21.2 第5课时 因式分解法-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级上册数学（人教版）

第5课时 因式分解法 第二十一章 一元二次方程 情 境 导 入 第5课时 因式分解法 我们已经学过了几种解一元二次方程的方法? x2=a (a≥0) (x+m)2=n (n≥0) 直接开平方法 配方法 公式法 复习回顾 新 课 探 究 1.把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫作把这个多项式__________. 2.因式分解常用的方法有____________________. 3.将下列各式分解因式： (1) 7x2-28x (2) 2(a-3)2-a+3 (3) (y+3)2-(3y-3)2 因式分解 提公因式法、 公式法 解：(1)原式=7x(x-4) (2)原式=2(a-3)2-(a-3)=(a-3)[2(a-3)-1]=(a-3)(2a-7) (3)原式=[(y+3)+(3y-3)][(y+3)-(3y-3)] =(y+3+3y-3)(y+3-3y+3)=4y(6-2y)=8y(3-y) 第5课时 因式分解法 新课探究 情境导入 课堂小结 根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10m/s的速度竖直上抛，那么经过x s后物体离地面的高度（单位：m）为：10x-4.9x2. 问题：设物体经过x s落回地面，请说说你列出的方程. 10x-4.9x2=0 ① 新课探究 情境导入 课堂小结 除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程①？ 方程①的右边为0，左边可以因式分解,得 　　　 x(10-4.9x)=0. 怎么解上面这个一元二次方程呢？ 如果ab=0，那么a=0，或b=0. x=0,或10-4.9x=0 ② 所以，方程①的两个根是 x1=0，x2= 这两个根中，x2表示物体约在2.04s时落回地面，而x1=0表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m. 思考 新课探究 情境导入 课堂小结 这种解法是如何使二次方程降为一次的？ 可以发现，上述解法中，由①到②的过程，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次.这种解一元二次方程的方法叫作因式分解法． 思考 新课探究 情境导入 课堂小结 典例精析 例1 用因式分解法解下列方程： (1)x(x-2)+x-2=0； (2)5x2-2x- =x2-2x+ 解：（1）因式分解，得 于是得 x-2=0，或x＋1=0, x1=2，x2=-1. （2）移项、合并同类项，得 因式分解，得 (2x+1)(2x-1)=0. 于是得 2x＋1=0，或2x-1=0， (x-2)(x＋1)=0. 4x2-1=0 新课探究 情境导入 课堂小结 例2 用适当的方法解方程： (1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)； (2) (5x + 1)2 = 1； 即 3x - 5 = 0 或 x + 5 = 0. ∴ x 1= 0 , x2= 分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快. 解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 分析：方程一边以平方形式出现，另一边是常数，可用直接开平方法. 解：开平方,得 5x + 1 = ±1. 典例精析 新课探究 情境导入 课堂小结 总结归纳 配方法要先配方，再降次；通过配方法可以推出求根公式，公式法直接利用求根公式解方程；因式分解法要先使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，再分别使各一次因式等于0. 配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法在解某些一元二次方程时比较简便. 解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次. 新课探究 情境导入 课堂小结 解： 因式分解，得 （1） x2+x=0 x ( x+1 ) = 0. 于是得 x = 0 或 x + 1 =0， x1=0 , x2=－1. 解：因式分解，得 （2）x2- 2x=0 x（x-2）=0 于是得 x=0 或 x-2 =0 x1=0，x2=2 1.解下列方程： 练习 新课探究 情境导入 课堂小结 解：将方程化为 因式分解，得 x2－2x+1 = 0. ( x－1 )( x－1 ) = 0. 于是得 x － 1 = 0 或 x － 1 = 0， x1=x2=1. 解：因式分解，得 ( 2x + 11 )( 2x－11 ) = 0. 于是得 2x + 11 = 0 或 2x－ 11 = 0， x1=-5.5 ， x2=5.5 . （3） （4） 新课探究 情境导入 课堂小结 解：将方程化为 因式分解，得 6x2 － x －2 = 0. ( 3x － 2 )( 2x + 1 ) = 0. 有 3x － 2 = 0 或 2x + 1 = 0， 解：将方程化为 因式分解，得 ( x －4 ) 2 － ( 5 － 2x )2=0. ( x － 4 － 5 + 2x )( x － 4 + 5 －2x ) = 0. ( 3x － 9 )( 1 － x ) = 0. 有 3x － 9 = 0 或 1 － x = 0， x1 = 3 , x2 = 1. x1= ， x2=- （5） （6） 新课探究 情境导入 课堂小结 2.用合适的方法法解下列一元二次方程. (1)(5x)2-9=16； (2)x2+4x+5=2； (3)2x2-3x-2=0； (4)(x-2)(x-3)=12； (1)x1=1， x2=-1. (2)x1=-1，x2=-3. (3)x1=2， x2=-0.5. (4)x1=-1，x2=6. 新课探究 情境导入 课堂小结 十字相乘法 拓展提升 (x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab 两个一次二项式相乘的积 一个二次三项式 整式的乘法 反过来，得 x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b) 一个二次三项式 两个一次二项式相乘的积 因式分解 如果二次三项式x2+px+q中的常数项系数q能分解成两个因数a、b的积，而且一次项系数p又恰好是a+b，那么x2+px+q就可以用如上的方法进行因式分解. 新课探究 情境导入 课堂小结 步骤： ①竖分二次项与常数项 ②交叉相乘，积相加 ③检验确定，横写因式 简记口诀：首尾分解，交叉相乘，求和凑中. 解方程：x2+5x-6=0. 解：因式分解得 (x+6)(x-1)=0. ∴x+6=0,或x-1=0. ∴x1=-6,x2=1. 新课探究 情境导入 课堂小结 总结归纳 解法选择基本思路： 1.一般地，当一元二次方程的一次项系数为0时(ax2+c=0)，应选用直接开平方法； 2.若常数项为0( ax2+bx=0)，应选用因式分解法； 3.若一次项系数和常数项都不为0 (ax2+bx+c=0)，先化为一般式，看左边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用因式分解法，否则选用公式法； 4.当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也比较简单. 课 堂 小 结 通过本节课的学习 1.你掌握了哪些知识？ 2.你学会了哪些解题方法？ 3.你运用了哪些数学思想？ 4.你总结了哪些学习经验？ 5.还有什么感悟和思考？ 第5课时 因式分解法 情境导入 课堂小结 新课探究 平方差公式 因式分解法 通过因式分解实现降次来解一元二次方程 提公因式法 公式法 十字相乘法 完全平方公式 THANK YOU $