2.1 第1课时 锐角三角函数（1）-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级上册数学（鲁教版五四制）

第二章 直角三角形的边角关系 1 锐角三角函数 第1课时 锐角三角函数（1） 猜一猜,这座古塔有多高? 在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其它的边和角吗? 想一想,你能运用所学的数学知识测出这座古塔的高吗? 1 锐角三角函数 第1课时 锐角三角函数（1） 情 境 导 入 A B 小明在A处仰望塔顶,测得∠α的大小,再往塔的方向前进50m到B处,又测得∠β的大小,根据这些他就求出了塔的高度. 你知道他是怎么做的吗？ 1 锐角三角函数 第1课时 锐角三角函数（1） 新 课 探 究 源于生活的数学 从梯子的倾斜程度谈起 梯子是我们日常生活中常见的物体 你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？ 新课探究 情境导入 课堂小结 生活问题数学化 小明的问题,如图: 梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 5m 2.5m C B A 2m E 5m D F 想一想 新课探究 情境导入 课堂小结 小颖的问题,如图: ? 梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 2.2m A 5m C B 2m E 4m D F 想一想 新课探究 情境导入 课堂小结 小亮的问题,如图: 梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ 3m 2m 6m 4m A B C D E F 想一想 新课探究 情境导入 课堂小结 小丽的问题,如图: 梯子AB和EF哪个更陡？你是怎样判断的？ ? 2m 2m 6m 5m A B C D E F 想一想 新课探究 情境导入 课堂小结 小明和小亮这样想,如图: 如图,小明想通过测量B1C1及AC1,算出它们的比,来说明梯子AB1的倾斜程度; 而小亮则认为,通过测量B2C2及AC2,算出它们的比,也能说明梯子AB1的倾斜程度. 你同意小亮的看法吗? A B1 C2 C1 B2 做一做 新课探究 情境导入 课堂小结 直角三角形的边与角的关系 (1).Rt△AB1C1和Rt△AB2C2有什么关系? 如果改变B2在梯子上的位置(如B3C3 )呢? 由此你得出什么结论? A B1 C2 C1 B2 C3 B3 议一议 新课探究 情境导入 课堂小结 直角三角形中边与角的关系 锐角的三角函数—正切函数 在直角三角形中,若一个锐角的对边与邻边的比值是一个定值,那么这个角的值也随之确定. A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ tanA= 在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即 新课探究 情境导入 课堂小结 如图,梯子AB1的倾斜程度与tanA有关吗?与∠A有关吗? 与tanA有关:tanA的值越大,梯子AB1越陡. 与∠A有关:∠A越大,梯子AB1越陡. A B1 C2 C1 B2 议一议 新课探究 情境导入 课堂小结 例1 下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比较陡? 解:甲梯中, β 6m ┐ 乙 8m α 5m ┌ 甲 13m 乙梯中, ∵tanβ>tanα,∴乙梯更陡. 例题欣赏 生活中,常用一个锐角的正切表示梯子的倾斜程度. 新课探究 情境导入 课堂小结 如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是: 坡面与水平面的夹角(α)称为坡角,坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比),即坡度等于坡角的正切. 100m 60m ┌ α i 议一议 新课探究 情境导入 课堂小结 1.如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗？ 2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B.已知山顶B到山脚下的垂直距离是55m,求山坡的坡度(结果精确到0.001m). ┍ 1.5 ┌ A B C D A B C ┌ 随堂练习 AC =6 新课探究 情境导入 课堂小结 3.是真是假： (1).如图 (1) ( ). A B C ┍ A B C 7m 10m (1) (2) (2).如图 (2) ( ). (3).如图 (2) ( ). (4).如图 (2) ( ). (5).如图 (2) ( ). A 7 . 0 tan = 新课探究 情境导入 课堂小结 4.如图,在Rt△ABC中,锐角A的对边和邻边同时扩大100倍,tanA的值（ ） A.扩大100倍 B.缩小100倍 C.不变 D.不能确定 5.已知∠A,∠B为锐角 (1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B. A B C ┌ 新课探究 情境导入 课堂小结 6.如图, ∠C=90°，CD⊥AB. 7.在上图中,若BD=6,CD=12.求tanA的值. ┍ ┌ A C B D ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 新课探究 情境导入 课堂小结 A C B 3 4 A C B 3 4 (1) (2) 8.如图,分别根据图(1)和图(2)求tanA的值. 9.在Rt△ABC中,∠C=90°, (1)AC=3,AB=6,求tanA和tanB (2)BC=3,tanA= ,求AC和AB. 新课探究 情境导入 课堂小结 正切的定义: A B C ∠A的对边 ∠A的邻边 ┌ 在Rt△ABC中,锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切,记作tanA,即 tanA= 新课探究 情境导入 课堂小结 定义中应该注意的几个问题: 1.tanA是在直角三角形中定义的,∠A是一个锐角（注意数形结合，构造直角三角形）. 2.tanA是一个完整的符号,表示∠A的正切,习惯省去“∠”号； 3.tanA是一个比值（直角边之比.注意比的顺序,且tanA﹥0,无单位. 4.tanA的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关. 5.角相等,则正切值相等；两锐角的正切值相等,则这两个锐角相等. 1 锐角三角函数 第1课时 锐角三角函数（1） 课 堂 小 结 THANK YOU $