1,x2的和与积. (1)x2-6x-15=0 (2)3x2+7x-9=0 (3)5x-1=4x2 解： (1)x1＋x2＝－(－6)＝6，x1x2＝－15. (3)方程化为4x2－5x＋1＝0， 　　　　　 注意：(1)不是一般式的，要化成一般式. (2)在方程有实数根的条件下应用，即b2-4ac≥0. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 例5 已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1+x2=1+x2=6， 即：x2=5. 由于x1x2=1×5= 得：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15. 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 三角形的三边关系 1.不解方程，求下列方程两根的和与积： (1)x2-3x=15 (2)3x2+2=1-4x (3)5x2-1=4x2+x (4)2x2-x+2=3x+1   练习 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 三角形的三边关系 练习 2.方程 x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0 的两个实数根 x1，x2 满足x12＋x22＝4，则k的值为________． k＝1 解析：由x12＋x22＝x12＋2x1·x2＋x22－2x1·x2＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝4，根据根与系数的关系即可得到一个关于k的方程，从而求得k的值． 单击此处添加标题文本内容 新课探究 情境导入 课堂小结 三角形的三边关系 练习 解：(1)∵一元二次方程 ， ∴无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根. 3．已知关于的一元二次方程 ． (1)求证：无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且 x1-x2=2，求a的值． 新课探究 情境导入 课堂小结 练习 3．已知关于的一元二次方程 ． (1)求证：无论为任何非零实数，此方程总有两个实数根； (2)若该方程的两个实数根分别为x1、x2，且 x1-x2=2，求a的值． (2)依题意得， ， ， ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ， (3a+1)(a-1)=0， 解得 ， . 课 堂 小 结 通过本节课的学习 1.你掌握了哪些知识？ 2.你学会了哪些解题方法？ 3.你运用了哪些数学思想？ 4.你总结了哪些学习经验？ 5.还有什么感悟和思考？ 第6课时 一元二次方程的根与系数的关系 情境导入 课堂小结 新课探究 根与系数的关系 （韦达定理） 内容 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1、 x2，那么 应用 THANK YOU $